BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Model Mikroskopik Jalur Tunggal

Model mikroskopik merupakan suatu model yang mendeskripsikan tingkah laku pengendara mobil secara individu pada berbagai macam situasi dalam berkendara di jalan raya. Pada model mikroskopik jalur tunggal diasumsikan terdapat M mobil dan x_i(t) dinotasikan sebagai jarak mobil di posisi ke-i dari titik awal pada waktu t, dengan i=1,...,M . Diasumsikan masing-masing mobil memiliki panjang P dengan massa m, dan dipenuhi urutan x₁>x₂>...>x_M. Kecepatan dari mobil pada posisi ke-i adalah v_i(t)=x′_i(t), dengan x_i′ (t) dinotasikan sebagai turunan x_i(t) terhadap waktu t.

Misalkan setiap pengendara memiliki waktu reaksi τ dan diasumsikan bahwa waktu reaksi tersebut identik untuk setiap pengendara. Misalkan F_bi(t) adalah gaya pengereman dari mobil yang didefinisikan sebagai

= ) (t

F_bi (massa)(akselerasi) = mx_i′′ t( +τ),

dengan m adalah massa mobil dan x_i′′ t( +τ) adalah perlambatan dari mobil ke-i pada waktu tunda t+τ . Besarnya gaya pengereman tersebut bergantung pada kecepatan relatif dan jarak relatif terhadap mobil di posisi ke-i−1. Diasumsikan bahwa gaya pengereman secara langsung proporsional terhadap kecepatan relatif, dan kebalikannya proporsional terhadap jarak relatif. Jadi, gaya pengereman dari mobil diberikan oleh persamaan berikut:

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 t x t x t x t x A t x m t F i i i i i bi − − − ′ − ′ = + ′′ = τ ,

dengan x_i(t)−x_i−1(t) adalah jarak relatif antara mobil ke-i dengan mobil ke-i−1, dan A adalah konstanta positif. Jika λ =A /m, maka akselerasi menjadi

) ( ) ( ln ) ( ) ( x t x ₁ t dt d t v t x_i′′ +τ = ′_i +τ =λ _i − _i− .

Dengan mengintegralkan persamaan tersebut akan diperoleh kecepatan mobil ke-i pada waktu tunda t+τ yaitu

i i i i i t x t x t x t v( +τ)= ′( +τ)=λln ( )− ₋₁( )+α , (4.1.1) yang berlaku untuk i=2,3,...,M. Persamaan (4.1.1) tidak berlaku untuk i=1, karena mobil di posisi paling depan tidak dipengaruhi oleh mobil lainnya.

4.1.1 Kepadatan dan Kecepatan Mobil pada Kondisi Ekuilibrium

Kondisi ekuilibrium pada fenomena lalu lintas telah didefinisikan sebelumnya pada subbab 2.6, yaitu suatu kondisi pada jalan raya di mana setiap mobil berjarak sama terhadap mobil di posisi depan, dan setiap mobil juga bergerak dengan kecepatan yang sama. Salah satu contoh dari kondisi ekuilibrium tersebut yaitu pada kondisi di mana mobil melalui suatu terowongan dan kecepatan setiap mobil akan berkurang seiring peningkatan kepadatan mobil yang melalui terowongan tersebut. Untuk memperoleh definisi yang sesuai mengenai kepadatan mobil pada kondisi tersebut, dipertimbangkan terdapat suatu interval dengan panjang 2ε dan ε >0, yang relatif besar terhadap P tetapi relatif kecil terhadap skala makroskopik dari jalan raya. Kepadatan mobil di suatu titik x _o

pada waktu t dinotasikan dengan ρ(x_o,t), yaitu ε ρ ε ε 2 ) , ( _o n((xo ,xo ),t) t x = − + , _(4.1.2) dengan _{((x ,x ),t)} o o

n −_ε +_ε adalah banyaknya mobil di interval (xo−ε,xo+ε) pada

waktu t. Pada kondisi ekuilibrium, diasumsikan terdapat sebuah mobil di interval

sepanjang x_i−x_i−1 , sehingga persamaan (4.1.2) dapat dinyatakan sebagai

1 1 − − = i i x x ρ .

Kepadatan maksimum, yaitu ρ_maxakan diperoleh jika jarak relatif antara mobil ke-i dengan mobil ke-i−1 sepanjang P, sehingga ρ_max =1/P.

Diasumsikan bahwa kecepatan hanya bergantung pada kepadatan, yaitu )) , ( ( ) , (xt v xt

v = ρ . Terdapat kepadatan kritis yang dapat diamati yaitu ρ_crit, sedemikian sehingga v adalah kecepatan maksimum untuk kepadatan di interval _ρ

crit

ρ ρ ≤ ≤

0 , yang dinotasikan oleh v_max, dan besarnya sama dengan batas maksimum dari kecepatan mobil. Arus lalu lintas akan mulai melambat pada

kepadatan kritis dan seluruh mobil akan berhenti bersama-sama ketika mencapai kepadatan maksimum, sehingga v(ρ_max)=0.

Sasaran selanjutnya adalah menentukan v(ρ) untuk ρ >ρ_crit. Kepadatan maksimum akan dicapai ketika jarak antarmobil adalah sepanjang ruang yang tersisa pada saat bemper depan mobil berhimpit dengan bemper belakang mobil di posisi depan, dan setiap mobil tidak bergerak lagi. Banyaknya mobil pada interval

) ,

(z_o−ε z_o+ε tidak lebih besar dari 2ε/P. Oleh karena itu, dengan menggunakan persamaan (4.1.2) diperoleh

P P 1 2 1 2 max ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ε ε ρ . _(4.1.3)

Jika terjadi suatu kondisi dengan setiap mobil bergerak dengan kecepatan v,

jarak antarmobil adalah d, dan jika setiap mobil memiliki panjang P, maka

P d+

= 1

ρ , d,P>0. _(4.1.4)

Pada kondisi ekuilibrium setiap mobil akan bergerak dengan kecepatan yang sama dan oleh karena itu tidak akan bergantung pada i. Dari persamaan (4.1.1) akan diperoleh α λ α λ + + = + + = ln(d P) ln(d P) v _i ,

dengan d+ adalah jarak relatif antara dua mobil di depan dengan posisi P

berurutan, dan α_i juga harus bebas dari i dan diganti oleh α. Dengan menggunakan persamaan (4.1.4) akan diperoleh

α ρ λ _⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ln 1 v , _(4.1.5)

dengan λ dan α adalah parameter. Nilai parameter α ditentukan dari 0

) (ρ_max =

v . Dengan mengatur agar nilai ρ =ρ_max pada persamaan (4.1.5), akan diperoleh 0 1 ln ) ( max max ⎟⎟+ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = α ρ λ ρ v

(

)

1 max ln − − = ⇔α λ ρ ⇔α =λln(ρ_max).

Sebagai akibatnya persamaan (4.1.5) menjadi ( ) ln 1 λln(ρ_max) ρ λ ρ _⎟⎟+ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = v , ln ) ln (ln max max ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − = ρ ρ λ ρ ρ λ (4.1.6)

untuk ρ >ρ_crit. Lebih lanjut, v(ρ) akan kontinu pada ρ =ρ_crit. Dengan mengatur

crit

ρ

ρ = akan diperoleh kecepatan maksimum yang dinotasikan v_max, yaitu ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = crit crit v v ρ ρ λ ρ max max ( ) ln , sehingga diperoleh ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = crit v ρ ρ λ max max ln .

