APLIKASI TEOREMA MATRIKS POHON UNTUK MENCARI JUMLAH POHON RENTANG PADA GRAF RODA (WN).

(1)

Oleh: Riadi Setiawan NIM 408211035 Program Studi Matematika

SKRIPSI

Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sain

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

(2)

(3)

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang

telah memberikan curahan rahmat, taufiq dan hidayah-Nya sehingga skripsi yang

berjudul “Aplikasi Teorema Matriks-Pohon untuk Mencari Jumlah Pohon Rentang pada Graf Roda (Wn)” ini dapat terselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam semoga tetap terlimpahkan kepada junjungan kita Nabi Besar

Muhammad SAW yang telah membawa kita dari jalan yang gelap menuju jalan

yang terang benderang.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan

mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta

doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis menyampaikan ungkapan terima

kasih kepada:

1. Bapak Mulyono, S.Si., M.Si selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah

banyak memberikan pengarahan, bimbingan, dan petunjuk-petunjuk yang

sangat berharga selama penulisan skripsi ini, di tengah-tengah kesibukan

beliau sehari-hari.

2. Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si sebagai Ketua Prodi Matematika yang telah

banyak membantu saya baik selama perkuliahan dan dalam menyusun skripsi

ini.

3. Bapak Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd selaku Ketua JurusanMatematika.

4. Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc., Ph.D selaku Dekan FMIPA.

5. Bapak Dr. Edi Syahputra, M.Pd, Bapak Dr. E. Elvis Napitulu, M.S dan Ibu

Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Dosen Penguji.

6. Segenap dosen Matematika FMIPA yang telah berjasa memberikan

bimbingan kepada penulis semenjak mengikuti perkuliahan.

7. Seluruh staf pegawai di lingkungan FMIPA UNIMED, khususnya kepada

pegawai lab. Matematika, Bang Herman.

8. Seluruh staf pegawai di lingkungan Perpustakaan UNIMED yang telah

(4)

v

9. Secara khusus dan istimewa penulis mengucapkan terima kasih dan hormat

kepada ayahanda, ibunda dan seluruh keluarga tercinta, Kak Wina Wulandari,

S.Pd dan Adik Dimas Hendrawan untuk semua kasih sayang, doa, motivasi,

dan jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.

10. Secara khusus juga penulis ucapkan terima kasih kepada Dea Ardianti, S.E

yang telah memberikan kasih sayang, doa, semangat dan motivasi kepada

penulis baik selama perkuliahan dan dalam penyusunan skripsi ini.

11. Teman-teman matematika angkatan 2008 khususnya Andi Pranata, Riana,

Dalida, Eko Wahyudi, Marsinta Sinaga, Katrin Jenny Sirait, Rico Joslen

Tamba dan Richard Fernando Sitorus beserta semua pihak yang telah

memberi dukungan dan bantuan dalam menyelesaikan skripsi ini.

12. Teman-teman sejurusan angkatan 2008 seperjuangan yang telah

bahu-membahu dalam menyusun skripsi ini.

13. Abang-abang senior angkatan 2007 yang telah berjasa memberi informasi dan

motivasi kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi

Semoga Allah SWT memberikan balasan yang baik atas semua bantuan

dan bimbingan yang telah diberikan. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi

ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.

Medan, Mei 2013

Penulis,

(5)

APLIKASI TEOREMA MATRIKS-POHON UNTUK MENCARI JUMLAH POHON RENTANG PADA GRAF RODA (Wn)

Riadi Setiawan (NIM 408211035)

ABSTRAK

Salah satu permasalahan dalam topik graf adalah menentukan jumlah pohon rentang dari suatu graf. Pohon rentang adalah subgraf dari graf G yang mengandung semua simpul dari G dan merupakan suatu pohon. Untuk menentukan pohon rentang dari suatu graf terhubung, biasanya dilakukan dengan cara memotong/memutus sisi-sisi sehingga graf tersebut tidak lagi mengandung suatu sikel.

Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan bentuk umum jumlah pohon rentang pada graf roda (Wn) dengan menggunakan teorema matriks-pohon. Dalam penelitian ini, metode yang digunakan adalah metode penelitian pustaka (library research) dengan langkah-langkah penelitian sebagai berikut: (1) Menggambar graf roda (Wn) dengan n ≥ 3 dan nN; (2) Menentukan matriks berelasi (adjacency matrices) dan matriks derajat (degree matrices) dari graf roda (Wn); (3) Mencari nilai selisih dari matriks derajat dan matriks berelasi (matriks Laplacian) dari graf roda (Wn); (4) Mencari nilai kofaktor dari matriks Laplacian dari graf roda (Wn); (5) Melihat pola jumlah pohon rentang dari graf roda (Wn); (6) merumuskan pola ke dalam teorema; (7) membuktikan teorema. Berdasarkan hasil pembahasan dapat diperoleh bahwa bentuk umum jumlah pohon rentang graf roda (Wn) dengan n ≥ 3 dan n  N adalah

