Petunjuk A digunakan untuk menjawab soal nomor 1 ampai dengan 18
1. 3 2 2+ - 2 = …. (A) 4 2 (B) 3+ 2 (C) 2 (D) 1 (E) 0
2. Untuk membuat barang tipe A, diperlukan 4 jam kerja mesin I dan 2 jam kerja mesin II. Sedangkan untuk barang tipe B, diperlukan 5 jam kerja mesin I dan 3 jam kerja mesin II. Seriap hari, kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 15 jam. Jika setiap hari dapat dihasilkan x barang tipe A dan y barang tipe B, maka model matematika yang tepat adalah ….
(A) 4x + 2y≤ 15 dan 5x + 3y ≤15, x ≥0 , y ≥0 (B) 4x + 5y≤ 15 dan 2x + 3y ≤15, x ≥0 , y ≥0 (C) 3x + 2y≤ 15 dan 5x + 3y ≤15, x ≥0 , y ≥0 (D) 4x + 2y≤ 15 dan 3x + 3y ≤15, x ≥0 , y ≥0 (E) 3x + 2y≤ 15 dan 5x + 2y ≤15, x ≥0 , y ≥0 3. Dari angka 2, 4, 6, 8, dan 9 dibuat bilangan
yang terdiri dari 3 angka berbeda. Banyaknya bilangan kurang dari 500 adalah …. (A) 32 (B) 24 (C) 16 (D) 12 (E) 8 4. Akar-akar persamaan 2x2 – ax – 2 = 0 adalah x 1 dan x2. Jika x12 – 2x 1x2 + x22 = –2a, maka a = …. (A) –8 (B) –4 (C) 0 (D) 4 (E) 8
5. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan
x 1 2 x 5+ +5- =126, maka x1 + x2 = …. (A) 251 3 (B) 5 (C) 1 (D) –1 (E) –3
6. Jumlah x dan y dari solusi (x, y) yang memenuhi sistem persamaan 2 x y a x 5x y 2 - = + - = adalah …. (A) –12 (B) –10 (C) –6 (D) 6 (E) 10 7. 2 3 2 5 x - +3x 2 x< -4x 3+ , benar untuk …. (A) x > 1 2 (B) x > 2 (C) x > 3 (D) 1 2 < x < 3 (E) 2 < x < 3
8. Dari 10 orang siswa yang terdiri dari 7 orang putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah …. (A) 168 (D) 231 (B) 189 (E) 252 (C) 210 9. Diketahui sistem persamaan: 2 y 4 x z 18 5y 18 2x y z 8 6 3 x z 2x y z + = + + = + + - = + + + Nilai dari y+ x2-2xz z+ 2 adalah …. (A) 3 (D) 9 (B) 5 (E) 10 (C) 7 10. Diketahui matriks A 2 4 2b 3c = dan 2c 3b 2a 1 B a b 7 - + = + . Jika BT adalah tranpose dari B, maka nilai c yang memenuhi A = 2BT, adalah …. (A) 2 (D) 8 (B) 3 (E) 10 (C) 5
11. Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki. Dari titik B ditarik garis ke sisi AC sehingga AD = DC. Jika luas segitiga ABC = 2p2 maka BD = …. (A) p 2 A C B D (B) p 2 2 (C) p 2 (D) 2p (E) 2p 2
12. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 3cosx 1 5 cosx + ≥ dengan x 2 2 p p - < < adalah …. (A) x 3 3 p p - ≤ ≤ (B) x 2 2 p p - < < (C) x 3 2 p< <p (D) x 2 3 p p - < ≤ - atau x 3 2 p p - ≤ < (E) x 3 p ≤ - atau x 3 p ≥ 13. Jika f(x + 1) = 2x dan (f g)(x 1) 2x + = 2+4x 2- , maka g(x) = …. (A) x2 – 1 (D) x2 + 2x – 1 (B) x2 – 2 (E) x2 + 2x – 2 (C) x2 + 2x
14. Pada suatu hari dilakukan pengamatan terhadap virus-virus tertentu yang berkem-bang dengan membelah diri menjadi dua. Pada awal pengamatan terdapat 2 virus. Pembelahan terjadi setiap 24 jam. Jika setiap 3 hari, seperempat dari virus dibunuh, maka banyaknya virus setelah satu minggu pertama adalah …. (A) 24 (D) 64 (B) 36 (E) 72 (C) 48 15. Nilai-nilai x yang memenuhi 1 2logx xlog 1 0 2 - ≥ adalah …. (A) 1 x 1 2≤ ≤ (B) 1 x 2≤ ≤ (C) 1 x 2< ≤ (D) 1 x 1 2≤ ≤ atau x > 2 (E) 1 x 1 2≤ < atau x 2≥
16. Jika kurva y (x= 2-a)(2x b)+ 3 turun pada interval 1 x 2 5 - < < , maka ab = …. (A) –3 (D) 2 (B) –2 (E) 3 (C) 1
17. Sekumpulan data mempunyai rata-rata 15 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai dari data dikurangi A kemudian hasilnya dibagi B ternyata menghasilkan data baru dengan rata-rata 7 dan jangkauan 3, maka nilai A dan B masing-masing adalah ….
