FUNGSI & GRAFIKNYA. Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.

1

2.1 Fungsi

Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.

Contoh: 1. a. b.

Definisi:

Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi

FUNGSI & GRAFIKNYA

Daerah hasil Daerah asal

y = f(x) x

Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x dan y memenuhi:

Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7);

(2,13);(-2,13);(10,205)

Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.

f

2 2 5

y  x 

y  x

²

 9

A B

Notasi: f : A →B

{( , ) / 2 2 5}

f  x y x 

x 0 1 -1 2 -2 … 10

y 5 7 7 13 13 205

x y

y = f(x)

D_f W_f

x y

Soal:

Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya.

a. y = 2x + 1 b. y = x² - 1 Catatan:

1. Himpunan A, B є  2. Fungsi: y = f(x) ,

x peubah bebas

y peubah tak bebas, bergantung pada x

3. Daerah asal fungsi: D_f = A = {x | fungsi f terdefinisi}

4. Daerah hasil fungsi: W_f = {y є B | y = f(x), x є D_f} 5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є D_f , y = f(x)) }

Ada beberapa penyajian fungsi yaitu

a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata.

b. Secara numerik : dengan tabel c. Secara visual : dengan grafik

3

Contoh:

1. Secara verbal

Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w).

Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut.

Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons.

2. Secara numerik

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.

Berat w (ons) Biaya B(w) (rupiah)

0 < w ≤ 1 1.000

1< w ≤ 2 1.250

2 < w ≤ 3 1.500

3 < w ≤ 4 1.750

4 < w ≤ 5 2.000

3. Secara visual

Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.

0 1 2 3 4 5

1.000 1.500 2.000

w B

Ons R

u p i a h

4. Secara aljabar

Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut.

1.000, jika 0 1 1.250, jika 1 2 ( ) 1.500, jika 2 3 1.750, jika 3 4 2.000, jika 4 5

w w

B w w

w w

  

  

   

  

  



2.2 Jenis-jenis Fungsi 1. Fungsi linear

Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta a = kemiringan garis

b = perpotongan garis dengan sumbu-y Daerah asal dan daerah hasil: D_f = , W_f = 

Grafik: ^y

x b

y = ax + b

2. Polinomial

Bentuk umum:

y = P(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + … + a₂ x² + a₁ x + a₀ dimana: a_n, a_n-1, …, a₁, a₀ = konstanta,

5

Grafik:

Polinom derajat 2: y = P(x) = ax² + bx + c, D = b²- 4ac

x y

c

a < 0, D > 0

a < 0, D = 0 a < 0, D < 0

y = P(x)

y

c y = P(x)

y

c y = P(x)

x x

x y

c

a > 0, D > 0 a > 0, D = 0 a > 0, D < 0

y = P(x)

y c

y = P(x)

y c

y = P(x)

x x

Soal :

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.

a. y = x² + 2x - 1 b. y = -2x² + 2x - 4

3. Fungsi pangkat

Bentuk umum: y = f(x) = xⁿ , n є  Daerah asal: D_f = 

Grafik:

y y = x y

y = x²

0 x 0 x

y y = x³

0 x

4. Fungsi akar

Bentuk Umum:

Daerah asal dan daerah hasil:

D_f = [0,∞), W_f = [0, ∞), jika n genap D_f = , W_f = , jika n ganjil

Grafik:

( )

ⁿ

, 2,3, 4,...

y  f x  x n 

y

0 x

y

0 x

y  2 x 3

y  x

Soal :

Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut a. b. y  x 1 y  x² 2x2

y 1

 x

1 , 0

y x

 x 

y

0 x

5. Fungsi kebalikan

Bentuk umum:

Daerah asal dan daerah hasil: D_f =  - {0}, W_f =  - {0}

Grafik:

7

6. Fungsi rasional

Bentuk umum: dimana: P, Q adalah polinom Daerah asal: D_f =  - { x | Q(x) = 0}

Contoh:

Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut a. b.

( ) ( ) y P x

 Q x

1 1 y x

x

 

 ²

2 1 y x

x

 



7. Fungsi aljabar

Definisi:

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:

penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.

