BAB III : SISTEM PERSAMAAN LINIER

BAB III : SISTEM PERSAMAAN LINIER

3.1 PENDAHULUAN

Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak dijumpai dalam permasalahan teknik. Di dalam Bab ini akan dipelajari sistem persamaan linier, yang bentuknya seperti berikut :


 … 
 

__
__ … 
__{ } (3.1) .

__
__ … 
__{ }

Dengan a adalah koefisien konstan, b adalah konstan, n adalah jumlah persamaan, dan x1, x2, …, xn adalah bilangan yang tidak diketahui.

3.2 Notasi Matriks

Matriks adalah suatu larikan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang, mempunyai bentuk sebagai berikut :

 
_
 …
_

_
 …
_

_
 …
_

Dalam bab ini akan dipelajari beberapa metode penyelesaian langsung (di sebut metode pivot) dan metode iterasi.

3.3 Metode Eliminasi Gauss

Metode eliminasi Gauss adalah salah satu cara yang paling awal dan banyak digunakan dalam penyelesaian system persamaan linier. Prosedurnya adalah mengurangi system persamaan ke dalam bentuk segitiga sedemikian sehingga salah satu dari persamaan-persamaan tersebut hanya mengandung satu bilangan tak diketahui, dan setiap persamaan berikutnya hanya terdiri dari satu tambahan bilangan tak diketahui baru.

Dipandang suatu system dari 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui.



  (1a)



  (1b)

__
__
__{ } (1c)

Persamaan pertama dari system dibagi koefisien pertama dari persamaan pertama, a11

_^_^

_^_^

_{ }^

 (2)

Persamaan (2) dikalikan dengan koefisien pertama persamaan kedua (1b).


_

_
_

_
 _

_ (3)

Persamaan (1b) dikurangi persamaan (3) didapat :


_
_


__ 
_
_


__{ }
_{ }

_

_^ _
_^ _{ }^

Langkah berikutnya, persamaan yang telah dinormalkan (2) dikalikan dengan koefisien pertama persamaan ketiga, dan hasilnya dikurangkan dari persamaan ketiga (1c), hasilnya adalah :

_^ _
_^ _{ }^

Dengan melakukan prosedur hitungan diatas, akhirnya didapat persamaan berikut :

__
__
__{ } (4a)

_^ _
_^ _{ }^ (4b)

_^ _
_^ _{ }^ (4c)

Prosedur berikutnya adalah mengeliminasi x₂ dari salah satu dari dua persamaan terakhir (4b) dan (4c). Persamaan (4b) dibagi dengan koefisien pertama dari persamaan (4b) yaitu a^’₂₂.

^_^

  _^

 (5)

Persamaan (5) dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan (4c)

_^ 
_^{ }_^

 
_^{ }_^

 (6)

Persamaan (4c) dikurangi persamaan (6),


_^ 
_^
_^

_^  _^ 
_^ _^

_^ 
_^  _^

Dengan demikian persamaannya menjadi :

__
__
__{ }
_ ^_^



_^ _
_^ _{ }^
_ ^_^{ }



_^_{ }^
_{ }^



Contoh :

Menyelesaikan persamaan linier dengan Metode Eliminasi Gauss Persamaan:

3,0x + 1,0y + -1,0z = 5,0 (1) 4,0x + 7,0y + -3,0z = 20,0 (2) 2,0x + -2,0y + 5,0z = 10,0 (3) Penyelesaian :

Iterasi

0 3,0 1,0 -1,0 | 5,0 4,0 7,0 -3,0 | 20,0 2,0 -2,0 5,0 | 10,0

Langkah pertama menormalkan pers. (1) dengan membagi persamaan tsb dengan elemen pivot (koefisien pertama pers. (1))
(pers.1) / 3

1 1,0 0,3 -0,3 | 1,7 (4) 4,0 7,0 -3,0 | 20,0 (5) 2,0 -2,0 5,0 | 10,0 (6) (pers.2) - (4 * (pers.4))

2 1,0 0,3 -0,3 | 1,7 0,0 5,7 -1,7 | 13,3 2,0 -2,0 5,0 | 10,0

(pers.3) - (2 * (pers.1)) 3 1,0 0,3 -0,3 | 1,7 0,0 5,7 -1,7 | 13,3 0,0 -2,7 5,7 | 6,7