(A) 3 dan 2 (D) 2 dan 1 (B) 2 dan 3 (E) 3 dan 1 (C) 1 dan 2 18. Nilai dari 1 1 1 1 ... 1+ 2 2+ + 3+ 3+ 4+ + 63+ 64= …. (A) 10 (D) 7 (B) 9 (E) 6 (C) 8
Petunjuk C digunakan untuk menjawab soal nomor 19 ampai dengan 20 19. Diberikan grafik fungsi
5 2 3 3 f(x) 3x= -15x , maka (1) f’(0) tidak ada (2) fungsi naik pada interval (2, )∞ (3) fungsi turun pada interval (0, 2) (4) terjadi minimum relatif di titik (2, 9 4)- 3
20. 3logx 2 log y 3+ ⋅9 = dan 3log x y 0 2 - = , maka x + y = …. (1) 2 7 (2) -4 7 (3) -2 7 (4) 4 7 1. 3 2 2 2 (1 2) 2 1 2 2 1 2 2 1 + - = + + ⋅ -= + -= Jawaban: D 2. Mesin I Mesin II
Barang A (x) 4 jam 2 jam Barang B (y) 5 jam 3 jam Seriap hari, kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 15 jam, diperoleh:
4x + 5y≤ 15 dan 2x + 3y ≤15, x ≥0 , y ≥0 Jawaban: B
3. Dari angka 2, 4, 6, 8, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri dari 3 angka berbeda. Akan dibuat bilangan kurang dari 500.
Bilangan ratusannya adalah 2 dan 4. Menggunakan aturan perkalian diperoleh: 2 × 4 × 3 = 24 Jawaban: B 4. Diketahui: Akar-akar persamaan 2x2 – ax – 2 = 0 adalah x1 dan x2. x12 – 2x 1x2 + x22 = –2a Dari 2x2 – ax – 2 = 0, diperoleh:
Kunci Jawaban dan Pembahasan
Matematika Dasar Simak-UI
1 2 1 2 a a x x 2 2 2 x x 1 2 -+ = - = -⋅ = = -2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x 2x x x 2a x x 2x x 2a (x x ) 2x x 2x x 2a (x x ) 4x x 2a a 4( 1) 2a 2 a 4 2a 4 a 8a 16 0 (a 4) 0 a 4 - ⋅ + = -+ - ⋅ = -+ - ⋅ - ⋅ = -+ - ⋅ = = - + = -+ -+ = + = = -Jawaban: B 5. x 1 2 x x 1 2 x x 2 x x 2 2 x x 2 x 5 5 126 5 5 126 5 5 5 5 126 5(5 ) 5 126 5 5(5 ) 126 5 25 0 + -+ -+ = + = ⋅ + ⋅ = + = ⋅ - ⋅ + = Misalkan 5x = a Dengan demikian, 2 5a 126a 25 0 (5a 1)(a 25) 0 1 a ,a 25 5 - + = - - = = = Untuk a 1 5 = , maka x x 1 1 1 5 5 5 5 x 1 x 1 -= = = - ⇒ = -Untuk a = 25, maka x x 2 2 5 25 5 5 x 2 x 2 = = = ⇒ = Jadi, x1 + x2 = -1 + 2 = 1 Jawaban: C 6. 2 x y a x 5x y 2 - = + - = Maka: 2 2 2 2 x 5x y 2 x 4x (x y) 2 x 4x a 2 x 4x a 2 0 + - = + + - = + + = + + - = Agar mempunyai solusi, maka: D 0 16 4(a 2) 0 16 4a 8 0 4a 24 a 6 = - - = - + = = -= Untuk a = 6, maka: 2 2 2 2 x 4x a 2 0 x 4x 6 2 0 x 4x 4 0 (x 2) 0 x 2 + + - = + + - = + + = + = = - Untuk x = 2, maka x y a 2 y 6 y 8 - = - - = = -Diperoleh solusi: (x, y) = ( 2, 8) ⇒ x + y = 10 Jawaban: B 7. 2 2 3 5 x 3x 2 x 4x 3 3 5 (x 1)(x 2) (x 1)(x 3) 3 5 0 (x 1)(x 2) (x 1)(x 3) 3(x 3) 5(x 2) 0 (x 1)(x 2)(x 3) 2x 1 0 (x 1)(x 2)(x 3) < - + - + < - - - -- < - - - -- -- - < - - -- + < - -
-1/2 1 2 3 - - - +++ - - - +++ -Menggunakan garis bilangan diperoleh: x < 1/ 2 atau 1 < x < 2 atau x > 3 Jawaban: C 8. Dari 10 orang siswa yang terdiri dari 7 orang
putra dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri.
