MicrosoftWord LATIHAN Jayanti NyimasIndaKusumawati

LATIHAN 5.3

1. Misalkan = , dan misalkan : → adalah fungsi kontinu sehingga

> 0 untuk setiap ∈ . Buktikan terdapat > 0 sehingga ≥

, ∀ ∈ . Bukti :

= , adalah interval tertutup dan : → kontinu pada . Menurut Teorema maksimum minimum, maka memiliki m = titik minimum absolut dan M = titik maksimum absolut. Ambil = . Karena > 0, maka

> 0.

Jadi ∃ = = ≤ , ∀ ∈

2. Misalkan = , dan misalkan : → dan g: → adalah fungsi kontinu pada .

Tunjukkan bahwa himpunan : ∈ : = g mempunyai sifat jika

∈ dan → _!, maka _!∈ . Bukti :

Karena ∈ , maka ∈ .

Karena → _!, dan , gkontinu pada maka konvergen ke _" dan g konvergen ke g _" .

Oleh karena = g , ∀ ∈ # , maka _" = lim =

lim g = g "

Jadi kita peroleh _" ∈ .

3. Misalkan = , dan : → kontinu pada , sedemikian sehingga

∀ ∈ , ∃ ' ∈ , sehingga ( ' ( ≤)

*( (

Buktikan : ∃ + ∈ , ∃ + = 0 Bukti :

Kita konstruksi ∈ , , - → 0 dengan cara sebagai berikut : Ambil : ₎ ∈ ₎ > 0

* ∈ * = 1₂ > 0

∈ = 1_{2 0)} = _{2 0)}1 ₎ > 0

Sehingga kita peroleh ∈ , , - → 0 karena ∈ = , , maka

∃ 1 ⊆ sehingga , 1 - → 0. Di sisi lain 1 → + ∈ . Karena kontinu dan ₁ → +, maka , ₁ - → + . Dengan demikian kita peroleh :

0 = lim 1 = +

Ilustrasi lain :

) ∈ , ∃ * ∈ , ( * ( ≤1_{2 (} ) (

* ∈ , ∃ 3 ∈ , ( 3 ( ≤1_{2 (} * ( ≤1_{4 (} ) (

...

0) ∈ , ∃ ∈ , ( ( ≤_{2 0)}1 ( ) (

∈ , 0 ≤ ( ( ≤_{2 0)}1 ( ₎ (

→ 0

4. Tunjukkan bahwa setiap polinomial berderajat ganjil dengan koefisien real paling sedikit memiliki satu akar real.

Bukti ;

Misalkan polinom berderajat ganjil 5 = _". + ₎. 0)+ ⋯ + Kita perhatikan kasus :

i) Untuk n = ganjil, _" > 0.

lim

8→ 5 =

lim

8→0 5 = −

ii) Untuk _" < 0

lim

8→ 5 = −

lim

8→0 5 =

∃ ) > 0, 5 ) > 0 dan ∃ * < 0, 5 * < 0

Karena 5 kontinu di maka 5 kontinu di _*, ₎ , 5 _" = 0 Jadi _" akar dari 5 _" = 0

LATIHAN 5.6

2. Jika f dan g adalah fungsi-fungsi monoton naik pada interval I ⊆ R, Tunjukkan bahwa f + g adalah sebuah fungsi monoton naik pada I. jika f monoton naik keras pada I maka f + g adalah monoton naik keras pada I ? Jawab :

f monoton naik

Jika x₁,x₂∈I,x₁ ≤x₂ → f(x₁)≤ f(x₂) gf monoton naik

Jika y₁,y₂∈I,y₁ ≤ y₂ → f(y₁)≤ f(y₂) Sekarang ambil x₁,x₂∈I dengan x₁ ≤x₂

Maka (f+g)(x₁) = f(x₁) + g(x₁)≤ f(x₂) + g(x₂)=

(

f +g

)

(x₂)

Karena x₁,x₂∈I sebarang maka dengan demikian (f+g )(x) monoton naik Ambil x₁,x₂∈I sebarang dengan x1 < x2 maka

Maka (f+g)(x₁) = f(x₁) + g(x₁)< f(x₂) + g(x₂)=

(

f +g

)

(x₂)

Oleh karena x₁,x₂∈I sebarang maka kita simpulkan f + g monoton naik keras.