(pers.2) / 5,66666666666667 4 1,0 0,3 -0,3 | 1,7

0,0 1,0 -0,3 | 2,4 0,0 -2,7 5,7 | 6,7

(pers.3) - (-2,66666666666667 * (pers.2)) 5 1,0 0,3 -0,3 | 1,7

0,0 1,0 -0,3 | 2,4 0,0 0,0 4,9 | 12,9

(pers.3) / 4,88235294117647 6 1,0 0,3 -0,3 | 1,7 0,0 1,0 -0,3 | 2,4 0,0 0,0 1,0 | 2,7

Hasil : x = 1,5 ; y = 3,1 ; z = 2,7.

3.4 Metode Gauss-Jordan

Metode Gauss-Jordan adalah mirip dengan metode eliminasi Gauss. Penjelasan metode ini menggunakan contoh sistem 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui.


_



_



_

 _

_

_ _ 

_ (2)

Di dalam metode Gauss-Jordan, dipilih secara berurutan setiap baris sebagai baris pivot, dengan pivot adalah elemen pertama tidak nol dari baris tersebut.

1. Pertama kali baris pertama dari persamaan (2) dibagi dengan elemen pivot, yaitu

_,sehingga didapat :

 1
_^
_^

_



_

 _

_

_ _^ _ 

Elemen pertama dari semua baris lainnya dihilangkan dengan cara :

a. Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan kedua (
 dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan kedua.

b. Persamaan pertama dikalikan elemen pertama dari persamaan ketiga (
_ dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan kedua.

Operasi ini menghasilkan sistem persamaan berikut :

1
_^
_^ 0
_^
_^ 0
_^
_^ _



_ _^ _^

_^ (3)

2. Kemudian ditetapkan baris kedua sebagai pivot dan
_^ sebagai elemen pivot. Prosedur diatas diulangi lagi untuk baris kedua.

Baris kedua dari persamaan diatas dibagi dengan elemen pivot yaitu
_^ , sehingga didapat :

1
_^
_^ 0 1
_^

0
_^
_^ 

_

_ _^ _^

_^

Elemen kedua dari baris lain dihilangkan dengan cara :

a. Persamaan kedua dikalikan elemen kedua dari persamaan pertama
_^ dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan pertama.

b. Persamaan kedua dikalikan elemen kedua dari persamaan ketiga
_^ dan kemudian dikurangkan terhadap persamaan ketiga.

Operasi ini menghasilkan sistem persamaan berikut :

1 0
_^

0 1
_^

0 0
_^ _

_

_ _^

_^

"_^ (4)

3. Untuk langkah selanjutnya ditetapkan baris ketiga sebagai pivot, prosedur diulangi lagi akhirnya didapat persamaan berikut :

1 0 0 0 1 0 0 0 1 _



_ _^

_^

""_^ (5)

Dari persamaan (5) dapat dihitung nilai _, _, dan _.

_{ }^ _{ }^ _{ }^

Contoh : Persamaan :

3,0x + 1,0y + -1,0z = 5,0 4,0x + 7,0y + -3,0z = 20,0 2,0x + -2,0y + 5,0z = 10,0 Penyelesaian :

Iterasi

0 3,0 1,0 -1,0 | 5,0 4,0 7,0 -3,0 | 20,0 2,0 -2,0 5,0 | 10,0

(pers.1) / 3

1 1,0 0,3 -0,3 | 1,7 4,0 7,0 -3,0 | 20,0 2,0 -2,0 5,0 | 10,0

(pers.2) - (4 * (pers.1)) 2 1,0 0,3 -0,3 | 1,7 0,0 5,7 -1,7 | 13,3 2,0 -2,0 5,0 | 10,0

(pers.3) - (2 * (pers.1)) 3 1,0 0,3 -0,3 | 1,7 0,0 5,7 -1,7 | 13,3 0,0 -2,7 5,7 | 6,7

(pers.2) / 5,66666666666667 4 1,0 0,3 -0,3 | 1,7 0,0 1,0 -0,3 | 2,4 0,0 -2,7 5,7 | 6,7

