APLIKASI TEORI ANTRIAN UNTUK PENGAMBILAN KEPUTUSAN PADA SISTEM ANTRIAN PELANGGAN DI BANK JATENG CABANG REMBANG

(1)

APLIKASI TEORI ANTRIAN UNTUK PENGAMBILAN

KEPUTUSAN PADA SISTEM ANTRIAN PELANGGAN DI

BANK JATENG CABANG REMBANG

Skripsi

disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh :

Tri Yuliani Multiningrum 4150405526

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

(2)

PERSETUJUAN PEMBIMBING

Skripsi ini telah disetujui oleh pembimbing untuk di ajukan ke sidang panitia Ujian Skripsi Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang.

Hari :

Tanggal :

Pembimbing Utama Pembimbing Pembantu

Drs. Arief Agoestanto, M. Si Walid, S.Pd, M.Si

NIP. 132046855 NIP. 132299121

Mengetahui,

KetuaJurusan Matematika

Drs Edy Soedjoko, M. Pd NIP. 131693657

(3)

HALAMAN PENGESAHAN

Telah dipertahankan dihadapan Sidang Panitia Ujian Skripsi Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Semarang pada :

Hari : Rabu

Tanggal : 16 September 2009

Panitia Ujian

Ketua Sekretaris

Dr. Kasmadi Imam S, M. S Drs. Edy Soedjoko, M.Pd NIP. 19511115 197903 1 001 NIP. 19560419 198703 1 001

Penguji Utama

Endang Sugiharti, S.Si, M.Kom NIP. 132231407

Pembimbing I / Penguji Pembimbing II / Penguji

Drs. Arief Agoestanto, M.Si Walid, S.Pd, M.Si

(4)

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

Saya menyatakan bahwa yang tertulis di dalam skripsi ini benar-benar hasil karya saya sendiri, bukan jiplakan dari karya tulis orang lain, baik sebagian atau seluruhnya. Pendapat atau temuan orang lain yang terdapat di dalam skripsi ini dikutip atau dirujuk berdasarkan kode etik ilmiah.

Semarang, September 2009

Tri Yuliani Multiningrum NIM.4150405526

(5)

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

MOTTO

1. Hadapi dengan senyuman.

2. Cintailah apa yang kau miliki, tapi jangan kau miliki apa yang kamu cintai.

3. Kemarin adalah pengalaman yang menjadi kenanagan, sekarang adalah kenyataan yang harus dijalani, besok adalah impian yang penuh harapan.

PERSEMBAHAN

1. Bapak dan Ibu tercinta yang telah memberikan kasih sayang, doa dan pengorbanannya.

2. Suamiku tercinta yang senantiasa memberikan perhatian dan semangat. 3. Buah hatiku Augistya Tasha Arliani yang

sangat aku sayangi.

4. Teman-teman kost HE tempat berbagi suka dan duka.

5. Mahasiswa MATEMATIKA Paralel 2005 yang telah berjuang bersama.

(6)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan nikmat dan karunia-Nya serta kemudahan dan kelapangan, sehingga penulis dapat menyelesaikan Skripsi dengan judul “Aplikasi Teori Antrian Untuk Pengambilan Keputusan Pada Sistem Antrian Di Bank Jateng Cabang Rembang”. Penulisan Skripsi ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan Studi Strata 1 guna memperoleh gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang.

Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Prof. Dr. H. Sudijono Sastroatmodjo, M.Si., Rektor Universitas Negeri Semarang.

2. Dr. Kasmadi Imam S, M.S., Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang.

3. Drs. Edy Soedjoko, M.Pd., Ketua Jurusan dan Kaprodi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang.

4. Drs. Arief Agoestanto, M.Si., dosen pembimbing utama yang telah memberikan arahan, saran , dan bantuan.

5. Walid, S.Pd, M.Si., dosen pembimbing pendamping yang telah memberikan arahan, saran , dan bantuan.

(7)

6. Segenap Staff dan Karyawan Bank Jateng cabang Rembang yang telah membantu terlaksananya kegiatan.

7. Teman-teman yang telah membantu dalam pencarian data (Dika, Lia, dan Ulfa)

Dengan segala keterbatasan, penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan. Untuk itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari semua pihak. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi ini bermanfat bagi para pembaca yang budiman.

Semarang, September 2009

(8)

ABSTRAK

Tri Yuliani Multiningrum. 4150405526. 2009. Aplikasi Teori Antrian Untuk Pengambilan Keputusan Pada Sistem Antrian Pelanggan di Bank Jateng Cabang

Rembang.