3. Tunjukkan bahwa f(x) = x dan g(x)=x-1 adalah monoton naik pada I = [0,1], tetapi hasil kali fg bukan monoton naik pada I ?

Jawab :

Ambil x₁,x₂∈I,x₁ <x₂ Maka

f(x1) = x1 < x2 = f(x2) maka f monoton naik

Ambil x1 = ¼ dan x2 = 1/3 maka x1 < x2 Tetapi f.g (1/4) bukan monoton naik pada I

4. Tunjukkan bahwa jika f dan g adalah fungsi-fungsi monoton naik positif pada interval I, maka hasil kali fg juga monoton naik pada I ?

Jawab : monoton naik keras maka f-1 juga monoton naik keras

ii. f tidak kontinu pada titik x = 1 sebab nilainya dua kali. Buktikan bahwa h tidak dapat kontinu pada setiap titik ? Jawab :

Jika ∃x₃,x₄∈R,x₀ <x₃ <x₄ <x₁ kemungkinan

i. h(x3) > L tetapi ini tidak mungkin terjadi sebab nilai h telah diambil tepat 2 kali

ii. h(x3) < L tidak mungkin sebab L nilai minimum

iii. Jadi haruslah difungsikan h(x3) = h(x4) L tetapi hal ini mengakibatkan h tidak kontinu.

LATIHAN 6.4

1. Gunakan Teorema Taylor dengan n = 2 untuk mendapat aproksimasi akurat untuk ;1,2 dan ;2

a) ;1,2

Dari soal no 5, 5_* (0,2) = 1,095, Karena < > 0 maka 1 + < 0=/3 < 1 Jadi

5* 0,2 ≤ _)?) @_)"*A 3

=_*""") = ",=

)"""= 0,0005

b) ;2

5 (1) = 1,375, Karena < > 0 maka 1 + < 0=/3 < 1 Jadi

5* (1) )

)" 13 = 0,0625

2. Jika = <8, tunjukkan bahwa jika sisa dari teorema Taylor konvergen ke nol, jika → ∞ untuk setiap _" D yang ditetapkan.

Jawab :

Sisa dari teorema Taylor

= E) < . −_{+ 1 !} " E) = <G −_{+ 1 !}" E)

E) ₌ − "

+ 2

lim

→H

E) _{= 0 < 1}

lim

3. Jika I = sin x . Tunjukkan bahwa sisa dari Teorema taylor konvergen ke nol jika → ∞ untuk setiap _" D tertentu.

Bukti :

IJ _{= cos}

I′J _{= −sin}

IJ_{′′ = cos}

I = sin + ₂P

I E) _{= sin +} + 1 P

2 =I E) < _{+ 1 !}− " E)

=QRS GE

TUV

W X 808Y TUV

E) !

≤ −_{+ 1 !} " E)

| ( )| ≤ |( −_{( + 1)!} ")| E)

Karena lim _→H|(808Y)|TUV

( E))! = 0 < 1 maka →H lim ( ) = 0.