(pers.1) - (0,333333333333333 * (pers.2)) 5 1,0 0,0 -0,2 | 0,9

0,0 1,0 -0,3 | 2,4 0,0 -2,7 5,7 | 6,7

(pers.3) - (-2,66666666666667 * (pers.2)) 6 1,0 0,0 -0,2 | 0,9

0,0 1,0 -0,3 | 2,4 0,0 0,0 4,9 | 12,9

(pers.3) / 4,88235294117647 7 1,0 0,0 -0,2 | 0,9 0,0 1,0 -0,3 | 2,4 0,0 0,0 1,0 | 2,7

(pers.1) - (-0,235294117647059 * (pers.3)) 8 1,0 0,0 0,0 | 1,5

0,0 1,0 -0,3 | 2,4 0,0 0,0 1,0 | 2,7

(pers.2) - (-0,294117647058824 * (pers.3)) 9 1,0 0,0 0,0 | 1,5

0,0 1,0 0,0 | 3,1 0,0 0,0 1,0 | 2,7 Maka,

x = 1,5 y = 3,1 z = 2,7

3.5 Matriks Tridiagonal (Metode Sapuan Ganda Choleski)

Dalam penyelesaian sistem persamaan berbentuk matriks tridiagonal, metode penyelesaian langsung (metode pivot) sering di sebut metode sapuan ganda atau metode Choleski.

Metode ini mudah pemakaiannya dan matriks tridiagonal banyak dijumpai dalam banyak permasalahan.

Dipandang sistem persamaan berikut :

#  $ %

  $ %

__ __ $__& %_

… (1)

_'_' _'_'  $_'_'( %_' …

__ __ %_

Persamaan pertama dari sistem (1) memungkinkan untuk menulis bilangan yang tidak diketahui x₁ sebagai fungsi bilangan x₂.

 _^)

^*_^

 atau  + , (2) Dengan +_ ⁾_^

 dan ,_ ^*_^



Apabila nilai x₁ disubstitusikan ke dalam persamaan kedua dari sistem (1),

_-$_

__%_

_.  __ $__ %_ -
$_

_ .  $ %
%_{ } Atau _ +__ ,_

Dengan + /0^)

1 (_1 dan , ₃^*_/0^21

1 (_4

Sehingga x2 merupakan fungsi dari x3, prosedurnya diulangi untuk persamaan berikutnya.

Misalkan telah diperoleh persamaan berikut :

_' +_'_' ,_'

Apabila nilai xi-1 disubstitusikan ke dalam persamaan ke-i sistem (1), maka :

'+''  ,'  ''  $''( %'

_'  $_'

_'+_' _'_'(%_'
_',_'

_'+_' _

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

_' +_'_'( ,_' (3a) Dengan +_' _ ⁾⁵

56_57(₅ (3b) ,_' ^*_^55857

56_57(_ (3c) Untuk i=1 maka persamaan (3a) menjadi :

_ +__ ,_ (4a) Dengan + _ ^)

6₉(_ (4b) ,_ ^*_^(89

6₉(_ (4c)

Bandingkan persamaan (2) dan (4) menunjukkan P0 = 0 dan Q0 = 0.

Persamaan diatas memungkinkan untuk menghitung koefisien Pi dan Qi dari i = 1 sampai n, Langkah ini merupakan sapuan pertama. Setelah sampai titik ke n hitungan dilakukan dalam arah kebalikkan, yaitu dari n ke 1 untuk menghitung bilangan yang tidak diketahui x_i.

Persamaan terakhir (1) dapat ditulis :

  % (5) Pada persamaan (3) apabila i= n-1, maka:

_ +__ ,_ (6)

Substitusi persamaan (6) ke persamaan (5) akan memberikan :

_ ^*_^::8:7

:6_:7(_: (7)

Sesuai dengan persamaan (3a), maka : _ ,_
nilai xⁿ diperoleh, xn-1 dst.

Contoh :

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan metode sapuan ganda.

2_ _ 7 _ _ 3_ 10 6 2 & 7 2_ 3_& 13

Penyelesaian :

Sistem persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks tridiagonal :

 1 2 0 0

11 60

30

22 00

31  

_

_

_

_&



107 137

a. Menghitung koefisien Pi dan Qi (i=1,2,3,4) Untuk i=1, P0= 0 dan Q0 = 0.

