PENGGUNAAN TRANSFORMASI TIETZE
DALAM PERHITUNGAN GENERATOR MODUL HOMOTOPI KEDUA
Yanita
1; Abdul Ghafur Ahmad
21
Jurusan Matematika Fakultas MIPA, Universitas Andalas Jl Kampus Limau Manis, Padang, Indonesia
2
Pusat Pengajian Sains Matematik, Fakulti Sains Dan Teknologi, Universiti Kebangsaan Malaysia
43000 Bangi, Malaysia
yanita4sri@yahoo.com; ghafur@pkrisc.cc.ukm.my
ABSTRACT
This paper discusses about generator calculation of second homotopy module, P , using Tietze transformation. The calculation is associated with properties of spherical picture. The Tietze tranformation technique is implemented to two group presentation, P and Q which are isomorphic. From this transformations we obtain several group presentation between P and Q. For each group presentation we obtain different second homotopy modules. This transformation technique produces the process of generator calculation of second homotopy module, so that generator of P can be converted to be a generator for Q .
Keywords: generator, second homotopy module, Tietze transformation
ABSTRAK
Artikel ini membahas tentang perhitungan generator modul homotopi kedua, P menggunakan transformasi Tietze. Perhitungan generator modul homotopi kedua berkaitan dengan sifat-sifat pada spherical picture. Teknik transformasi ini dilakukan pada dua presentasi grup yang berisomorphisma, P dan Q. Dari transformasi ini diperoleh beberapa presentasi grup di antara P dan Q. Untuk setiap presentasi grup diperoleh modul homotopi kedua yang berbeda. Teknik transformasi ini menghasilkan proses perhitungan generator modul homotopi kedua sehingga generator untuk P dapat diubah menjadi generator untuk Q .
PENDAHULUAN
Suatu picture atas P disebut sebagai himpunan generator P jika P :P membangun modul- P (Baik, et.al, 1998). Selanjutnya Bogley dan Pride (1993) menyebutkan bahwa himpunan generator hanya jika setiap spherical picture atas P dapat ditransformasikankan ke picture hampa dengan operasi-operasi pada picture. Perlu diingat pada artikel ini terdapat beberapa istilah akan digunakan dan istilah-istilah itu dapat di lihat pada (Yanita & Ahmad, 2009).
Perhitungan generator P yang dilakukan oleh Bogley dan Pride (1993) hanya untuk melihat generator-generator yang diketahui saja. Sementara untuk yang tidak diketahui tidak disebutkan oleh beliau. Oleh karena itu, pada tulisan ini diberikan sifat yang dapat digunakan untuk mencari generator untuk suatu P yang tidak diketahui, yaitu melalui presentasi grup lain yang diperoleh dengan melakukan suatu metode transformasi.
Metode yang digunakan untuk perhitungan generator (P) adalah metode geometri. Pada tulisan ini metode difokuskan pada metode transformasi Tietze.
Tujuan tulisan ini adalah mengkaji perhitungan generator (P) menggunakan metode transformasi Tietze dengan melibatkan operasi-operasi picture pada spherical picture.
METODE
Transformasi Tietze
Suatu grup dapat mempunyai beberapa presentasi; diberikan himpunan yang membangun unsur-unsur untuk (dan terkait dengan simbol generator) maka terdapat beberapa kemungkinan himpunan-himpunan yang mendefinisikan relator-relator.
Sebagai ilustrasi, misalkan grup permutasi pada 1 2 3; tiga-lingkaran (123) dan dua-lingkaran (12) membentuk himpunan generator unsur-unsur untuk . Pada pemetaan 123 ,
12 , mempunyai presentasi , ; , , dan juga boleh dipresentasikan dengan , ; , , . Oleh karena pendefinisian relator-relator dari , ; , ,
adalah penurunan relator-relator dalam , ; , , dan sebaliknya, maka , ; , , dan , ; , , mendefinisikan grup kelas-kelas ekivalensi yang sama.
Secara umum, jika mempunyai dua presentasi,
, , … ; , , … (1) dan
, , … ; , , … (2) pada pemetaan yang sama, maka setiap yang mendefinisikan relator pada (2.2) diturunkan dari relator-relator dalam (1).
Lebih lanjut lagi, presentasi lain untuk dapat diperoleh dengan menggunakan himpunan-himpunan lain dari unsur-unsur generator untuk . Sebagai contoh, pertimbangkan grup permutasi yang dibangun oleh dua-lingkaran (13) dan (23). Dibawah pemetaan 13 , 23 , mempunyai presentasi
, ; , , (3) Apakah terdapat suatu metode untuk mengubah presentasi , ; , , menjadi presentasi
, ; , , ?
