PERMASALAHAN LOKASI
(Model Dasar)
Techniques of Continuous Space
Location Problems
–
Median method
» Rectilinier / Manhattan / City block distance
–
Contour-Line method
» Constructs regions bounded by counter line which provide feasible point for new facility with the same total cost
–
Gravity method
» Squared Euclidean distance
–
Weiszfeld method
» Euclidien distance
•
Jika solusi optimal tidak feasibel perlu dilakukan
proses lebih lanjut untuk mencari lokasi feasible dan
optimal
Types of Distance
• Rectilinear distance / Manhattan distance / City block distance / rigth-angle distance / rectangular distance
– 𝑑𝑖𝑗 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 + 𝑦𝑖 − 𝑦𝑗
– Aplikasi pada overhead material handling carrier dengan rel tegak lurus
• Euclidean
– 𝑑𝑖𝑗 = (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)2+(𝑦
𝑖 − 𝑦𝑗)2
– Aplikasi pada conveyor, jaringan transportasi dan distribusi
• Squared Eucledian
– 𝑑𝑖𝑗 = (𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)2+(𝑦𝑖 − 𝑦𝑗)2
– Memberikan bobot terbesar pada jarak terdekat
𝑥𝑖: 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑥 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑖 𝑦𝑖: 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑦 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑖 𝑥𝑗: 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑥 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑗 𝑦𝑗: 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑥 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑗 𝑑𝑖𝑗: 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑗
Median Method
•
Meletakkan fasilitas pada titik median
•
Contoh Aplikasi:
–
Level makro: penempatan warehouse
–
Level mikro: penempatan mesin
•
Frekuensi lintasan lokasi 𝑖 (𝑓
𝑖
) dan biaya
transportasi (𝑐
𝑖
) ke lokasi baru diketahui.
Dan karena nilainya konstan maka dapat
ditetapkan sebagai bobot lokasi 𝑖 (𝑤
𝑖
)
Median Method
•
Tujuan Median Method:
– Meminimasi 𝑇𝐶 = 𝑚𝑖=1𝑐𝑖𝑓𝑖 𝑥𝑖 − 𝑥 + 𝑦𝑖 − 𝑦
» 𝑇𝐶 ∶ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑖𝑎𝑦𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖
» 𝑥 , 𝑦 ∶ 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢
•
Langkah-langkah Metode Median:
– Langkah1. Urutkan lokasi mulai koordinat 𝑥 terkecil
– Langkah2. Tentukan lokasi 𝑗 dari urutan pada langkah1 yang nilai kumulatif bobotnya bernilai 1
2 atau lebih dari 1
2 untuk pertama kali. 𝑤𝑖 < 𝑗−1 𝑖=1 𝑤𝑖 2 𝑚 𝑖=1 𝑑𝑎𝑛 𝑤𝑖 ≥ 𝑗 𝑖=1 𝑤𝑖 2 𝑚 𝑖=1
– Langkah3. Urutkan lokasi mulai koordinat 𝑥 terkecil
– Langkah4. Tentukan lokasi 𝑘 dari urutan pada langkah3 yang nilai kumulatif bobotnya bernilai 1
2 atau lebih dari 1
2 untuk pertama kali. 𝑤𝑖 < 𝑘−1 𝑖=1 𝑤𝑖 2 𝑚 𝑖=1 𝑑𝑎𝑛 𝑤𝑖 ≥ 𝑘 𝑖=1 𝑤𝑖 2 𝑚 𝑖=1
Median Method
•
Contoh Soal:
– Terdapat 4 divisi di lantai 5 yang telah memiliki satu mesin
fotokopi, namun karena kebutuhan yang tinggi diperlukan satu
mesin fotokopi baru untuk digunakan bersama. Cari lokasi fotokopi yang optimal, jika diketahui koordinat centroid masing-masing
divisi dan rata-rata trafic penggunaan ke fotokopi baru per divisi. Asumsi jarak yang ditempuh dimulai dan berakhir pada centroid lokasi.
