Tegangan Pada Massa Tanah

Kuliah ke 9

Tegangan Pada Massa Tanah

 Pada tanah yang harus mendukung pondasi dengan berbagai bentuk

umumnya terjadi kenaikan tegangan .

 Kenaikan tegangan pada tanah tersebut tergantung pada beban per satuan luas dimana pondasi berada, kedalaman tanah di bawah pondasi dimana tegangan tersebut di tinjau, dan faktor-faktor lainnya.

 Kenaikan tegangan vertikal yang terjadi pada tanah akibat beban pondasi perlu juga dihitung agar besarnya penurunan tanah yang akan terjadi dapat diperkirakan.

 Prosedur perhitungan penurunan tanah ini akan di bahas lebih lanjut.

 Berikut ini akan dibahas prinsip-prinsip perhitungan besarnya kenaikan tegangan vertikal pada tanah yang diakibatjan oleh berbagai macam pembebanan berdasarkan pada teori elastis.

 Walaupun tanah secara aslinya sebagaian besar tidak elastis penuh

Tegangan Normal dan Tegangan

Geser pada Sebuah Bidang



Pada gambar (a) berikut terlihat sebuah contoh dua dimensi

dari suatu elemen tanah yang menerima tegangan normal

dan tegangan geser dimana σ

_y

> σ

_x

.



Untuk

menentukan

besarnya

tegangan normal dan tegangan

geser pada sebuah bidang EF

yang

membentuk

sudut

θ

terhadap bidang AB, kita perlu

meninjau diagram benda bebas

(free-body) EFB sebagaimana

terlihat

pada

gambar

(b)

berikut.

Tegangan Normal dan Tegangan Geser pada

Sebuah Bidang



Misalkan

σ

n

adalah tegangan normal

dan

τ

n

adalah tegangan geser pada

bidang EF.



Dari analisa geometri didapat :

EB = EF cos

θ

dan

FB = EF sin

θ



Dengan

menjumlahkan

komponen

gaya-gaya yang bekerja pada elemen

tersebut dalam arah

N

, diperoleh :

σn

EF =

σx

FB sinθ+

σy

EB cosθ+

τxy

FB cosθ +

τxy

EB sinθ

σn

EF =

σx

EF sin2_{θ +}

σy

_{EF cos}2_{θ+ 2}

τxy

_{EF sinθcosθ}

σn

=

σx

sin2_{θ +}

σy

_cos2_{θ+ 2}

τxy

_sinθcosθ

…. persamaan (1)

















2

2

2

2

cos

xy

sin

x y x y

n



Tegangan Normal dan Tegangan Geser pada

Sebuah Bidang

τn

EF = –

σx

FB cosθ +

σy

EB sinθ+

τxy

FB sinθ–

τxy

EB cosθ

τn

EF = –

σx

EF sinθcosθ+

σy

EF cosθsinθ+

τxy

EF sinθ sinθ

–

τxy

EF cosθcosθ

τn

=

σy

sinθcosθ–

σx

sinθcosθ–

τxy

(cos2_{θ– sin}2_θ)

…. persamaan (2)













2

2

2

sin

xy

cos

x y

n









Dengan menjumlahkan komponen

gaya-gaya

yang

bekerja

pada

elemen

tersebut

dalam

arah

T

, (tegak lurus arah

N

) diperoleh :

Tegangan Normal dan Tegangan Geser pada

Sebuah Bidang



Dari persamaan (2) dapat diketahui bahwa harga

θ

dapat

ditentukan sedemikian rupa sehingga

τ

n

menjadi = 0.



Dengan memasukkan harga

τ

_n

_{= 0 pada persamaan (2), didapat :}

…persamaan (3)











2

2

2

sin

xy

cos

x

y



_

x y

xy

cos

sin















2

2

2

x y

xy

tan













2

2



Untuk

setiap

harga

τ

_xy

,

σ

_x

dan

σ

_x

p

ersamaan

di

atas

menghasilkan dua harga

θ

yang selisihnya 90

0

_.



Ini berarti terdapat dua bidang yang tegak lurus satu sama lainnya

dimana tegangan geser pada bidang-bidang tersebut ,

τ

_n

_{= 0.}

Tegangan Normal dan Tegangan Geser pada

Sebuah Bidang



Tegangan normal yang bekerja pada bidang utama ini disebut

tegangan utma

(principal stress).



Besarnya

tegangan

utama

ini

dapat

ditentukan

dengan

memasukkan

persamaam

(3)

ke

persamaan

(1)

yang

menghasilkan :

Tegangan Utama Besar

(Major Principal Stress) :

…..Persamaan (4)











2

2

1

₂

₂

xy

x y x

y

n

σ

σ

























)

(

Tegangan Utama Kecil

(Minor Principal Stress) :

…..