Substitusikan λ pada persamaan (4.1.6) akan diperoleh 1 max max maxln ln ) ( − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = crit v v ρ ρ ρ ρ ρ ,

yang pada akhirnya akan diperoleh

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ ≤ = − crit crit v v v ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ untuk , ln ln 0 untuk , ) ( 1 max max max crit max (4.1.7)

Perlu diperhatikan bahwa kecepatan bernilai konstan sampai dicapai kepadatan kritis ρ_crit, kemudian kecepatan akan menurun secara logaritmik sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Plot antara kecepatan dengan kepadatan.

4.1.2 Arus Lalu Lintas Maksimum pada Kondisi Ekuilibrium

Dari subbab 2.2, arus lalu lintas dinotasikan oleh j( tx, ). Dengan asumsi bahwa arus lalu lintas juga hanya bergantung pada kepadatan, j( tx, ) dapat dinyatakan oleh j(x,t)= j(ρ(x,t)). Arus lalu lintas adalah banyaknya mobil yang melalui titik yang diberikan per unit waktu, yaitu

) ( waktu jarak jarak mobil banyaknya ) (ρ ρ v ρ j ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = .

Hubungan antara kecepatan dengan kepadatan yang diperoleh dari kondisi ekuilibrium pada persamaan (4.1.7) didefinisikan sebagai

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ≤ ≤ = − . untuk , ln ln 0 untuk , ) ( 1 max max max crit max crit crit v v j ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ _(4.1.8)

Dengan mendiferensialkan persamaan (4.1.8) dapat ditentukan nilai maksimum arus lalu lintas. Untuk ρ >ρ_critakan diperoleh

1 max max maxln ln ) ( − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = crit v j ρ ρ ρ ρ ρ ρ ln (ln _max ln ) 1 max max _ρ ρ ρ ρ ρ _⎥ − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − crit v

), ln( ln ln ) ln( 1 max max 1 max max max ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = crit crit v v

sehingga turunan j(ρ) terhadap ρ adalah

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ′ − − − ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ) ln( ) ln ln ln( ) ln 1 ( 1 max max 1 max max 1 max max max crit crit crit v v v j

[

]

[

]

. 1 ln ln 1 ) ln( ) ln( ln 1 ) ln( ln ln ) ln( max 1 max max max 1 max max 1 max max 1 max max max ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = − − − − ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ crit crit crit crit v v v v

Selanjutnya dengan membuat persamaan tersebut bernilai sama dengan nol, akan diperoleh 0 1 ln ln max 1 max max ⎥= ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ρ ρ ρ ρ crit v .

Oleh karena v_max>0, persamaan tersebut dapat bernilai nol jika dan hanya jika 1 ) ln( ) ln(ρ_max − ρ = , sehingga exp _⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ρ ρmax ln exp

( )

1 e max ρ ρ= ⇔ .

Oleh karena itu solusi dari ρ hanya dapat diperoleh jika terjadi

e opt ρmax/ ρ

ρ = = .

Jika ρ_opt >ρ_crit, maka arus lalu lintas maksimum dapat terjadi pada ρ_opt. Jika ρ_opt ≤ρ_crit, maka arus lalu lintas maksimum akan terjadi pada ρ_crit. Hal ini dikarenakan untuk setiap 0≤ρ≤ρ_crit, j′(ρ)=v_max >0. Jadi j meningkat pada interval tersebut dan mencapai maksimum pada titik terakhir di sebelah kanan.

Kepadatan kritis yang dinotasikan ρ_crit, diperoleh dari hasil observasi dan bergantung pada kebiasaan pengendara lokal dalam berkemudi, oleh karena itu

kepadatan kritis di dua lokasi yang berbeda akan berlainan. Tetapi disarankan untuk setiap kasus yang berbeda agar dipenuhi ρ_crit <ρ_max/e.

Gambar 4.2 Plot antara arus dengan kepadatan.

4.2 Model Mikroskopik Multijalur

Axel Klar dan Raimund Wegener (1998) mengemukakan bahwa pada model mikroskopik biasanya perhatian ditujukan pada respons aktual suatu mobil terhadap mobil di posisi depannya. Diasumsikan bahwa pengendara akan mengubah kecepatan mobil yang dikendarai sebagai respons terhadap tingkah laku mobil di posisi depan. Lebih lanjut, mobil akan berpindah jalur secara spontan dan sesekali melewati ambang batas. Ambang batas biasanya bergantung pada kecepatan mobil itu sendiri. Selama tidak ada ambang batas yang dilewati, mobil bergerak pada kecepatan masing-masing dengan gerakan bebas.

Gambar 4.3 Skema posisi mobil pada jalan raya.

-C r C l -C + C r + C C l+ C

Pada model mikroskopik multijalur diasumsikan terdapat N jalur pada jalan raya. Mobil yang diamati dinotasikan dengan c. Kemudian mobil di posisi depan dan belakang berturut-turut dinotasikan oleh c₊ dan c₋. Pada jalur kanan dan kiri dinotasikan c_r+, c_r− dan c_l+, c_l−. Kecepatan sebelum dan sesudah terjadi interaksi berturut-turut dinotasikan oleh v dan v′ . Kecepatan mobil nilainya berkisar dari 0 sampai dengan w , dengan w adalah kecepatan maksimum mobil.

Didefinisikan H₀ adalah jarak minimum antarmobil. Ambang batas untuk perpindahan ke jalur kanan dinotasikan dengan H_R, ambang batas untuk perpindahan ke jalur kiri adalah H_L, ambang batas untuk pengereman adalah H_B, ambang batas untuk akselerasi adalah H_A, dan ambang batas untuk bebas berkendara dinotasikan dengan H_F, yang masing-masing didefinisikan sebagai

R R v H vT H ( )= ₀+ L L v H vT H ( )= ₀+ B B v H vT H ( )= ₀+ A A v H vT H ( )= ₀+δ + F F H wT H = ₀+δ + . F A B L R T T T T

T , , , _, berturut-turut menotasikan waktu reaksi dari masing-masing interaksi dan δ menotasikan suatu konstanta positif. Interaksi yang mungkin terjadi adalah sebagai berikut:

1. Perpindahan ke jalur kanan

Ruang yang diperlukan pada jalur kanan untuk melakukan perubahan posisi mobil dinotasikan oleh S

R S R v H vT H ( )= ₀+ , dengan S R T dinotasikan

sebagai waktu reaksi ketika mobil sudah berada di jalur kanan. Jika v> v₊

dan H_R(v) dilalui, maka mobil akan berpindah ke jalur kanan hanya jika terdapat ruang yang cukup pada jalur kanan, yaitu jika:

) (v H x x S R r+ − > dan _ ( r_) S R r H v x x− > .

Lebih lanjut, c dan c₋ akan berakselerasi setelah terjadi perpindahan jalur, dan kecepatan yang baru adalah

⎩ ⎨ ⎧ − > = ′ + selainnya , jika , ~ v H x x v v r F ⎩ ⎨ ⎧ − > = ′ − − + − − selainnya , jika , ~ v H x x v v F

dengan v ~~,v₋ disebarkan berdasarkan sebaran peluang dari kecepatan yang diinginkan pengendara dengan fungsi kepekatan peluang f_D. Dipilih

) ( ~₌ −1 _ξ

D F

v , dengan ξ adalah peubah acak yang menyebar seragam pada selang (0,1) dan F_D v =

∫

vf_D v dv

0 (ˆ) ˆ )

( .

