MATERI TEORI MENAKSIR

RENCANA PERKULIAHAN 6 RENCANA PERKULIAHAN 6

I. IDENTITAS I. IDENTITAS

MATAKULIAH

MATAKULIAH : : BIOSTATISTIK BIOSTATISTIK  WAKTU

WAKTU : : 2 2 X X 50 50 MENITMENIT A.

A. KOMPETENSI KOMPETENSI :: 1.

1. STANDAR STANDAR : : Mahasiswa Mahasiswa dapat dapat menaksir menaksir data data yang yang adaada 2.

2. DASAR DASAR : : Mahasiswa Mahasiswa dapat dapat menentukan menentukan harga harga rata-rata rata-rata µµ harga proporsi

harga proporsi

ππ

, & harga, & harga

simpangan baku σ

simpangan baku σ

B.

B. POKOK POKOK BAHASAN BAHASAN : : TEORI TEORI MENAKSIR MENAKSIR 

C. SUB POKOK BAHASAN: Menaksir rata-rata µ, menaksir proporsi

C. SUB POKOK BAHASAN: Menaksir rata-rata µ, menaksir proporsi

ππ

, dan, dan

menaksir simpangan baku σ

menaksir simpangan baku σ

II. PETA KONSEP II. PETA KONSEP

III. OBYEK / PERSOALAN BELAJAR  III. OBYEK / PERSOALAN BELAJAR 

Bagaimana cara menaksir rata-rata µ? Apa

Bagaimana cara menaksir rata-rata µ? Apa yang diteliti dalam penelitian?yang diteliti dalam penelitian? Dalam penelitian yang diteliti adalah populasi, tetapi

Dalam penelitian yang diteliti adalah populasi, tetapi yang diamati adalah sampel. Denganyang diamati adalah sampel. Dengan menggunakan ukuran yang diperoleh dari sampel, akan digunakan untuk menaksir harga menggunakan ukuran yang diperoleh dari sampel, akan digunakan untuk menaksir harga

 populasi atau parameter. Parameter populasi seca

 populasi atau parameter. Parameter populasi secara umum diberi lambang θ (baca theta), yang

ra umum diberi lambang θ (baca theta), yang

Menaksir  Menaksir  rata-rata µ rata-rata µ Menaksir  Menaksir   proporsi  proporsi

ππ

Menaksir  Menaksir  simpangan simpangan

 baku σ

 baku σ

Simpangan baku σ diketahui, populasi

Simpangan baku σ diketahui, populasi

 berdistribusi normal  berdistribusi normal

Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi

Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi

 berdistribusi normal  berdistribusi normal

Simpangan baku σ tidak diketahui,

Simpangan baku σ tidak diketahui,

 populasi tidak berdistribusi normal  populasi tidak berdistribusi normal MENAKSIR 

dapat berupa µ, π, atau σ. Penaksirnya diberi lambing θ` (baca theta aksen), yang berupa X, s

dapat berupa µ, π, atau σ. Penaksirnya diberi lambing θ` (baca theta aksen), yang berupa X, s

atau p. Secara ideal

atau p. Secara ideal

harga taksiran yaitu θ` sama dengan harga parameter θ. Pada umumnya yang

harga taksiran yaitu θ` sama dengan harga parameter θ. Pada umumnya yang

terjadi adalah harga taksiran θ` lebih tinggi atau lebih rendah dari parameter yang ditaksir.

terjadi adalah harga taksiran θ` lebih tinggi atau lebih rendah dari parameter yang ditaksir.

Beberapa batasan yang perlu dipahami dalam membuat taksiran adalah: Beberapa batasan yang perlu dipahami dalam membuat taksiran adalah: 1.

1.  penaksir tidak bias penaksir tidak bias 2.

2.  penaksir bervarians minimum penaksir bervarians minimum 3.

3.  penaksir konsisten dan penaksir konsisten dan 4.

4.  penaksir terbaik. penaksir terbaik.

Penaksir θ` dikatakan penaksir tak bias, bila rata

Penaksir θ` dikatakan penaksir tak bias, bila rata

--

rata semua harga θ` yang mungkin sama dengan

rata semua harga θ` yang mungkin sama dengan

harga θ. Penaksir bervarians minimum adalah dengan varians terkecil di antara penaksir un

harga θ. Penaksir bervarians minimum adalah dengan varians terkecil di antara penaksir un

tuk tuk   parameter yang sama. Penaksir dikatakan konsisten bila ukuran sampelnya makin diperbesar   parameter yang sama. Penaksir dikatakan konsisten bila ukuran sampelnya makin diperbesar 

mendekati ukuran populasi dan harganya mendekati parameter. Penaksir terbaik adalah penaksir  mendekati ukuran populasi dan harganya mendekati parameter. Penaksir terbaik adalah penaksir  yang tidak bias dan bervarians minimum.

yang tidak bias dan bervarians minimum.