No. Divisi Koordinat x Koordinat y Rata2 trafic pemakaian
1 10 2 6
2 10 10 10
3 8 6 8
Median Method
•
Contoh Soal:
–
Langkah 1
–
Langkah 2
•
𝑤𝑖 2=
28 2= 14
•
𝑗 = 10
No. Divisi Koordinat x Bobot Kumulatif Bobot
3 8 8 8
1 10 6 14
2 10 10 24
Median Method
•
Contoh Soal:
–
Langkah 3
–
Langkah 4
•
𝑤𝑖 2=
28 2= 14
•
𝑘 = 6
–
Lokasi Optimal : (10, 6)
No. Divisi Koordinat y Bobot Kumulatif Bobot
1 2 6 6
4 5 4 10
3 6 8 18
Gravity Method
•
Untuk jarak yang bersifat tidak linier:
fungsi kuadrat
•
Jenis jarak: squared Euclidean
•
Hasil optimal: pusat gravitasi (sering disebut Metode
Pusat Gravitasi)
•
Tujuan:
Meminimasi 𝑇𝐶 = 𝑚𝑖=1𝑐𝑖𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑥 )2+(𝑦𝑖 − 𝑦 )2
•
Lokasi baru optimal:
𝜕𝑇𝐶 𝜕𝑥= 2
𝑤
𝑖𝑥
𝑚 𝑖=1− 2
𝑚𝑖=1𝑤
𝑖𝑥
𝑖= 0
𝑥 =
𝑤
𝑖𝑥
𝑖 𝑚 𝑖=1𝑤
𝑖 𝑚 𝑖=1
𝜕𝑇𝐶 𝜕𝑦= 2
𝑤
𝑖𝑦
𝑚 𝑖=1− 2
𝑚𝑖=1𝑤
𝑖𝑦
𝑖= 0
𝑦 =
𝑤
𝑖𝑦
𝑖 𝑚 𝑖=1𝑤
𝑖 𝑚 𝑖=1Gravity Method
•
Contoh Soal:
–
Permasalahan yang sama dengan Metode Median:
𝑥 =
272
28
= 9.71
𝑦 =
180
28
= 6.43
No. Divisi 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒘𝒊 𝒘𝒊𝒙𝒊 𝒘𝒊𝒚𝒊 1 10 2 6 60 12 2 10 10 10 100 100 3 8 6 8 64 48 4 12 5 4 48 20 Total 28 272 180Contour-Line Method
•
Digunakan untuk mengeliminasi kemungkinan lokasi baru
berada di lokasi yang telah ada, dimana dua fasilitas yang sama
tidak dapat berada di satu tempat yang sama
•
Meletakkan lokasi baru pada daerah terdekat dengan biaya
paling minimal (feasible near optimal location)
•
Metode ini membentuk area geografis yang dibentuk oleh garis
contour
•
Garis contour merupakan alternatif lokasi baru dengan nilai
biaya yang sama
•
Kelebihan Contour-line Method:
– Memberikan alternatif lokasi jika lokasi optimal infeasibel
– Dapat mengakomodasi kriteria subyektif, yaitu dengan menggeser lokasi optimal awal sepanjang contour-line hingga memenuhi
Contour-Line Method
•
Langkah-langkah:
www.aeunike.lecture.ub.ac.id
Contour-Line Method
2. Tarik garis horisontal dan vertikal yang melintasi titik-titik lokasi saat ini
www.aeunike.lecture.ub.ac.id
Contour-Line Method
3. Jumlahkan bobot pada titik lokasi yang dilewati oleh tiap garis. Notasikan V untuk jumlah bobot pada garis Vertikal, dan H untuk jumlah bobot pada garis Horisontal
𝑉1: 𝑉2: 𝑉3: 𝑉4: 𝑉5: 𝐻5: 𝐻4: 𝐻3: 𝐻2: 𝐻1:
www.aeunike.lecture.ub.ac.id
Contour-Line Method
4. Jumlahkan bobot dan notasikan 𝑁0 = 𝐷0 = − 𝑚𝑖=1𝑤𝑖𝑁𝑖 = − 𝑚𝑖=1 𝑤𝑖 + 2 𝑖𝑘=1𝑉𝑘; 𝐷𝑖 = − 𝑚𝑖=1𝑤𝑖 + 2 𝑖𝑘=1𝐻𝑘
𝑁0:
www.aeunike.lecture.ub.ac.id
Contour-Line Method
5. Hitung gradien masing-masing area: −𝑁𝑠𝐷𝑡 𝑁0: :𝐷0 :𝐷1 :𝐷2 :𝐷3 :𝐷4 :𝐷5 𝑁1: 𝑁2: 𝑁3: 𝑁4: 𝑁5:
www.aeunike.lecture.ub.ac.id
Contour-Line Method
6. Pilih titik sembarang dan gambarkan garis contour-nya sesuai dengan gradien tiap area.
Weiszfeld Method
•
Metode kuantitatif untuk menentukan posisi
(dalam koordinat) fasilitas baru yang akan
ditempatkan di antara beberapa fasilitas lainnya
yang sudah terpasang.
•
Ukuran jarak yang dipergunakan dalam metode ini
adalah Jarak Euclidean.
