PERMASALAHAN LOKASI
(Model Dasar)
[2]
Techniques of Continuous Space
Location Problems
–
Median method
»Rectilinier / Manhattan / City block distance
–
Contour-Line method
»Constructs regions bounded by counter line which provide feasible point for new facility with the same total cost
–
Gravity method
»Squared Euclidean distance
–
Weiszfeld method
»Euclidien distance
•
Jika solusi optimal tidak feasibel perlu dilakukan
proses lebih lanjut untuk mencari lokasi feasible dan
optimal
Types of Distance
• Rectilinear distance / Manhattan distance / City block distance / rigth-angle distance / rectangular distance
– 𝑑𝑖𝑗= 𝑥𝑖− 𝑥𝑗+ 𝑦𝑖− 𝑦𝑗
– Aplikasi pada overhead material handling carrier dengan rel tegak lurus • Euclidean
– 𝑑𝑖𝑗= (𝑥𝑖− 𝑥𝑗)2+(𝑦𝑖− 𝑦𝑗)2
– Aplikasi pada conveyor, jaringan transportasi dan distribusi • Squared Eucledian
– 𝑑𝑖𝑗= (𝑥𝑖− 𝑥𝑗)2+(𝑦𝑖− 𝑦𝑗)2
– Memberikan bobot terbesar pada jarak terdekat
𝑥𝑖: 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑥 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑖 𝑦𝑖: 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑦 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑖 𝑥𝑗:𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑥 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑗 𝑦𝑗:𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑥 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑗 𝑑𝑖𝑗: 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑗
Median Method
•
Meletakkan fasilitas pada titik median
•
Contoh Aplikasi:
–
Level makro: penempatan warehouse
–
Level mikro: penempatan mesin
•
Frekuensi lintasan lokasi
𝑖
(
𝑓
𝑖) dan biaya
transportasi (
𝑐
𝑖) ke lokasi baru diketahui.
Dan karena nilainya konstan maka dapat
ditetapkan sebagai bobot lokasi
𝑖
(
𝑤
𝑖)
Median Method
• Tujuan Median Method:– Meminimasi 𝑇𝐶 = 𝑚𝑖=1𝑐𝑖𝑓𝑖 𝑥𝑖− 𝑥 + 𝑦𝑖− 𝑦
»𝑇𝐶 ∶ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑖𝑎𝑦𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑠𝑖
»𝑥 ,𝑦 ∶ 𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑙𝑜𝑘𝑎𝑠𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢
• Langkah-langkah Metode Median:
– Langkah1. Urutkan lokasi mulai koordinat 𝑥 terkecil
– Langkah2. Tentukan lokasi 𝑗 dari urutan pada langkah1 yang nilai kumulatif bobotnya bernilai 12 atau lebih dari 12 untuk pertama kali.
𝑤𝑖< 𝑗−1
𝑖=1
𝑤𝑖
2
𝑚
𝑖=1
𝑑𝑎𝑛 𝑤𝑖≥ 𝑗
𝑖=1
𝑤𝑖
2
𝑚
𝑖=1
– Langkah3. Urutkan lokasi mulai koordinat 𝑥 terkecil
– Langkah4. Tentukan lokasi 𝑘 dari urutan pada langkah3 yang nilai kumulatif bobotnya bernilai 12 atau lebih dari 12 untuk pertama kali.
𝑤𝑖< 𝑘−1
𝑖=1
𝑤𝑖
2
𝑚
𝑖=1
𝑑𝑎𝑛 𝑤𝑖≥ 𝑘
𝑖=1
𝑤𝑖
2
𝑚
𝑖=1
– Lokasi baru OPTIMAL adalah𝒙:𝒋 𝒍𝒌. 𝟐 𝒅𝒂𝒏 𝒚:𝒌 (𝒍𝒌. 𝟒)
Median Method
•
Contoh Soal:
–Terdapat 4 divisi di lantai 5 yang telah memiliki satu mesin fotokopi, namun karena kebutuhan yang tinggi diperlukan satu mesin fotokopi baru untuk digunakan bersama. Cari lokasi fotokopi yang optimal, jika diketahui koordinat centroid masing-masing divisi dan rata-rata trafic penggunaan ke fotokopi baru per divisi. Asumsi jarak yang ditempuh dimulai dan berakhir pada centroid lokasi.
