Dimensi Metrik Graf Pn O Cm dan Cm O Pn (hal. 244-250)

(1)

(2)

JURNAL ILMIAH

“SOULMATH”

(Jurnal Edukasi Matematika)

Terbit dua kali setahun pada bulan Januari dan Agustus. Berisi tulisan yang berasal dari

hasil penelitian, kajian, atau karya ilmiah di bidang Pendidikan Matematika

Pelindung

Dekan Fakultas Keguruan & Ilmu Pendidikan

Universitas Dr. Soetomo Surabaya

Peninjau

Dr. Sukesi, MM

Ketua Penyunting

Ahmad Hatip

Penyunting Pelaksana

Haerussaleh

Sumartono

Nuril Huda

Ninik Mardiana

Staf Pelaksana

Lilik Rusdiana, Warsono, Taufiq

Penerbit

Fakultas Keguruan & Ilmu Pendidikan

Universitas Dr. Soetomo Surabaya

Alamat Penerbit:

Gedung C. 102 Universitas Dr. Soetomo Surabaya

Jalan Semolowaru 84 Surabaya 60118

Telp (031) 5944748

ISSN 2334-9421

(3)

JURNAL ILMIAH

“SOULMATH”

(Jurnal Edukasi Matematika)

Volume 4 Nomor 5, Januari 2016

Halaman 217-263

Miftahul Ulum ( SMA Negeri 1 Pasir Belengkong Kalimantan Timur)

Pengembangan Perangkat Pembelajaran Matematika Model

Learning Cycle

5E Pada

Materi Integral Di Kelas XII IPA

(hal. 217-231)

Viktor Sagala (FKIP, Universitas Dr. Soetomo Surabaya)

Profil Lapisan Pemahaman Konsep Turunan Fungsi dan

Folding Back

Mahasiswa Calon

Guru Matematika Berdasarkan Gender

(hal. 234-243)

Rahmawati Erma Standsyah (FKIP, Universitas Dr. Soetomo Surabaya)

Dimensi Metrik Graf Pn O Cm dan Cm O Pn

(hal. 244-250)

Lusiana Prastiwi, Kristina Yuventa (FKIP, Universitas Dr. Soetomo Surabaya)

Penerapan Metode Jalur Kritis Atau Critical Path Method (Cpm) Penentuan Waktu Optimal Dalam Proses Pembuatan Kerajinan Tenun Ikat Tradisional Kupang NTT

(hal 251-256)

Yuni Listiana (FKIP, Universitas Dr. Soetomo Surabaya)

Dimensi Matrik dan Dimensi Partisi pada Graf Hasil Operasi Korona 𝐾_𝑛⨀𝐾_𝑛−1,𝑛 ≥3

(hal. 257-263)

(4)

PETUNJUK BAGI PENULIS

1.

Naskah berupa hasil penelitian, kajian atau karya ilmiah yang belum dipublikasikan

oleh media cetak lain. Naskah diserahkan dalam bentuk

hardcopy

dan

soft copy

.

Naskah diketik dengan ukuran kertas A4 dengan program Office Word, spasi 1,5,

font Times New Roman 11, dengan jumlah minimal 5 halaman dan maksimal 12

halaman.

2.

Sistematika naskah hasil penelitian:

a.

Judul, nama penulis, lembaga tempat penulis

b.

Abstrak ditulis dengan bahasa Inggris sebanyak 75-200 kata dan 3-5 kata kunci

c.

Pendahuluan; latar belakang, masalah, dan tinjauan teori

d.

Metode dan/atau bahan penelitian

e.

Hasil dan bahasan

f.

Simpulan dan saran

g.

Daftar pustaka

3.

Kutipan acuan sumber ditulis dengan nama penulis dan tahun, misalnya:

a.

Yuwono (2001) telah mengembangkan konsep penelitian sastra lisan...

b.

Beberapa penulis (supratno, 2001; Sudikan, 2005) mengatakan bahwa penelitian

sastra...

4.

Pustaka Acuan sedapat mungkin ditulis sesuai tata tulis yang baku untuk disiplin ilmu

yang mendasari penulisan, misalnya:

a.

Buku dengan satu penulis:

Culler, Jonathan. 2004. Jacques Derrida. Dalam John Sturrock (Ed), Strukturalisme Post-strukturalisme dari Levi-Strauss sampai Derrida (hlm.249-293). Surabaya: JP Press

b.

