UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA

Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281

Bahan Ajar:

BAB / POKOK BAHASAN III

HOMOMORFISMA RING

Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-6 dan 7

PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II

(Semester III/3 SKS/MMM-2201) Oleh:

Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S.

Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si.

Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S.

Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013

November 2013

BAB III

HOMOMORFISMA RING

Pada bab ini akan dijelaskan tentang homomorfisma ring, yaitu suatu pemeta- an dari suatu ring R1ke ring R2yang bersifat mengawetkan kedua operasi biner dari ring tersebut. Ada beberapa jenis homomorfisma terkait sifat pemetaannya, yakni sifat injektif, surjektif, dan bijektif. Dari sebarang homomorfisma ring f : R −→ S dapat didefinisikan kernel (ker(f )) seperti halnya pada teori grup. Kernel dari ho- momorfisma ring merupakan ideal, sehingga dapat digunakan untuk membentuk ring faktor R.

ker(f ). Pada bab ini juga akan dibahas hubungan antara ring faktor R.

ker(f ) dan Im(f ) yang selanjutnya dikenal dengan teorema utama homomorfis- ma ring.

3.1. Homomorfisma Ring: Definisi, Contoh, dan Sifat Elementer

Dari teori grup (Pengantar Struktur Aljabar I) telah dipelajari tentang ho- momorfisma grup. Suatu pemetaan h dari grup (G₁, ∗₁) ke grup (G₂, ∗₂) disebut homomorfisma grup jika untuk setiap x, y ∈ G1berlaku h(x ∗1y) = h(x) ∗₂h(x).

Konsep dari pendefinisian homomorfisma grup tersebut secara analog akan dit- erapkan pada ring. Misal diberikan ring (R1, +₁, ·₁) dan (R₂, +₂, ·₂) serta suatu pemetaan f : R₁ −→ R₂. Mengingat ring merupakan grup terhadap operasi pen- jumlahannya, f merupakan homomorfisma grup jika untuk setiap a, b ∈ R1 berlaku f (a +₁ b) = f (a) +₂ f (b). Selanjutnya, jika f merupakan homomorfisma grup sekaligus memenuhi sifat f (r ·1 s) = f (r) ·₂ f (s), untuk setiap r, s ∈ R₁, maka f disebut homomorfisma ring. Secara ringkas, definisi homomorfisma ring diberikan pada Definisi 3.1.1 di bawah ini.

Definisi 3.1.1. Diberikan ring (R₁, +₁, ·₁) dan (R₂, +₂, ·₂) serta suatu pemetaan f : R1 −→ R2. Pemetaanf disebut homomorfisma ring jika

f (x +₁y) = f (x) +₂f (y) dan f (x ·₁y) = f (x) ·₂f (y) untuk setiapx, y ∈ R₁.

Contoh 3.1.2. Berikut ini merupakan contoh-contoh homomorfisma ring.

(1). Diberikan ring

T_2×2(Z) =









 a b 0 c



| a, b, c ∈ Z







terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Didefinisikan pemetaan f : T_2×2(Z) −→ Z, yaitu untuk setiap



 a b 0 c



∈ T_2×2(Z),

f







 a b 0 c







= a.

Mudah ditunjukkan bahwa pemetaan f merupakan homomorfisma ring.

(2). Diberikan ring (Z, +, ·). Misal diambil ideal 6Z dari ring Z, sehingga dapat dibentuk ring faktor

 Z.

6Z = {0 + 6Z, 1 + 6Z, · · · , 5 + 6Z} = {0, 1, · · · , 5}, +, ·

 .

Didefinisikan pemetaan h : Z −→ Z.

6Z, yaitu h(n) = n, untuk setiap n ∈ Z.

Mudah ditunjukkan bahwa untuk setiap n₁, n₂ ∈ Z berlaku

h(n₁+ n₂) = h(n₁)+h(n₂) dan h(n₁· n₂) = h(n₁)·h(n₂).

Oleh karena itu, h merupakan homomorfisma ring.

(3). Misalkan R =











a b

−b a



| a, b ∈ R







. Himpunan R terhadap operasi pen- jumlahan dan perkaliam matriks merupakan ring (buktikan sebagai latihan!).

Didefinisikan pemetaan ϕ dari ring C ke ring R, yaitu

ϕ(a + bi) =



 a b

−b a



,

untuk setiap a + bi ∈ C. Mudah ditunjukkan bahwa pemetaan ϕ merupakan homomorfisma ring.