Contoh:

a. b.

Catatan:

Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar

.

( ) 1

1 f x x

x

 



3 2

( ) 2 ( 2) 1

1

f x x x x

x

    



8. Fungsi trigonometri 8.1 Fungsi sinus

Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: D_f = , W_f = [-1,1]

Grafik:

-π 0

-1 1

x y

y = sin x

8.2 Fungsi cosinus

Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian Daerah asal dan daerah hasil: D_f = , W_f = [-1,1]

Grafik:

0 -1

1 y

y = cos x

x

-2π π 2π

-2π

-π π

2π

8.3 Fungsi tangen

Bentuk umum:

Daerah asal : D_f =  - {π/2 + nπ | n є }

Daerah hasil: W = 

( ) tan sin , dalam radian cos

y f x x x x

   x

9

Grafik:

- 0

-1 1

x y

y = tan x

8.4 Fungsi trigonometri lainnya

Bentuk umum:

( ) sec 1 , dalam radian cos

( ) cosec 1 , dalam radian sin

( 1 a.

b.

c. ) cot , dalam radian ta

n

y f x x x

x

y f x x x

x

y f x x x

x

  

  

  

8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri

a. -1≤ sin x ≤ 1 b. -1 ≤ cos x ≤ 1

c. sin x = sin (x + 2π) d. cos x = cos (x + 2 π) e. tan x = tan (x + π)

-π π 2π

-2π

x y

0 1

1

y = a^x , a > 1

x y

0 1

1

y = a^x , 0 < a < 1

10. Fungsi logaritma

Bentuk umum : y = f(x) = log_a x, a > 0

Daerah asal dan daerah hasil: D_f = (0, ) , W_f = 

Grafik: _y

0 1

1

y = log_a x

x

9. Fungsi eksponensial

Bentuk umum: y = f(x) = a^x, a > 0

Daerah asal dan daerah hasil: D_f =  , W_f = (0, ) Grafik:





11

Contoh:

Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.

11. Fungsi transenden

Definisi:

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar.

Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.

4

2 10

5 2 10 10

2

( ) 1 ( ) tan 2 ( ) 10 ( ) 6

6 ( ) log ( )

2 log

1. 2.

3. 4.

5. 6.

( ) 2

7. 8. ( )

2

x

f x x f x x

f x f x x

x

f x x f x x x

x

f x t t f x x x

x x



  

  



  



    



12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function)

Definisi:

Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku pada bagian tertentu dari daerah asal.

Contoh:

0 ( ) | |

0

1. x x

f x x

x x

 

   

y

0 1

1

y = |x|

x -1

0 1

( ) 2 1 2

0 2.

2

x x

f x x x

x

  

    

 



y

0 1

y = f(x) x 2

3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.

f(x) = x

=

0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4

x x

x x

  

  

  

  

 0 1 2 3

1 2 3

x y

4 y = f(x)

Catatan:

1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak

2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar

13. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi: [Fungsi genap]

Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap.

x y

f(x)

-x x

y = f(x)

13

Definisi: [Fungsi ganjil]

Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.

Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.

x y

f(x)

-x x

y = f(x)

-f(x)

Soal:

Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan kedua-duanya.

a. f(x) = 1 - x⁴ b. f(x) = x + sin x c. f(x) = x² + cos x d. f(x) = 2x - x²

14. Fungsi naik dan fungsi turun

Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika f(x₁) < f(x₂) untuk setiap x₁ < x₂ di I.

2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika f(x₁) > f(x₂) untuk setiap x₁ < x₂ di I.

x₁ y

f(x₁)

x y = f(x)

x₂ f(x₂)

Fungsi f naik

x₁ y

f(x₂)

x y = f(x)

x₂ f(x₁)

Fungsi f turun

Soal:

Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi turun pada selang I.

a. f(x) = x² I = [0, ) b. f(x) = sin x I = [ , 2]

15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama

Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:

1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan 2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian

dan pembagian 3. Komposisi fungsi

Transformasi fungsi

a. Pergeseran (translasi)

Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik:

1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas

 

y = f(x)

c y

c c c

y = f(x-c) y = f(x+c)

y = f(x) - c y = f(x) + c

15

b. Peregangan (dilatasi)

Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:

1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c.