Agar mempunyai derajat kepercayaan yang tinggi penaksir untuk suatu parameter  Agar mempunyai derajat kepercayaan yang tinggi penaksir untuk suatu parameter   biasanya dinyatakan dalam bentuk rentangan, yaitu yang disebut

 biasanya dinyatakan dalam bentuk rentangan, yaitu yang disebutinterval penaksiraninterval penaksiran atauatau daerah penaksiran.

daerah penaksiran. Dalam melakukan penaksiran biasanya digunakan derajat penaksiranDalam melakukan penaksiran biasanya digunakan derajat penaksiran tertentu. Derajat penaksiran atau yang lazim disebut

tertentu. Derajat penaksiran atau yang lazim disebutkoefisien kepercayaankoefisien kepercayaan, biasanya, biasanya

dinyatakan

dinyatakan dengan lambang

dengan lambang τ

τ (baca

(baca

 gamma gamma

). Harga τ lebih besar dari nol dan lebih kecil dari

). Harga τ lebih besar dari nol dan lebih kecil dari

satu (0 < τ < 1). Dalam penelitian pada umumnya digunakan harga τ = 0,95 atau τ = 0,99.

satu (0 < τ < 1). Dalam penelitian pada umumnya digunakan harga τ = 0,95 atau τ = 0,99.

Menaksir rata-rata µ Menaksir rata-rata µ

Untuk menaksir rata-rata µ digunakan penaksir rata-rata sampel (X).

Untuk menaksir rata-rata µ digunakan penaksir rata-rata sampel (X). Cara menaksir harga µCara menaksir harga µ

 berbeda- berbeda-

 beda tergantung pada diketahui atau tidaknya simpangan baku po

 beda tergantung pada diketahui atau tidaknya simpangan baku populasi (σ) dan keadaan

pulasi (σ) dan keadaan

distribusinya.

distribusinya.

Simpangan baku σ diketahui, populasi berdistribusi normal

Simpangan baku σ diketahui, populasi berdistribusi normal µ,µ,

π, atau σ

π, atau σ

Harga µ dapat ditaksir dengan menggunakan harga z.

Harga µ dapat ditaksir dengan menggunakan harga z. µ = X ± z ½ .

µ = X ± z ½ .

σσ

√ n

√ n

Harga z ½ dapat dicari dalam tabel kurva normal. Untuk derajat kepercayaan τ = 0,95 harga z ½

Harga z ½ dapat dicari dalam tabel kurva normal. Untuk derajat kepercayaan τ = 0,95 harga z ½

= 1,98 atau τ

= 1,98 atau τ = 0,99 harga z ½

= 0,99 harga z ½ =

= 2,58.

2,58.

Contoh: Contoh:

Pengamatan terhadap sampel yang diambil secara acak sebanyak 400 mempunyai rata-rata 50. Pengamatan terhadap sampel yang diambil secara acak sebanyak 400 mempunyai rata-rata 50.

Diketahui simpangan baku populasi (σ) sebesar 18. Hitung harga µ dengan derajat kepercayaan τ

Diketahui simpangan baku populasi (σ) sebesar 18. Hitung harga µ dengan derajat kepercayaan τ

= 0,95 dan τ = 0,99.

= 0,95 dan τ = 0,99.

Penyelesaian adalah sebagai berikut: Penyelesaian adalah sebagai berikut: Diketahui: Diketahui: n n = = 400400 X = 50 X = 50

σ = 18

σ = 18

Ditanyakan: µ Ditanyakan: µ Jawab: Jawab: µ µ = = X X ± ± z z ½ ½ ..

σσ

√ n

√ n

Harga z ½ = 1,96 pada τ = 0,95

Harga z ½ = 1,96 pada τ = 0,95 dan harga z ½ =

dan harga z ½ = 2,58 pada τ = 0,99.

2,58 pada τ = 0,99.