Terdapat tiga kemungkinan: I. 2 putri dan 3 siswa
Banyak kemungkinan terpilih 2 putri: 3 2 3! C 3 2! (3 2)! = = ⋅ -Banyak kemungkinan terpilih 3 putra: 7 3 7! 7! C 35 3! (7 3)! 3! 4! = = = ⋅ - ⋅ Banyak kemungkinan terpilih 2 putri dan 3 putra: 3 7 2 3 C C⋅ = ⋅ =3 35 105 II. 1 putri dan 4 siswa
Banyak kemungkinan terpilih 1 putri: 3 1 3! C 3 1! (3 1)! = = ⋅ -Banyak kemungkinan terpilih 4 putra: 7 3 7! 7! C 35 4! (7 4)! 4! 3! = = = ⋅ - ⋅ Banyak kemungkinan terpilih 2 putri dan 3 putra: 3 7 1 4 C C⋅ = ⋅ =3 35 105 III. 0 putri dan 5 siswa
Banyak kemungkinan terpilih 0 putri: 3 0 C =1 Banyak kemungkinan terpilih 5 putra: 7 3 7! 7! C 21 5! (7 5)! 5! 2! = = = ⋅ - ⋅ Banyak kemungkinan terpilih 2 putri dan 3 putra: 3 7 0 5 C C⋅ = ⋅ =1 21 21 Jadi, banyaknya kemungkinan tim yang dpat dibentuk: 105 + 105 + 21 = 231 Jawaban: D 9. Diketahui sistem persamaan: 2 y 4 x z 18 5y 18 2x y z 8 6 3 x z 2x y z + = + + = + + - = + + + Misalkan: 1 a x z 1 b 2x y z = + = + + Maka sistem persamaannya menjadi, y 2a 4 5y 18b 18 8a 6b 3 + = + = - = Menggunakan eliminasi diperoleh 10a – 18b = 2 24a – 18b = 9 –14a = –7 ⇒a = 1 2 5y + 10a = 20 5y + 18b = 18 10a – 18b = 2 Untuk a = 1 2 ⇒ 1 y 2. 4 y 3 2 + = ⇔ = ⇒ 8.1 6b 3 b 1 2- = ⇔ =6 1 1 6 2x y z 2x y z 6 2x 3 z 6 2x z 3 = + + + + = + + = + = 1 a x z 1 1 2 x z x z 2 = + = + + = ...(*) ...(**) Eliminasikan persamaan (*) dan (**): x + z = 2 2x + z = 3 x = 1 ⇒x = 1 ⇒z = 1
Jadi, 2 2 2 y x 2xz z y (x z) y |x z| 3 |1 1| 3 + - + = + = + = + -= Jawaban: A 10. Diketahui matriks 2 4 A 2b 3c = dan B= 2c 3b 2a 1-a b 7++ . T A 2B 2 4 2c 3b a 2 2b 3c 2a 1 b 7 2 4 4c 6b 2a 2b 3c 4a 2 2b 14 = - = + + - = + + Diperoleh i. 4c – 6b = 2 ii. 2a = 4 ⇒a = 2 iii. 4a + 2 = 2b ⇒8 + 2 = 2b ⇒b = 5 iv. 2b + 14 = 3c⇒10 + 14 = 3c ⇒c = 8 Jawaban: D 11. Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku sama
kaki. Dari titik B ditarik garis ke sisi AC sehingga AD = DC Luas segitiga ABC = 2p2 A C B D 2 2 2 2 2 1 LuasABC AB BC 2 1 2p AB 2 AB 4p AB 4p 2p = ⋅ ⋅ = ⋅ = = = 2 2 2 2 2 AC AB BC 4p 4p 8p 2p 2 = + = + = = 2 2 2 1 LuasABC AC BD 2 1 2p 2p 2 BD 2 2p p 2 BD 2p BD p 2 p 2 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = = Jawaban: C 12. 3cosx 1 5 cosx 3cosx 1 5 0 cosx 3cosx 1 5cosx 0 cosx cosx 2cosx 1 0 cosx + ≥ + - ≥ + - ≥ - + ≥ Pembuat nol: 2cosx 1 0 1 cosx 2 - + = = Untuk x 2 2 p p - < < , x yang memenuhi 1 cosx 2 = adalah: x 3 p = - atau x 3 p = Dapat dibuat garis bilangan: -p/2 -p/3 p/3 p/2 +++ - - - +++ Dari garis bilangan di atas diperoleh himpunan penyelesaiannya: x 2 3 p p - < ≤ - atau x 3 2 p p - ≤ < Jawaban: D