Buku dengan dua penulis atau lebih

Wellek, Rene & Austin Warren. 1993. Teori Kesusastraan. Terjemahan oleh Melani Budianta. Jakarta: Gramedia

c.

Artikel dalam jurnal profesional

Kieran, Carolyn. 1992. The Learning and Teaching of School Algebra. National Council of Teachers of Mathematic. Maxwell Macmillan Canada Inc

d.

Artikel dalam harian

(5)

---Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---

257

Abstract: Let is a connected graph.For an ordered set of vertices, , and a vertex , the representation of with respect to is the ordered k-tuple . The set W is called a resolving set of G if every vertex of G has a distinct representation. A resolving set containing a minimum number of vertices is called a basis for . The metric dimension of , denoted by , is the number of vertices in a basis of . Then, for a subset S of V(G), the distance between u and S is . Let be an ordered l-partition of V(G), for dan , the representation of v with respect to is the l-vector . The set is called a resolving partition for G if the vector are distinct. The minimum l for which there is a resolving l-partition of V(G) is the l-partition dimension of G, denoted by . In this paper, we determine the metric dimension and the partition dimension of corona product graphs , and we get some result that the metric dimension and partition dimension of respectively is and , for .

Keyword: Metric dimention, partition dimenstion,corona product graphs

Pendahuluan

Graf dapat didenisikan sebagai pasangan himpunan , dengan adalah himpunan tidak kosong dari elemen yang disebut vertex, dan

adalah himpunan (boleh kosong) dari elemen yang disebut sisi, selanjutnya untuk mempermudah pemakaian maka dan

disingkat dan . Dalampaper ini, semua graf yang digunakan adalah berhingga, tidak berarah, dan sederhana.

Dimensi metrik pertama kali dikenalkan oleh Harary dan Melter pada tahun 1966, kajian tentang dimensi metrik menjadi sebuah complate problem artinya tidak mudah untuk mendapatkan dimensi metrik dari suatu

graf bentuk tertentu. Oleh karenanya untuk mendapatkan dimensi metrik bentuk graf tertentu ataupun kelas tertentu dilakukan analisis dari subkelas terlebih dahulu agar lebih mudah mencari dimensi metrik dari graf secara umum [1]. Sedangkan dimensi partisi dari graf pertama kali dipelajari oleh Chartrand et. al. yang kemudian dikuti oleh Chappel et. al [2].

Menemukan hubungan (dalam bentuk dimensi matrik dan dimensi partisi) antara graf asal dan graf yang dihasilkan dari beberapa operasi graf merupakan topik yang menarik untuk dipertimbangkan. Pada tahun 2010, Yero et. al. dalam [6] telah meneliti beberapa hubungan dari dimensi metrik pada graf hasil korona dengan graf asalnya. Selanjutnya, tahun

DIMENSI MATRIK DAN DIMENSI PARTISI PADA GRAF HASIL OPERASI KORONA

Yuni Listiana

(6)

258

2011 Iswadi, Baskoro dan Simanjuntak [5] juga melakukan hal serupa untuk kasus yang lebih umum. Iswadi menunjukkan bahwa untuk sembarang pasangan dan , , maka

, jika

mengandung vertex dominan. Untuk kasus partisi dimensi, Baskoro dan Darmaji [2] tahun 2011 juga telah melakukan penelitian pada dimensi partisi dari graf-graf hasil operasi korona. Mereka menunjukkan bahwauntuk semua pasangan graf terhubung dan ,

jika diameter

dari H paling besar 2.

Dikarenakan dari beberapa hasil penelitian sebelumnya belum ada yang membahas tentang dimensi metrik dan dimensi partisi pada graf hasil operasi korona antar graf lengkap, maka dalam paper ini saya akan menganalisis dimensi metrik dan dimensi partisi pada graf hasil operasi korona

.

Graf Hasil Operasi Korona

Misalkan adalah graf terhubung dengan order dan (tidak harus terhubung)adalah graf dengan . Sebuah graf korona , , didefinisikan sebagai graf yang dibentuk dengan mengambil salinan (copies) graf dari graf dan menghubungkan vertex ke dari dengan vertex-vertex pada . Seluruh pembahasan pada bab ini, mengacu pada graf sebagai Salinanke dari yang terhubung pada vertex ke dari pada untuk setiap .