Skripsi. Jurusan Matematika. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Negeri Semarang.

Suatu proses antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seorang pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu antrian, sedangkan sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan pelanggan dan pemprosesan masalahnya. Hal tersebut yang mendasari berbagai pihak untuk mencarikan solusi dari proses antrian yang sering terjadi di lingkungan masyarakat. Bank Jateng Cabang Rembang adalah salah satu pihak yang berusaha memenuhi keinginan masyarakat untuk memberikan pelayanan yang memuaskan.

Tujuan dilakukan kegiatan ini adalah menentukan nilai dari ukuran-ukuran keefektifan yaitu menentukan jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem dan dalam antrian, menentukan waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem dan dalam antrian, menentukan persentase semua pemberi pelayanan (teller) tidak sedang melayani nasabah (menganggur), menentukan apakah jumlah pelayan (teller) yang ada sudah ideal.

Kegiatan dilakukan dengan beberapa tahap yaitu Pengumpulan Data, Metode Analisis Data, Penarikan Simpulan dan Saran. Pengambilan data dilakukan secara langsung selama tiga hari yakni pada tanggal 03, 04, dan 05 Agustus 2009 pada pukul 08.30 – 10.30 dan 11.00 – 13.00 pada teller transaksi Bank Jateng Cabang Rembang.

Hasil kegiatan menunjukkan bahwa pola kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson dan pola pelayanannya berdistribusi Eksponensial. Hasil analisis dari sistem antrian tersebut adalah :

Tgl Pukul P0 Lq Wq Ws Ls Persentase waktu menganggur 03/08/09 08.30-10.30 0,0132 5,276 5,411 9,047 8,82 11,4% 11.00-13.00 0,0195 3,66 3,821 7,355 7,046 15,6% 04/08/09 08.30-10.30 0,0396 4,134 4,863 7,866 6,686 15% 11.00-13.00 0,0353 4,828 5,627 8,648 7,419 13,6% 05/08/09 08.30-10.30 0.0159 4,703 4,951 8,601 8,171 13,3% 11.00-13.00 0,0197 3,627 3,72 7,180 7,001 15,7%

Apabila dilihat dari persentase waktu menganggur pelayan, rata-rata waktu menganggur pelayan masih kurang dari 15 % jadi dapat dikatakan bahwa jumlah pelayan (teller) di Bank Jateng Cabang Rembang belum ideal.

Saran yang dapat diberikan adalah Sebaiknya dilakukan penelitian secara intensif, pengambilan datanya diambil secara langsung selama sebulan penuh, setiap hari, dan bahkan setiap jam untuk mendapatkan jumlah pelayan (teller) yang ideal pada Bank Jateng Cabang Rembang.

(9)

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... ... i

PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

PERNYATAAN ... iv

MOTTO DAN PERSEMBAHAN ... v

KATA PENGANTAR ... vi

ABSTRAK ... viii

DAFTAR ISI ... ix

DAFTAR TABEL ... xiii

DAFTAR GAMBAR ... xiv

DAFTAR LAMPIRAN ... xv

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 3 1.3 Batasan Masalah ... 4 1.4 Penegasan Istilah ... 4 1.5 Tujuan ... 5 1.6 Manfaat ... 5 1.7 Sistematika Penulisan ... 6

(10)

BAB II LANDASAN TEORI

2.1. Distribusi Poisson dan Eksponensial ... 8

2.1.1 Distribusi Poisson ... 8

2.1.2 Distribusi Eksponensial ... 9

2.2. Uji Kebaikan Suai (Goodness of-fit Test) ... 11

2.2.1. Uji Kebaikan Suai (Goodness of-fit Test) terhadap peristiwa berdistribusi Poisson ... 12

2.2.2. Uji Kebaikan Suai (Goodness of-fit Test) terhadap peristiwa berdistribusi eksponensial... 12

2.3. Proses Kelahiran-Kamatian... 14

2.3.1. Proses Pertumbuhan Populasi ... 14

2.3.2. Proses Kelahiran-Kamatian Markov Umum ... 14

2.3.3. Proses Kelahiran Poisson ... 15

2.3.4. Proses Kematian Poisson ... 16

2.4. Sistem Antrian ... 16

2.4.1 Ciri Sistem Antrian Menurut Taha (1997:178) ... 17

2.4.2. Struktur Dasar Proses Antrian ... 17

2.4.3. Ukuran Steady-State Dari Kinerja ... 19

2.4.4. Sistem Antrian M/M/s ... 21

BAB III METODE PENELITIAN 3.1. Pengumpulan Data ... 24

3.2. Metode Analisis Data ... 24

(11)