Ada beberapa jenis homomorfisma terkait dengan sifat pemetaannya. Suatu homomorfisma f dari ring R₁ ke ring R₂disebut:

(i). monomorfisma jika f merupakan pemetaan injektif, (ii). epimorfisma jika f merupakan pemetaan surjektif, dan (iii). isomorfisma jika f merupakan pemetaan bijektif.

Dua ring R₁ dan R₂ dikatakan isomorfis, dinotasikan R₁ ∼= R2, jika terdapat suatu isomorfisma dari R1ke R2. Selanjutnya, khusus untuk isomorfisma dari ring R1 ke R₁ disebut automorfisma.

Contoh 3.1.3. Berikut ini diberikan beberapa contoh terkait jenis-jenis homomor- fisma.

1. Diperhatikan kembali homomorfisma f : T2×2(Z) −→ Z pada Contoh 3.1.2 (1).

Untuk setiap a ∈ Z, dapat ditemukan matriks

A =



 a 1 0 1



∈ T_2×2(Z)

sedemikian sehingga f (A) = a. Dengan demikian f bersifat surjektif, sehingga homomorfisma f merupakan epimorfisma dari ring T_2×2(Z) ke Z. Perhatikan bahwa untuk

P =



 2 1 0 1



, Q =



 2 3 0 3



∈ T_2×2(Z)

diperoleh f (P ) = 2 dan f (Q) = 2. Dengan demikian homomorfisma f tidak bersifat injektif, sehingga f bukan monomorfisma ring.

2. Diberikan homomorfisma h dari ring Z ke ring M2×2(Z) dengan definisi

h (z) =



 z 0 0 0



,

untuk setiap z ∈ Z. Diambil sebarang a, b ∈ Z dengan h(a) = h(b). Perhatikan bahwa



 a 0 0 0



= h(a) = h(b) =



 b 0 0 0



.

Dari kesamaan dua matriks, berakibat a = b. Dengan demikian diperoleh kesim- pulan homomorfisma h bersifat injektif, sehingga h merupakan monomorfisma dari ring Z ke ring M2×2(Z). Perhatikan bahwa terdapat

I₂ =



 1 0 0 1



∈ M_2×2(Z)

sedemikian sehingga untuk setiap z ∈ Z, h(z) 6= I2. Dengan demikian homo- morfisma h tidak bersifat surjektif, sehingga h bukan epimorfisma ring.

3. Diperhatikan kembali homomorfisma ϕ : C −→ R pada Contoh 3.1.2 (3). Di- ambil sebarang a + bi, x + yi ∈ C sedemikian sehingga ϕ(a + bi) = ϕ(x + yi).

Karena ϕ(a + bi) = ϕ(x + yi), diperoleh



 a b

−b a



=





x y

−y x





dan berakibat a = x dan b = y. Dengan demikian a + bi = x + yi, yang berarti ϕ bersifat injektif. Diambil sebarang A =



 r s

−s r



 ∈ R, berarti r, s ∈ R.

Dibentuk c = r + si, maka jelas bahwa c ∈ C. Selanjutnya diperhatikan bahwa ϕ(c) = ϕ(r +si) = A. Oleh karena itu, ϕ bersifat surjektif. Jadi, homomorfisma ϕ bersifat bijektif, sehingga ϕ merupakan isomorfisma dari ring C ke ring R.

Akibatnya, ring C isomorfis dengan ring R dan dapat ditulis dengan C ∼= R.

Berikut ini merupakan sifat-sifat elementer dari homomorfisma ring.

Teorema 3.1.4. Diberikan homomorfisma f dari ring R₁ ke ring R₂. Sifat-sifat berikut ini berlaku.

(i). f (0_R1) = 0_R2. (0_R1 := elemen nol diR₁ dan0_R2 := elemen nol diR₂) (ii). f (−r) = −f (r) untuk setiap r ∈ R.

MisalkanR₁mempunyai elemen satuan1_R1 danf bersifat surjektif.

(iv). R₂mempunyai elemen satuan, yaituf (1_R1).

(v). Jika r ∈ R1 mempunyai invers terhadap perkalian di R1, maka f (r) juga mempunyai invers terhadap perkalian diR₂, yaitu

(f (r))⁻¹ = f (r⁻¹).

Bukti. (sebagai latihan) 

Misal diberikan sebarang homomorfisma ring f : R −→ R⁰. Karena f merupakan pemetaan R ke R⁰, maka image dari f , yaitu

Im(f ) = {f (r) | r ∈ R},

merupakan himpunan bagian tak kosong dari R⁰. Pertanyaan yang muncul adalah apakah Im(f ) merupakan subring atau ideal dari R⁰.

