Uji Kompetensi Semester Akhir

(1)

Uji Kompetensi Semester Akhir I. Pilihan Ganda

1.

Jawaban: a

(1), (2), dan (3)

Pembahasan: Statistika adalah cabang dari matematika terapan yang mempunyai cara-cara, maksudnya mengkaji/membahas, mengumpulkan, dan menyusun data, mengolah dan menganalisis data, serta menyajikan data dalam bentuk kurva atau diagram, menarik kesimpulan, menafsirkan parameter, dan menguji hipotesa yang didasarkan pada hasil pengolahan data. Contoh: statistic jumlah lulusan siswa SMA dari tahun ke tahun, statistik jumlah kendaraan yang melewati suatu jalan, statistik perdagangan antara negara-negara di Asia, dan sebagainya. Statistik diartikan sebagai suatu ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan wakil dari data itu.

2. Jawaban: a. 142, 147, 152, 157 Pembahasan: Data Frekuensi Bb Ba Tb Ta Ta+Tb xi 140 – 144 2 ₁₄₀ ₁₄₄ _139.5 _144.5 ₂₈₄ ₁₄₂ 145– 149 7 145 149 144.5 149.5 294 147 150 – 154 8 ₁₅₀ ₁₅₄ _149.5 _154.5 ₃₀₄ ₁₅₂ 155 – 159 12 ₁₅₅ ₁₅₉ _154.5 _159.5 ₃₁₄ ₁₅₇ 3. Jawaban: e. 106,67 Pembahasan: Data f1 Bb Ba Tb Ta ta+tb xi fi x xi 51 – 61 8 ₅₁ ₆₁ _50.5 _61.5 ₁₁₂ ₅₆ ₄₄₈ _72.67 _-16.67 _277.77778 _2222.22222 61 – 71 10 ₆₁ ₇₁ _60.5 _71.5 ₁₃₂ ₆₆ ₆₆₀ _-6.67 _44.44 _444.4444 71 – 81 16 ₇₁ ₈₁ _70.5 _81.5 ₁₅₂ ₇₆ ₁₂₁₆ _3.333333333 _11.111111 _177.78778 81 - 91 11 ₈₁ ₉₁ _80.5 _91.5 ₁₇₂ ₈₆ ₉₄₆ _13.33333333 _177.77778 _1955.56556 Σ 45 Σ 3270 Σ 4800 2

8 1

3

5 .2

10, 327

3

70

72 4800

10 , 6667

45

480 6, 67

45

0

45 =

=

S

X

SD

4. Jawaban: a. 50,166 Tentukan Desil ke-9

Kelas Frekuensi Frek. Kumulatif

16 – 23 10 10 24 – 31 17 27 32 – 39 7 34 40 – 47 10 44 48 – 55 3 47 56 - 63 3 50 Σ 50 ----

Kelas Desil ke-9

X

x

i

−

X

2 i

X

(2)

interval = i = 8 Letak Desil ke-9 =

9

10 n

=

9

50

10 ×

= 45

Desil ke-9 = Data ke-45 terletak di kelas 48 - 55

∴Kelas Desil ke-9 = 48 - 55

TBB Kelas Desil ke-9 = 47.5 dan TBA Kelas Desil ke-9 = 55.5 f D9 = 3

Frek. Kumulatif sebelum Kelas Desil ke-9 = 44 → s = 45 - 44 = 1 Frek. Kumulatif sampai Kelas Desil ke-9 = 47 → s’ = 47 - 45 = 2

Desil ke-9 = TBB Kelas Desil ke-9 + i

s

f

D













= 47.5 + 8

1

3 











= 47.5 + 8 (0.333...) = 47.5 + 2.66... = 50.166...

Desil ke-9 = TBA Kelas Desil ke-9 - i

s

f

_D

'













= 55.5 - 8

2

3 











= 47.5 - 8 ( 0.666...) = 55.5 -5.33... = 50.166... 5. Jawaban: b. 42,3 Pembahasan: Tentukan Kuartil ke-3

Kelas Frekuensi Frek. Kumulatif

16 – 23 10 10 24 – 31 17 27 32 – 39 7 34 40 – 47 10 44 48 – 55 3 47 56 – 63 3 50 Σ 50 ----

Kelas Kuartil ke-3 interval = i = 8

Letak Kuartil ke-3 =

3

4 n

=

3 50

4 ×

= 37.5

Kuartil ke-3 = Data ke-37.5 terletak di kelas 40 - 47

∴Kelas Kuartil ke-3 = 40 - 47

TBB Kelas Kuartil ke-3 = 39.5 dan TBA Kelas Kuartil ke-3 = 47.5 f Q3 = 10

(3)

Frek. Kumulatif sampai Kelas Kuartil ke-3 = 44 → s’ = 44 - 37.5 = 6.5

Kuartil ke-3 = TBB Kelas Kuartil ke-3 + i

s

f

_Q













= 39.5 + 8

35

10 .