Pada tahun 1908, Tietze menunjukkan bahwa diberikan suatu presentasi
, , , … ; , , , … (4) untuk suatu grup , sebarang presentasi lain untuk dapat diperoleh dengan penerapan berulang penjelmaaan berikut ke (4):
(T1) Jika word S, T, … terturunkan dari P, Q, R, … , tambahkan S, T, … ke dalam himpunan relator dalam (4).
(T2) Jika beberapa relator, katakanlah S, T, … , berada di antara pendefinisian relator P, Q, R, … yang dapat diturunkan dari yang lainnya, hapuskan S, T, … , dari pendefinisian relator dalam (4).
(T3) Jika K, M, … adalah sebarang word dalam a, b, c, … , masukkan simbol x, y, … , ke dalam himpunan generator dalam (4) dan masukkan relator , , … , ke dalam himpunan relator dalam (4).
(T4) Jika beberapa pendefinisian relator dalam (4) berbentuk , , … ,yang p, q,… , adalah generator dalam (4) dan V, W, … , adalah word dalam generator yang lain dari p, q,…, maka hapus p, q, … dari generator, hapus , , … dari pendefinisian relator, dan ganti p, q, … dengan V, W, … masing-masing, dalam sisa pendefinisian relator dalam (4).
Transformasi (T1), (T2), (T3) dan (T4) disebut transformasi Tietze. Transformasi ini disebut dasar jika memuat penambahan atau penghapusan dari satu pendefinisian relator, atau penambahan atau penghapusan satu generator dan pendefinisian relator yang terkait. Definisi transformasi Tietze secara umum dapat dilihat pada beberapa buku teks. Definisi yang dipresentasikan di sini adalah yang terdapat di dalam Johnson (1997) dan Magnus, et.al. (1976). Definisi transformasi Tietze secara umum dapat dilihat seperti berikut:
Definisi 1 (Definisi Transformasi Tietze)
Andaikan P ; dan P ; presentasi yang mendefinisikankan grup .
1 Jika word boleh diturunkan dari unsur-unsur dalam , maka tambahkan S ke dalam himpunan relator, ; ; ,
2 Jika word boleh diturunkan dari unsur-unsur dalam , maka hapuskan dari dalam himpunan relator, ; , ; . ( 2 merupakan kebalikan dari 1)
3 Jika adalah word pada , dan bukan suatu simbol yang bukan dalam himpunan generator maka masukkan y ke dalam , tambahkan ke dalam himpunan generator dan tambahkan word ke dalam himpunan relator.
4 Jika terdapat relator berbentuk , yang bukan terjadi dalam , hapuskan dan hapuskan dari himpunan generator, ubah semua dalam word-word relator dengan . ( 4 merupakan kebalikan dari 3).
Transformasi Tietze tidak mengubah grup yang didefinisikan oleh suatu presentasi, seperti yang disebutkan pada Teorema berikut ini.
Teorema 2 (Miller, 2004)
Andaikan grup yang dipresentasikan oleh dua presentasi ; dan ; adalah berisomorfisma. Maka terdapat suatu barisan transformasi Tietze dari ; ke ; . Jika presentasi ini keduanya barisan berhingga, barisan transformasi Tietze dapat menjadi suatu jumlah berhingga dari langkah transformasi tunggal.
Sifat yang sama juga disebutkan dalam proposisi berikut ini: Proposisi 3 (Johnson, 1997)
Diberikan dua presentasi berhingga dari grup yang sama, maka presentasi yang satu dapat diperoleh dari persembaan yang lain dengan berhingga barisan transformasi Tietze.
Contoh 2.4
Akan ditunjukkan langkah-langkah transformasi Tietze dari presentasi grup , ; , , ke presentasi grup , ; , , .
, ; , ,
, , ; , , ,
Tambahkan generator dalam himpunan generator dengan relasi .
, , , ; , , , ,
Tambahkan generator ke dalam himpunant generator dengan relasi .
, , , ; , , , , ,
Tambahkan ke dalam himpunan relator karena diturunkan dari , yaitu:
1 karena 1.
, , , ; , , , , , ,
Tambahkan ke dalam himpunan relator karena diturunkan dari , yaitu:
karena
1 karena 1 dan 1.