13. Diketahui: f(x + 1) = 2x = 2(x + 1) 2 2 (f g)(x 1) 2x + = +4x 2 -2 2 2 2 2 2 2 2 (f g)(x 1) 2x 4x 2 f(g(x 1)) 2x 4x 2 2(g(x 1)) 2 2x 4x 2 g(x 1) 1 x 2x 1 g(x 1) x 2x g(x) (x 1) 2(x 1) g(x) x 2x 1 2x 2 g(x) x 1 + = + -+ = + -+ - = + -+ - = + -+ = + = - + -= - + + -= - Jawaban: A 14.
Hari ke Jumlah virus
1 2 2 4 3 8 (seperempat dari virus dibunuh) menjadi 6 4 12 5 24 6 48 (seperempat dari virus dibunuh) menjadi 36 7 72 Jawaban: E 15. 1 1 2 x 2 x 1 2 x 2 2 2 2 2 1 logx log 0 2 logx log2 0 logx log2 0 1 logx 0 logx ( logx) 1 0 logx - - - ≥ - ≥ - ≥ - ≥ - ≥ Pembuat nol: i. 2 2 2 2 2 2 ( logx) 1 0 ( logx 1)( logx 1) 0 logx 1 x 2 1 logx 1 x 2 - = - + = = ⇒ = = - ⇒ = ii. 2log x = 0 ⇒ x = 1 Syarat penyebut: 2logx 0 x 2 ≥ ≥ Syarat logaritma: 2logx⇒ ≥x 0 1 2logx xlog 1 0 2 - ≥ x 0≥ dan 1 0 dan1 1 x≥ x ≠ ⇒ ≥x 0 dan x 0≠ Dapat dibuat garis bilangan: 1/2 1 2 +++ - - - +++ Himpunan penyelesaiannya: 1 x 1 2≤ < atau x 2≥ Jawaban: E 16. 2 3 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 y (x a)(2x b) y' 2x(2x b) (x a) 3 (2x b) 2 2x(2x b) 6(x a)(2x b) 2(2x b) (x(2x b) 3(x a)) (2x b) (5x bx 3a) = - + = + + - ⋅ ⋅ + ⋅ = + + - + = + + + -= + + -2 3 y (x= -a)(2x b)+ turun pada interval 2 1 x 5 - < < , maka: 2 2 2 2 y' 0 (2x b) (5x bx 3a) 0 (2x b) 0 atau (5x bx 3a) 0 = + + - = + = + - = Untuk x = -1, 5 b 3a 0- - = Untuk x 2 5 = , 4 2b 3a 0 4 2b 15a 0 5 5+ - = ⇒ + - =
Eliminasi persamaan (i) dan (ii) diperoleh: 2 a 3 = ⇒b = 3 Jadi, ab 2 3 3 2 = ⋅ = Jawaban: D 17. Sekumpulan data mempunyai rata-rata 15
dan jangkauan 6. x 15
J 6 = =
Setiap nilai dari data dikurangi A kemudian hasilnya dibagi B ternyata menghasilkan data baru dengan rata-rata 7 dan jangkauan 3. J 6 B B B 2 3= ⇔ = ⇔ =3 x A 7 B 15 A 7 2 15 A 14 A 1 - = - = - = = Jawaban: C 18. 1 1 1 ... 1 1 2 2 3 3 4 63 64 ( 1 2) ( 2 3) ( 3 4) ... ( 63 64) 1 64 1 8 7 + + + + + + + + = - + + - + + - + + + - + = - + = - + = Jawaban: D 19. Diberikan grafik fungsi 5 2 3 3 f(x) 3x= -15x , maka: 2 1 3 3 1 3 2 5x 10 f'(x) 5x 15 x 3 x - -= - ⋅ ⋅ = 1) untuk x = 0, maka f’(0) tidak ada 2) fungsi naik pada interval (-8,0) atau (2, )∞
Dari penggunaan turunan, diperoleh bahwa:
0 2
+++ - - - +++
