Penentuan Harga Opsi Model Binomial Dua Periode

Penentuan Harga Opsi Model Binomial Dua Periode

A. Model Binomial Satu Periode

Model ini merupakan model pasar saham (trading) dengan satu periode (one

time step) dengan kata lain pada model ini hanya terdapat dua waktu trading yaitu pada

saat t 0 dan t 1. Seperti telah dibahas sebelumnya, maka pada akhir periode yaitu pada saat t 1 pergerakan harga saham hanya ada dua kemungkinan yaitu harga saham naik sebesar u dengan peluang sebesar p atau harga saham turun sebesar d dengan peluang sebesar (1 – p). Misalkan S0 menyatakan harga saham pada saat t 0, maka pada akhir periode S₀ dapat berubah menjadi S_{1 1} atau S_{2 2} . Selanjutnya pada pasar dengan model binomial satu periode ini tersusun dari dua asset yaitu aset beresiko yaitu saham dan aset bebas resiko yaitu tabungan dalam bentuk deposito di bank. Bt

menyatakan jumlah tabungan dalam bentuk deposito di bank pada saat t dan St

menyatakan harga saham pada saat t.

Pada model ini proses pergerakan tabungan berlangsung secara deterministik, dan dapat dinyatakan sebagai berikut

B_t 1 r t (1) sedemikian hingga r B B 1 1 1 0

dimana r adalah risk-less (risk-free) interest rate. Selain itu perlu diketahui bahwa pada pasar uang berlaku suku bunga deposito bank per periode sebesar r dan diasumsikan akan berlaku hubungan berikut:

u r

d 1 (2)

persamaan (2) dapat dinyatakan pula dengan: u

e

d r (3)

Sedangkan proses pergerakan harga saham merupakan proses stokastik, dan dapat dinyatakan sebagai berikut

p q peluang d S S p peluang u S S S 1 0 2 1 0 1 1 1 (4) Replikasi Portfolio

Misalkan ₀, B₀ adalah self-financing portfolio, r adalah risk less interest

rate, C menyatakan harga opsi dari opsi call Eropa, Cu menyatakan payoff apabila harga

saham naik, dan Cd menyatakan payoff apabila harga saham turun. Apabila Su S0u dan d

S

S_{d 0} maka payoff dari opsi call Eropa pada saat t 1 sebagai berikut

C_u max S_u K,0 (5)

Cd max Sd K,0 (6)

Persamaan (5) dan persamaan (6) memperlihatkan besarnya dana yang menjadi hak holder opsi call untuk segala kemungkinan skenario pergerakan harga saham. Pada saat yang bersamaan persamaan (5) dan persamaan (6) merupakan kewajiban bagi writer opsi call untuk menyediakan dana sebesar Cu dan Cd di akhir periode 1. Karena hal itu

merupakan kewajiban bagi writer maka writer harus mengusahakan agar mempunyai dana sebesar Cu dan Cd pada akhir periode 1. Cara yang dapat ditempuh oleh writer

adalah dengan pembentukan replikasi portfolio. Replikasi portfolio Θ merupakan

derivative security dari C apabila nilai replikasi portfolio tersebut pada saat akhir periode

sama dengan C untuk segala kemungkinan skenario pergerakan harga saham.

Replikasi portfolio tersebut akan dibentuk dengan cara sebagai berikut. Misalkan

writer menjual opsi call di awal periode 1 seharga V0. Agar writer mempunyai dana yang cukup untuk menutup kewajiban membayar dana sebesar Cu dan Cd maka sejak awal

periode 1 writer akan membuat suatu portfolio keuangan yang terdiri dari saham sebanyak θ0 lembar. Kepemilikan saham tersebut diambil dari penjualan opsi call seharga V0. Apabila besar V0 tidak mencukupi bagi writer opsi call untuk membeli θ0 lembar saham maka writer mempunyai pinjaman dengan bunga r per periode untuk mencukupinya. Sebaliknya apabila ada kelebihan dana maka sisanya ditabung dengan suku bunga r per periode. Nilai portfolio pada awal periode 1 adalah V0 = C0 yang berupa

0 0 0 0 0 0 S V S C (7) 0 0 V C (8)

Pada akhir periode 1, nilai portfolio akan menjadi V1 yang terdiri dari θ0S0 dalam bentuk saham dan yang dalam bentuk tabungan atau pinjaman akan bertambah menjadi

0 0

0

0 S e B

V

er r . Nilai portfolio pada akhir periode 1 dapat dinyatakan sebagai berikut: 1 1 C V (9) d r d u r u C S V e S C S V e S V 0 0 0 0 0 0 0 0 1 (10)

atau persamaan (10) dapat dituliskan dalam bentuk:

d r d u r u C B e S C B e S V 0 0 0 0 1 (11)

Dengan menyelesaikan (11) maka diperoleh

d u d u S S C C 0 (12) d u d u u d r S S S C S C e B0 1 (13)

dimana θ0 menyatakan banyaknya saham dan B0 menyatakan besarnya tabungan atau pinjaman.