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

4.1. Hasil Penelitian ... 27 4.1.1. Hasil Pengamatan ... 27 4.1.2. Uji Chi Square Goodness of-fit Terhadap Waktu

Kedatangan Pelanggan ... 27 4.1.3. Uji Chi Square Goodness of-fit Terhadap Waktu

Pelayanan Pelanggan ... 30 4.1.4. Menentukan Peluang Tidak Ada Pelanggan

Dalam Sistem ... 32 4.1.5. Menentukan Jumlah Pelanggan Rata-rata

Dalam Antrian ... 35 4.1.6. Menentukan Waktu Menunggu Rata-rata

Dalam Antrian ... 38 4.1.7. Menentukan Waktu Rata-rata Yang Dihabiskan

Pelanggan Dalam Sistem ... 40 4.1.8. Menentukan Jumlah Rata-rata Pelanggan Dalam

Sistem ... 42 4.1.9. Menentukan Persentase Waktu Menganggur

Pelayan ... 44 4.2. Pembahasan ... 46

4.2.1. Hasil Perhitungan Jumlah Pelanggan Rata-rata dalam sistem(Ls) dan dalam antrian (Lq) ... 46

(12)

4.2.2. Hasil Perhitungan Waktu Rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem(Ws) dan dalam

antrian (Wq) ... 47 4.2.3. Persentase semua pemberi pelayanan (teller) tidak

sedang melayani pelanggan (menganggur) ... 48 4.2.4. Menentukan Jumlah Pelayan Sudah Ideal

atau Belum ... 48 BAB V PENUTUP 5.1. Simpulan ... 50 5.2. Saran ... 51 DAFTAR PUSTAKA ... 52 LAMPIRAN

(13)

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 4.1 Laju Kedatangan Pelanggan (λ) dan Laju Pelayanan

Pelanggan(µ) ... 27

Tabel 4.2 Hasil Uji Chi Square Goodness of-fit Terhadap Waktu Kedatangan... 28

Tabel 4.3 Hasil Uji Chi Square Goodness of-fit Terhadap Waktu Pelayanan ... 30

Tabel 4.4 Hasil Perhitungan P0, Lq, dan Ls ... 46

Tabel 4.5 Hasil Perhitungan Wq, dan Ws ... 47

(14)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Proses Antrian Satu Saluran Satu Tahap... 18

Gambar 2.2 Proses Antrian Banyak Saluran Satu Tahap ... 18

Gambar 2.3 Proses Antrian Satu Saluran Banyak Tahap ... 18

(15)

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1 Data Antrian Pelanggan ... 53 Lampiran 2 Jumlah Kedatangan Pelanggan Per Interval Waktu Dua

Menit ... 72 Lampiran 3 Uji Chi Square Goodness of-fit Terhadap Waktu Kedatangan .. 76 Lampiran 4 Uji Chi Square Goodness of-fit Terhadap Waktu Pelayanan .... 79

(16)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang Masalah

Teori antrian merupakan suatu fenomena yang sering terjadi di masyarakat. Fenomena ini terjadi disebabkan terdapat banyak pelanggan yang ingin dilayani sedangkan jumlah pelayan sangat terbatas. Misalnya antrian di POM bensin, antrian di ATM, antrian pada teller sebuah Bank dan lain-lain. Fenomena ini juga merupakan hasil langsung dari keacakan dalam operasi sarana pelayanan secara umum, kedatangan pelanggan dan waktu pelayanan tidak diketahui sebelumnya, karena jika bisa diketahui pengoperasian sarana tersebut maka dapat dijadwalkan sedemikian rupa sehingga akan sepenuhnya menghilangkan keharusan untuk menunggu (mengantri).

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi sistematis dari antrian-antrian atau baris-baris penungguan. Antrian terjadi apabila kebutuhan akan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan itu. Sistem antrian dicirikan oleh 5 komponen yaitu pola kedatangan para pelanggan, pola pelayanan, jumlah pelayan, kapasitas fasilitas untuk menampung para pelanggan dan aturan dalam hal para pelanggan dilayani.