fungsi naik pada interval (-∞,0) atau (2, ∞) dengan demikian, fungsi juga naik pada interval (-8,0) atau (2, ∞) 3) fungsi turun pada interval (0, 2) lihat garis bilangan 4) terjadi minimum relatif di titik (2, 9 4)- 3 1 3 f'(x) 0 5x 10 0 x 2 x = - = ⇒ = 5 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 3 f(2) 3 2 15 2 3 2 2 15 2 6 2 15 2 9 2 9 4 = ⋅ - ⋅ = ⋅ ⋅ - ⋅ = ⋅ - ⋅ = - = - Jawaban: E 20. 2 3 9 3 3 3 3 3 3 3 3 logx 2 log y 3 logx 2 log y 3 1 logx 2 log y 3 2 logx log y 3 logxy 3 xy 3 27 + ⋅ = + ⋅ = + ⋅ ⋅ = + = = = = ... (i) ... (ii) 3 0 x y log 0 2 x y 3 1 2 x y 2 - = - = = - = Substitusikan (ii) ke (i), diperoleh: 2 2 2 (x y) (x y) 4xy 2 4 27 112 x y 4 7 + = - + = + ⋅ = + = ± Karena harus x > 0, y < 0, maka: x y 4 7+ = Jawaban: D
Petunjuk A digunakan untuk menjawab soal nomor 1 sampai dengan 12
1. Jika suku banyak ax3+2x2+5x b+ dibagi (x2 – 1) menghasilkan sisa (6x + 5) maka
a + 3b adalah ….
(A) 15 (D) 8 (B) 12 (E) 5 (C) 10
2. Misalkan x1 dan x2 bilangan bulat yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat
2
x -(2k 4)x (3k 4) 0+ + + = . Jika x1, k, x2 merupakan tiga suku pertama dari suatu deret geometri, maka rumus suku ke-n deret tersebut adalah ….
(A) 1 – (–1)n (D) 2(–1)n
(B) 1 + (–1)n (E) –1
(C) – (–1)n
3. Diketahui persamaan kuadrat
2 2 x +2px p- +7p 6 0- = . Nilai p agar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar berlawanan tanda adalah …. (A) 11 p 2 2< < atau p > 3 atau p < 1 (B) 1 p 11 2 < < (C) 11 p 3 2< < (D) p < 1 atau p > 6 (E) p 11 2 < atau p > 2 4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2 2 x - ≤1 3x + -x 2 adalah …. (A) {x|x 1 atau x 1} 2 ≤ - ≥ (B) {x|x≤ -1 atau x 1}≥ (C) {x|x≤ -1} (D) {x| 1 x 1}- ≤ ≤ (E) {x|1 x 1} 2≤ ≤ 5. Jika koordinat titik A(3, 1, 2), B(4, 3, 0), dan C(1, 2, 0) maka luas segitiga ABC = …. (A) 14 (D) 2 26 (B) 1 65 2 (E) 1 114 2 (C) 3 10
6. Jika sudut A dan B memenuhi sistem persamaan: 2tanA tanB 4 17 tanA 3tanB 2 + = - = -maka tan(2A + B) = …. (A) 13 9 (D) 7 9 -(B) 11 9 (E) 5 9 -(C) 9 9
-7. Suatu barisan geometri mempunyai 3 suku pertama α β β, , 2. Jika αdan β adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2 + kx + 6,
maka suku keempat dari barisan dan nilai k masing-masing adalah …. (A) 27 dan –8 (B) 27 dan 8 (C) 24 dan –8 (D) 24 dan –4 (E) 24 dan 4 8. Fungsi f(x) = 3sinx + 3cosx yang didefinisikan pada interval (0, 2 ) mencapai nilai mak-simum untuk titik x = …. (A) 6 p (D) 2 p (B) 4 p (E) 3 4 p (C) 3 p 9.