2. Perpindahan ke jalur kiri

Ruang yang diperlukan pada jalur kiri untuk melakukan perubahan posisi mobil dinotasikan oleh H_LS(v)=H₀+vT_LS, dengan T dinotasikan _LS

sebagai waktu reaksi ketika mobil sudah berada di jalur kiri. Jika v₋ >v

dan H_L(v₋) dilalui, maka mobil akan berpindah ke jalur kiri hanya jika terdapat ruang yang cukup di jalur kiri, yaitu jika:

) (v H x x S L l+ − > dan _ ( l_) S L l H v x x− > .

Lebih lanjut c dan c akan berakselerasi setelah terjadi perpindahan jalur, ₋

dan kecepatan yang baru adalah

⎩ ⎨ ⎧ − > = ′ + selainnya , jika , ~ v H x x v v l F ⎩ ⎨ ⎧ − > = ′ − − + − − selainnya , jika , ~ v H x x v v F

dengan v ~~,v₋ disebarkan berdasarkan sebaran peluang dari kecepatan yang diinginkan pengendara dengan fungsi kepekatan peluang f . Dipilih _D

) ( ~₌ −1 _ξ

D F

v , dengan ξ adalah peubah acak yang menyebar seragam pada selang (0,1) dan F_D v =

∫

vf_D v dv

0 (ˆ) ˆ )

( .

3. Pengereman

Jika v> v₊ dan ambang batas pengereman H_B(v) dilewati, maka akan terjadi pengereman pada interval kecepatan

[

βv,v

]

di bawah kecepatan aktual v . Kecepatan yang baru didefinisikan sebagai

) (v v v

dengan ξ menyebar seragam pada interval [0, 1]. Pengereman dibatasi oleh suatu kondisi di mana akselerasi masih memungkinkan terjadi lagi, yaitu untuk setiap v , v′ dibutuhkan H_A(v′)>H_B(v), sehingga

B A H vT T v H₀+δ + ′ > ₀+ A B vT T v − < ′ ⇔ δ ) (v v v T T T v A A B − δ <β +ξ −β ⇔ . dipilih v = w, sehingga ) (w w w T T T w A A B − δ <β +ξ −β

[

β ξ(1 β)

]

δ _{< + −} − ⇔ w T T T w A A B ) 1 ( β ξ β δ _{< + −} − ⇔ A A B T w T T . Untuk ξ =0 diperoleh β δ _< − A A B T w T T ,

dan untuk ξ =1 diperoleh

1 < − A A B T w T T δ ,

sehingga untuk ξ∈

[ ]

0,1 berlaku

. 1 < < − δ β A A B T w T T 4. Akselerasi I (pengikut)

Jika v< v₊ dan ambang batas akselerasi H_A(v)dilewati, maka mobil akan berakselerasi pada interval kecepatan

[

v,αv

]

di atas kecepatan aktual v . Persamaan kecepatan yang baru didefinisikan sebagai

) ) , (min(wv v v v′= +ξ α − , α>1.

Akselerasi dibatasi oleh kondisi di mana pengereman masih memungkinkan untuk dilakukan, yaitu untuk setiap v ′,v dibutuhkan

) ( )

(v H v

A B H vT T v H₀+ ′ < ₀+δ + A B vT T v′ < + ⇔ δ

[

]

B A B T T v T v v w v+ − < + ⇔ ξ min( , α) δ . dipilih v = w, sehingga

[

]

B A B T T w T w w w w+ξ min( , α)− < δ +

[

]

B A B T T T w w w w w − _{< +} + ⇔1 ξ min( , α) δ Untuk 0ξ = diperoleh B A B T T T w + < δ 1 . Untuk 1ξ = diperoleh

[

]

B A B T T T w w w w w − _{< +} + min( , α) δ 1 , jika w<wα, maka

[

]

B A B T T T w w w w− _{< +} + δ 1 B A B T T T w + < ⇔1 δ ,

dan jika wα <w, maka

[

]

B A B T T T w w w w − _{< +} + α δ 1

(

)

B A B T T T w + < − + ⇔1 α 1 δ B A B T T T w + < ⇔α δ ,

sehingga untuk ξ∈

[ ]

0,1 berlaku

B A B T T T w + < <α δ 1 .

5. Akselerasi II (bebas berkendara)

Jika v< v+ dan ambang batas akselerasi HF(v) dilewati, maka mobil akan

berakselerasi dan bergerak bebas dengan kecepatan yang diinginkan. Kecepatan yang baru yaitu v′ (kecepatan yang diinginkan) disebarkan berdasarkan fungsi sebaran dengan fungsi kepekatan f , yaitu _D

) ( 1ξ − = ′ F_D v ,

dan F_Dsebagaimana sebelumnya.

Dari kelima interaksi diasumsikan terjadi urutan berikut:

B L R A

F T T T T

T ≥ > > > dan T_RS,T_LS ≥T_B. Dengan kata lain, pengereman memerlukan jarak aman yang paling minimum, sedangkan akselerasi pada jarak yang lebih jauh. Untuk mengubah posisi mobil, ruang yang diperlukan sekurang-kurangnya sedemikian sehingga masih memungkinkan bagi pengendara mobil untuk melakukan pengereman.

Untuk memperoleh persamaan kinetik multijalur, akan digunakan model mikroskopik yang sederhana, yaitu tanpa adanya syarat akselerasi tambahan pada interaksi perpindahan jalur. Setelah mencapai ambang batas pengereman, pengendara akan berusaha untuk berpindah ke jalur kanan, jika hal tersebut tidak memungkinkan maka mobil yang berada di posisi depan akan berusaha untuk berpindah ke jalur kiri, dan jika perpindahan jalur tidak memungkinkan juga untuk dilakukan, pengendara akan mengerem mobil yang dikendarai.

4.3 Model Kinetik

4.3.1 Pendekatan dari Sebaran Mobil di Posisi Depan

Klar & Wegener (1998) mengatakan bahwa kuantitas dasar pada pendekatan kinetik adalah fungsi sebaran untuk mobil tunggal dan sebaran mobil di posisi depan pada masing-masing jalur. Fungsi sebaran untuk mobil tunggal dinotasikan oleh )f_α( vx, yang mendeskripsikan banyaknya mobil di posisi x dengan kecepatan v pada jalur α. Sebaran mobil di posisi depan dinotasikan oleh

) , , , ( ) 2 ( xv h v+

f_α yang mendeskripsikan banyaknya pasangan mobil di posisi x dengan kecepatan v dan mobil di depannya pada posisi x+ dengan kecepatan h

+

mengenai kebergantungan aspek waktu. f_α( vx, ) dapat diperoleh dengan mengintegralkan f_α(2)terhadap h dan v₊, yaitu

∫∫

∞ + + =w f xv h v dhdv v x f 0 0 ) 2 ( ( , , , ) ) , ( _α α . (4.3.1)

Kepadatan mobil di posisi x pada jalur α dinotasikan oleh ρ_α(x), yaitu

∫

=wf xv dv x 0 ) , ( ) ( _α α ρ , sehingga ( ) ( , , , ) . 0 0 0 ) 2 (

∫∫∫

∞ + + =w w f x v h v dhdvdv x _α α ρ _(4.3.2)

Selanjutnya, rata-rata ruang yang tersedia untuk masing-masing mobil di jalur α adalah

α

ρ 1

, yang didefinisikan sebagai

) ( 1 ) , , , ( ) , , , ( 0 0 0 ) 2 ( 0 0 0 ) 2 ( x dv dv dh v h v x f dv dv dh v h v x f h w w w w α α α ρ =

∫∫∫

∫∫∫

∞ + + ∞ + + , (4.3.3) sehingga

∫∫∫

∞ + + = w w dv dv dh v h v x f h 0 0 0 ) 2 ( ( , , , ) 1 α . (4.3.4)