, , , ; , , , , , , , ,
Tambahkan ke dalam himpunan relator karena diturunkan dari , , dan , yaitu: karena karena karena karena 1 1 karena 1. , , , ; , , , , , ,
, , , ; , , , , ,
Hapuskan dari himpunan relator karena diturunkan dari , yaitu 1.
, , ; , , , ,
Hapus generator dari himpunan generator karena dan ubah semua menjadi .
, ; , , ,
Hapus dari himpunan generator.
Jadi diperoleh , ; , , , ; , , , .
Perhitungan Generator Modul Homotopi Kedua
Perhitungan generator modul homotopi kedua yang telah dilakukan oleh Bogley dan Pride (1993) hanya melihat pada generator dan relator yang terdapat dari modul homotopi yang diketahui. Untuk perubahan generatornya tidak dibincangkan oleh beliau. Pada tulisan ini hal itu diperlihatkan, terutama dengan mempertimbangkan dua presentasi grup yang akan disajikan. Sebelum mempertimbangkan hal tersebut tersebut, dua teorema dan dua korolari yang disajikan berikut ini merupakan hasil kajian dalam tulisan ini.
Teorema 3
Andaikan P ; dan P ; , presentasi grup yang mendefinisikan grup , dimana suatu word yang diturunkan secara siklik dan 1 (relatif ). Jika P dibangun oleh maka P dibangun oleh , dengan berbentuk
di mana suatu picture dalam P dengan .
Bukti: Andaikan P1 = ; dibangun oleh . Perhatikan bahwa:
P1 ;
T
P2 ; , (5)
merupakan satu langkah transformasi Tietze. Dari (3.1) diketahui bahwa adalah relator yang ditambahkan pada P , berdasarkan sifatnya 1. Oleh karena itu dengan Lemma van Kampen, terdapat suatu picture dalam P1 dengan . Maka picture berikut ini merupakan satu
spherical picture (Gambar 1).
Oleh karena dalam mempunyai disk , tidak dapat diperoleh dari picture dalam P . Oleh karena itu, merupakan satu lagi generator bagi P . Dari sini diperoleh generator bagi P adalah generator bagi P ditambah dengan picture .
Andaikan spherical picture dalam P2. Kita pertimbangkan dua kasus, yaitu: (1) tidak
mempunyai disk ; (2) mempunyai disk .
Andaikan tidak mempunyai disk , merupakan picture dalam P1. Jadi 1 (relatif P1).
Andaikan mempunyai disk seperti dalam Gambar 2, di mana S adalah picture yang tidak memuat disk .
Gambar 2 dengan disk
Selanjutnya boleh diletakkan picture pada Gambar 1 di sebelah kiri picture pada Gambar 2. Lakukan operasi jembatan untuk menghapus kedua pasangan invers disk . Ulangi proses sampai tiada lagi disk dalam . Maka dari itu, dapat disimpulkan bahwa P dibangun oleh
. Korolari 2
Andaikan P ; , dan P ; , yang suatu word, yang suatu word yang terturun secara siklik dan 1 (relatif ). Andaikan P dibangun oleh maka P
dibangun \ .
Teorema 3
Andaikan P ; dan P , ; , yang suatu word dalam , presentasi
grup yang mendefinisikan grup . Maka P mempunyai generator yang sama dengan P . Bukti: Andaikan P ; dibangun oleh . Perhatikan bahwa:
P ; P , ; ,
merupakan satu langkah transformasi Tietze. Diingat bahwa jika P ; dengan generator maka generator ini adalah suatu spherical picture berlabel . Dengan menggunakan transformasi Tietze 3 (T3) berarti ditambahkan suatu generator lain ke P1, Andaikan berlabel , sehingga
diperoleh grup presentasi baru P2 , ; , .
Andaikan generator bagi (P2) tetapi bukan generator bagi (P1). Jadi mesti
mempunyai disk . Oleh karena spherical picture kurva menghubungkan ke suatu disk yang lain yang merupakan pasangan invers maka dapat dilakukan operasi jembatan. Operasi jembatan dilakukan
sampai tiada lagi disk . Oleh karena itu, generator P dilabeli oleh , sehingga diperoleh generator P adalah .
Korolari 4
Andaikan P , ; , dan P ; Andaikan P dibangun oleh maka
P dibangun oleh picture-picture yang sama dalam dengan kurva diganti dengan kurva .
HASIL DAN PEMBAHASAN
Untuk melihat kegunaan teorema-teorema dan korolari-korolari yang disajikan pada subbab Metode, pada bagian ini dipertimbangkan dua presentasi grup , ; , dan , ; , . Kedua presentasi grup ini berdasarkan Teorema 2 berisomorfisma karena dapat dilakukan transformasi Tietze dari , ; , ke , ; , .
