Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili

(1)

4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik

Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang.

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ mewakili vector-vektor ⃗ . Dengan demikian vector-vektor ⃗ dinamakan sebagai vector posisi titik A, B, C dan D.

Vektor posisi titik A ( x, y) dalam bentuk vector kolom sebagai ( )

Dengan demikian Vektor posisi titik A dalam koordinat (x, y, z) dapat ditulis dalam bentuk vector kolom sebagai ( )

Contoh :

ABC adalah bangun geometri segitiga . Vektor - vektor posisi dari titik-titik sudut A, B dan C pada segitiga ABC itu berturut-turut adalah ⃗

Tunjukan bahwa:

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

Jawab:

Dengan menggunakan aturan penjumlahan vector pada segitiga OAB maka di peroleh hubungan:

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ Jadi terbukti bahwa ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

B. Pembagian Ruas Garis Dalam Bentuk Perbandingan Bagian AC : CB = m : n atau AC ; AB = m : (m + n)

Tanda-tanda dari m dan n ditentukan dengan aturan sebagai berikut

1. Jika titik c terletak diantara ruas garis AB, maka ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ searah, dalam hal demikian m dan n bertanda sama (m dan n keduanya positif atau m dan n keduanya negative)

2. Jika titik c terletak pada perpanjangan ruas garis AB, maka ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ berlawanan arah, Dalam hal demikian m dan n berlawanan tanda (m positif dan n negative atau m negative dan n positif )

4.5.1. Rumus Perbandingan Vector

Misalkan vector-vektor posisi titik A dan titik B berturut- turut adalah ⃗ . Titik C terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB = m : n maka vector posisi C adalah ditentukan dengan rumus:

⃗

Contoh :

Tentukan Titik D pada ruas garis AB sehingga AD : DB = 3 : -1 atau m = 3 dan n = -1, vector posisi titik D adalah vector :

(2)

Jawab : ⃗

⃗

Jadi vector posisi D adalah ⃗

4.5.2. Rumus Perbandingan Koordinat

A. Rumus Perbandingan Koordinat Titik-Titik Di Bidang

Misalkan titik A (x₁, y₁) dan titik B (x₂, y₂). Titik C (x, y) membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n maka koordinat titik C (x. y) di tentukan dengan rumus :

Contoh :

Diketahui ruas garis AB dengan koordinat titik A (3, -1) dan B (6, 5), tentukan koordinat titik C, jika AC : CB = 2 : 1

Jawab :

Titik c (x, y) dengan perbandingan AC : CB = 2 : 1, ini berarti m = 2 dan n = 1

Jadi, koordinat titik C adalah (5, 3)

B. Rumus Perbandingan Koordinat Titik-Titik Diruang

Misalkan titik A(x₁, y₁, z₁) dan titik B(x₂, y₂, z₂). Titik C(x, y, z) membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n, maka koordinat titik C(x, y, z) ditentukan dengan rumus :

Contoh :

Diketahui ruas garis PQ dengan koordinat titik P(2, 3, -1) dan titik Q(7, -2, 9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. Tentukan koordinat titik R

Jawab :

Misalkan koordinat titik R(x, y, z), maka berdasarkan rumus perbandingan koordinat titik-titik di ruang dengan m = 1 dan n = 4, maka di peroleh :

(3)

Jadi, koordinat titik R adalah (3, 2, 1)

4.6. Hasil Kali Scalar Dua Vector

4.6.1. Defenisi Hasil Kali Scalar Dua Vektor

Misalkan diketahui vector dan vector ⃗ , Hasil kali vector dengan vector ⃗ ditentukan oleh hasil kali panjang vector , panjang vector ⃗ dan kosinus sudut terkecil antara vector dengan vector ⃗ . ditulis :

⃗ ‖ ‖‖ ⃗ ‖

Contoh :

Panjang vector dan panjang vector ⃗ masing-masing adalah 4 satuan dan 5 satuan, besar sudut antara vector dan vector ⃗ sama dengan 60^o. hitunglah hasil kali scalar vector dan vector ⃗ .

Jawab :

⃗ ‖ ‖‖ ⃗ ‖

⃗ , sebab sudut vektornya 60^o ⃗

Jadi, hasil kali scalar vector ⃗ adalah ⃗

4.6.2. Hasil Kali Scalar Dua Vector Dalam Bentuk Vector Kolom A. Hasil Kali Scalar Dua Vector Di Bidang

Misalkan diketahui vector dan vector ⃗ ( ), Hasil kali scalar vector dengan vector ⃗ ditentukan dengan rumus ; ⃗

Contoh :

Diketahui vector ( ) dan vector ⃗ () , 1. Hitunglah ⃗ dan ⃗

2. periksalah apakah ⃗ = ⃗

jawab :

1. ⃗ ⃗

2. Berdasarkan hasil tersebut, mrnunjukan bahwa hasil kali scalar dua vector di bidang bersifat komutatif

B. Hasil Kali Scalar Dua Vector Di Ruang

Misalkan diketahui vector ( ) dan vector ⃗ ( ) , Hasil kali scalar vector dengan vector ⃗ ditentukan dengan rumus ; ⃗ +

(4)

Contoh :

Diketahui vector () dan vector () 1. Hitunglah dan

2. Periksalah, apakah =

Jawab :

1.