(
2 2 2)
xlim→∞ 4x +8x- x + -1 x + =x ... (A) 5 2 (D) 1 (B) 2 (E) 1 2 (C) 3 2 10. Jika suku banyak f(x) habis dibagi oleh (x – 1), maka sisa pembagian f(x) oleh (x – 1)(x + 1) adalah …. (A) f( 1)(1 x) 2 - - + (B) f( 1)(1 x) 2 - - -(C) f( 1)(1 x) 2 - + (D) f( 1)(1 x) 2 - -(E) f( 1)(x 1) 2 --11. Daerah yang dibatasi oleh garis x = 3y dan kurva y= x pada 0≤ x < m, m > 0 terdiri dari dua bagian. Bagian A antara kurva y= x dan garis x = 3y pada 0≤ x < m, m > 0. Bagian B antara garis x = 3y dengan sumbu x pada 0≤ x < m, m > 0. Agar kedua bagian daerah tersebut mempunyai luas yang sama maka m = …. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 12. Diketahui balok ABCD.EFGH di mana AB = 6 cm, BC = 8 cm, BF = 4 cm. Misalkan αadalah sudut antara AH dan BD, maka cos 2α = …. (A) 61 5 5 (D) 8 125 (B) 8 5 5 (E) 3 125 (C) 5 5 5
Petunjuk B digunakan untuk menjawab soal nomor 13 sampai dengan 15 13. Akar-akar persamaan px2 – (2p + 1)x + 2 = 0
adalah m dan n. Jika mn = 1, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari kebalikan m dan n adalah …. (1) 2x2 + 17 2 x + 2 = 0 (2) 2x2 –17 2 x + 2 = 0 (3) 4x2 + 17x + 4 = 0 (4) 4x2 – 17x + 4 = 0 14. Diketahui sistem persamaan berikut. 2x y z 3x y 2z x 2y z 5 125 1 7 7 2 64 + + - + + -= = = Jawaban yang sesuai adalah ….
(1) y – z = 3 (2) x = 1
(3) 2x + y = 3y + 2z (4) x + y + z = 2
15. Jika tanx 1 cos x2 b 1 1 tanx sinxcosx a 2 = , di mana b = 2a, maka 0 x≤ ≤ pyang memenuhi adalah …. (1) 6 p (2) 12 p (3) 5 6 p (4) 4 p
Kunci Jawaban dan Pembahasan
Matematika IPA Simak-UI
1. Suku banyak P(x) ax= 3+2x2+5x b+ dibagi
(x2 – 1) menghasilkan sisa (6x + 5). (x2 – 1) = (x – 1)(x + 1) Dengan demikian, P(1) = a + 2 + 5 + b = a + b + 7 = 11 P(–1) = –a + 2 – 5 + b = –a + b – 3 = –1 Eliminasi kedua persamaan diperoleh: a = 1 ⇒b = 3 Jadi, a + 3b = 1 + 3 . 3 = 10 Jawaban: C 2. Misalkan x1 dan x2 bilangan bulat yang
merupakan akar-akar persamaan kuadrat
2
x -(2k 4)x (3k 4) 0+ + + = . i. x1+x2= +2k 4 ii. x x1⋅ = +2 3k 4
x1, k, x2 merupakan tiga suku pertama dari suatu deret geometri, maka iii. x x1⋅ =2 k2 iv. x1+x2= +a ar2 Dari persamaan (i) dan (iii) diperoleh: 2 2 k 3k 4 k 3k 4 0 (k 4)(k 1) 0 k 4,k 1 = + - - = - + = = = -Untuk k = –1, maka: 2 2 x 2x 1 0 (x 1) 0 - + = - = Diperoleh x1 = x2 = 1 Deret geometri: 1, 1, 1 Rumus suku ke-n: n 1 n 1 n 1 n 1 n ar 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) - = ⋅ = -= = -Jawaban: C 3. Diketahui persamaan kuadrat 2 2 x +2px p- +7p 6 0- =
x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat tersebut. x1 dan x2 berlawanan tanda, maka:
1 2 2 x x 0 p 7p 6 0 ( p 1)(p 6) 0 ⋅ < - + - < - + - < p < 1 atau p > 6 ... (i) Mempunyai dua akar, maka 2 2 2 2 D 0 (2p) 4 1 ( p 7p 6) 0 8p 28p 24 0 2p 7p 6 0 (2p 3)(p 2) 0 > - ⋅ ⋅ - + - > - + > - + > - - > 3 p ataup 2 2 < > ... (ii) Gabungan dari (i) dan (ii) adalah: p < 1 atau p > 6 Jawaban: D 4. 2 2 2 2 2 x 1 3x x 2 x 1 3x x 2 2x x 1 0 (2x 1)(x 1) 0 - ≤ + -- ≤ + -+ - ≥ - + ≥ Diperoleh: x 1 atau x 1 2 ≤ - ≥ ... (*) Syarat: i. x2 1 0 (x 1)(x 1) 0 - ≥ - + ≥ HP = x≤ -1 atau x 1≥ ... (i) ii. 3x2 x 2 0 (3x 2)(x 1) 0 + - ≥ - + ≥ HP = x 1 atau x 2 3 ≤ - ≥ ... (ii)