Persamaan kinetik untuk fungsi sebaran f_α menggunakan sebaran mobil di posisi depan yaitu f_α(2) untuk menjelaskan pengaruh dari interaksi yang terjadi. Untuk memperoleh persamaan tertutup dari f_α, harus diperoleh pendekatan dari sebaran mobil yang berada di posisi depan f_α(2) dengan cara yang sesuai yaitu

dengan menggunakan f_α dan fungsi korelasi. Hubungan antara f_α(2) dan f_α

dapat dijelaskan sebagai berikut:

) , ( ) ( ) , (x v x F xv f_α = ρ_{α α} (4.3.5) ) , ( ) , ; ( ) , , ; ( ) , , , ( ) 2 ( x v h v F v h v x Q h v x f xv f_{α +} = _α+ _{+ α α} (4.3.6) dengan ) , ( vx

F_α = sebaran peluang dari mobil di posisi x dengan kecepatan v ;

) , , ; (v h v x

depan dengan jarak h terhadap mobil di posisi x dengan kecepatan v ; ) , ; (h v x

Q_α = sebaran peluang dari mobil di posisi depan pada jarak h terhadap mobil di posisi x dengan kecepatan v .

Diasumsikan bahwa mobil di posisi depan disebarkan berdasarkan sebaran peluang F_α pada x+ , yaitu h

) , ( ) , , ; ( _{+ +} + _{= +} v h x F x v h v F_{α α} . Untuk Q_αdidefinisikan ,.)) ( , ; ( ) , ; (h v x q h v f x Q_α = _α .

Dalam hal ini q(h;v,f) adalah sebaran dari mobil di posisi depan yang berjarak h dari mobil dengan kecepatan v dan diasumsikan bahwa kecepatan mobil disebarkan berdasarkan fungsi sebaran f .

Selanjutnya dari persamaan sebelumnya diketahui bahwa

) ( ) , ( 0 h x dv v h x f w + = +

∫

α + + ρα , sehingga dengan menyubstitusi persamaan (4.3.5)

akan diperoleh ) ( ) , ( ) ( 0 h x dv v h x F h x w + = + +

∫

ρα α + + ρα ) ( ) , ( ) ( 0 h x dv v h x F h x w + = + +

_∫

_{α + + α} α ρ ρ ) ( ) ( ) , ( 0 x h h x dv v h x F w + + = +

∫

+ + α α α _ρρ , sehingga ( , ) 1 0 = +

∫

+ + w dv v h x F_α . _(4.3.7)

Selanjutnya dengan menyubstitusi persamaan (4.3.6) pada persamaan (4.3.2) akan diperoleh + ∞ + +

∫∫∫

= F v h v x Q h v x f x v dhdvdv x w w 0 0 0 ) , ( ) , ; ( ) , , ; ( ) ( _{α α α} α ρ ₊ ∞ + +

∫∫

⎜⎜_⎝⎛

∫

⎟⎟_⎠⎞ = F v h v x q h v f x f x v dv dhdv x w w 0 0 0 ) , ( .) , ( , ; ( ) , , ; ( ) ( _{α α α} α ρ

+ ∞ + +

∫∫

= F v h v x q h v f x x dhdv x w 0 0 ) ( .) , ( , ; ( ) , , ; ( ) ( _{α α α} α ρ ρ

∫

∫

∫ ∫

∞ + + + + ∞ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = 0 0 0 0 ) , , ; ( .) , ( , ; ( ) ( ) ( .) , ( , ; ( ) , , ; ( ) ( ) ( dh dv x v h v F x f v h q x x dv dh x f v h q x v h v F x x w w α α α α α α α α ρ ρ ρ ρ sehingga ( ; , ( ,.) ( , ) 1 0 0 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +

∫

∫

∞ + + dv dh v h x F x f v h q w α α ,

dengan menyubstitusi hasil yang diperoleh pada persamaan (4.3.7), maka diperoleh hasil berikut

1 .)) , ( , ; ( 0 =

∫

∞ dh x f v h q _α . _(4.3.8)

Lebih lanjut, dengan menyubstitusi persamaan (4.3.6) pada persamaan (4.3.4) akan diperoleh

∫ ∫ ∫

∞ + + + = w w dv dv dh v x f x f v h q x v h v F h 0 0 0 1 ) , ( .)) , ( , ; ( ) , , ; ( _{α α} α 1 ) , ( ) , , ; ( ,.)) ( , ; ( 0 0 0 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

∫ ∫

∫

+ ∞ + + w w dv dh dv v x f x v h v F x f v h q h _{α α α} 1 ) ( ) , , ; ( ,.)) ( , ; ( 0 0 =

∫ ∫

+ ∞ + + w dv dh x x v h v F x f v h q h _{α α} ρ_α 1 ) , , ; ( ,.)) ( , ; ( ) ( 0 0 =

∫ ∫

+ ∞ + + w dv dh x v h v F x f v h q h x _{α α} α ρ ) ( 1 ) , , ; ( ,.)) ( , ; ( 0 0 x dv dh x v h v F x f v h q h w α α α = _ρ

∫ ∫

+ ∞ + + , sehingga ) ( 1 ) , ( ,.)) ( , ; ( 0 0 x dv dh v h x F x f v h q h w α α α + = _ρ

∫∫

+ ∞ + . (4.3.9)

Ekspresi eksplisit untuk q(h;v, f) harus memenuhi persamaan (4.3.8) dan (4.3.9). Akhirnya hasil tersebut memberikan pendekatan dari f_α(2) melalui fungsi sebaran tunggal, yaitu

) , ( ) , ( ,.)) ( , ; ( ~ ) , , , ( ) 2 ( x v h v q h v f x F x h v f x v f_{α + α α} + _{+ α} , (4.3.10)

dengan fungsi korelasi q(h;v, f).

4.3.2 Model Ruang Stokastik Homogen

Pada model dasar stokastik, sebaran mobil di posisi depan yaitu )

, ; (h v f

q dan peluang perpindahan jalur akan ditentukan untuk digunakan pada model kinetik. Dalam hal ini jalan raya terdiri atas satu jalur yang dilalui banyak mobil. Jarak antarmobil diwakili oleh peubah-peubah peluang D_i,i=1,2,... yang diasumsikan saling bebas. Lokasi dari setiap mobil diwakili oleh peubah-peubah peluang ...X_i,i=1,2, dengan nilai X₁ diketahui dan X_n+1= X_n+D_n. Peubah-peubah peluang yang mewakili kecepatan tiap mobil dinotasikan oleh V_i,i=1,2,... yang disebarkan berdasarkan fungsi sebaran f , dengan

∫

= w dv f 0 ρ.