No. Divisi Koordinat x Koordinat y Rata2 trafic pemakaian
1 10 2 6
2 10 10 10
3 8 6 8
4 12 5 4
Median Method
•
Contoh Soal:
–
Langkah 1
–
Langkah 2
•
𝑤𝑖2
=
28
2
= 14
•
𝑗 = 10
No. Divisi Koordinat x Bobot Kumulatif Bobot
3 8 8 8
1 10 6 14
2 10 10 24
4 12 4 28
Median Method
•
Contoh Soal:
–
Langkah 3
–
Langkah 4
•
𝑤𝑖2
=
28
2
= 14
•
𝑘 = 6
No. Divisi Koordinat y Bobot Kumulatif Bobot
1 2 6 6
4 5 4 10
3 6 8 18
Gravity Method
•
Untuk jarak yang bersifat tidak linier:
fungsi kuadrat
•
Jenis jarak:
squared Euclidean
•
Hasil optimal: pusat gravitasi (sering disebut Metode
Pusat Gravitasi)
•
Tujuan:
Meminimasi 𝑇𝐶 = 𝑚𝑖=1𝑐𝑖𝑓𝑖(𝑥𝑖− 𝑥 )2+(𝑦𝑖− 𝑦 )2
•
Lokasi baru optimal:
𝜕𝑇𝐶
𝜕𝑥 = 2 𝑚𝑖=1𝑤𝑖𝑥 − 2 𝑚𝑖=1𝑤𝑖𝑥𝑖= 0
𝑥 = 𝑚𝑖=1𝑤𝑤𝑖𝑥𝑖
𝑖 𝑚 𝑖=1 𝜕𝑇𝐶
𝜕𝑦 = 2 𝑚𝑖=1𝑤𝑖𝑦 − 2 𝑚𝑖=1𝑤𝑖𝑦𝑖= 0
𝑦 = 𝑚𝑖=1𝑤𝑤𝑖𝑦𝑖
𝑖 𝑚 𝑖=1
Gravity Method
•
Contoh Soal:
–
Permasalahan yang sama dengan Metode Median:
𝑥 =
272
28
= 9.71
𝑦 =
180
28 = 6.43
No. Divisi
𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒘𝒊 𝒘𝒊𝒙𝒊 𝒘𝒊𝒚𝒊
1 10 2 6 60 12
2 10 10 10 100 100
3 8 6 8 64 48
4 12 5 4 48 20
Total 28 272 180
Weiszfeld Method
•
Metode kuantitatif untuk menentukan posisi
(dalam koordinat) fasilitas baru yang akan
ditempatkan di antara beberapa fasilitas lainnya
yang sudah terpasang.
•
Ukuran jarak yang dipergunakan dalam metode ini
adalah Jarak Euclidean.
Fungsi Tujuan Weiszfeld Method
m
i
i
i
i
i
f
x
x
y
y
c
TC
1
2
2
)
)
(
)
(
.(
.
MINIMIZE
TC = Total Cost c = Biaya perpindahan f = Frekuensi perpindahan x = Koordinat fasilitas pada sumbu x y = Koordinat fasilitas pada sumbu y m = Banyaknya fasilitas yang telah terpasang w = Bobot perpindahan
i
i
i
c
f
Koordinat Fasilitas X
mi i i
i m i i i i i
y
y
x
x
w
y
y
x
x
x
w
x
1 2 2
1 2 2
)
(
)
(
)
(
)
(
.
m i i i i mi i i
i i
y
y
x
x
w
y
y
x
x
y
w
y
1 2 2
1 2 2
)
(
)
(
)
(
)
(
.
Koordinat Fasilitas Y
3 Langkah Iterasi
m i i m i i i k w x w x 1 1 .
m i i m i i i k w y w y 1 1 . Langkah 0 :* Nyatakan k = 1
m i k i k i i m i k i k i i i k y y x x w y y x x x w x1 2 2
1 2 2
1 ) ( ) ( ) ( ) ( .
m i k i k i i m i k i k i i i k y y x x w y y x x y w y1 2 2
1 2 2
1 ) ( ) ( ) ( ) ( .
Langkah 1 : * Nyatakan :
Langkah 2 :
•Jika dan , maka stop. Jika tidak maka nyatakan k = k+1 dan kembali ke langkah 1.
k k
x
x1 k k
y y1
Contoh Soal
Dua buah mesin fax yang akan dipergunakan oleh 4 departemen. Koordinat ke 4 buah mesin dan rata-rata jumlah pemakaian mesin fax dinyatakan tabel dibawah ini.
Departemen Koordinat X (Xi)
Koordinat Y (Yi)
Rata-rata jumlah permakaian mesin fax
(Wi)
1 10 2 6
2 10 10 20
3 8 6 8
4 12 5 4
Iterasi 1
4
.
7
20
48
200
12
8
.