2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c.

3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c.

4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar dengan faktor c.

2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah 3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan

4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri

0 π 2π

-1 1

y

y = cos x 2

-2

y = 2 cos x

y = ½ cos x

x ₀

π 2π

-1 1

y

y = cos x 2

-2

x

y = cos ½ x y = cos 2x

c. Pencerminan

Untuk memperoleh grafik:

1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x 2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y

y

x y = f(x)

y = -f(x)

x y = f(x) y = f(-x)

y

x -x

x f(x) f(x)

-f(x)

Contoh:

Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan sifat transformasi fungsi.

1. f(x)= |x-1| 2. f(x) = x

²

+2x+1

3. f(x)= sin 2x 4. f(x) = 1 - cos x

17

OPERASI FUNGSI ALJABAR

Definisi: [Aljabar fungsi]

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D_f dan D_g. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) D_f+g = D_f D_g. 2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) D_f-g = D_f D_g. 3. (fg)(x) = f(x) g(x) D_fg = D_f D_g.

4. (f/g)(x) = f(x)/g(x) D_f/g = {D_f D_g.} – {x | g(x)= 0}

Contoh:

Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika ( ) 2 ( )

( ) 1 1.

2. ( ) 1

f x x g x x

f x x g x x

 

   

Komposisi fungsi

Definisi: [Komposisi fungsi]

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal D_f dan D_g. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut:

(f o g)(x) = f(g(x)) di mana D_{f o g} = {x є D_g | g(x) є D_f }

Soal :

Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika 1. 2

2.

( ) ( )

( ) 1 ( ) 1

f x x g x x

f x g x x

x

 

  

D_f

g W_g f W_f

D_g

x

g(a)

f(g(x)) a

g(x)

f ° g

Polinomial (Suku Banyak)

Dengan syarat :

n ∈ bilangan cacah dan 𝑎 _𝑛 , 𝑎 _𝑛−1 , ...,

disebut koefisien-koefisien suku banyak, 𝑎 ₀ disebut suku tetap dan 𝑎 _𝑛 ≠0.

• NILAI SUKU BANYAK

Menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dua cara, yaitu:

1. Cara Substitusi

2. Cara Horner

Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Linear

Teorema Sisa :

TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR

1.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear

berbentuk (x – k), maka sisanya adalah s = f(k).

2.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (ax + b), maka sisanya adalah s = ^f   ^{ b} _a

Bukt

i : f(x) = (x – k).H(x) + s

Jika x = k, maka f(k) = (k – k).H(k) + s f(k) = 0.H(k)

+ s f(k) = 0 + s

 Sisa s = f(k)

(terbukti)

Contoh soal :

1. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x

⁴

+4x

³

–x

²

+5x– 7) oleh (x – 2)

Jawa

b : S = f(2) = 3.2

⁴

+ 4.2

³

– 2

²

+ 5.2 – 7

= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7

= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7

= 48 + 32 – 1 = 79

Jadi sisa suku banyak di atas adalah 79

CARA

SUBSTITUSI

Teorema Faktor

1.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0.

2.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (ax + b) jika dan hanya jika = 0 ^f   ^ _a ^b

Contoh

Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor- faktor dari suku banyak (2x

⁴

+ 7x

³

– 4x

²

– 27x – 18) !

Bukti

: f(x) = (2x

⁴

+ 7x

³

– 4x

²

– 27x – 18)

• (x – 2) faktor dari (2x

⁴

+ 7x

³

– 4x

²

– 27x – 18)

maka f(2) = (2.2

⁴

+ 7.2

³

– 4.2

²

– 27.2 – 18)

Bukti

: f(x) = (2x

⁴

+ 7x

³

– 4x

²

– 27x – 18)

• (x – 2) faktor dari (2x

⁴

+ 7x

³

– 4x

²

– 27x – 18) maka f(2) = (2.2

⁴

+ 7.2

³

– 4.2

²

– 27.2 – 18)

= (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0

Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x)