Teorema 3.1.5. Diberikan sebarang homomorfisma ring f : R −→ R⁰. Berlaku sifat-sifat berikut:

(i). Im(f ) merupakan subring dari R⁰,

(ii). JikaR adalah ring komutatif, maka Im(f ) merupakan ring komutatif.

Bukti. (sebagai latihan) 

(Sebagai latihan, cek bahwa Im(f ) belum tentu merupakan ideal dari R⁰ !)

Seperti pada teori grup, untuk sebarang homomorfisma ring dapat didefi- nisikan kernel.

Definisi 3.1.6. Diberikan homomorfisma f dari ring R1 ke ringR2. Kernel darif , dinotasikanker(f ), didefinisikan sebagai himpunan

ker(f ) = {a ∈ R₁ | f (a) = 0_R2}.

Contoh 3.1.7. Perhatikan kembali homomorfisma ring f dan h pada Contoh 3.1.2.

Perhatikan bahwa

ker(f ) =









 a b 0 c



∈ T_2×2(Z) | f (



 a b 0 c



) = 0







=









 a b 0 c



∈ T_2×2(Z) | a = 0







=









 0 b 0 c



| b, c ∈ Z







dan

ker(h) = {n ∈ Z | h(nı = 0)}

= {n ∈ Z | n = n}

= {n ∈ Z | n + 6Z = 0 + 6Z}

= {n ∈ Z | n − 0 ∈ 6Z}

= {n ∈ Z | n ∈ 6Z}

= 6Z.

Dari definisi kernel, jelas bahwa ker(f ) ⊆ R1. Berdasarkan Teorema 3.1.4, mudah dipahami bahwa 0_R1 ∈ ker(f ) sehingga ker(f ) 6= ∅. Muncul pertanyaan apakah ker(f ) merupakan ideal dari R1 atau hanya merupakan subring saja. Per- hatikan Teorema 3.1.8 di bawah ini.

Teorema 3.1.8. Jika f adalah homomorfisma ring dari ring R₁ ke ringR₂, maka ker(f ) merupakan ideal dari R1.

Bukti. Jelas bahwa ker(f ) 6= ∅, sebab 0_R1 ∈ ker(f ). Tinggal ditunjukkan bahwa untuk setiap x, y ∈ ker(f ) dan r ∈ R berlaku a − b ∈ ker(f ), ra ∈ ker(f ), dan

ar ∈ ker(f ). (sebagai latihan) 

Diperhatikan kembali homomorfisma ring f pada Contoh 3.1.2 (2). Homo- morfisma ring f tersebut merupakan contoh homomorfisma dari ring Z ke suatu ring faktornya. Secara umum, untuk sebarang ring R dan sebarang ring faktornya, katakan R.

I, ternyata selalu dapat dibentuk suatu homomorfisma υ : R −→R. I.

Lemma 3.1.9. Diberikan sebarang ring R dan ideal I dari R. Dibentuk ring faktor R.

I dan didefinisikan pengaitan υ : R −→R.

I, yaitu untuk setiap r ∈ R, υ(r) = r + I.

Pernyataan-pernyataan berikut ini berlaku:

(i). υ merupakan homomorfisma ring,

(Homomorfismaυ disebut homomorfisma natural.)

(ii). υ bersifat surjektif, dan (iii). ker(υ) = I.

Bukti. (sebagai latihan) 

Untuk sebarang ideal I dari ring R dapat dibentuk ring faktor R. I. Mi- sal diberikan sebarang subring S dari R yang memuat I. Oleh karena itu, I juga merupakan ideal dari S, dan berakibat dapat dibentuk juga ring faktor S.

I. Mudah dipahami bahwa ring faktor S.

I merupakan subring dariR.

I. Teorema di bawah ini menjelaskan adanya korespondensi satu-satu antara himpunan semua subring dari R yang memuat I dan himpunan semua subring dari R.

I.

Teorema 3.1.10. Diberikan sebarang ring R. Jika I adalah ideal dari R, ma- ka terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan semua subring dariR yang memuatI dan himpunan semua subring dari R.

I.

Bukti. Misalkan

A = {S | S adalah subring dari R, I ⊆ S}

dan

B =

 K.

I |K.

I adalah subring dariR. I

 . Didefinisikan pengaitan f : A −→ B, yaitu untuk setiap S ∈ A,

f (S) = S.

I = Im(υ|^S), dengan υ adalah homomorfisma natural dari S ke S.