Fungsi Tujuan Weiszfeld Method
m
i
i
i
i
i
f
x
x
y
y
c
TC
1
2
2
)
)
(
)
(
.(
.
MINIMIZE
TC = Total Cost c = Biaya perpindahan f = Frekuensi perpindahanx = Koordinat fasilitas pada sumbu x y = Koordinat fasilitas pada sumbu y
m = Banyaknya fasilitas yang telah terpasang
w = Bobot perpindahan
i
i
i
c
f
Koordinat Fasilitas X
m i i i i m i i i i iy
y
x
x
w
y
y
x
x
x
w
x
1 2 2 1 2 2)
(
)
(
)
(
)
(
.
m i i i i m i i i i iy
y
x
x
w
y
y
x
x
y
w
y
1 2 2 1 2 2)
(
)
(
)
(
)
(
.
Koordinat Fasilitas Y
3 Langkah Iterasi
m i i m i i i kw
x
w
x
1 1.
m i i m i i i kw
y
w
y
1 1.
Langkah 0 : * Nyatakan k = 1
m i k i k i i m i k i k i i i k y y x x w y y x x x w x 1 2 2 1 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( .
m i k i k i i m i k i k i i i k y y x x w y y x x y w y 1 2 2 1 2 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( . Langkah 1 : * Nyatakan : Langkah 2 :•Jika dan , maka stop. Jika tidak maka nyatakan k = k+1 dan kembali ke langkah 1.
k k
x
Contoh Soal
Dua buah mesin fax yang akan dipergunakan oleh 4 departemen.
Koordinat ke 4 buah mesin dan rata-rata jumlah pemakaian mesin fax dinyatakan tabel dibawah ini.
Departemen Koordinat X (Xi) Koordinat Y (Yi) permakaian mesin fax Rata-rata jumlah
(Wi)
1 10 2 6
2 10 10 20
3 8 6 8
Iterasi 1
4
.
7
4
8
20
6
20
48
200
12
8
.
9
4
8
20
6
48
64
200
60
0 0
y
x
Dept
x
iy
iw
iw
i. x
iw
i.y
i1
10
2
6
60
12
2
10
10
20
200
200
3
8
6
8
64
48
4
12
5
4
48
20
38
372
280
Dept xi yi wi wi. xi
[a] w[b] i.yi ( xi –x
0 )2
[c] ( yi – y
0 )2
[d] [e] = Akar ([c]+[d]) [a] / [e] [b] / [e] wi / [e]
1 10 2 6 60 12 0.04 28.82 5.37 11.16 2.23 1.11 2 10 10 20 200 200 0.04 6.93 2.63 75.75 75.75 7.57 3 8 6 8 64 48 3.20 1.87 2.25 28.40 21.30 3.55 4 12 5 4 48 20 4.89 5.61 3.23 14.81 6.17 1.23 38 372 280 130.15 105.47 13.47
7
.
9
47
.
13
15
.
130
1
x
8
.
7
47
.
13
47
.
105
1
y
Total Cost Iterasi 1
w
i( x
i–x
1)
2[f]
( y
i–x
1)
2[g]
[h]=akar
([f]+[g])
TC
1=(wi.[h])
6
0.12
33.93
5.83
35.0
20
0.12
4.73
2.20
44.0
8
2.74
3.33
2.46
19.7
4
5.49
7.98
3.67
14.7
38
113.4
Karena x1 tidak sama dengan x0, dan y1 tidak sama dengan y0, maka Lakukan kembali iterasi ke-2 mulai dari langkah ke2.
Iterasi ke- x y TC 1 9.7 7.8 113.4 2 9.7 8.2 111.9 3 9.8 8.4 110.8 4 9.8 8.7 109.9 5 9.8 8.9 109.1 6 9.9 9 108.5 7 9.9 9.2 108 8 9.9 9.3 107.6 9 9.9 9.4 107.2 10 9.9 9.5 106.9 11 9.9 9.6 106.7 12 10 9.6 106.5 … … … … 20 10 9.9 105.6 … … … … 25 10 10 105.5 HASIL KESELURUHAN ITERASI
Karena nilai X dan Y tidak berubah pada iterasi ke 25 dengan koordinat (10,10) Maka posisi mesin fax akan diletakkan di kordinat (10,10)
References
• Heragu, S. (2008). Facilities Design (3rd Ed.). CRC Press.
• Tompkins, W, Tanchoco, B. (2003). Facilities Planning (3rd Ed.). John Wiley & Sons.
• Wignjosoebroto, S. & Rahman, A. (2011). Analisa Lokasi & Permasalahan Alokasi (PPT). Surabaya: Teknik Industri – ITS.