• (x + 3) faktor dari (2x

⁴

+ 7x

³

– 4x

²

– 27x – 18)

maka f(-3) = (2.(-3)

⁴

+ 7.(-3)

³

– 4.(-3)

²

– 27.(-3) – 18)

= (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0

Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah

faktor dari f(x)

Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak

Menentukan Faktor Linear dari Suku Banyak

Jika f(x) = a ₀ x ⁿ + a ₁ x ^n-1 + … + a _n-

1 x + a _n dan (x – a) merupakan

faktor dari f(x), maka nilai a yang mungkin adalah faktor-faktor

bulat dari a _n

Contoh soal :

Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x

³

– 5x Jawa

²

– 14x + 8)

b :

Nilai a yang mungkin adalah

±8, ±4, ±2, ±1

Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0

f(x) = 2x

³

– 5x

²

–

14x + 8

Untuk a = -2  f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x)

Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut :

2 –

14 –

5

8 x =

– 2 2

– 4 +

– 9

1 8 4

– 8

0  f(-2)

Sehing

ga : f(x) = (x – k).H(x) + s 2x

³

– 5x

²

– 14x

+ 8 =

2x

³

– 5x

²

– 14x + 8 =

Jadi faktor dari 2x

³

– 5x

²

– 14x + 8 adalah (x + 2).(2x

²

– 9x +

4) + 0 (x + 2).(2x –

1)(x – 4)

Pembagian Suku Banyak

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – k)

1. Cara bersusun Contoh

soal :

Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x

⁴

+ 4x

³

– x

²

+ 5x – 7 dibagi (x – 2) !

Jawab :

19x

²

– 38x -

3x

⁴

+ 4x

³

– x

²

+ 5x – 7 (x – 2)

3x

³

3x

⁴

– 6x

³

- 10x

³

– x

²

+ 5x – 7 + 10x

²

10x

³

– 20x

²

- 19x

²

+ 5x – 7

+ 19x

19x

²

– 38x- 43x – 7

+ 43

43x – 86 -

79  sisa

 Hasil bagi

pemb agi

Jadi hasil baginya = 3x ³ + 10x ²

+ 19x + 43 dan sisanya adalah

79

+

2. Cara

Bagan/Horner/Sintetis : Contoh soal :

Jawa

b : 3 4 - 1 5 - 7

x = 2

3

6 10

20 19

38

43 79

86

 Sisa Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x

⁴

+ 4x

³

– x

²

+ 5x – 7 dibagi (x – 2) !

Koefisien Hasil Bagi

Jadi hasil baginya = 3x

³

+ 10x

²

+ 19x + 43

dan sisanya adalah 79

1. Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x

⁴

– 5x

²

+ 3x – 1

dibagi (2x

²

+ x – 1) !

* ^SOAL-SOAL

LATIHAN

SOAL-SOAL LATIHAN

31

. adalah....

sisanya

) 3 (2x

dibagi f(x)

banyak suku

5.Jika 3)sisanya

- (2x

dibagi jika

dan 10

sisanya 1)

(x dibagi f(x)

banyak Suku

2.

2

 



x

SOAL-SOAL LATIHAN

. adalah....

) 2 3

(x oleh P(x)

pembagian

sisa 1.

2)sisanya -

(x oleh dibagi

jika 23)dan

- (12x

sisanya )

1 (x

oleh dibagi

P(x) banyak

suku Suatu

3.

2

2







x

SOAL-SOAL LATIHAN

33

adalah....

2 2

oleh x P(x)

pembagian sisa

2) - (x dibagi 6

4 3x

P(x) banyak

Suku

4.

2 2 3













x

k

x

x

SOAL-SOAL LATIHAN

. adalah....

) 3 2

(x oleh h(x)

pembagian sisa

maka f(x).g(x)

h(x) Jika

15.

bersisa

3) - (x dibagi jika

dan 9

- bersisa 1)

(x dibagi jika

g(x) banyak suku

4.

bersisa 3)

- (x dibagi jika

dan

8 bersisa 1)

(x dibagi jika

f(x) banyak suku

Diketahui

5.

2

 







x