I. Mudah ditunjukkan bahwa f merupakan pemetaan (sebagai latihan). Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa f bersifat injektif (sebagai latihan). Langkah terakhir harus ditunjukkan bahwa f bersifat surjektif. Diambil sebarang T ∈ B. Mudah dipahami bahwa υ⁻¹(T ) ∈ A dan f (υ⁻¹(T )) = T , sehingga f bersifat surjektif. Oleh karena itu, f merupakan

korespondensi satu-satu antara A dan B. 

Misal diberikan homomorfisma ring f : R1 −→ R₂. Telah kita ketahui bahwa ker(f ) merupakan ideal dari R₁. Oleh karena itu dapat dibentuk ring faktor R.

ker(f ). Pada subbab selanjutnya akan dibahas hubungan antara R.

ker(f ) dan Im(f ).

3.2. Teorema Utama Homomorfisma Ring dan Aplikasinya

Berikut ini merupakan teorema yang menjelaskan hubungan antara R. ker(f ) dan Im(f ). Teorema ini dikenal dengan Teorema Utama Homomorfisma Ring (TUHR).

Teorema 3.2.1. Jika f adalah homomorfisma dari ring R₁ ke ringR₂, maka R.

ker(f )∼= Im(R1).

Bukti. Akan ditunjukkan terdapat suatu homomorfisma ring dari R.

ker(f ) ke Im(f ).

Dibentuk pengaitan ϕ : R.

ker(f ) −→ Im(f ), yaitu untuk setiap r + ker(f ) ∈ R.

ker(f ). Harus ditunjukkan: (sebagai latihan) (a). ϕ merupakan pemetaan,

(b). ϕ merupakan homomorfisma ring, (c). ϕ bersifat injektif, dan

(d). ϕ bersifat surjektif.



Selanjutnya akan diberikan aplikasi dari Teorema Utama Homomorfisma Ring. Misal I dan J masing-masing merupakan ideal dari ring R. Dari pembahasan bab sebelumnya, diperoleh I ∩ J dan I + J masing-masing merupakan ideal di R.

Mudah dipahami bahwa I ∩ J ⊆ I dan J ⊆ I + J , sehingga I ∩ J merupakan ideal dari I dan J merupakan ideal dari I + J . Akibatnya, dapat dibentuk ring faktor I.

(I ∩ J ) dan(I + J ).

J . Dengan memanfaatkan TUHR dapat ditunjukkan bahwa kedua ring faktor tersebut isomorfis. Perhatikan teorema di bawah ini.

Teorema 3.2.2. Diberikan sebarang ring R. Jika I dan J masing-masing meru- pakan ideal dariR, maka

I.

(I ∩ J )∼= (I + J ). J .

Bukti. Untuk membuktikan teorema ini dapat memanfaatkan TUHR, yaitu cukup ditunjukkan terdapat suatu homomorfisma f : I −→ (I + J ).

J yang memenuhi sifat:

a). ker(f ) = I ∩ J b). Im(f ) = (I + J ).

J .

Dibentuk pengaitan f : I −→ (I + J ).

J , yaitu untuk setiap a ∈ I, f (a) = a + J . Harus ditunjukkan: (sebagai latihan)

(i). f merupakan pemetaan,

(ii). f merupakan homomorfisma ring, (iii). ker(f ) = I ∩ J

(iv). Im(f ) = (I + J ) .

J .



Untuk aplikasi selanjunya, misalkan I dan J masing-masing merupakan ide- al dari ring R dengan J ⊂ I. Dari kedua ideal tersebut dapat dibentuk beberapa ring faktor:

(i). R.

I = {r = r + I | r ∈ R}, (ii). R.

J = {r = r + J | r ∈ R}, dan (iii). I.

J = {r = r + J | r ∈ I}.

Mengingat I ⊂ R, diperoleh I.

J ⊂R.

J . Dapat ditunjukkan bahwaI.

J merupakan ideal dari R.

J (sebagai latihan). Oleh karena itu, terbentuk ring faktor (R.

J ). (I.

J )=



r = r + I.

J | r ∈R. J

 .

Teorema 3.2.3. Diberikan sebarang ring R. Jika I dan J masing-masing meru- pakan ideal dariR dengan I ⊂ J , maka

(R. J ).

(I.

J )∼= R. I.

Bukti. Untuk membuktikan teorema ini dapat memanfaatkan TUHR, yaitu cukup ditunjukkan terdapat suatu homomorfisma f : R

.

J −→ R.

I yang memenuhi sifat:

a). ker(f ) = I. J b). Im(f ) = R. I.

Dibentuk pengaitan f : R.

J −→R.

I dengan definisi f (r + J ) = r + I, untuk setiap r = r + J ∈ R.

J . Harus ditunjukkan: (sebagai latihan) (i). f merupakan pemetaan,

(ii). f merupakan homomorfisma ring, (iii). ker(f ) = I.