Sistem antrian saluran ganda ada beberapa tempat pelayanan yang paralel sebanyak k, di mana terdapat n pelanggan dalam sistem pada waktu tertentu. Keadaan seperti tersebut dapat diasumsikan akan terjadi hal berikut :

(17)

(1) Tidak ada antrian sebab semua pelanggan yang datang sedang menerima pelayanan di tempat pelayanan (di depan loket), dalam hal ini nk, atau

(2) Terjadi pembentukan suatu antrian sebab pelayanan yang diminta oleh pelanggan yang datang lebih besar dari kemampuan tempat pelayanan untuk melayani, dalam hal ini nk.

Hal (1) tidak ada persoalan, sedangkan dalam hal (2) timbul permasalahan. Permasalahan yang timbul adalah sering kali terjadi ketidakseimbangan. Mungkin terjadi suatu antrian yang panjang yang mengakibatkan pelanggan harus menunggu terlalu lama untuk memperoleh giliran dilayani atau mungkin tersedia fasilitas pelayanan yang berlebihan yang mengakibatkan fasilitas tersebut tidak dapat dimanfaatkan sepenuhnya.

Salah satu contoh antrian adalah antrian untuk mendapatkan pelayanan atau melakukan transaksi di Bank Jateng cabang Rembang. Pelanggan datang pada sarana pelayanan kemudian mengisi slip (penabungan/penarikan) dan mengambil nomor antrian lalu menunggu pada tempat duduk yang disediakan. Petugas memanggil satu persatu pelanggan untuk dilayani sesuai dengan urutan nomor antrian. Waktu penelitian dilakukan, terjadi antrian yang cukup panjang.

Uraian di atas adalah paparan tentang Bank Jateng Cabang Rembang, karena hal tersebut peneliti tertarik untuk melakukan penelitian yang terkait dengan pengambilan keputusan pada sistem antrian pelanggan di Bank Jateng Cabang Rembang.

(18)

Model keputusan antrian ada 2 yaitu model biaya dan model tingkat aspirasi. Model biaya dalam antrian berusaha menyeimbangkan biaya menunggu dengan biaya kenaikan tingkat pelayanan yang saling bertentangan, apabila tingkat pelayanan meningkat sedangkan biaya waktu menurun. Tingkat pelayanan optimum terjadi ketika jumlah kedua biaya ini minimum. Sedangkan model tingkat aspirasi memanfaatkan karakteristik yang terdapat dalam sistem untuk memutuskan nilai-nilai optimum dari parameter perancangan. Optimasi dipandang dalam arti memenuhi tingkat aspirasi tertentu yang ditentukan oleh pengambil keputusan. Untuk kasus dimana sulit untuk mengestimasi parameter biaya, digunakan tingkat aspirasi (Taha, 1997:234-240).

Penelitian ini menggunakan model tingkat aspirasi sehingga ukuran-ukuran kinerja yang digunakan adalah jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem (L_s), jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian (L_q), waktu menunggu rata-rata dalam sistem (W_s), waktu menunggu rata-rata dalam antrian (W_q). Ukuran-ukuran kinerja tersebut pada akhirnya akan digunakan untuk menentukan jumlah pelayan yang ideal

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang dapat dirumuskan masalah sebagai berikut :

(19)

2. Berapa waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem dan dalam antrian?

3. Berapa persentase semua pemberi pelayanan (teller) tidak sedang melayani nasabah (menganggur) ?

4. Apakah jumlah pelayan (teller) yang ada sudah ideal?

1.3Pembatasan Masalah

1. Pengamatan dilaksanakan selama 3 hari yaitu tanggal 03, 04, dan 05 Agustus 2009.

2. Pengamatan dilaksanakan pada pukul 08.30 – 09.30 dan pukul 11.00 – 13.00 pada teller transaksi Bank Jateng Cabang Rembang.

3. Tidak terjadi penolakan dan pembatalan terhadap kedatangan pelanggan walaupun memungkinkan terjadinya pembatalan.

1.4Penegasan Istilah 1. Proses antrian

Proses antrian adalah proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, menunggu dalam suatu baris antrian, dilayani, dan meninggalkan fasilitas pelayanan (Kakiay,2004:10)

2. Sistem antrian

Sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur pelayanan kepada pelanggan (Kakiay, 2004:10).

(20)

3. Disiplin Antrian

Disiplin antrian adalah aturan yang berlaku pada saat para pelanggan dilayani atau disiplin pelayanan yang memuat urutan para pelanggan menerima pelayanan (Kakiay ,2004:12)

1.5Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Menentukan jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem dan dalam antrian. 2. Menentukan waktu rata-rata yang dihabiskan seorang pelanggan dalam

sistem dan dalam antrian.