(6)

vi DAFTAR ISI Halaman Lembar Pengesahan Riwayat Hidup Abstrak Kata Pengantar Daftar Isi Daftar Gambar Daftar Tabel Daftar Lampiran

BAB I. PENDAHULUAN 1.1.Latar Belakang 1.2.Rumusan Masalah 1.3.Batasan Masalah 1.4.Tujuan Penelitian 1.5.Manfaar Penelitian

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Graf

2.1.1. Definisi Graf

2.1.2. Berelasi (Adjacent) dan Bersisian (Incident) 2.1.3. Graf Roda

2.1.4. Derajat Simpul 2.2. Graf Terhubung 2.3. Pohon

2.3.1. Definisi Pohon 2.3.2. Pohon Rentang 2.4. Matriks

2.4.1. Definisi Matriks 2.4.2. Operasi Matriks 2.4.3. Determinan Matriks 2.5. Matriks Graf

2.5.1. Matriks Berelasi dan Matriks Bersisian 2.5.2. Matriks Derajat

2.6. Teorema Matriks-Pohon

BAB III. METODE PENELITIAN 3.1. Tempat dan Waktu Penelitian 3.2. Jenis Penelitian

3.3. Prosedur

BAB IV. PEMBAHASAN

4.1. Pohon Rentang dari Graf Roda W3 4.1.1. Pohon Rentang T1 dari W3

(7)

4.1.2. Pohon Rentang T2 dari W3 4.1.3. Pohon Rentang T3 dari W3 4.1.4. Pohon Rentang T4 dari W3 4.1.5. Pohon Rentang T5 dari W3 4.1.6. Pohon Rentang T6 dari W3 4.1.7. Pohon Rentang T7 dari W3 4.1.8. Pohon Rentang T8 dari W3 4.1.9. Pohon Rentang T9 dari W3 4.1.10. Pohon Rentang T10 dari W3 4.1.11. Pohon Rentang T11 dari W3 4.1.12. Pohon Rentang T12 dari W3 4.1.13. Pohon Rentang T13 dari W3 4.1.14. Pohon Rentang T14 dari W3 4.1.15. Pohon Rentang T15 dari W3 4.1.16. Pohon Rentang T16 dari W3 4.2. Pohon Rentang dari Graf Roda W4 4.3. Pohon Rentang dari Graf Roda W5 4.4. Pohon Rentang dari Graf Roda W6

BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN

Daftar Pustaka

27 27 28 28 29 29 30 31 31 32 32 33 33 34 34 35 36 37

43

(8)

x

DAFTAR TABEL

Halaman

(9)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1. Contoh graf sederhana G

Gambar 2.2. Sembarang graf G, G1 dan G2

Gambar 2.3. Graf G dengan jalur e = (u, v) menghubungkan

simpul u dan v

Gambar 2.4. Graf dengan jalur ganda dan lop

Gambar 2.5. Graf lingkaran (Cn), n = 3, 4, 5 dan 6

Gambar 2.6. Graf roda (Wn), dengan n = 3, 4, 5 dan 6

Gambar 2.7. Graf tak-sederhana

Gambar 2.8. Graf sederhana

Gambar 2.9. Pohon

Gambar 2.10. Graf G dan tiga buah pohon rentangnya, T1, T2

dan T3

Gambar 2.11. Graf sederhana

Gambar 4.1. Graf roda W3

Gambar 4.2. Graf rentang T1

(10)

ix

34

35

36

(11)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

Lampiran 1. Perhitungan C11 dari T1

Lampiran 17. Perhitungan C11 dari W3

Lampiran 21. Pohon rentang dari graf roda W3

Lampiran 22. Beberapa pohon rentang dari graf roda W4

(12)

1 BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matematika sebagai salah satu disiplin ilmu sering disebut sebagai ibu

sekaligus pelayan ilmu pengetahuan. Hal itu karena matematika merupakan salah

satu ilmu pengetahuan dasar yang merupakan sumber dari ilmu pengetahuan

terapan. Sedangkan dikatakan sebagai pelayan karena matematika juga sering

dipakai untuk membantu mempermudah penyelesaian permasalahan yang ada di

dalam ilmu-ilmu lainnya.

Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang masih menarik

untuk dibahas karena teori-teorinya masih aplikatif sampai saat ini dan dapat

diterapkan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Dengan

mengkaji dan menganalisis model atau rumusan, teori graf dapat diperlihatkan

peranan dan kegunaannya dalam memecahkan berbagai permasalahan.

Permasalahan yang dirumuskan dengan teori graf dibuat sederhana, yaitu diambil

aspek-aspek yang diperlukan dan dibuang aspek-aspek lainnya.

Salah satu topik dari teori graf adalah tentang pohon. Konsep pohon

merupakan konsep yang paling penting karena konsep ini mampu mendukung

penerapan graf dalam berbagai ilmu. Kirchoff (1824 – 1887) mengembangkan

teori pohon untuk mengembangkan teori pohon untuk diterapkan dalam jaringan

listrik. Selanjutnya, Arthur Cayley (1821 – 1895) mengembangkan graf jenis ini

sewaktu mencacah isomer hidrokarbon jenuh CnH2n+2. Sekarang pohon digunakan

luas dalam linguistik dan ilmu komputer (Munir, 2007 : 359).

Pohon adalah graf terhubung yang asiklik (tidak memuat sikel). Sebuah

pohon selalu terdiri dari n simpul dan n – 1 jalur. Pohon yang merupakan subgraf

dari suatu graf terhubung G, yang memuat seluruh simpul dari G disebut pohon

rentang (spanning tree).

Menentukan banyaknya pohon rentang dari suatu graf merupakan

masalah tersendiri dalam teori graf. Selama ini dikenal dua algortima, algoritma

(13)

2 atau jumlah dari pohon rentang dari suatu graf.

Dalam mencari jumlah pohon rentang suatu graf, ada dua metode yang

digunakan, yaitu Metode Edge Exchange dan Metode Matriks. Kedua metode ini

bisa digunakan dalam mencari jumlah pohon rentang (spanning tree) yang terjadi

pada graf terhubung baik berarah maupun tak berarah. Kelebihan dari Metode

Edge Exchange adalah dapat dengan mudah dan praktis dalam menentukan pohon

rentang yang terjadi, sedang kelemahannya tidak dapat mengetahui jumlah pohon

rentang secara langsung dan tidak menghasilkan bentuk-bentuk mayornya.

Sedangkan untuk Metode Matriks kelebihannya adalah dapat menentukan secara

langsung jumlah pohon rentang dan dapat diketahui bentuk-bentuk mayornya.

Sedang kelemahannya adalah membutuhkan waktu yang lebih lama dan

memerlukan ketelitian khusus (Muayyad, 2010:2).

Dalam menentukan pohon rentang dari suatu graf terhubung, biasanya

dilakukan dengan cara menghapus/menghilangkan jalur-jalur sehingga graf

tersebut tidak lagi mengandung sikel. Maka untuk membentuk pohon rentang dari

suatu graf G adalah dengan cara menghapus salah satu atau lebih jalur sehingga

graf G tidak lagi memuat sikel.

Menurut penulis, penghitungan dengan cara tersebut untuk menentukan

jumlah pohon rentang dari suatu graf memerlukan waktu yang lama, misalnya

untuk menentukan banyaknya pohon rentang dari graf roda (Wn) dengan n > 10,

sehingga perlu digunakan cara atau rumusan baku untuk menentukan banyaknya

pohon rentang dari suatu graf.

Ada beberapa masalah dalam teori graf yang bisa lebih mudah

diselesaikan apabila graf yang dihadapi direpresentasikan dalam bentuk matriks.

Bentuk graf yang dinyatakan dalam suatu matriks kemudian diselesaikan dengan

metode-metode yang berlaku pada matriks. Bentuk graf yang dinyatakan dalam

suatu matriks kemudian diselesaikan dengan metode-metode yang berlaku pada

(14)

3

Teorema matriks-pohon ini memiliki kelemahan yaitu tidak dapat

digunakan pada graf berbobot sehingga penelitian yang dilakukan bukan

penelitian lapangan atau studi kasus tetapi penelitian literatur. Namun, dalam

beberapa hal, hasil teorema ini dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari.

Contohnya seperti kasus pasar malam, dimana untuk mencari panjang kabel minimum dari suatu permainan ”bianglala” dapat digunakan pola pohon rentang dari graf roda.

Dari penelitian mengenai pohon rentang yang sudah dilakukan adalah

menentukan banyaknya pohon rentang pada graf komplit (Kn) dan graf bipartit

komplit (Km,n).

Maka berdasarkan uraian tersebut penulis bermaksud mengajukan

penelitian untuk skripsi ini dengan judul, “Aplikasi Teorema Matriks-Pohon

untuk Mencari Jumlah Pohon Rentang pada Graf Roda (Wn)”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut, maka rumusan masalah dalam

penulisan skripsi ini adalah bagaimana bentuk umum jumlah pohon rentang dari

graf roda (Wn) dengan aplikasi teorema matriks-pohon?