+_  $_

_+_# _ $_{ } 1

2 0.5 ,_ %_
_,_#

_+_# _ 7 2 3.5 Untuk i=2

+  $_

_+_ _  3

10.5  1 6 ,_ %_
_,_

_+_ _ 10  13.5

10,5  1 27 Untuk i=3

+_  $_

_+_ _  1

6 6  2 0.02941 ,_ %_
_,_

_+_ _ 7  627

6 6  2 4.97059 Untuk i=n=4

+_&D 0 ,_& %_&
_&,_

_&+_ _& 13  24.97059

20.02941  3 1.00

_& ,_&

b. Menghitung xi (i=4,3,2,1)

Variabel xi dihitung menggunakan persamaan :

_' +_'_'( ,_'

Untuk i = 4
_& ,_& 1

Untuk i = 3
_ +__& ,_ 0.029411.0  4,97059 5.0 Untuk i = 2
_ +__ ,_ 65  27 3

Untuk i = 1
_ +__ ,_ 0.53  3.5 2

Untuk mengetahui benar tidak hasil yang diperoleh maka nilai dimasukkan ke persamaan awal.

3.6 Matriks Inverse

Apabila matriks A adalah bujur sangkar, maka terdapat matriks lain yaitu A^-1, yang disebut matriks inverse dari A, sehingga ^{ } E, dengan I adalah matriks identitas.

Matriks inverse dapat juga digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan yang berbentuk : F G
H
I F ^G.

Matriks inverse dapat dicari dengan menggunakan metode Gauss-Jordan. Untuk itu matriks koefisien A ditingkatkan dengan matriks identitas I. Kemudian metode Gauss-Jordan ini digunakan untuk mengubah matriks koefisien menjadi matriks identitas, setelah matriks koefisien menjadi matriks identitas, maka sisi kanan dari matriks yang ditingkatkan adalah matriks inverse.

Contoh :

Carilah matriks invers dari matriks berikut :  2 1 1

1 2 1 1 1 2 Penyelesaian :

Matriks A ditingkatkan dengan matriks identitas sehingga menjadi :  2 1 1

1 2 1

1 1 2 J1 0 0 0 1 0 0 0 1K 

Ditetapkan elemen pertama dari baris pertama sebagai elemen pivot, yaitu 2. Baris tersebut dibagi dengan elemen pivot (2) sehingga didapat :

1 ^_ ^_ 1 2 1 1 1 2 L



 0 0

0 1 0 0 0 1

K

Baris ke dua dan ke tiga dikurangi oleh baris pertama,

MN NN

O1 ^ 

0 ^_ ^_

0 ^_ ^_ PP



 0 0



 1 0

^_ 0 1 K

QR RR S

Baris kedua ditetapkan sebagai baris pivot, kemudian baris tersebut dibagi dengan elemen pivot, yaitu 3/2.



1 ^_ ^_ 0 1 ^_ 0 ^_ ^_ L

 0 0

^_ ^_ 0

^_ 0 1K

Kemudian baris kedua dikalikan dengan ½ dan hasilnya digunakan untuk mengurangi persamaan pertama dan ketiga,

MN NN

O1 0 ^

0 1 ^_ 0 0 ^&_

PP



 ^_ 0



 

 0

^_ ^_ 1 K

QR RR S

Persamaan ketiga ditetapkan sebagai baris pivot dan kemudian baris tersebut dibagi dengan elemen pivot, yaitu 4/3, kemudian dikalikan dengan 1/3.

MN NN

O1 0 ^_ 0 1 ^_ 0 0 1

PP



 ^_ 0



 

 0

^_& ^_& ^_&

K QR RR S

Baris pertama dan kedua dikurangi dengan baris ketiga,

MN NN

O1 0 0 0 1 0 0 0 1 PP



& ^_& ^_&



& 

& ^_&

^_& ^_& ^_&

K QR RR S

Dengan demikian didapat matriks inversenya adalah :

 MN NN

O ^& ^_& ^_&

^_& ^_& ^_&

^_& ^_& ^_& QRRRS

3.7. Metode Iteratif

Dalam Bab ini akan dipelajari dua metode iteratif, yaitu metode Jacobi dan Gauss-Seidel.