Lemma 1
Grup yang dipresentasikan oleh , ; , berisomorfisma dengan grup yang
dipresentasikan oleh , ; , untuk dan 1. Bukti:
Transformasi Tietze dari , ; , Tietze , ; ,
1. , , ; , ,
Tambahkan generator ke dalam himpunan generator dengan relasi .
2. , , , ; , , ,
Tambahkan generator ke dalam himpunan generator dengan relasi .
3. , , , ; , , , ,
Tambahkan ke dalam himpunan relator karena diturunkan dari , yaitu 1
4. , , , ; , , , , ,
Tambahkan ke dalam himpunan relator karena diturunkan dari , yaitu 1
5. , , , ; , , , ,
Hapus relator karena diturunkan dari .
6. , , , ; , , ,
Hapus relator karena diturunkan dari
7. , , ; , ,
Hapus generator karena 8. , ; ,
Hapus generator karena .
Menurut Bogley dan Pride (1993) generator untuk modul homotopi kedua , ; , adalah generator yang memuat disk dan disk , yaitu:
Sedangkan generator untuk , ; , adalah generator yang memuat disk dan disk , yaitu:
Jadi diketahui walaupun , ; , berisomorfisma dengan , ; , , , ; , tidak berisomorfisma dengan , ; , dan walaupun generator untuk , ; , dan untuk , ; , telah diketahui, akan ditunjukkan juga bagaimana generator untuk
, ; , dapat ditukar menjadi generator untuk , ; , , yaitu melalui perhitungan sebagai berikut:
1. , , ; , ,
2. , , , ; , , ,
Pada tahap 1 dan 2 generatornya masih sama berdasarkan Teorema 3.3.
3. , , , ; , , , ,
Pada tahap ini berdasarkan Teorema 3.1, terdapat generator baru yang memuat disk . Generatornya adalah , dan , di mana adalah:
4. , , , ; , , , , ,
Pada tahap ini terdapat generator baru yang memuat disk (Teorema 3.1). Generatornya adalah , , dan , di mana adalah:
5. , , , ; , , , ,
Pada tahap ini terdapat penghapusan relator dan mengganti disk menjadi disk .
Generator yang memuat adalah generator dan . Generator baru ini masing-masing diberi nama dan .
Generator :
Generator :
6. , , , ; , , ,
Generator-generator yang memuat adalah generator dan . Generator baru ini masing-masing diberi nama dan .
Generator :
Generator :
7. , , ; , ,
Generator-generator yang memuat adalah generator dan . Generator-generator baru ini diberi nama masing-masing dan .
Generator :
Generator :
8. , ; ,
Pada tahap ini terdapat penghapusan generator dan mengganti menjadi (Korolari 3.4).
Generator-generator yang memuat z adalah generator dan . Generator-generator baru ini diberi nama masing-masing dan .
Generator :
Generator :
Jadi diperoleh generator yang memuat disk dan disk . Contoh
Grup yang dipresentasikan , ; , berisomorfisma dengan grup yang dipresentasikan oleh , ; , dan walaupun generator untuk , ; , tidak berisomorfisma dengan generator untuk , ; , tetapi dapat dilakukan perhitungan generator sehingga generator untuk , ; , dapat ditukar menjadi generator untuk , ; , .
Untuk pembuktian dan perhitungan generator pada contoh ini dilakukan secara analog dengan Lemma 1.
DAFTAR PUSTAKA
Baik, Y. G., Harlander, J., Pride, S. J. (1998). The Geometry of Group Extensions. Group Theory, 1(4): 395 – 416.
Bogley, W. A., Pride, S. J. (1993). Calculating Generators of . Two-Dimensional Homotopy And Combinatorial Group Theory: London Math. Soc. Lecture Note Ser., 197: 157 – 188. Cambridge: Cambridge University Press
Johnson, D. L. (1997). Presentation of Group (2nd edition). London Mathematical Society, Student Text, 15. Cambridge: Cambridge University Press.
Magnus, W., Karras, A., & Solitar, D. (1976). Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generator and Relations. New York: Dover Publications.
Miller III, C. F. (2004). Combinatorial Group Theory. Melbourne: University of Melbourne.
Yanita & Ahmad, A. G. (2009). Sifat-Sifat Generator Modul Homotopi Kedua dengan Menggunakan Transformasi Nielsen. Jurnal Teori dan Terapan Matematika, 9(1): 1 – 6.