1.3 Batasan Masalah

Penulis merasa perlu menetapkan batasan masalah dalam penelitian ini,

antara lain:

1. Karena banyaknya jenis-jenis graf terhubung, maka penulis hanya meneliti

graf roda (Wn) saja dengan menggunakan teorema matriks-pohon.

2. Graf roda (Wn) adalah suatu graf terhubung, dimana n  bilangan bulat dan

dimulai dengan n > 3sehingga penulis hanya akan meneliti graf roda dengan n

= 3, 4, 5 dan 6 kemudian mencari bentuk baku dari rumus jumlah pohon

(15)

4 dengan aplikasi teorema matriks-pohon.

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini adalah:

1. Bagi peneliti, untuk memperdalam dan mengembangkan wawasan disiplin

ilmu yang telah dipelajari untuk mengkaji permasalahan tentang aplikasi

teorema matriks-pohon untuk menentukan jumlah pohon rentang pada graf

roda (Wn).

2. Bagi pemerhati matematika, sebagai tambahan pengetahuan bidang

matematika, khususnya teori graf mengenai aplikasi teorema matriks-pohon

untuk menentukan jumlah pohon rentang pada graf roda (Wn).

3. Bagi Universitas Negeri Medan, untuk bahan kepustakaan yang dijadikan

sarana pengembangan wawasan keilmuan khususnya di jurusan matematika

(16)

44

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 2003. Aljabar Linier Elementer, Ed. Kelima. Jakarta: Erlangga.

Dhand, Vivek. The Matrix-Tree Theorem.

(Online: http:www.math.msu.edu/~dhand/ diakses November 2012)

Johnsonbaugh, Richard. 2002. Matematika Diskrit Jilid 2. Jakarta: PT. Prenhallindo

Liu, C. L. 1995. Dasar-Dasar Matematika Diskrit. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka Utama.

Munir, Rinaldi. 2007. Matematika Diskrit, Ed. Ketiga. Bandung: Informatika

Nanang Kartiadi, Muayyad. 2010. Aplikasi Spanning Tree Untuk Menentukan Hambatan Total Pada Rangkaian Listrik. Skripsi. FST. UIN Maulana Malik Ibrahim. Malang.

Rasyad, Rasdihan. 2003. Aljabar Linier Untuk Umum. Jakarta:PT. Grasindo

Siang, Jong Jek. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer. Yogyakarta: Penertbit Andi.

Skiena. 1990. Implementing Discrete Mathematics Combinatorics and Graph Theory with Mathematics.

(Online: http:www.mathworld.wolfram.com/Matrix-TreeTheorem.html diakses November 2012)

Thomassen, Carsten.Supplementary Notes for Graph Theory I, First Edition. Denmark: DTU Mathematics.

Wallis, W. D. 2000. A Beginner’s Guide to Graph Theory, 2nd Ed. Boston: Birkhäuser

West, Douglas B. 2002. Introduction to Graph Theory, 2nd Ed. New Delhi: Prentice of Hall

(17)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Medan, pada tanggal 1Maret 1990. Ayah bernama

Mulianto dan Ibu bernama Sumarni, dan merupakan anak kedua dari tiga

bersaudara. Pada tahun 1996, penulis masuk SD Negeri 1 Bunga Jeumpa Aceh

Utara. Lalu pada kelas 4 SD, penulis pindah ke Medan dan masuk SD Swasta

Darussalam, Martubung. Setahun kemudian, tepatnya kelas 5 SD, penulis pindah

ke Kota Kisaran dan masuk ke SD Negeri 017973 dan lulus pada tahun 2002 di

SD tersebut.

Pada tahun 2002, penulis melanjutkan sekolah di SMP Negeri 1 Kisaran,

dan lulus pada tahun 2005. Tahun 2005, penulis kembali pindah ke Medan dan

melanjutkan sekolah di SMA Swasta Dharmawangsa, dan lulus pada tahun 2008.

Pada tahun 2008, penulis melanjutkan pendidikan di Universitas Negeri Medan,

tepatnya di Program Studi Matematika Jurusan Matematika, Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama perkuliahan, penulis pernah aktif di organisasi kemahasiswaan

seperti Himpunan Mahasiswa Islam (HMI) FMIPA UNIMED periode 2008-2010

dan Himpunan Mahasiswa Jurusan (HMJ) Matematika periode 2008-2009 sebagai

anggota dan periode 2009-2010 sebagai ketua. Penulis akhirnya dapat