9
4
8
20
6
48
64
200
60
0 0
y
x
Dept
x
iy
iw
iw
i. x
iw
i.y
i1
10
2
6
60
12
2
10
10
20
200
200
3
8
6
8
64
48
4
12
5
4
48
20
Dept xi yi wi
wi. xi
[a] wi.yi
[b] ( xi –x0 )2
[c] ( yi– y0 )2
[d] [e] = Akar
([c]+[d]) [a] / [e] [b] / [e] wi / [e]
1 10 2 6 60 12 0.04 28.82 5.37 11.16 2.23 1.11 2 10 10 20 200 200 0.04 6.93 2.63 75.75 75.75 7.57 3 8 6 8 64 48 3.20 1.87 2.25 28.40 21.30 3.55 4 12 5 4 48 20 4.89 5.61 3.23 14.81 6.17 1.23
38 372 280 130.15 105.47 13.47
7
.
9
47
.
13
15
.
130
1
x
8
.
7
47
.
13
47
.
105
1
y
Total Cost Iterasi 1
w
i( x
i–
x
1)
2[f]
( y
i–
x
1)
2[g]
[h]=akar
([f]+[g])
TC
1
=(wi.[h])
6
0.12
33.93
5.83
35.0
20
0.12
4.73
2.20
44.0
8
2.74
3.33
2.46
19.7
4
5.49
7.98
3.67
14.7
38
113.4
Karena x1 tidak sama dengan x0, dan y1 tidak sama dengan y0, maka Lakukan kembali iterasi ke-2 mulai dari langkah ke2.
Iterasi ke- x y TC
1 9.7 7.8 113.4
2 9.7 8.2 111.9
3 9.8 8.4 110.8
4 9.8 8.7 109.9
5 9.8 8.9 109.1
6 9.9 9 108.5
7 9.9 9.2 108
8 9.9 9.3 107.6
9 9.9 9.4 107.2
10 9.9 9.5 106.9
11 9.9 9.6 106.7
12 10 9.6 106.5
… … … …
20 10 9.9 105.6
… … … …
25 10 10 105.5
HASIL KESELURUHAN
ITERASI
Karena nilai X dan Y tidak berubah pada iterasi ke 25 dengan koordinat (10,10) Maka posisi mesin fax akan diletakkan di kordinat (10,10)
Karena nilai X dan Y tidak berubah pada iterasi ke 25 dengan koordinat (10,10) Maka posisi mesin fax akan diletakkan di kordinat (10,10)
Contour-Line Method
• Digunakan untuk mengeliminasi kemungkinan lokasi baru berada di lokasi yang telah ada, dimana dua fasilitas yang sama tidak dapat berada di satu tempat yang sama
• Meletakkan lokasi baru pada daerah terdekat dengan biaya paling minimal (feasible near optimal location)
• Metode ini membentuk area geografis yang dibentuk oleh garis contour
• Garis contour merupakan alternatif lokasi baru dengan nilai biaya yang sama
• Kelebihan Contour-line Method:
–Memberikan alternatif lokasi jika lokasi optimal infeasibel
www.aeunike.lecture.ub.ac.id
Contour-Line Method
•
Langkah-langkah:
1. Plot lokasi saat ini beserta bobotnya sesuai dengan koordinatnya
Contour-Line Method
2. Tarik garis horisontal dan vertikal yang melintasi titik-titik lokasi saat ini
Contour-Line Method
3. Jumlahkan bobot pada titik lokasi yang dilewati oleh tiap garis. Notasikan V untuk jumlah bobot pada garis Vertikal, dan H untuk jumlah bobot pada garis Horisontal
𝐻5:
𝐻4:
𝐻3:
www.aeunike.lecture.ub.ac.id
Contour-Line Method
4. Jumlahkan bobot dan notasikan 𝑁0= 𝐷0= − 𝑚𝑖=1𝑤𝑖
𝑁𝑖= − 𝑚𝑖=1𝑤𝑖+ 2 𝑖𝑘=1𝑉𝑘; 𝐷𝑖= − 𝑚𝑖=1𝑤𝑖+ 2 𝑖𝑘=1𝐻𝑘 𝑁0:
:𝐷0
www.aeunike.lecture.ub.ac.id
Contour-Line Method
5. Hitung gradien masing-masing area: −𝑁𝑠 𝐷𝑡
𝑁0:
:𝐷0 :𝐷1 :𝐷2 :𝐷3 :𝐷4 :𝐷5
𝑁1: 𝑁2: 𝑁3: 𝑁4: 𝑁5:
www.aeunike.lecture.ub.ac.id
Contour-Line Method
6. Pilih titik sembarang dan gambarkan garis contour-nya sesuai dengan gradien tiap area.
References
• Heragu, S. (2008). Facilities Design (3rd Ed.). CRC Press.
• Tompkins, W, Tanchoco, B. (2003). Facilities Planning (3rd Ed.).John Wiley & Sons. • Wignjosoebroto, S. & Rahman, A. (2011). Analisa Lokasi & Permasalahan Alokasi (PPT).