Persamaan (5)











2

2

3

₂

₂

xy

x y x

y n

σ

σ

























)

(

Tegangan Normal dan Tegangan Geser pada Sebuah Bidang

 Tegangan normal dan tegangan geser yang bekerja pada sembarang bidang juga dapat ditentukan dengan menggambar sebuah lingkaran Mohr, seperti terlihat pada gambar berikut :

 Perjanijian tanda yang dipakai dalam lingkaran Mohr adalah sbb :

o Tegangan normal tekan dianggap positif;

TEGANGAN NORMAL DAN TEGANGAN GESER

PADA SEBUAH BIDANG

 Untuk bidang AD dan BC pada elemen tanah dalam gambar, tegangan normalnya adalah +

σ

xdan tegangan gesernya adalah +

τ

xy.

 Untuk bidang AB dan DC, tegangan normalnya adalah +

σ

y dan tegangan

gesernya adalah -

τ

xy.

 Titik R dan M mewakili keadaan tegangan pada bidang-bidang AD dan AB.

 Titik O merupakan titik perpotongan antara sumbu tegangan normal dan garis RM dan sebagai titik pusat lingkaran.

 Jari-jari lingkaran Mohr OR adalah :



2

2

2 xy

x y σ

σ

    



 



)

(

O R

TEGANGAN NORMAL DAN TEGANGAN GESER

PADA SEBUAH BIDANG

 Tegangan pada bidang EF dapat ditentukan dengan memutar sebuah sudut sebesar 2θ(2 x besar sudut yang dibentuk oleh bidang EF terhadap bidang AB pada arah berlawanan jarum jam seperti pada gambar sebelah kiri) dalam arah berlawanan jarum jam dari titik M pada keliling lingkaran Mohr menuju titik Q.

 Absis dan ordinan titik N merupakan tegangan normal

σ

n

dan dan tegangan geser

τ

npada

bidang EF.

 Karena ordinat (tegangan geser) di titik N dan S = 0, maka titik-titik tersebut mewakili tegangan-tegangan pada bidang utama.

 Absis titik N adalah σ1 (pers

4), dan absis titik S adalah σ3(pers

TEGANGAN NORMAL DAN TEGANGAN GESER

PADA SEBUAH BIDANG



Pada kasus tertentu, yaitu bila bidang-bidang AB dan AD

merupakan bidang-bidang utama besar dan kecil, tegangan

normal dan tegangan geser pada bidang EF menunjukkan

bahwa σ

y

= σ

1

dan σ

x

= σ

3

sebagaimana terlihat pada gambar (a)

di bawah, sehingga :













2

2

2

cos

x y x y n

















2

2

sin

x y n





 Bentuk lingkaran Mohr untuk kondisi tegangan seperti ini diberikan pada gambar (b).

 Absis dan ordinat titik Q

menunjukkan besarnya tegangan normal dan tegangan geser pada bidang EF.

Metode

Metode Kutub

Kutub Untuk

Untuk Menentukan

Menentukan Tegangan

Tegangan--tegangan

tegangan Pada

Pada Sebuah

Sebuah Bidang

Bidang

 Terdapat cara lain untuk menentukan tegangan-tegangan pada sebuah bidang dengan menggunakan lingkaran Mohr, yaituMetode Kutub(Pole Methode), atauMetode Pusat Bidang(Origin of Plane Methode).

 Metode-metode ini ditunjukkan pada gambar berikut :

Pada gambar (a) terlihat sebuah contoh suatu elemen tanah yang menerima tegangan normal dan tegangan geser dimana σy> σx.

Gambar (b) merupakan lingkaran Mohr untuk tegangan-tegangan yang terjadi pada elemen tanah tersebut.

Metode

Metode Kutub

Kutub Untuk

Untuk Menentukan

Menentukan Tegangan

Tegangan--tegangan

tegangan Pada

Pada Sebuah

Sebuah Bidang

Bidang

Titik perpotongan garis ini dengan lingkaran Mohr disebut titik kutub.

Titik ini hanya ada satu untuk semua kedudukan tegangan pada elemen yang ditinjau.

Misalnya titik M pada lingkaran Mohr gambar (b) menunjukkan tegangan-tegangan pada bidang AB.

Garis MP ditarik sejajar dengan bidang AB

Jadi P merupakan titik kutub (pusat bidang) pada kondisi elemen tersebut.

Bila kita ingin mendapatkan tegangan-tegangan pada bidang EF, kita hanya perlu menarik sebuah garis dari titik kutub tersebut sejajar dengan bidang EF.