2. Berdasarkan hasil tersebut menunjukan bahwa hasil kali scalar dua vector di ruang juga bersifat komutatif

4.6.3. Tanda Hasil Kali Scalar Dua Vektor Tanda-tanda hasil kali scalar berikut ini:

1. Jika ⃗⃗⃗ ⃗ , maka atau . Dalam hal demikian, dikatakan vector dan vector ⃗ membentuk Sudut Lancip.

2. Jika ⃗ 0, maka = 0 atau . Dalam hal demikian, dikatakan vector egak lurus terhadap vector ⃗ tau vector Orthogonal terhadap vector ⃗⃗⃗

3. Jika ⃗⃗⃗ ⃗ , maka cos 0 atau . Dalam hal demikian dikatakan vector dan vector ⃗ membentuk Sudut Tumpul.

4. jika ⃗ = | ⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗ | ,maka cos = 1 atau = 0. dalam hal demikian, dikatakan vector Berimpit dengan vector ⃗ atau vector Searah dengan vector ⃗

5. jika ⃗ = | ⃗⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗⃗ | ,maka cos = -1 atau = 180^o. Dalam hal demikian vector Berlawanan arah dengan vector ⃗ .

Contoh:

Tentukan tanda (positif, nol atau negative) hasil kali scalar bagi pasangan vector ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂, kemudian periksalah kedudukan pasangan vector nya.

Jawab:

⃗ , jadi ⃗ . Karena ⃗ , maka vector ⃗ membentuk sudut lancip atau .

TEOREMA ORTOGONALITAS

Misalkan vector ⃗ keduanyan bukan vector nol. Vector tegak lurus atau orthogonal terhadap vector ⃗ jika dan hanya jika ⃗ = 0

Contoh :

Diketahui vector ( ) dan vector ⃗ ( ) serta vector orthogonal terhadap vector ⃗ . hitunglah nilai m Yang mungkin

(5)

Jawab :

⃗

Karena vector tegak lurus terhadap vector ⃗ , maka berdasarkan teorema ortogonalitas, maka Haruslah ⃗

12 + 6m = 0 6m = -12 m = -2

Jadi vector tegak lurus terhadap vector ⃗ untuk nilai m = -2

4.6.4. Sifat-Sifat Hasil Kali Scalar Dua Vector A. Sifat Komutatif

misalkan diketahui vector ( ) dan ⃗ ( ). Berdasarkan rumus hasil kali scalar dua vector di bidang, maka dipeoleh hubungan :

⃗ ( ) ( )

Berdasarkan perhitungan diatas, jelas bahwa ⃗ ⃗ . hubungan ini menunjukan bahwa hasil kali scalar dua vector di bidang bersifat komutatif

B. Sifat distributive

Misalkan bahwa ( ), ⃗ ( ), dan ( ) adalah vector-vektor di bidang akan diperlihatkan berlakunya sifat distributive berikut ini :

1. ( ⃗ ) ⃗ 2. ⃗ ⃗ Bukti :

1. ( ⃗ ) ( ) ( ) =

⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) =

Berdasarkan perhitungan diatas, ( ⃗ ) ⃗ menunjukan hasil kali scalar dua vector di bidang Bersifat Distributive Kiri

2. ⃗ ( ). ( )

=

⃗ ( ) ( ) ( ) ( ) =

Berdasarkan perhitungan diatas, ⃗ ⃗ menunjukan bahwa hasil kali scalar dua di bidang Bersifat Distributive Kanan

(6)

Contoh :

Diketahui vector dan vector ⃗ membentuk sudut 60^o. panjang vector adalah | | satuan dan panjang vector adalah | ⃗ | satuan, tentukan nilai dari ⃗ ….

Jawab :

( ⃗ ) ⃗ | | | | | | | ⃗ | = 16 + 10 = 26 Jadi nilai ( ⃗ )

4.7. Sudut Antara Dua Vektor

4.7.1. Sudut Antara Dua Vector Di Bidang

Misalkan diketahui vector ( ), dan vector ⃗ ( ). Jika θ menyatakan besar sudut antara vector dan vector ⃗ , maka cosinus sudut θ ditentukan dengan rumus :

√ √

4.7.2. Sudut Antara Dua Vector Di Ruang

Misalkan diketahui vector ( ) dan vector ⃗ ( ), Jika θ menyatakan besar sudut antara vector dan vector ⃗ , maka cosinus sudut θ ditentukan dengan rumus :