Graf hasil korona merupakan graf hasil korona antara graf lengkap , dan dinotasikan

dengan graf lengkap

, -1 dan dinotasikan

, , dimana

bilangan bulat positif. Graf hasil korona

adalah dengan orderdan size sebagai berikut:

Sebagai contoh untuk , graf hasil korona dapat dilihat pada Gambar 1.

Gambar Graf

(7)

259

kondisi tersebut muncul fakta sebagai berikut untuk graf .

Fakta: Misalkan adalah graf hasil

korona antara graf terhubung dengan ,

dimana . Maka dua vertex

berjarak sama terhadap .

Iswadi [5] juga mengungkap sifat jarak dari dua vertex dan dalam atau subgraf dari . Sebuah vertex dikatakan dominan vertex jika untuk vertex-vertex lainnya dalam atau .

Dimensi Metrik Graf Operasi Korona

Untuk menentukan dimensi metrik graf korona dapat dilakukan pencarian batas atas dan bawah dari dimensi metrik pada graf korona .Batas bawah dari dimensi metrik pada dapat ditemukan melalui lemma sebagai berikut:

Lemma: Untuk setiap graf , ,

sedikitnya simpulpada setiap simpul

salinan ke dari pasti merupakan

himpunan himpunanpembeda W.

Dari Lemma di ats diperoleh batas bawah sedikitnya simpul pada setiap simpul salinan merupakan himpunan pembeda. Oleh karena graf , memiliki salinan yang terhubung masing-masing pada setiap vertex dari maka jelas bahwa batas bawah

. Untuk menemukanbatas atas dimensi

metrik graf dapat dilakukan melalui

konstruksi, misalkan diambil himpunan pembeda

, maka diperoleh representasi terhadap W sebagai berikut:

Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki representasi yang berbeda terhadap , dengan demikian batas atas

.

Teorema: Jika graf adalah ,

dengan maka dimensi metrik dari

adalah .

Bukti. Dengan menggunakan Lemma 3.1, yaitu paling sedikit simpuldari salinan graf

(8)

260

Sedangkan pada konstruksi sebelumnya diperoleh representasi yang berbeda pada setiap himpunan vertex terhadap himpunanpembeda, dengan demikian batas atas

. Oleh karenabatas atas dan batas

bawah sama, maka

.

Dalam paper ini, sengaja tidak dibahas mengenai dimensi metrik dari graf untuk . Hal ini dikarenakan untuk

, isomorfis dengan

sehingga . Sedangkan untuk , merupakan graf trivial.

Jika dibandingkan dengan hasil penelitian sebelumnya oleh Iswadi dkk. [5], dengan teorema berikut:

Teorema: Misalkan adalah graf terhubung,

adalah graf dengan orderminimal 2. Maka,

Bukti: Karena graf lengkap dan adalah graf yang memuat dominan vertex,maka dari Teorema 3.2 akan didapat corollarry (akibat) sebagai berikut:

Akibat: Jika graf adalah dan adalah

, maka dimensi metrikdari graf adalah:

Sehingga Akibat 3.1 sesuai dengan Teorema di atas yang telah dibuktikan sebelumnya.

Dari Teorema dan Akibat didapat Akibat berikutnya yang dapat digunakansebagai bentuk umum dari dimensi metrik pada graf hasil korona graf komplit , dengan

.

Akibat: Jika graf adalah , , dan

graf adalah , . Makadimensi metrik

dari adalah:

Dimensi Partisi Graf Operasi Korona

Dalam bab ini, akan dibahas mengenai dimensi partisi dari graf hasil operasikorona pada dua graf lengkap dengan ,

, bilangan bulatpositif.

Dimensi Partisi pada graf didapat melalui kardinalitasminimum dari himpunan partisi pembeda dari graf .

Lemma berikut dapat digunakan dalam menentukan batas bawah dari dimensi partisi pada graf operasi korona .

Lemma: Misalkan adalah graf terhubung non trivial. Misalkan adalah himpunan partisi pembeda untuk dan . Jika

untuk semua

, maka dan berada pada himpunan yang berbedadi dalam .