Gabungan dari (*), (i), dan (iii) adalah: {x|x≤ -1 atau x 1}≥ Jawaban: B 5. Koordinat titik A(3, 1, 2), B(4, 3, 0), dan C(1, 2, 0) Panjang sisi-sisi segitiga: 2 2 2 AB (4 3) (3 1) (0 2) 1 4 4 3 = - + - + -= + + = 2 2 2 AC (1 3) (2 1) (0 2) 4 1 4 3 = - + - + -= + + = 2 2 2 BC (1 4) (2 3) (0 0) 9 1 0 10 = - + - + -= + + = Merupakan segitiga sama kaki. A 3 3 t √10 B C Tingginya: 2 2 1 t 3 10 2 5 13 1 9 26 2 2 2 = - = - = = Luasnya: 1 1 1 L 10 26 260 2 2 4 1 1 4 64 65 4 2 = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = Jawaban: B 6. Diketahui: 2tanA tanB 4 17 tanA 3tanB 2 + = - = -Dieliminasi, diperoleh: 2tanA tanB 4 2tanA 6tanB 17 + = - = -7tanB 21= ⇒tanB 3= Sehingga tanA 1 2 = 2 2tanA 1 4 tan2A 1 3 1 tan A 1 4 = = = - -Jadi, tan2A tanB tan(2A B) 1 tan2A tanB 4 3 13 13 3 3 4 3 9 1 3 3 + + = -+ = = = -- ⋅ Jawaban: A 7. α dan β adalah akar-akar dari persamaan
kuadrat 2x2 + kx + 6. k 2 3 α + β = -α ⋅β =
Suatu barisan geometri mempunyai 3 suku pertama α β β, , 2. 2 2 1 β = α ⋅β α = Untuk α =1, maka β =3 Deret geometrinya: 1, 3, 9. Suku ke-4 = 9 . 3 = 27 k 2 k 1 3 2 k 4 2 k 8 α + β = + = = = -Jawaban: A 8. Fungsi f(x) = 3sinx + 3cosx yang didefinisikan pada interval (0, 2 ) Maksimum saat f’(x) = 0 f’(x) = 3cosx – 3sinx = 0 3cosx 3sinx 0 sinx 1 cosx tanx 1 - = = =
Untuk x (0, 2 ), nilai x yang memenuhi adalah:
{ }
5 , 4 4 p p Jawaban: B 9.(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
) (
)
2 2 2 x 2 2 2 x 2 2 2 2 x 2 2 2 2 x x lim 4x 8x x 1 x x lim 2 x 2x x 1 x x lim x 2x x 1 x 2x x x lim x 2x x 1 lim x 2x x x 2 0 2 1 2 1 2 1 1 3 1 2 2 →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ + - + - + = + - + - + = + - + + + - + = + - + + + - + - -= + = + = Jawaban: C 10. • Suku banyak f(x) habis dibagi oleh (x – 1), maka: f(1) = 0 • Sisa suku banyak f(x) dibagi (x + 1) adalah f(–1). • Misalkan sisa pembagian f(x) oleh (x – 1) (x + 1) adalah ax + b. Dengan demikian diperoleh: f(1) = a + b = 0 f(–1) = –a + b Dielimisasi menghasilkan: f( 1) 2a f( 1) a 2 -= - - ⇒ -= f( 1) b 2 -=Jadi, sisa pembagian f(x) oleh (x – 1)(x + 1) adalah f( 1) f( 1) x 2 2 f( 1)(x 1) 2 f( 1)(1 x) 2 - - -= + -= -= -Jawaban: D
11. Daerah yang dibatasi oleh garis x = 3y dan kurva y= xpada 0≤ x < m, m > 0 terdiri dari dua bagian. Bagian A antara kurva kurva y= x dan garis x = 3y pada 0≤ x < m, m > 0. Bagian B antara garis x = 3y dengan sumbu x pada 0≤ x < m, m > 0. Dapat digambarkan: y= x x = 3y ⇒ y = 1/3 x m X Y 0 A B (m, 1/3m) Luas bagian A: m 0 m 3 2 2 0 3 2 2 1 Luas A x x dx 3 2 1 x x 3 6 2 1 m m 3 6 = - = - =
-∫
Luas bagian B = luas segitiga B: 2 1 1 1 Luas B m m m 2 3 6 = ⋅ ⋅ = Jadi, 3 2 2 2 3 2 2 1 2 1 2 1 m m m 6 3 6 1 2 m m 3 3 m 2 m 4 = -= = = Jawaban: C12. Sudut antara AH dan BD ekuivalen dengan sudut antara BG dan BD.