= 39.5 + 8 (0.35) = 39.5 + 2.8 = 42.3

Kuartil ke-3 = TBA Kelas Kuartil ke-3 - i

s

f

Q

'













= 47.5 - 8

6 5

10 .













= 47.5 - 8 ( 0.65) = 47.5 - 5.2 = 42.3 6. Jawaban: e. Pembahasan: sin75°.sin15° =

2sinα.sinβ = cos(α - β) - cos(α + β) sin75°.sin15° = ½(2sin75°.sin15°) = ½{cos(75 - 15)° - cos(75 + 15)°} = ½(cos60° - cos90°) = ½( ½ - 0) = ¼ 7. Jawaban: b. cos 2p Pembahasan: 2cos(p + ¼π)cos(p - ¼π)

2cosα.cosβ = cos(α + β) + cos(α - β) 2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} + cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)} 2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos{(p + ¼π) + (p - ¼π)} + cos{(p + ¼π) – (p - ¼π)} = cos2p +cos½π = cos2p + 0

Jadi, bentuk sederhana dari 2cos(p + ¼π).cos(p - ¼π) = cos2p

8. Jawaban: b.

3

1

2 +

Pembahasan: 2cos45°.cos15°

2cosα.cosβ = cos(α + β) + cos(α - β) 2cos45°.cos15° = cos(45 + 15)° + cos(45 - 15)° = cos60° + cos 30° 2cos45°.cos15° = cos60° + cos 30°

4

1

(4)

= ½ + ½√3 = ½(1 + √3) Jadi, nilai 2cos45°.cos15° adalah ½(1 + √3) 9. Jawaban: c. √2

Pembahasan:

2sin½π.sin¼π = cos¼π - cos¾π = ½√2 – (-½√2) = ½√2 + ½√2 =√2

Jadi, nilai 2sin½π.sin¼π = √2

10. Jawaban: b.

4 30

10

3

21 −

−

Pembahasan: sin A =

2

3

, cos A =

5

3

, tan A =

2 5

5

cos B =

10

14 −

, sin B =

4 6

, tan =

2 6

5 −

sin (A – B) = sin A . cos B – cos A . sin B =

2

3

.

10

14 −

–

5

3

.

4 6

=

10

21 −

–

4 30

3

=

4 30

10

3

21 −

−

11. Jawaban: b. cos A . cos B + sin A . sin B Pembahasan:

cos ( A + B ) = cos A . cos B – sin A . sin B cos ( A – B ) = cos A . cos B + sin A . sin B sin ( A + B ) = sin A . cos B + cos A . sin B sin ( A – B ) = sin A . cos B – cos A . sin B 12. Jawaban: c. 6

Pembahasan:

Karena frekuensi data 6 paling tinggi, maka modus data tersebut adalah 6. 13. Jawaban: e.

1

4

Pembahasan: Ruang sampelnya terdiri dari 52 titik sampel yang masing-masing mempunyai peluang sama. Ada 13 kemungkinan kartu gambar ‘daun’, sehingga P(kartu ‘daun’)= ଵଷ_ହଶ = .

14. Jawaban: b.

1

2

Pembahasan:

Pada peristiwa dadu menunjukkan angka 3 atau lebih, A = {4,5,6} memuat 3 titik sampel sehingga P(A) =

3

1

6 =

2

4

1

(5)

15. Jawaban: a.

1

3

Pembahsan: S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6 A = {1,2,3} n(A) = 3 B = {1,3} n (B) = 2

(

A

∩

B

)

= { } n

(

A

∩

B

)

= 2 Sehingga,

( )

2

1

6

3 ₌

=

A

P

(

)

2

1

6

3 P A

∩

B

= =

( )

3

1

6

2 ₌

=

B

P

16. Jawaban: b. 15120 Pembahasan:

12!

10!

15120

5!·3!·4!

−

3!·4!·2!

=

17. Jawaban: b.

3

28

Pembahasan:

Peluang terambil 2 bola merah dari kotak I :

(

)

(

)

3 2 5 2

3!

2! 3

2 !

6

3 5!

10

10 2! 5

2 !

C

−

=

−

Peluang terambil 2 bola biru dari kotak II:

(

)

(

)

5 2 8 2

5!

2! 5

2 !

20

5 8!

56

14 2! 8

2 !