Berdasarkan law of one price "jika dua aset mempunyai nilai akhir yang sama maka dua aset tersebut mempunyai dua nilai awal yang sama, apabila hal tersebut tidak terjadi maka prinsip no-arbitrage tidak berlaku", sehingga

0 C V₀ 0 0 0S B d u d u u d r d u d u S S S C S C e S S S C C 1 0 d u e u e C d u d e e C r r u r r 1 1 0 (14) Risk-neutral probability

Berdasarkan hasil yang diperoleh pada persamaan (14) diketahui bahwa penjumlahan dari koefisien Cu dengan koefisien Cd sama dengan 1, sehingga koefisien

u

C dengan koefisien C_d dapat diinterpretasikan sebagai peluang. Oleh karena itu, persamaan (14) dapat disederhanakan menjadi

d u r pC qC e C₀ 1 ~ ~ (15) 1 0 ~ 1 C E e C _r (16) dimana d u d e p r ~ _dan d u e u q r

~ _P~ _p~_,q~ _{merupakan ukuran probabilitas baru}

yang disebut sebagai probabilitas risk-neutral (risk-neutral probability). Secara umum nilai derivative security X pada saat t 0 untuk model binomial satu periode adalah

1 0 ~ 1 X E e X _r (17) 1 0 ~ X E X (18)

dimana X1 merupakan harga saham terdiskon pada saat t 1.

B. Model Binomial Dua Periode

Ini merupakan model pasar saham (trading) dengan dua periode (dua time step) dengan kata lain pada model ini hanya terdapat tiga waktu trading yaitu pada saat t = 0, t

= 1 dan t = 2. Seperti telah dibahas sebelumnya, maka pada akhir periode yaitu pada saat t = 2 pergerakan harga saham hanya ada dua kemungkinan yaitu harga saham naik atau

harga saham turun. Misalkan S1 menyatakan harga saham pada saat t = 1, maka pada akhir periode S1 dapat berubah menjadi

0 2 2 2 2 0 1 2 2 2 1 2 0 2 2 1 2 2 S d S S d u S S S u S S (19)

Misalkan Θ = (θ1,B1) adalah self-financing portfolio, r adalah risk less interest rate, C menyatakan nilai dari European Call Option, Cu menyatakan payoff apabila harga saham naik, dan Cd menyatakan payoff apabila harga saham turun. Apabila 0

2 S u Suu ,

0 S d u

S_ud , dan S_dd d2S₀ maka payoff dari European Call Option pada saat t = 2 sebagai berikut K S u K S C_uu max _uu ,0 2 ₀ (20) K S d u K S C_ud max _ud ,0 ₀ (21) K S d K S C_uu max _dd ,0 2 ₀ (22)

Berdasarkan law of one price "jika dua aset mempunyai nilai akhir yang sama maka dua aset tersebut mempunyai dua nilai awal yang sama, apabila hal tersebut tidak terjadi maka prinsip no-arbitrage tidak berlaku". Berdasarkan persamaan (15) yang diperoleh pada model binomial satu periode maka:

1. Apabila pada akhir periode 2, harga saham mengalami kenaikan maka diperoleh

du uu r u pC qC e C 1 ~ ~ (23)

2. Apabila pada akhir periode 2, harga saham mengalami penurunan maka diperoleh

dd ud r d pC qC e C 1 ~ ~ (24)

selanjutnya persamaan (23) dan persamaan (24) disubstitusikan ke persamaan

d u r pC qC e C 1 ~ ~ maka diperoleh C _{r r uu du r} pC_ud qC_dd e q C q C p e p e ~ ~ 1 ~ ~ ~ 1 ~ 1 dd ud du uu r p C pqC qpC q C e 2 2 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 dd du uu r p C pqC q C e 2 2 2 ~ ~ ~ 2 ~ 1 C p u S K pq udS K q d S K e r 0 2 2 0 0 2 2 2 ~ ~ ~ 2 ~ 1 (25)

C 2 0 0 2 2 2 max ,0 ~ ~ 2 1 j j j j j r p q u d S K j e (26)

Analog dengan model binomial satu periode dan dua periode, maka untuk model binomial tiga periode diperoleh

d u r pC qC e C 1 ~ ~ C r p Cuu pqCdu qpCud q Cdd e 2 2 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 ddd udd uud uuu r p C p qC q pC q C e 3 2 2 3 3 ~ ~ ~ 3 ~ ~ 3 ~ 1 C K S d q K S d u p q K S d u q p K S u p e r 0 3 3 0 2 2 0 2 2 0 3 3 3 ~ ~ ~ 3 ~ ~ 3 ~ 1 (27)

seperti halnya pada model binomial dua periode maka persamaan (27) dapat disederhanakan penulisannya menjadi

C 3 0 0 3 3 3 max ,0 ~ ~ 3 1 j j j j j r p q u d S K j e (28)