Peubah-peubah peluang D_i,i=1,2,... disebarkan berdasarkan sebaran mobil di posisi depan, yaitu q(h;V_i, f). Dalam hal ini V bebas terhadap _i D . Proses _i

stokastik (V,X) dapat dilihat sebagai proses pembaruan Markov. 4.3.3 Sebaran Mobil di Posisi Depan

Pada subbab ini didefinisikan q(h;v,f) yaitu peluang kepadatan pada h bagi mobil dengan kecepatan v yang disebarkan berdasarkan fungsi f dan terdapat mobil di depannya dengan gerakan maju sebesar h . Selanjutnya juga diperkenalkan notasi berikut

∫

= > < g wg v F v dv 0 ) ( ) ( ,

untuk suatu fungsi g=g(v). Misalkan F didefinisikan seperti sebelumnya yaitu

F

f =ρ . Dari subbab 4.3.1, q harus memenuhi 1 ) , ; ( 0 =

∫

∞ dh f v h q ,

dan

∫

∞ > < 0 ) , . ; (h f dh q h

∫ ∫

_{+ +} ∞ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =w hq h f dh F x h v dv 0 0 ) , ( ) , . ; ( _α

∫∫

+ ∞ + + =w hq h f F x h v dhdv 0 0 ) , ( ) , . ; ( _α , sehingga ( ;., ) _ρ1 0 = > <

∫

∞ dh f h q h . (4.3.11)

Berdasarkan model mikroskopik yang telah dikaji sebelumnya, dapat diketahui bahwa ambang batas pengereman H_B(v) adalah jarak minimum antarmobil. Diasumsikan bahwa mobil bergerak secara bebas, yang berarti bahwa mobil di posisi depan menyebar secara eksponensial. Dengan kata lain, kepadatan dari sebaran mobil di posisi depan untuk mobil dengan kecepatan v adalah

) ( ) , ; (h v f e ( ( )) _{[ ( ), )} h q h H v _{H v} B B ∞ − − =γ γ χ .

Parameter γ ditentukan oleh besar dari rata-rata ruang yang diperlukan antarmobil yaitu sebesar

ρ 1

.

Dengan meninjau kembali model mikroskopik, diketahui bahwa hampir seluruh mobil berosilasi antara ambang batas pengereman dan ambang batas akselerasi. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa sejumlah tertentu mobil dengan proporsi ((1−λ),λ <1) menyebar secara eksponensial, dan mobil dengan proporsi (λ) memiliki ciri bahwa gerakan maju mobil menyebar seragam antara ambang batas pengereman H_B dan ambang batas akselerasi H_A. Dengan menotasikan fungsi karakteristik sebagai χ, diperoleh

[ )( ) ) ( ) ( 1 ) ( ~ ) 1 ( ) , ; ( ~( ( )) _{[ ( ), ) ( ), ( )} h v H v H h e f v h q _{H v H v} B A v H v H h A B B B χ λ χ ρ λ ρ − + − = − − ∞ , _(4.3.12)

dengan ρ~ adalah pengurangan kepadatan. Dengan mengalikan persamaan (4.3.12) dengan h dan hasilnya diintegralkan terhadap h akan diperoleh

dh f v h q h ( ; , ) 0

∫

∞ dh h e h h H v _{H v} B B _{( )} ~ ) 1 ( ~( ( )) _{[ ( ), )} 0 ∞ − − ∞ − =

∫

λ ρ ρ χ _{[ )} h dh v H v H h _{H v H v} B A A B ( ) ) ( ) ( 1 ) ( ), ( 0 χ λ − +

_∫

∞

dh h v H v H dh e h e v H v H B A h v H v H A B B B

∫

∫

− + − = ∞ − ) ( ) ( ~ ) ( ) ( ~ ) ( ) ( 1 ~ ) 1 ( λ ρ ρ ρ λ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = − ∞

_∫

∞ − ) ( ~ ~ ) ( ~ ~ 1 ~ ~ ) 1 ( ) ( v H h H h v H B v B B h_{e e} eρ ρ ρ ρ ρ ρ λ _⎢⎣⎡ _⎥⎦⎤ − + ( ) ) ( 2 2 1 ) ( ) ( 1 H v v H B A A B h v H v H λ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − − = − − ∞ ) ( ~ 2 ) ( ~ ) ( ~ ~ 1 ~ ) ( 0 ~ ) 1 ( v H h v H B v H B B B H v _{e e} eρ ρ ρ ρ ρ ρ λ

(

(

) (

)

)

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ − + 2 2 ) ( ) ( 2 1 ) ( ) ( 1 v H v H v H v H_{A B} A B λ

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{− −} − = − −~ ( ) 2 ) ( ~ ) ( ~ 0 ~ 1 ~ ) ( ~ ) 1 ( _eρHB v HB v _e ρHBv _e ρHB v ρ ρ ρ λ

(

)(

)

(

( ) ( )

)

) ( ) ( ) ( ) ( 2 H v H v v H v H v H v H B A B A B A − − + +λ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ − = ~ ( ) −~ ( ) −~ ( ) ~ 1 ) ( ) 1 ( _eρHB v _{HB v e} ρHB v _e ρHB v ρ λ

(

( ) ( )

)

2 HA v +HB v +λ

(

( ) ( )

)

2 ~ 1 ) ( ) 1 ( H_B v _⎥+ H_A v +H_B v ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ − = λ ρ λ . (4.3.13) Lebih lanjut, dengan menyubstitusi persamaan (4.3.13) pada persamaan (4.3.11) akan diperoleh

∫

∞ > < = 0 ) , . ; ( 1 dh f h q h ρ

(

+

)

> + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ − < = ( ) ( ) 2 ~ 1 ) ( ) 1 ( 1 v H v H v H_B λ _{A B} ρ λ ρ

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₊ − =

∫

∫

∫

∫

∫

w B w A w w B w B A B dv v F v H dv v F v H dv v F dv v F v H dv v F v H v H v H 0 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ~ 1 ) ( ) ( ) 1 ( 1 ) ( ) ( ) ( 2 ~ 1 ) ( ) 1 ( 1 λ ρ λ ρ λ ρ λ ρ

[

< >+< >

]

+ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡_{< >+} − = HB HA HB 2 ~ 1 ) 1 ( 1 λ ρ λ ρ

(

λ

)

λ

(

)

_ρλ ρ ~ ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 _{− − < > − < >+< > =} − B A B H H H

(

)

(

)

(

)

(

)

(1 ), 2 ) 1 ( 1 ~ ~ ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 λ ρ λ ρ λ ρ ρ ρ λ ρ λ ρ λ ρ − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− − < > − < >+< >} − = > < + > < − > < − − B A B B A B H H H H H H

sehingga pengurangan kepadatan yaitu ρ~ ditentukan sedemikian sehingga persamaan (4.3.11) dapat memenuhi

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− < >+ < >+< >} − − = ) ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ~ A B B H H H λ λ ρ ρ λ ρ , _(4.3.14) dengan ( ) 2 ) 1

( −λ <H_B >+λ <H_B >+<H_A > adalah rata-rata ruang yang diperlukan setiap mobil dengan mobil di posisi depan yang menyebar secara eksponensial, jika mobil di posisi depan dari mobil lainnya diasumsikan menyebar seragam antara H dan _B H . _A

Dari persamaan (4.3.14) dapat dilakukan prosedur penurunan nilai ρ, yaitu sebagai berikut ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− < >+ < >+< >} − − = ) ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ~ A B B H H H λ λ ρ ρ λ ρ ρ λ λ λ ρ ρ ( ) (1 ) 2 ) 1 ( 1 ~ _{= −} ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− < >+ < >+< >} − H_B H_B H_A ρ λ λ λ ρ ρ ρ ( ) (1 ) 2 ) 1 ( ~ ~ _{= −} ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− < >+ < >+< >} − H_B H_B H_A ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− < >+ < >+< >} + − = ( ) 2 ) 1 ( ~ ) 1 ( ~ A B B H H H λ λ ρ ρ ρ λ ρ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− < >+ < >+< >} + − = ( ) 2 ) 1 ( ~ ) 1 ( ~ A B B H H H λ λ ρ λ ρ ρ

ρ λ λ ρ λ ρ ₌ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− < >+ < >+< >} + − ( ) 2 ) 1 ( ~ ) 1 ( ~ A B B H H H .