Titik perpotongan garis ini dengan lingkaran Mohr adalah titik Q.

Koordinan titik Q merupakan tegangan yang bekerja pada bidang EF. (Catatan: dengan ilmu ukur sudut dapat diketahui besar sudut QOM adalah 2 x besar sudut QPM).

Contoh Soal

 Bila diketahui bahwa tegangan-tegangan pada sebuah elemen tanah adalah seperti pada gambar dibawah ini, tentukan :

a.Tegangan utama besar (x1)

b.Tegangan utama kecil (x₃) c.Tegangan normal dan tegangan

geser pada bidang DE.

Gunakan cara metode kutub

 Penyelesaian :

 Pada bidang AD : tegangan normal = + 150 kN/m2

tegangan geser = - 50 kN/m2

 Pada bidang AB : tegangan normal = + 50 kN/m2

Contoh Soal

 Dengan menggambar lingkaran Mohr seperti pada gambar (b), didapat :

 Pada lingkaran Mohr :

 Titik P merupakan titik kutub.

 Garis PQ ditarik sejajar DE yang ada pada gambar (a)

 Koordinat titik Q menggambarkan besarnya tegangan-tegangan yang bekerja pada bidang DE.

 Jadi : tegangan normal = 164 kN/m2

tegangan geser = - 29,9 kN/m2

a. Tegangan utama besar = 170,7 kN/m2

b. Tegangan utama kecil = 29,3 kN/m2

c. NP adalah garis yang ditarik sejajar bidang CB.

Tegangan

Tegangan--tegangan

tegangan Yang

Yang Dihasilkan

Dihasilkan Oleh

Oleh

Beban

Beban Terpusat

Terpusat

 Boussinesq (1883) telah memecahkan masalah yang berhubungan dengan penentuan tegangan-tegangan pada sembarang titik pada sebuah media yang homogen, elastis, dan isotropis.

 Media tersebut berupa ruang yang luas tak terhingga dan pada permukaannya bekerja sebuah beban terpusat (beban titik) sebagaimana terlihat pada gambar berikut :

 Rumus Boussinesq untuk tegangan normal pada titik A yang diakibatkan oleh beban terpusat P adalah :



Persamaan

Δ

_p

x

dan

Δ

p

y

,

merupakan tegangan-teganaan

normal dalam arah horizontal yang besarnya tergantung

pada angka poisson (

μ

)medianya.



Sedangkan tegangan arah vertikal

Δ

_p

z

, tidak tergantung

pada angka poisson (

μ

).



Hubungan untuk

Δ

_p

z

, kemudian dapat dituliskan lagi dalam

bentuk sebagai berikut :

Tegangan

Tegangan--tegangan

tegangan Yang

Yang Dihasilkan

Dihasilkan Oleh

Oleh

Beban

Beban Terpusat

Terpusat





 Terdapat sebuah beban terpusat P = 1000 lb seperti gambar berikut :

Contoh

Contoh Soal

Soal

 Gambarkan grafik variasi kenaikan tegangan vertikal Δ_p

z terhadap kedalaman yang

diakibatkan oleg beban terpusat di bawah permukaan tanah dimana x = 3 ft dan y = 4 ft.

 Penyelesaian :

ft

 Gambar berikut ini menunjukkan sebuah beban garis yang lentur dengan panjang tak terhingga dan intensitas beban

q

per satuan panjang pada suatu masa tanah yang semi-tak terhingga.

Tegangan

Tegangan Vertika

Vertika yang

yang Diakibatkan

Diakibatkan oleh

oleh

Beban

Beban Garis

Garis







₂



2

1

2







z

/

x

z

q

p



 Kenaikan (perubahan) tegangan vertikal Δp di dalam massa tanah tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

atau







_

_

₂



2

1

2







z

/

x

z

/

q

p



 Persamaan Δp/(q/z)adalah suatu bentuk persamaan tanpa dimensi.

 Dengan persamaan tersebut, variasi Δp/(q/z)terhadap x/z dapat dihitung.

 Hal ini sebagaimana terlihat pada gambar berikut :



Harga Δ

p

yang dihitung dari persamaan Δ

p/(q/z)

adalah

merupakan

tambahan

tegangan

pada

tanah

yang

disebabkan oleh beban garis.



Harga Δ

p

tersebut tidak termasuk tekanan akibat tanah di

atas titik A.

Tegangan

Tegangan Vertika

Vertika yang

yang Diakibatkan

Diakibatkan oleh

oleh

Beban

Contoh Soal

 Pada gambar (a) terlihat dua buah beban garis di atas tanah.

 Tentukan kenaikan tegangan di titik A

 Penyelesaian :

Dari gambar (b) kenaikan tegangan total di A adalah :