C

−

=

−

Jadi peluangnya =

3

5

3

10 ×

14 =

28

18. Jawaban: a. 12x + 5y - 41 = 0 dan 12x + 5y + 37 = 0 Pembahasan: x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0 (x - 1)² - 1 + (y + 2)² - 4 - 4 = 0 (x - 1)² + (y + 2)² - 9 = 0 maka jari-jari lingkaran (r) = 3

Persamaan garis 5x -12y + 15 = 0 memiliki gradien =

5

12

, maka gradient garis yang tegak

lurus pada garis dengan gradien

5

12

adalah m =

-12

5

Persamaan garis singgung pada lingkaran (x - a)² + (y - b)² = r² dengan gradient m adalah : (y - b) = m (x - a) ± r (

m

2

+

1

) (y + 2) = -

12

5

(x - 1) ± 3( 2

12

1

5 



−

+









) kalikan 5

⇒

(6)

5(y + 2) = -12 (x - 1) ± 15 ( 2

144

1

5 



−

+









) 5y + 10 = -12x + 12 ± 15(

169

25

) 12x + 5y - 2 ± 15(

13

5

) = 0 12x + 5y - 2 ± 39 = 0 Maka persamaannya adalah :

12x + 5y + 37 = 0 atau 12x + 5y - 41 = 0 19. Jawaban: d. x² + y² - 2x - 8y + 8 = 0

Pembahasan:

Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4) (x - 1)² + (y - 4)² = r² x² - 2x + 1 + y² - 8x + 16 = r² x² + y² - 2x - 8x + 17 - r² = 0 ... (1) Menyinggung garis 3x - 4y - 2 = 0 4y = 3x - 2 y =

3

4

x -

1

2

... (2) Masukkan (1) ke (2) x² + (

3

4

x -

1

2

)² - 2x - 8 (

3

4

x -

1

2

) + 17 - r² = 0 x² +

9

16

x² -

3

4

x +

1

4

- 2x - 6x + 4 + 17 - r² = 0 2

25

35

85

0

16 x

−

4 x

+

4 − =

r

25x² - 140x + 340 - 16r² = 0.

Syarat menyinggung : D = b² - 4ac = 0 (-140)² - 4 . 25 . (340 - 16r²) = 0 19600 - 34000 + 1600r² = 0 1600r² = 14400

r² = 9

Substitusikan ke persamaan lingkaran (1). x² + y² - 2x - 8y + 17 - 9 = 0 x² + y² - 2x - 8y + 8 = 0 20. Jawaban: d. y = -2x + 5

5

Pembahasan: Persamaan lingkaran : x² + y² = 25 Persamaan garis : 2y - x + 3 = 0 2y = x - 3 y =

1

2

x -

3

2

Gradiennya =

1

2

Maka garis yang tegak lurus memiliki gradien = -2 Persamaan garis singgungnya : y = mx + c y = -2x + c Substitusikan ke persamaan lingkaran. x² + y² = 25

x² + (-2x + c)² = 25 x² + 4x² - 4xc + c² - 25 = 0

(7)

5x² - 4xc + c² - 25 = 0 Syarat garis singgung : D = 0 (- 4c)² - 4 (5) (c² - 25) = 0 16c² - 20c² + 500 = 0 - 4c² + 500 = 0 4c² = 500 c² = 125 c = ± 5

5

Jadi persamaan garis singgung 1 : y = -2x + 5

5

garis singgung 2 : y = -2x - 5

5

II. Uraian

1. Kelas yang mengandung modus adalah 51 – 55. Tepi bawah (Tb) kelas yang mengandung modus adalah 50,5. b1 = 12 – 7 = 5 b2 = 12 – 10 = 2 p = ba – bb = 55,5 – 50,5 = 5 Mo = 50,5 + 5

5

2 







+





= 50,5 + 5(0,714) = 50,5 + 3,57 = 54,07 2. Jawab: a.

70!

70.69!

70 0,583

69!5!

=

69!5.4.3.2.1

=

120 =

b.

23!

23.22!

23 11,5

22!2!

=

22!2!

=

2!

=

c.

17!

8,5

16!2!

=

d.

11!

55 9!2!

=

3. Jawab: x2_{+ y}2_{– 4x – 12y – 30 = 0} x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 Maka diperoleh: 2A = –4 2B = –12 C = –30 A = –2 B = –6

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

=

2

6

30 = 4 36 30

= 70

r

=

A

+

B

−

C

−

+ −

− −

+

Jadi, pusat lingkaran (-2,-6) dan jari-jari lingkaran =

70

.

(8)

Gradien AB

4 0

4 0 3

− = −

−

3

Maka gradien garis yang tegak lurus AB =

4

3

Persamaan garis yang singgung lingkaran pada (0, 8) : y = mx + c

4 =

4

3

. 0 + c

c = 4

Maka persamaannya adalah : y =

4

3

x + 4 3y = 4x + 12 4x - 3y + 32 = 0 5. Jawab: x2 + y2 – 8x – 2y + 8 = 0 (x – 4)2 + (y – 1)2 = 32 A(2, 3)

→

(2 – 4)2_{+ (3 – 1)}2_{= 8 < 9} B(4, –2)

→

(4 – 4)2 + (–2 – 1)2 = 9 C(5, 8)

→

(5 – 4)2 + (8 – 1)2 = 50 > 9