J . dan (iv). Im(f ) = R.

I.



3.3. Latihan

Kerjakan soal-soal latihan berikut ini.

1. Selidiki apakah pemetaan-pemetaan berikut ini merupakan homomorfisma ring. Jika pemetaan tersebut merupakan homomorfisma, maka selidiki juga apakah merupakan isomorfisma.

(a). Didefinisikan pemetaan f dari ring Z ke ring 5Z dengan definisi untuk setiap n ∈ Z, f (n) = 5n.

(b). Diberikan ring (Z, +, ·) dan ring (Z, +⁰, ·⁰) dengan x +⁰ y = x + y − 1 dan x ·⁰y = x + y − xy, untuk setiap x, y ∈ Z. Didefinisikan pemetaan f dari (Z, +, ·) ke (Z, +⁰, ·⁰), yaitu untuk setiap n ∈ Z, f (n) = 1 − n.

(c). Diberikan pemetaan dari ring matriks M2(Z) ke Z dengan definisi untuk setiap A ∈ M₂(Z), f (A) = det(A).

(d). Diberikan ring (Z, +, ·) dan didefinisikan pemetaan f : Z −→ Z, yaitu untuk setiap n ∈ Z, f (n) = 3n.

(e). Diberikan pemetaan f dari ring faktor Z.

8Z dan Z.

4Z dengan definisi untuk setiap z + 8Z ∈ Z.

8Z, f (z + 8Z) = z + 4Z.

2. Diberikan ring Z × Z = {(m, n) | m, n ∈ Z} terhadap operasi yang didefin- isikan

(m₁, n₁) +⁰(m₂, n₂) = (m₁+ m₂, n₁+ n₂) dan

(m₁, n₁) ·⁰(m₂, n₂) = (m₁· m₂, n₁ · n₂), untuk setiap (m₁, n₁), (m₂, n₂) ∈ Z × Z. Diberikan juga ring

T2×2(Z) =









 a b 0 c



| a, b, c ∈ Z







terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks. Buktikan bahwa pemetaan ϕ : T_2×2(Z) −→ Z × Z



 a b 0 c



−→ (a, c)

merupakan epimorfisma dan carilah kernel dari ϕ!

3. Buktikan ring 2Z tidak isomorfis dengan ring 3Z !

4. Buktikan bahwa hanya ada dua homomorfisma dari ring Z ke ring Z!

5. Buktikan bahwa pemetaan f : Z −→ Z dengan definisi f (n) = 3n meru- pakan homomorfisma grup, tetapi bukan homomorfisma ring!

6. Misalkan f : R −→ S adalah homomorfisma ring dan T adalah suatu subring dari S. Buktikan bahwa himpunan {r ∈ R | f (r) ∈ T } merupakan subring di R !

7. Jika g : R −→ S dan f : S −→ T masing-maasing adalah homomorfisma ring, maka buktikan bahwa f ◦ g : R −→ T merupakan suatu homomorfisma ring! Selanjutnya, jika f dan g masing-masing adalah isomorfisma ring, maka buktikan bahwa f ◦ g juga merupakan suatu isomorfisma ring!

8. Misalkan ϕ : R −→ R⁰ adalah homomorfisma ring dan a ∈ R, a⁰ ∈ R⁰ sedemikian sehingga ϕ(a) = a⁰. Buktikan bahwa

{x ∈ R | ϕ(x) = a⁰} = a + ker(ϕ) !

9. Misalkan f adalah suatu homomorfisma dari ring R ke ring R⁰. Buktikan pernyataan-pernyataan berikut ini benar!

(a). Jika I adalah ideal dari R, maka f (I) = {f (x) | x ∈ I} merupakan ideal dari R⁰.

(b). Jika I⁰ adalah ideal dari R⁰, maka f⁻¹(I⁰) = {a ∈ R | f (a) ∈ I⁰} merupakan ideal dari R⁰dan ker(f ) ⊆ f⁻¹(I⁰).

(c). Jika R adalah ring komutatif, I dan J masing-masing adalah ideal dari R, maka f (I + J ) = f (I) + f (J ) dan f (IJ ) = f (I)f (J ).

10. Diperhatikan kembali ring R₁ × R₂ pada soal Subbab 1.4. no. 3. Misalkan R = R₁ × R₂, I = {(r, 0_R2) | r ∈ R₁}, dan J = {(0_R1, s) | s ∈ R₂}.

(a). Buktikan I dan J masing-masing merupakan ideal di R ! (b). Buktikan R.

I ∼= R2dan R.

J ∼= R1!