Lebih lanjut diperoleh

) ( 2 ) 1 ( ~ ) 1 ( ~ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− < >+ < >+< >} + − = A B B H H H λ λ ρ λ ρ ρ . ) ( 2 ) 1 ( ~ ) 1 ( 1 ) ( 2 ) 1 ( ~ ) 1 ( ~ ~ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− < >+ < >+< >} + − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− < >+ < >+< >} + − = A B B A B B H H H H H H λ λ ρ λ λ λ ρ λ ρ ρ

Sebagai akibatnya, untuk persamaan (4.3.12) dan (4.3.14) diperlukan

) ( 2 ) 1 ( 1 > < + > < + > < − < A B B H H H λ λ ρ .

Kondisi ini diperbolehkan pada model dengan jenis fungsi sebaran f. Untuk perbandingan dari rata-rata sebaran mobil di posisi depan q(h;., f) dan sebaran mobil di posisi depan ditentukan langsung dari model mikroskopik multijalur lalu lintas yang telah dikaji sebelumnya.

4.3.4 Peluang Perpindahan Jalur

Berdasarkan sebaran mobil di posisi depan yaitu q, yang memberikan sebaran dari jarak D , akan ditentukan peluang perpindahan jalur dengan _i

menentukan peluang terjadinya gap antara mobil-mobil yang berada di lokasi X . _i

Hal ini sulit untuk situasi umum yang dipertimbangkan di atas. Sebagai gantinya, dapat dipertimbangkan situasi homogen yang tidak bergantung pada titik awal khusus X₁. Oleh karena itu, ditentukan sebaran asimtotik pada ketakhinggaan dari proses tersebut, atau secara ekuivalen disebut sebagai proses pembaruan stasioner.

Nilai harapan dari D diberikan oleh _i

ρ

μ 1

) (D_i = =

E yang sesuai dengan

persamaan (4.3.11). Secara umum E(D_i) bebas terhadap i .

Dengan melihat titik tetap spasial x , akan ditentukan sebaran dari jarak B _x

yang merupakan jarak antara titik x dengan mobil di belakang x , dan jarak F _x

yang merupakan jarak antara titik x dengan mobil di depan x , yaitu

x N x x X B = − x X F x N x = +1− , jika ≤ < ₊₁ x x N N x X

X . )P(F_x ≥h₁,B_x ≥h₂ memberikan peluang untuk gap sepanjang h di depan x dan sepanjang ₁ h di belakang x . Nilai asimtotik dari ₂

peluang ini untuk x menuju ke takhingga dapat diperoleh dengan menggunakan teorema pembaruan. Didefinisikan

∫

∞ + > < − = ≥ ≥ 2 1 ] ) , . ; ( 1 [ 1 ) , ( _{1 2} h h x x h B h Q h f dh F P μ ,

dengan fungsi sebaran Q didefinisikan sebagai

∫

′ ′ = hq h v f dh f v h Q 0 ) , ; ( ) , ; ( . _(4.3.15)

Persamaan di atas menghasilkan

) , (F h₁ B h₂ P _x ≥ _x≥

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫

∫

∞ + ∞ + ∞ + ∞ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{′ ′} − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ _{′ ′} − = > ′ ′ < − = 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ) ( ) , ; ( 1 ) ( ) , ; ( ) ( ) ( ) , ; ( ) ( ] ) , ; ( 1 [ 1 h h w h h h h w h h w h w h h h dh dv v F h d f v h q dh dv v F h d f v h q v F dh dv v F h d f v h q dv v F dh h d f v h q ρ ρ ρ μ

∫ ∫ ∫

∞ + ∞ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ = 2 1 0 ) ( ) , ; ( h h w h dh dv v F h d f v h q ρ

dv v F dh h d f v h q w h h h ) ( ) , ; ( 0 1 2

∫ ∫ ∫

_⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ = ∞ + ∞ ρ dv v F dh h d f v h q w h h h ) ( ) , ; ( 0 1 2

∫

∫ ∫

_⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ ′ = ∞ + ∞ ρ . ) , . , ( 2 1

∫ ∫

∞ + ∞ > ′ ′ < = h h h dh h d f h q ρ (4.3.16) Pada bagian berikut akan ditentukan peluang untuk melakukan perpindahan ke jalur kanan dan perpindahan ke jalur kiri. Peluang tersebut dapat ditentukan melalui model stokastik. Diasumsikan bahwa kecepatan mobil pada jalur yang baru menyebar berdasarkan fungsi sebaran f. Dengan mempertimbangkan mobil dengan kecepatan v dan menentukan peluang P_Y(v, f),Y =R,L di mana perpindahan jalur ke kanan atau ke kiri dapat dilakukan jika ambang batas masing-masing dilalui, artinya akan ditentukan peluang dari ketersediaan ruang yang cukup di jalur lainnya.

Setelah perpindahan jalur, jarak antara mobil yang berpindah posisi pada kecepatan v dengan mobil di depannya pada jalur yang baru sekurang-kurangnya adalah H_YS(v),Y =R,L, hal ini sesuai dengan model mikroskopik. Lebih lanjut, jarak antara mobil yang berpindah jalur dengan mobil yang berada di posisi belakang pada jalur baru dengan kecepatan v′ sekurang-kurangnya adalah

L R Y v

H_YS( ′), = , . Peluang p_Y(v,v′, f),Y =R,L yaitu peluang perpindahan jalur dari mobil dengan kecepatan v dan terdapat mobil di posisi belakangnya pada jalur baru dengan kecepatan v′ , akan diperoleh dengan mengatur nilai h₁=H_YS(v) dan )h₂=H_YS(v′ pada persamaan (4.3.16), sehingga diperoleh persamaan peluang perpindahan jalur sebagai berikut

∫

∫

∞ ′ + ∞ > ′ ′ < = ′ ) ( ) ( ) , . , ( ) , , ( v H v H h Y S Y S Y dh h d f h q f v v p ρ . _(4.3.17)

Rata-rata dari persamaan ini untuk semua v′ menghasilkan peluang yang diinginkan, yaitu P_Y(v, f)untuk perpindahan jalur kendaraan dengan kecepatan v yang didefinisikan sebagai

> < = ( ,., ) ) , (v f p v f P_{Y Y} . (4.3.18)

Persamaan eksplisit dari p_Y(v,v′, f) menggunakan persamaan (4.3.12) untuk q

yang diperoleh dari rata-rata fungsi ~p_Y(v,v′,v~,f) yaitu > ′ < = ~ ( , ,., ) ) , ' , (v v f p v v f p_{Y Y} .