- Metode Jacobi

Dipandang sistem 3 persamaan dengan 3 bilangan tak diketahui :

__
__
__{ }

__
__
__{ } (1)

__
__
__{ }

Persamaan pertama dari sistem diatas dapat digunakan untuk menghitung x₁ sebagai fungsi dari x₂ dan x₃, sehingga didapat :

_ ^_^



_ ^_^

 (2)

_ ^_^



Hitungan dimulai dengan nilai perkiraan awal sembarang untuk variabel yang dicari, semua variabel sama dengan nol. Nilai perkiraan awal tersebut disubstitusikan ke dalam ruas kanan dari sistem persamaan (2), selanjutnya nilai variabel yang didapat tersebut disubstitusikan ke ruas kanan dari sistem (2) lagi untuk mendapatkan nilai perkiraan kedua, prosedur tersebut diulangi lagi sampai iterasi ke n.

_^{ T}_^99U



_^{ T}_^99U

 (3)

_^ 
_^#
_^#



Contoh :

Selesaikan sistem persamaan berikut dengan iterasi Jacobi.

3  V  W 5 4  7V  3W 20 2  2V  5W 10

Penyelesaian :

Sistem persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk :

 5  V  W 3

V 20  4  3W 7 W 10  2  2V

5

Langkah pertama dicoba nilai x = y = z = 0 dan hitung,

^ 5  0  0

3 1,66667 V^ 20  40  30

7 2,85714

W^ 10  20  20

5 2

Iterasi dilanjutkan dengan memasukkan nilai x^’, y^’ dan z^’ ke persamaan dan kesalahan yang terjadi.

^ 5  2,857771  2

3 1,38095

Y 1,38095  1,66667

1,38095 100% 20,69%

V^ 20  41,66667  32

7 2,76190

Y_[ 2,76190  2,85714

2,76190 100% 3,45%

W^ #,\\\\](,^_]]]

_ 2,13333

Y_` 2,13333  2

2,13333 100% 6,25%

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur diatas sehingga diperoleh kesalahan yang diinginkan.

- Metode Gauss-Seidel

Di dalam metode Gauss-Seidel, nilai x₁ yang dihitung dari persamaan pertama digunakan untuk menghitung nilai x2 dengan persamaan kedua, demikian juga nilai x2 digunakan untuk

mencari x3. Seperti metode Jacobi ke dalam persamaan pertama dari sistem (3) disubstitusikan nilai sembarang _^#, _^# biasanya diambil nol, sehingga :

_^{ T}_^99U

 (4)

Nilai baru dari x11 tersebut kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan kedua dari sistem (3),

_^ 
__^
__^#

_

Demikian juga ke dalam persamaan ketiga dari sistem (3) disubstitusikan nilai baru

_^ %
a _^ , sehingga didapat :

_^ _
__^
__^

_

Dengan cara seperti ini nilai x1, x2, dan x3 akan diperoleh lebih cepat dari metode Jacobi.

Contoh :

Selesaikan persamaan berikut dengan metode iterasi Gauss-Seidel:

3  V  W 5 4  7V  3W 20 2  2V  5W 10 Penyelesaian :

Langkah pertama dicoba y = z = 0 dan dihitung x^’ dengan menggunakan persamaan (4).

^ T
12V 
^WU

_ 5  0  0

3 1,6667 V^ T
21 
^WU

_ 20  41,6667  30

7 1,90476

W^ T
31 
^VU

_ 10  21,6667  21,90476

5 2,09524

Iterasi dilanjutkan dengan prosedur diatas untuk menghitung x^’’, y^’’ dan z^’’ dan kesalahan yang terjadi.

^ 5  1,90476  2,09524

3 1,73016

Y 1,73016  1,66667

1,73016 100% 3,67%

V^ 20  41,73016  32,09524

7 2,76644

Y_[ 2,76644  1,90476

2,76644 100% 31,15%

W^ 10  21,730167  22,76644

5 2,41451

Y_` 2,41451  2,09524

2,41451 100% 13,22%

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur di atas sampai diperoleh kesalahan yang diinginkan.