Maka: Maka: µ = 50 ± 1,96 x 18 µ = 50 ± 1,96 x 18

√ 400

√ 400

= 50 ± 1,96 x 18 = 50 ± 1,96 x 18 20 20 = 50 ± 1,96 x 0,9 = 50 ± 1,96 x 0,9 = 50 ± 1,764 = 50 ± 1,764

Jadi daerah penaksiran µ adalah 48,236

Jadi daerah penaksiran µ adalah 48,236

 – 

 – 51,764 pada τ = 0,95.

51,764 pada τ = 0,95.

Maka: Maka: µ = 50 ± 2,58 x 18 µ = 50 ± 2,58 x 18

√ 400

√ 400

= 50 ± 2,58 x 18 = 50 ± 2,58 x 18 20 20 = 50 ± 2,58 x 0,9 = 50 ± 2,58 x 0,9 = 50 ± 2,322 = 50 ± 2,322

Jadi daerah penaksiran µ adalah 47,678

Jadi daerah penaksiran µ adalah 47,678

 – 

 – 52,322 pada τ = 0,99.

52,322 pada τ = 0,99.

Simpangan baku σ tidak diketahui, pop

Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi berdistribusi normalulasi berdistribusi normal

Kebanyakan parameter σ tidak diketahui, oleh karena itu untuk menaksir µ tidak dapat

Kebanyakan parameter σ tidak diketahui, oleh karena itu untuk menaksir µ tidak dapat

menggunakan harga z. Ukuran simpangan baku yang paling mudah dicari adalah s, yaitu menggunakan harga z. Ukuran simpangan baku yang paling mudah dicari adalah s, yaitu

simpangan baku sampel. Dengan menggunakan harga simpangan baku sampel (s) harga µ dapat simpangan baku sampel. Dengan menggunakan harga simpangan baku sampel (s) harga µ dapat ditentukan dengan menggunakan t

ditentukan dengan menggunakan t p p. Harga t. Harga t p pdapat diperoleh dari table t dengan p = ½ (1-dapat diperoleh dari table t dengan p = ½ (1-

τ) dan

τ) dan

derajat kebebasan atau dk = n derajat kebebasan atau dk = n

 – 

 – 

1.1.

µ = X ± t µ = X ± t p p ..

σσ

√ n

√ n

Contoh: Contoh:

Dari hasil pengamatan terhadap sampel sebesar 25 yang diambil secara acak diperoleh rata-rata Dari hasil pengamatan terhadap sampel sebesar 25 yang diambil secara acak diperoleh rata-rata

105 dan simpangan baku sampel sebesar 10. Berapa harga µ dengan derajat kepercayaan τ =

105 dan simpangan baku sampel sebesar 10. Berapa harga µ dengan derajat kepercayaan τ =

0,95. 0,95.

Penyelesaian adalah sebagai berikut: Penyelesaian adalah sebagai berikut: Diketahui: Diketahui: n n = = 2525 X = 105 X = 105 s s = = 1010

tt p p

, τ = 0,95, dk = 24, adalah 2,797 Dilihat

, τ = 0,95, dk = 24, adalah 2,797 Dilihat

tabel t)tabel t)

tt p , p ,

τ = 0,99, dk = 24, adalah 2,064 (Dilihat tabel t)

τ = 0,99, dk = 24, adalah 2,064 (Dilihat tabel t)

Ditanyakan:

Ditanyakan: daerah daerah penaksiran penaksiran µµ Jawab:

Jawab: µ µ = = X X ± ± tt p p. . ss

√ n

√ n

Daerah taksiran µ dengan τ = 0,99

Daerah taksiran µ dengan τ = 0,99

µ = 105 ± 2,80 x 10 µ = 105 ± 2,80 x 10

√ 25

√ 25

= 105 ± 2,80 x 10 = 105 ± 2,80 x 10 5 5 = 105 ± 2,80 x 2 = 105 ± 2,80 x 2 = 105 ± 5,6 = 105 ± 5,6

Jadi daerah taksiran µ dengan τ = 0,99 adalah 99,40

Jadi daerah taksiran µ dengan τ = 0,99 adalah 99,40

- 110,6.- 110,6.

Daerah taksiran µ dengan τ = 0,95

Daerah taksiran µ dengan τ = 0,95

µ = 105 ± 2,06 x 2 µ = 105 ± 2,06 x 2

=

= 105 105 ± ± 4,124,12

Jadi daerah taksiran µ dengan τ = 0,95 adalah

Jadi daerah taksiran µ dengan τ = 0,95 adalah

100,88100,88

 – 

 – 

109,12.109,12.

Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi tidak berdistribusi normal Simpangan baku σ tidak diketahui, populasi tidak berdistribusi normal Bila ukuran sampel n tidak terlalu kecil d

Bila ukuran sampel n tidak terlalu kecil dapat digunakan dalil limit pusat, dan apat digunakan dalil limit pusat, dan selanjutnya dapatselanjutnya dapat digunakan cara yang kedua.

Menaksir proporsi Menaksir proporsi ππ

Bila dalam suatu sampel berukuran n terdapat

Bila dalam suatu sampel berukuran n terdapat suatu peristiwa sebanyak x, maka suatu peristiwa sebanyak x, maka proporsiproporsi

 peristiwa itu adalah p = x/n. Bila proporsi peristiwa itu digunakan sebagai penaksir, maka daerah  peristiwa itu adalah p = x/n. Bila proporsi peristiwa itu digunakan sebagai penaksir, maka daerah  penaksiran parameter 

 penaksiran parameter 

ππ

nya adalah seperti rumus berikut ini.nya adalah seperti rumus berikut ini.

ππ = p ± z ½ τ .

= p ± z ½ τ .

 p.q p.q

√ n

√ n

q = 1 q = 1

 – 

 – 

pp

z ½ adalah harga z dalam tabel kurva normal untuk peluang ½ τ.

z ½ adalah harga z dalam tabel kurva normal untuk peluang ½ τ.

Contoh: Contoh:

Akan dipelajari proporsi rumput teki diantara rerumputan di halaman.

Akan dipelajari proporsi rumput teki diantara rerumputan di halaman. Untuk itu diambilUntuk itu diambil sampel secara acak 100 batang rerumputan. Dari 100 itu terdapat 15 batang rumput teki. sampel secara acak 100 batang rerumputan. Dari 100 itu terdapat 15 batang rumput teki. Berapa proporsi rumput teki di halaman?

Berapa proporsi rumput teki di halaman?

Penyelesaian: Penyelesaian: Diketahui: n = 100 Diketahui: n = 100 X = 15 bt rumput teki X = 15 bt rumput teki

Harga z untuk τ = 0,95 adalah 1,96.

Harga z untuk τ = 0,95 adalah 1,96.

Harga z untuk = 9,99 Harga z untuk = 9,99 Ditanyakan: Ditanyakan:

ππ

Hitungan: p = 15 /100 Hitungan: p = 15 /100 = 0,15 = 0,15 Maka q = 1 Maka q = 1

 – 

 – 

pp = 1 = 1

 – 

 – 

0,150,15 = 0,85 = 0,85 Sehingga Sehingga

ππ = p ± z ½ τ .

= p ± z ½ τ .

 p.q p.q

√ n

√ n

ππ

= = 0,15 0,15 ± ± 1,96 1,96 x x 0,15 0,15 x x 0,850,85

√

100

√

100

ππ

= = 0,15 ± 0,15 ± 1,96 x 1,96 x 0,0357071420,035707142

ππ

= = 0,15 0,15 ± ± 0,070,07 Jadi daerah taksiran

Menaksir simpangan baku σ Menaksir simpangan baku σ Taksiran simpangan baku

Taksiran simpangan baku

σσ

didasarkan pada taksiran variansdidasarkan pada taksiran varians

σσ

22. Sebagai penaksiran-nya adalah. Sebagai penaksiran-nya adalah ss22sampel. Daerah taksiransampel. Daerah taksiran

σσ

22dapat ditentukan dengan rumus di bawah ini.dapat ditentukan dengan rumus di bawah ini.

(n -1) s

(n -1) s22 (n -1) s(n -1) s22 <

<

σσ

22 <<

ss22½½(1+(1+

τ)

τ)

ss22½½(1-(1-

τ)

τ)

Daerah taksiran simpangan baku

Daerah taksiran simpangan baku

σσ

didasarkan pada taksiran variansdidasarkan pada taksiran varians

σσ

22..

Contoh : Contoh :

Dari sebuah sampel acak berukuran 30 diperoleh harga variansi s

Dari sebuah sampel acak berukuran 30 diperoleh harga variansi s22= 7,8. Tentukan taksiran= 7,8. Tentukan taksiran simpangan baku

simpangan baku

σσ

nya.nya.

Diketahui: n = 30 ; s Diketahui: n = 30 ; s22= 7,8 ; dk = n -1 = 30 -1 = 29.= 7,8 ; dk = n -1 = 30 -1 = 29.