(9)

261

adalah himpunan vertex dari

. adalah himpunan

partisipembeda dari . Misalkan adalah n salinan dari , .Karena setiap dua vertex memiliki jarak yang sama, maka dengan Lemma 4.1, dan harus berada pada kelas partisi yang berbeda dalamhimpunan partisi pembeda dari

, sehingga . Selanjutnya,karena setiap , , dalam graf juga memiliki jarak yang sama, maka berdasarkan Lemma 4.1,

juga harus berada pada kelaspartisi

yang berbeda di dalam himpunan partisi pembeda dari , sehingga . Karena , adalah graf yang setiap vertexnya, ,dihubungkan dengan graf

, , maka setiap vertex

singelton pada dan pada , , dapat berada dalam kelas partisi yang samadalam himpunan partisi pembeda , sedemikian hingga memuat beberapa vertex singelton , . Sehingga dapat dikatakan bahwa,

yang merupakan batas bawah dari

dimensi partisigraf . Sehingga untuk menentukan partisi dimensi dari graf

, dapat digunakan teorema sebagai berikut:

Teorema: Untuk , maka dimensi partisi dari graf diberikan sebagai berikut:

Bukti: Dengan menggunakan argumentasi yang dijabarkan sebagai akibat Lemma 4.1,

didapat bahwa sedikitnya terdapat kelas partisi dalam himpunan partisi pembeda

. Sehingga jelas bahwa batas bawah .

Kemudian, untuk menemukan batas atas dimensi partisi graf dapat dilakukan melalui konstruksi, misalkan diambil

himpunan partisi

pembeda , dengan rumusan sebagai berikut:

Maka diperoleh representasi terhadap adalah:

(10)

262

Sehingga dapat dilihat bahwa setiap vertex dalam memiliki representasi yang berbeda terhadap , dengan demikian kardinalitas dari adalah

. Jadi batas atas dimensi partisi dari

adalah

Oleh karena batas atasdan batas bawah sama, maka kardinalitas minimum dari adalah

.Sehingga dimensi partisi dari

adalah .

Sama halnya dengan dimensi metrik, dalam paper ini juga tidak menjelaskan lebih banyak mengenai dimensi partisi pada graf

untuk . Hal ini juga dikarenakan isomorfis dengan , sehingga dimensi partisi dari adalah

.Sedangkan untuk

, merupakan graf trivial.

Sebelumnya, disebutkan bahwa Darmaji dkk (2009) telah melakukan penelitian terkait dimensi partisi dari graf hasil operasi korona

. Mereka menunjukkan bahwa untuk semua pasangan graf terhubung G an H,

jika diameter

dari paling besar 2. Sedangkan Chartrand dkk [3] mengungkapkan jika dan hanya jika . Sehingga dapat disimpulkan bahwa:

Dari Teorema-teorema di atas maka didapat Akibat yang dapat digunakansebagai bentuk umum dari dimensi partisi pada graf hasil korona graf komplit , dengan .

Akibat: Jika graf adalah , , dan

graf adalah , . Makadimensi partisi

dari adalah:

Simpulan

Dari hasil analisis dimensi metrik dan dimensi partisi pada graf hasil korona

(11)

263

1. Dimensi metrik dari graf hasil korona

, dengan adalah

.

2. Dimensi metrik dari graf hasil korona

, dengan adalah

.

3. Dimensi partisi dari graf hasil korona

, dengan adalah

.

4. Dimensi partisi dari graf hasil korona

, dengan adalah

.

Daftar Pustaka

A.B. Permana, and Darmaji, Dimensi Metrik Graf Pohon Bentuk Tertentu, JURNAL TEKNIK POMITS Vol.1, No.1, 2012, 1-4.

Darmaji, and E.T. Baskoro, Further results on partition dimension of coronaproducts, AIP Conf. Proc. 1450, 2012, 77-81.

G. Chartrand, E. Salehi, dan P. Zhang, The Partition dimension of a graph,Aequantiones Math 59, 2000, 45-54.

G. Chartrand, L. Eroh, M.A. Johnson, and O.R. Oellermann, Resolvabilityin graphs and the metric dimension of a graph, Discrete Appl. Math. 105,2000, pp. 99-113.

H.Iswadi, E.T. Baskoro, and R. Simanjuntak, On the metric dimension ofcorona product of graphs, Far East Journal of Mathematical Sciences 52 (2),2011, 155-170.