Perhatikan segitiga BDG dengan panjang-panjang sisinya:
A E B 6 8 4 F C G D H 2 2 2 2 BD AB BC 6 8 36 64 100 10 = + = + = + = = 2 2 2 2 BG BF BC 4 8 16 64 80 4 5 = + = + = + = = 2 2 2 2 DG CD CG 6 4 36 16 52 2 13 = + = + = + = = Menggunakan aturan kosinus, maka: 2 2 2 2 BD BG DG cos 2 BD BG 100 80 52 2 10 4 5 128 8 8 10 5 5 5 64 cos 125 + -α = ⋅ ⋅ + -= ⋅ ⋅ = = ⋅ α = Diperoleh: 2 2 sin 1 cos 64 61 1 125 125 α = - α = - = Jadi, 2 2
cos2 cos sin
64 61 3 125 125 125 α = α - α = - = Jawaban: E 13. Akar-akar persamaan px2 – (2p + 1)x + 2 = 0 adalah m dan n. (2p 1) 2p 1 m n p p - + + + = - = 2 m n p ⋅ = Karena mn = 1, maka 2 m n p 2 1 p 2 p ⋅ = = ⇒ = Dengan demikian, 2p 1 2 2 1 5 m n p 2 2 + ⋅ + + = = = Akar-akar yang baru adalah 12 m dan 2 1 n . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 m n (m n) 2mn m n m n (mn) 5 2 1 25 17 2 2 4 4 1 + + -+ = = - ⋅ = = - = 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 m n⋅ =m n =(mn) = Persamaan kuadrat yang baru: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x x 0 m n m n 17 x x 1 0 4 17 2x x 2 0 2 4x 17x 4 0 - + + ⋅ = - + = - + = - + = ... 2 ... 4 Jawaban: C 14. Diketahui sistem persamaan berikut. 2x y z 3x y 2z x 2y z 5 125 2x y z 3 1 7 3x y 2z 1 7 2 64 x 2y z 6 + + - + + -= ⇔ + + = = ⇔ + = -= ⇔ + - = ... (i) ... (ii) ... (iii)
Dari (i) dan (ii) diperoleh: 2x + y + z = 3 3x – y + 2z = –1 + 5x + 3z = 2 ... (iv) Dari (i) dan (iii) diperoleh: 4x + 2y + 2z = 6 x + 2y – z = 6 – 3x + 3z = 0 ... (v) Dari (iv) dan (v) diperoleh: 5x+ 3z = 2 3x + 3z = 0 – 2x = 2 ⇔x = 1 Untuk x = 1, maka: z = –1 Akibatnya, 2x + y + z = 3 ⇔2 . 1 + y + (–1) = 3 ⇔y = 2 (1) y – z = 3 y – z = 2 – (–1) = 3 (2) x = 1 (3) 2x + y = 3y + 2z 2x + y = 2 . 1 + 2 = 4 3y + 2z = 3 . 2 + 2 (–1) = 4 Jadi, 2x + y = 3y + 2z (4) x + y + z = 2 1 + 2 + (–1) = 2 Pernyataan 1, 2, 3, 4 benar. Jawaban: E 15. 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 tanx 1 cos x b 1 1 tanx sinxcosx a 2 tanxcos x sinxcosx 2a 1 a 2 cos x sinxcosx tanx
a tanxcos x sinxcosx
a cos x sinxcosx tanx
sinxcosx sinxcosx a a cos x sin x 2s = + = + + = + + = + 1 2 2 2 1 2 inxcosx a a cos x sin x a 2sin2x a 1 = + = Diperoleh: 1a 1 2 = ⇒a = 2 dan 2sin2x a 2 sin2x 1 2x x 2 4 5 5 2x x (tidak memenuhi) 2 4 = = = p p = ⇒ = p p = ⇒ = Jawaban: D