Sedangkan persamaan ~p_Y(v,v′,~v,f)adalah sebagai berikut ) , ~ ), ( ) ( ( ) , ~ , , ( ~ _{v v v f R H v H v v f} p S Y S Y Y ′ =ρ + ′ , dengan ) , , ( ) , , ( ) 1 ( ) , , (h v f R₀ h v f R₁ h v f R = −λ +λ . Selanjutnya didefinisikan ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > < < < − + = − − − − ) ( jika , ~ 1 ) ( ) ( jika , ~ 1 ) ( jika , ) ( ~ 1 ) , , ( )) ( ( ~ )) ( ( ~ 0 v H h e v H h v H e v H h h v H f v h R A v H h A B v H h B B B B ρ ρ ρ ρ ρ dan ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > < < − − < − + − = ) ( jika , 0 ) ( ) ( jika , )) ( ) ( ( 2 ) ) ( ( ) ( jika , 2 ) ( ) ( ) ( ) , , ( 2 1 v H h v H h v H v H v H h v H v H h v H v H h v H f v h R A A B B A A B B A B

sehingga diperoleh persamaan untuk R(h,v,f) yaitu

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > < < ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + − < ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + − = − − − − ). ( jika , ~ 1 ) -(1 ) ( ) ( jika , )) ( ) ( ( 2 ) ) ( ( ~ 1 ) 1 ( ) ( jika , 2 ) ( ) ( ) ( ~ 1 ) 1 ( ) , , ( )) ( ( ~ 2 )) ( ( ~ v H h e v H h v H v H v H h v H e v H h v H v H h v H f v h R A v H h A B B A A v H h B B A B B B ρ ρ ρ λ λ ρ λ λ ρ λ

4.3.5 Persamaan Model Kinetik Multijalur

Persamaan kinetik untuk fungsi sebaran (f₁,..., f_N) pada N jalur diperoleh dari pertimbangan yang sama seperti pada teori kinetik gas, yaitu dengan

menentukan operator perolehan (G) dan operator kehilangan (L) yang merupakan operator dari interaksi kinetik. Hal ini dilakukan dengan menggunakan interaksi mikroskopik seperti kombinasi dari langkah dasar dengan prosedur standar untuk memperoleh persamaan kinetik. Dari subbab 2.5 didefinisikan

) ,..., , ,..., ( ~ 1 ) 2 ( ) 2 ( 1 N N x tf v f C f f f f + = ∂ + ∂ _{α α α} . + α

C~ merupakan suatu besaran yang menggambarkan resultan dari interaksi antarobjek yang dinyatakan oleh Klar & Wegener (1998) sebagai

) ,..., , ,..., ( ~ 1 ) 2 ( ) 2 ( 1 fN f fN f C_α+

[

]

[

~ ( , , ) ~ ( , )

]

(1 ), ) 1 ( ) , , ( ~ ) , ( ~ ) )( ~ ~ ~ ~ ( ) , , )( ~ ~ ( , 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 1 , 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 N R L L R F F A A B B f f L f f f G f f f L f f G f L G L G f f f L G α α α α α α α α α α α α α α α α δ δ − − + − − + − + − + − = + + + + + + − + − + + + + + + − + + sehingga α α v f f _x t + ∂ ∂

[

]

[

~ ( , , ) ~ ( , )

]

(1 ), ) 1 ( ) , , ( ~ ) , ( ~ ) )( ~ ~ ~ ~ ( ) , , )( ~ ~ ( , 1 ) 2 ( 2 ) 2 ( 1 1 , 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 N R L L R F F A A B B f f L f f f G f f f L f f G f L G L G f f f L G α α α α α α α α α α α α α α α α δ δ − − + − − + − + − + − = + + + + + + − + − + + + + + + − + + (4.3.19) dengan δ_i,j menotasikan simbol Kronecker dan f_α(2)(x,v,h,v₊) merupakan pendekatan yang diperoleh dari persamaan (4.3.10). Berikut digunakan untuk

F A B X = , , notasi berikut ) , ), ( ( ) , (v f q H v v f q_X = _X ,

dengan )q(h;v,f telah didefinisikan pada persamaan (4.3.12). Peluang

L R Y f v

P_Y( , ), = , untuk perpindahan ke jalur kanan atau ke kiri juga telah didefinisikan pada persamaan (4.3.18). Peluang tersebut akan digunakan untuk

N f

f = _α,α=1,..., . Sebagai tambahan juga digunakan ) , ( 0 ) , (v f ₁ P v f₀ P_{R N+} = = _L .

Interaksi yang dapat terjadi pada persamaan (4.3.19) dapat dinyatakan dan diperoleh pendekatannya dengan menggunakan persamaan (4.3.10), yaitu sebagai berikut:

Interaksi 1: Perpindahan ke jalur kanan

Mobil berpindah ke jalur kanan, jika ambang batas pengereman dapat dicapai dan perpindahan jalur masih memungkinkan untuk terjadi peluang P_R.

Operator perolehan (G): + + − < + − +

∫

+ − = P v f x v v f xv H v v dv f f G _B v v R R( , ) ( , ( )) ˆ ( , , ( ),ˆ ) ˆ ~ ) 2 ( 1 ˆ ) 2 ( 1 α α α α , ) (x

f_α sebagai ganti dari f_α(x,.) dan pendekatannya adalah

∫

< + + − − − + − + + + − = v v B B R R f f P v f x v v q v f x f x v F x H v v dv G ˆ 1 1 1 1, ) ( , ( )) ˆ ( , ( )) ( , ) ( ( ),ˆ ) ˆ ( _{α α α α α α} . Operator kehilangan (L):

Dengan argumen yang sama diperoleh pendekatan dari L~+_R yaitu ) , ( ) , ( ~ ) , ( ~ ) , ( ~ 1 1 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( + + + + + + + + _{= =} α α α α α α α α f G f f G f f L f f f L_{R R R R} .

Lebih lanjut diperoleh

) , ( ~ ) , ( ~ 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( + + + + ₌ α α α α f G f f f L_{R R + +} < + +

∫

+ − = P v f x v v f x v H_B v v dv v v R( , ( )) ˆ (2)( , , ( ),ˆ ) ˆ 1 α α

yang diaproksimasi oleh

∫

< + + + + + + + + − = v v B B R R f f P v f x v v q v f x f x v F x H v v dv L ˆ 1 1) ( , ( )) ˆ ( , ( )) ( , ) ( ( ),ˆ ) ˆ , ( _{α α α α α α} .

Interaksi 2: Perpindahan ke jalur kiri

Mobil berpindah ke jalur kiri, jika mobil di posisi belakang mencapai ambang batas pengereman dan tidak dapat berpindah ke kanan. Lebih lanjut, perpindahan ke jalur kiri harus memungkinkan untuk terjadi peluang P_L.

Operator perolehan (G):

[

]

∫

> − − + − + + + − − − − = v v B R L L f f f P v f x P v f x H v v v G ˆ 2 2 ) 2 ( 1 , ) ( , ( ))1 (ˆ , ( (ˆ ))) ˆ , ( ~ α α α α α f_α+1(2)(x−H_B(vˆ₋),vˆ₋,x,v)dvˆ₋, yang diaproksimasi oleh

[

]

∫

> − − + − + + + − − − − = v v B R L L f f f P v f x P v f x H v v v G ˆ 2 2 1, ) ( , ( ))1 (ˆ , ( (ˆ ))) ˆ , ( _{α α α α α} q_B(vˆ₋, f_α+1(x−H_B(vˆ₋)))f_α+1(x−H_B(vˆ₋),vˆ₋)F_α+1(x,v)dvˆ₋. Operator kehilangan (L):

Dengan argumen yang sama diperoleh pendekatan dari L~+_L, yaitu

) , , ( ) , , ( ~ ) , , ( ~ ) , , ( ~ 1 1 1 1 1 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 1 − + + + − + + − + + − + _{= =} α α α α α α α α α α α α f f G f f f G f f f L f f f f L_{L L L L} .

Selanjutnya diperoleh ) , , ( ~ ) , , ( ~ 1 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 1 − + + + − + ₌ α α α α α α f f G f f f f L_{L L}

∫

[

]

> − − + − − − − − − = v v B R L v f x P v f x H v v v P ˆ 1 1( ))1 (ˆ , ( (ˆ ))) ˆ , ( _{α α} f_α(2)(x−H_B(vˆ₋),vˆ₋,x,v)dvˆ₋, yang diaproksimasi oleh

[

]

∫

> − − + − − + − + − − − − = v v B R L L f f f P v f x P v f x H v v v L ˆ 1 1 1 1, , ) ( , ( ))1 (ˆ , ( (ˆ ))) ˆ ( _{α α α α α} qB(vˆ−, fα(x−HB(vˆ−)))fα(x−HB(vˆ−),vˆ−)Fα(x,v)dvˆ−. Interaksi 3: Pengereman

Mobil akan mengerem jika mencapai ambang batas pengereman dan pengemudi tidak dapat berpindah ke jalur kanan, dan jika mobil yang berada di posisi depan juga tidak bisa berpindah ke jalur kiri.