χ 

χ 

22

_{0,975 = 45,7 ; χ} 

_{0,975 = 45,7 ; χ} 

22 0,025 = 16,0 0,025 = 16,0 Ditanyakan : daerah taksiran Ditanyakan : daerah taksiran

σσ

.. Hitungan: Hitungan: (n -1) s (n -1) s22 (n -1) s(n -1) s22 < <

σσ

22 << ss22½½(1+(1+

τ)

τ)

ss22½½(1-(1-

τ)

τ)

29 x 7,8 29 x 7,8 29 x 7,829 x 7,8 < <

σσ

22 << 45,7 16,0 45,7 16,0

CATATAN: Untuk harga: CATATAN: Untuk harga:

χ 

χ 

22 ½ ½(1+(1+

τ) = χ 

τ) = χ 

22 ½½(1+ 0,95)(1+ 0,95)

= χ 

= χ 

22 ½

½(1(1

,95) lihat pada posisi tabel χ 

,95) lihat pada posisi tabel χ 

220,975 = 45,70,975 = 45,7

χ 

χ 

22 ½ ½(1-(1-

τ) = χ 

τ) = χ 

22 ½½(1- 0,95)(1- 0,95)

= χ 

= χ 

22 ½

½((

0,05) lihat pada posisi tabel χ 

0,05) lihat pada posisi tabel χ 

220,025 = 16,00,025 = 16,0

χ 

χ 

22

_{0,975 = 45,7 langsung diambil dari tabel χ} 

_{0,975 = 45,7 langsung diambil dari tabel χ} 

22

 pada

 pada dk = 30dk = 30

 – 

 – 

1 = 29 dan1 = 29 dan

χ 

χ 

22

_{0,025 = 16,0 langsung diambil dari tabel χ} 

_{0,025 = 16,0 langsung diambil dari tabel χ} 

22

 pada

226,2 226,2 226,2226,2 < <

σσ

22 << 45,7 16,0 45,7 16,0 4,95 < 4,95 <

σσ

22 < < 14,1414,14 Taksiran simpangan baku

Taksiran simpangan baku

σσ

adalah:adalah: 2,23 <

2,23 <

σσ

< < 3,753,75

IV. MEDIA / SUMBER BELAJAR  IV. MEDIA / SUMBER BELAJAR 

Scheffler, 1987.

Scheffler, 1987. Statistika Statistika untuk untuk Biologi, Biologi, Farmasi, Farmasi, Kedokteran Kedokteran dan dan Ilmu Ilmu yang yang  bertautan.

bertautan. Bandung, Penerbit ITB.Bandung, Penerbit ITB. Steel & Torrie, 1991.

Steel & Torrie, 1991. Prinsip dan Prosedur Statistika, suatu pendekatan  Prinsip dan Prosedur Statistika, suatu pendekatan Biometrik Biometrik .. Jakarta. Penerbit:

Jakarta. Penerbit: PT PT Gramedia Pustaka Gramedia Pustaka Utama.Utama. Sudjana, 1982.

Sudjana, 1982. Metoda Statistika Metoda Statistika. Bandung: Penerbit Tarsito.. Bandung: Penerbit Tarsito.

VII. EVALUASI / TUGAS RUMAH VII. EVALUASI / TUGAS RUMAH

1.

1. Dari hasil pengamatan terhadap sampel sebanyak 64 yang diambil secara acak diperolehDari hasil pengamatan terhadap sampel sebanyak 64 yang diambil secara acak diperoleh rata-rata sebesar 85 dan simpangan baku

rata-rata sebesar 85 dan simpangan baku

σσ

sebesar 12. Berapa harga µ dengan derajatsebesar 12. Berapa harga µ dengan derajat

kepercayaan τ = 0,95?

kepercayaan τ = 0,95?

2.

2. Pengamatan terhadap sampel yang diambil secara acak sebanyak 900 mempunyai rata-Pengamatan terhadap sampel yang diambil secara acak sebanyak 900 mempunyai

rata-rata 40. Diketahui simpangan baku populasi (σ) sebesar 22.

rata 40. Diketahui simpangan baku populasi (σ) sebesar 22.

Hitung harga µ denganHitung harga µ dengan

derajat kepercayaan τ = 0,95 dan τ = 0,99.

derajat kepercayaan τ = 0,95 dan τ = 0,99.