LATIHAN 7.2

1. Misalkan = , dan : → terbatas dan Z > 0. a) Tunjukkan [(Z ) = Z[( ) dan \(Z ) = Z\( )

b) Tunjukkan jika terintegral pada dan Z > 0, maka Z terintegralkan

pada dan

] Z = Z ]^

_ ^

_

Bukti :

a) Misalkan 5 = ( _", ₎, … , ) partisi dari . Karena Z > 0, maka

aZ ( ); ∈ c d0), def = Z a ( ); ∈ c d0), def

g\haZ ( ); ∈ c d0), def = Z g\ha ( ); ∈ c d0), def

Selanjutnya :

[(5; Z ) = kc aZ ( ); ∈ c d0), defe,c d, d0)

e-1l)

= k Zc a ( ); ∈ c d0), defe,c d, d0)

e-1l)

= Z kc a ( ); ∈ c d0), defe,c d, d0)

e-1l)

= Z[(5; ) Dan

\(5; Z ) = kcg\haZ ( ); ∈ c d0), defe,c d, d0) e-1l)

= Z kcg\ha ( ); ∈ c d0), defe,c d, d0) e-1l)

= Z\(5; ) Kemudian :

[(Z ) = g\h [(5; Z ); 5 ∈ 5( ) = g\h Z[(5; ); 5 ∈ 5( ) = Z g\h [(5; ); 5 ∈ 5( )

= Z [( ) Dan

\(Z ) = \(5; Z ); 5 ∈ 5( )

= Z\(5; ); 5 ∈ 5( )

= Z. \(5; ); 5 ∈ 5( )

= Z\( )

b) Karena terintegralkan pada , maka \( ) = [( ) Selanjutnya :

] Z = Z ]^

_ ^

_

2. Misalkan = , dan dan g fungsi-fungsi terbatas pada ke . Jika

( ) ≤ g( ) untuk semua ∈ .

Tunjukkan bahwa [( ) ≤ [(g) dan \( ) ≤ \(g). Bukti :

i) Misalkan 5 = ( _", ₎, … , ) partisi pada . Karena ( ) ≤

g( ), ∀ ∈ maka ( ); ∈ _m0), _m ≤ g( ); ∈

m0), m

dan g\h ( ); ∈ _m0), _m ≤ g\h g( ); ∈ _m0), _m

dengan = 1,2,3, … , . Dengan demikian :

[(5; ) = ka ( ); ∈ m0), m f( m, m0))

1l)

≤ ka g( ); ∈ m0), m f( m, m0))

1l)

≤ [(5; g) Sehingga :

[( ) = g\h [(5; ); 5 ∈ 5( ) ≤ g\h [(5; g); 5 ∈ 5( ) = [(g) Demikian juga :

\(5; ) = k nag\h ( ); ∈ m0), m f( m, m0))o

1l)

≤ k nag\h g( ); ∈ m0), m f( m, m0))o

1l)

≤ \(5; g) Sehingga

\( ) = \(5; ); 5 ∈ 5( )

3. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa jika _m: , → terintegraalkan dan Z_m ∈ , = 1,2,2, … , maka

k Zm. m 1l)

terintegralkan pada , dan

] k Zm. m = k Zm

= ] Zmk m + ZqE)] qE) ^

_ q

ql) ^

_

Hipotesa dan teorema 7.2.1)

= k Zm

qE)

ml)

] m

^

_

Jadi untuk = p + 1 juga benar. Dengan demikian formula benar untuk setiap ∈ #.

4. Misalkan = , , , g, ℎ fungsi-fungsi terbatas pada ke . Misalkan ( ) ≤ g( ) ≤ ℎ( ) untuk ∈ . Tunjukkan jika dan Z terintegral pada dan jika u_{_}^ = u ℎ_{_}^ , maka g terintegralkan pada dan u g_{_}^ = u_{_}^ . Bukti :

i) ( ) ≤ g( ) ≤ ℎ( ), ∀ ∈ dan , g, Z fungsi terbatas, maka dari

soal 2) kita peroleh :

[( ) ≤ [(g) ≤ [(ℎ) dan \( ) ≤ \(g) ≤ \(ℎ).

Oleh karena dan ℎ trintegralkan pada , maka [( ) = \( ) dan [(ℎ) = \(ℎ), akibatnya :

[( ) = \( ) ≤ [(g) ≤ \(g) ≤ \(ℎ) = [(ℎ)

Oleh karena u_{_}^ = u ℎ_{_}^ , maka [(g) = \(g)