√ √

Contoh :

diketahui vector () dan vector ⃗ () a. Hitunglah ⃗ | | | ⃗ |

b. Tentukan besar sudut vector dan vector ⃗

Jawab :

a. ⃗ () . ()= 2 x (-1) x 1 x 3 x (-3) x (-2) = 7

| | √ √

| ⃗ | √ √

b. Dengan menggunakan rumus kosinus sudut antara dua vector, diperoleh : Cos θ = | ⃗ | | ⃗ |^{⃗ ⃗} √ √ ↔ θ = 60^o

Jadi, besar sudut antara vector dan vector ⃗ sama dengan 60^o

(7)

4.8. Vector Proyeksi Dan Panjang Proyeksinya

Misalkan ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ masing-masing mewakili vector dan vector ⃗ , sudut θ menyatakan besar sudut antara vector dan vector ⃗ . sudut θ menyatakan besar sudut antara vector dan vector ⃗ . Proyeksi titik ujung ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ (yaitu titik A) pada ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ adalah titik C. dengan panjang OC ditentukan oleh: OC= | ⃗⃗⃗⃗⃗ | Cos θ = | | Cos θ

Besar OC = | | Cos θ dinamakan sebagai Proyeksi Scalar Orthogonal dari vector pada vector ⃗ . proyeksi scalar orthogonal (biasa disingkat dengan proyeksi scalar saja) dari vector pada vector ⃗ juga menyatakan Panjang Proyeksi dari vector pada vector ⃗ .

Proyeksi scalar orthogonal OC= | | Cos θ dapat bernilai positif, nol, atau negative. Hal ini ditentukan oleh besarnya sudut θ.

1. Jika θ sudut lancip ( ), maka OC= | | Cos bernilai positif.

2. Jika , maka OC =| | Cos θ bernilai nol.

3. Jika sudut tumpul ( ), maka OC =| | Cos θ bernilai negative.

4.8.1. Proyeksi vector pada vector ⃗ .

Ruas garis berarah ⃗⃗⃗⃗⃗ mewakili vector , sehingga vector merupakan proyeksi vector vector ⃗ , vector dinamakan sebagai Proyeksi Vector Orthogonal atau Proyeksi Vector dari vector vector ⃗ ,

1. proyeksi scalar orthogonal dari vector vector ⃗ , di tentukan oleh:

| | | | Cos θ

Cos θ | ⃗ | | ⃗ |^{⃗ ⃗} diperoleh:

| | | | | ⃗ | | ⃗ |^{⃗ ⃗} ↔ | | ^{⃗ ⃗}_{| ⃗ |}

2. proyeksi vector orthogonal dari vector vector ⃗ , ditentukan oleh:

| | , dengan ê adalah vector satuan dari vector . Oleh karena vector searah dengan vector ⃗ , maka vector satuan dari vector sama dengan vector satuan dari vector ⃗ . Vector satuan dari vector ⃗ ditentukan oleh _{| ⃗ |}^⃗.

Substitusikan | | ^{⃗ ⃗}_{| ⃗ |} dan _{| ⃗ |}^⃗ kepersamaan | | diperoleh ^{⃗ ⃗}_{| ⃗ |} x ^⃗

| ⃗ | ↔ | | (_{| ⃗ |}^{⃗ ⃗}) ⃗

4.8.2. Proyeksi vector ⃗ vector

Misalkan vector vector ⃗ adalah vector-vektor sebarang (di bidang atau di ruang) , dan vector adalah vector ⃗ vector .

1. proyeksi scalar ortogonal dari vector ⃗ vector , ditentukan oleh: | | ^{⃗ ⃗}_{| ⃗ |} 2. proyeksi vector orthogonal vector ⃗ vector , ditentukan oleh: (_{| ⃗ |}^{⃗ ⃗})

(8)

Soal latihan

1. diketahui vector ( ) dan vector ⃗ ( ) adalah vector-vektor di bidang yang dalam bentuk vector kolom. Tentukan proyeksi scalar orthogonal dari vector pada arah vector ⃗ dan proyeksi scalar orthogonal dari vector ⃗ pada arah vector

2. Diketahui vector () dan vector ⃗ () a. Hitunglah ⃗ , | | ,dan | ⃗ |

b. Tentukan besar sudut antara vector dengan vector ⃗

3. Diketahui vector dan vector ⃗ membentuk sudut 60 . panjang vector adalah | | =4 satuan dan panjang vector ⃗ adalah | ⃗ | = 5 satuan.

a. Tentukan nilai dari ( ⃗ ) b. Tentukan nilai dari ⃗ ( ⃗ )

Kunci Jawaban

1. Poyeksi scalar orthogonal vector pada vector ⃗ ,ditentukan oleh:

| | ^{⃗ ⃗}_{| ⃗ |} =

√ =

Jadi, proyeksi scalar orthogonal vector pada vector ⃗ adalah | | 2