Operator perolehan (G):

Didefinisikan P_B sebagai peluang pengereman yaitu = + + − +, ( ( )), ( )) , (vv f ₁ x H v f ₁ x P_{B α B α}

[

1−P_R(v,fα+₁(x))

][

1−P_L(v+,fα−₁(x+H_B(v)))

]

. (4.3.21) Selanjutnya diperoleh

∫ ∫

+ − + + > + − + _{= + −} + ) ˆ , ( ˆ ˆ )) ( )), ( ( , ˆ , ˆ ( ) , , ( ~ 1 1 ˆ ˆ 1 ) 2 ( 1 f f P v v f x H v f x v v v v f G _{B B} v v B B α α α α α σ f_α(2)(x,vˆ,H_B(vˆ),vˆ₊)dvˆdvˆ₊, dengan aproksimasi

∫ ∫

+ − + + > + − + _{= + −} + ) ˆ , ( ˆ ˆ )) ( )), ( ( , ˆ , ˆ ( ) , , ( _{1 1} ˆ ˆ 1 1 f f P v v f x H v f x v v v v f G _{B B} v v B B α α α α α σ q_B(vˆ, f_α(x))f_α(x,vˆ)F_α(x+H_B(vˆ),vˆ₊)dvˆdvˆ₊, dan [ ]( ) ) 1 ( ˆ 1 ) ˆ , ( _ˆ,ˆ v v v v _vv B β χβ σ − = . Operator kehilangan (L): + + < − + + − + _{= + −}

∫

+ v v x f v H x f v v P f f f L _B v v B B( , , ) ( ,ˆ , ( ( )), ( )) ˆ ~ 1 ˆ 1 1 ) 2 ( 1 α α α α α

f_α(2)(x,v,H_B(v),vˆ₊)dvˆ₊, yang diaproksimasi oleh

+ + < − + + − + _{= + −}

∫

+ v v x f v H x f v v P f f f L _B v v B B( , , ) ( ,ˆ , ( ( )), 1( )) ˆ ˆ 1 1 1 α α α α α q_B(v,f_α(x)) f_α(x,v)F_α(x+H_B(v),vˆ₊)dvˆ₊. Interaksi 4: Akselerasi

Mobil akan berakselerasi jika ambang batas akselerasi dapat dicapai. Operator perolehan (G):

∫ ∫

+ + < + + + − = v v v v f x v H v v dvdv f G _{A A} v v A( ) ˆ ˆ ( ,ˆ) ( ,ˆ, (ˆ),ˆ ) ˆ ˆ ~ ) 2 ( ˆ ˆ ) 2 ( α α σ ,

yang diaproksimasi oleh

∫ ∫

+ + < + + _{= − +} + v d v d v v H x F v x f x f v q v v v v f G _{A A A} v v A( ) ˆ ˆ ( ,ˆ) (ˆ, ( )) ( ,ˆ) ( (ˆ),ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ α α α α σ , dengan [ ]( ) ˆ ) ˆ , min( 1 ) ˆ , ( _{ˆ,min( , ˆ)} v v v w v v _{v w v} A _α χ α σ − = . Operator kehilangan (L):

∫

> + + + + + − = v v A A f v v f xv H v v dv L ˆ ) 2 ( ) 2 ( ) ˆ ( , , ( ),ˆ ) ˆ ( ~ α α ,

yang diaproksimasi oleh

∫

> + + + + + + − = v v A A A f v v q v f x f xv F x H v v dv L ˆ ˆ ) ˆ ), ( ( ) , ( )) ( , ( ˆ ) ( _{α α α α} .

Interaksi 5: Akselerasi bebas

Dengan menggunakan q ,_F H_F, dan σ_F(v,vˆ)= f_D(v) sebagai pengganti dari ,

, _A

A H

q dan σ yang mendefinisikan _A G dan _F+ L dengan cara yang sama untuk +_F

mendefinisikan G dan _A+ L . +_A Operator perolehan (G):

∫ ∫

+ + < + + + − = v v vv f x v H v v dvdv f G _{F F} v v F( ) ˆ ˆ ( ,ˆ) ( ,ˆ, (ˆ),ˆ ) ˆ ˆ ~ ) 2 ( ˆ ˆ ) 2 ( α α σ ,

yang diaproksimasi oleh

∫ ∫

+ + < + + _{= − +} + v d v d v v H x F v x f x f v q v v v v f G _{F F F} v v F( ) ˆ ˆ ( ,ˆ) (ˆ, ( )) ( ,ˆ) ( (ˆ),ˆ ) ˆ ˆ ˆ ˆ α α α α σ ,

dengan σ_F(v,vˆ)= f_D(v). Operator kehilangan (L):

∫

> + + + + + − = v v F F f v v f x v H v v dv L ˆ ) 2 ( ) 2 ( ) ˆ ( , , ( ),ˆ ) ˆ ( ~ α α ,

yang diaproksimasi oleh

∫

> + + + + + + − = v v F F F f v v q v f x f xv F x H v v dv L ˆ ˆ ) ˆ ), ( ( ) , ( )) ( , ( ˆ ) ( _{α α α α} .

Dengan menggunakan aproksimasi di atas, persamaan kinetik untuk jalur

N , ... , 1 =

α dapat dinyatakan sebagai berikut:

α α v f f _x t + ∂ ∂ =C_α+(f₁,...,f_N)

[

]

[

( , , ) ( , )

]

(1 ) ) 1 ( ) , , ( ) , ( ) )( ( ) , , )( ( , 1 2 1 1 , 1 1 1 1 1 N R L L R F F A A B B f f L f f f G f f f L f f G f L G L G f f f L G α α α α α α α α α α α α α α α α δ δ − − + − − + − + − + − = + + + + + + − + − + + + + + + − + + (4.3.22)

4.3.6 Persamaan Model Kinetik Kumulatif

Asumsi dasar dari penurunan persamaan model kinetik kumulatif adalah bahwa lalu lintas bersifat homogen di seluruh jalur. Dinamika pada model kinetik kumulatif diturunkan dari model kinetik multijalur. Hal ini terjadi oleh adanya peluang untuk pengereman pada persamaan yang sesuai dengan aturan dari perpindahan jalur yang telah diturunkan sebelumnya.

Model kinetik kumulatif diperoleh dari suatu model kinetik multijalur yang menggunakan asumsi bahwa fungsi sebaran f sama untuk seluruh jalur dan _α

dengan menjumlahkan persamaan pada seluruh jalur yaitu dari 1, ..., N . Fungsi sebaran kumulatif yang digunakan adalah

∑

= = = = = _N N f N f f f 1 1 1 ... α α ,

∑

= = = = = _N N F N F F F 1 1 1 ... α α . ) , ( vx

Nf adalah total fungsi sebaran pada jalan raya, f =ρF dan ρ adalah rata-rata kepadatan per jalur.

Dengan mempertimbangkan peluang P_B untuk melakukan pengereman pada jalur α yang didefinisikan pada persamaan (4.3.21) dan rata-rata peluang