3. Menentukan persentase semua pemberi pelayanan (teller) tidak sedang melayani nasabah (menganggur).

4. Menentukan apakah jumlah pelayan (teller) yang ideal.

1.6Manfaat

Manfaat dari penelitian ini adalah : 1. Bagi Penulis

Mengaplikasikan ilmu yang telah didapat dari kampus sehingga lebih paham tentang teori antrian.

2. Bagi Jurusan

Dapat dijadikan sebagai bahan studi kasus bagi pembaca dan acuan bagi mahasiswa sebagai bahan bacaan yang dapat menambah ilmu pengetahuan.

(21)

3. Bagi Instansi

Dapat dijadikan sebagai bahan pertimbangan dalam pengambilan keputusan berdasarkan aspirasi pelanggan mengenai jumlah pelayan yang ideal untuk meningkatkan kualitas pelayanan pada bank yang bersangkutan.

1.7Sistematika Penulisan

Secara garis besar penulisan skripsi ini dibagi menjadi tiga bagian pokok, yaitu bagian awal, bagian inti, dan bagian akhir.

Bagian awal skripsi ini berisi halaman judul, Persetujuan Pembimbing, Pernyataan, Halaman Pengesahan, Halaman Motto d.an Persembahan, Kata Pengantar, Abstrak, Daftar Isi, Daftar Tabel, Daftar Gambar, Dan Daftar Lampiran.

Bagian inti skripsi ini terdiri dari lima bab. Kelima bab tersebut adalah sebagai berikut.

1. BAB I PENDAHULUAN

Bab ini berisi latar belakang Masalah, Rumusan Masalah, Pembatasan Masalah, Tujuan, Manfaat, Sistematika Penulisan.

2. BAB II LANDASAN TEORI

Bab ini berisi berupa sub bab yakni Model Distribusi Poisson dan Eksponensial, Uji Kebaikan Suai (Goodness of-fit test), Proses Kelahiran-Kematian, dan Sistem Antrian.

(22)

4. BAB IV HASIL KEGIATAN DAN PEMBAHASAN

Bab ini berisi semua hasil kegiatan yang telah dilakukan dan pembahasannya.

5. BAB V PENUTUP

Bab ini berisi Kesimpulan dan Saran.

(23)

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Distribusi Poisson dan Eksponensial 2.1.1. Distribusi Poisson

Distribusi Poisson memainkan peran penting dalam penguraian probabilitas yang terkait dengan sejumlah besar data. Walaupun proses Poisson ini tidak memberikan menguraian matematis secara mendalam, namun observasi pada fenomena ini sangat berguna sebagai pendekatan umum untuk berbagai kepentingan dalam kehidupan sehari-hari.

Definisi proses Poisson yaitu suatu proses penjumlahan {N(t), t≥0} akan

dinyatakan sebagai proses Poisson dengan rata pertambahan per unit

waktu = λ di mana λ > 0, apabila :

1. N(0) = 0 → t = interval waktu

2. Proses ini mempunyai peningkatan independen

3. Jumlah dari event dalam setiap interval yang panjangnya t adalah distribusi Poisson dengan rata-rata = λt untuk semua s,t ≥ 0.

Berarti distribusi Poisson adalah :

N(t+s) – N(s) = η} (Kakiay,2004:35)

Dengan catatan c mempunyai sifat poisson process stasionery increment dan rata-ratanya adalah : E{N(t)} = λt. Dengan λ disebut mean rate (rata-rata) dari Proses Poisson. Dalam penelitian apabila sembarang proses

(24)

pertambahan merupakan proses poisson maka harus dapat dibuktikan bahwa ketiga kondisi (a, b, c) tersebut di atas dipenuhi dengan catatan :

1. Kondisi (a) menyatakan bahwa perhitunghan pertambahan dari event yang terjadi dimulai dengan waktu t = 0.

2. Kondisi (b) dapat selalu diuraikan dari apa yang sudah kita pelajari dari proses tersebut.

3. Kondisi (c) ini tidak akan selalu jelas bagaimana harus dapat diselidiki. Oleh karena itu diberikan pengertian yang diekuivalenkan untuk proses poisson tersebut (Kakiay,2004:37).

Peubah acak yang diamati pada suatu eksperimen poisson adalah X yang menyatakan banyaknya sukses dalam eksperimen tersebut.

Definisi 2.1

Peubah acak X dikatakan distribusi Poisson dengan parameter λ, ditulis

 



 ~

X , jika X memiliki f.k.p. sebagai berikut :

 

        lain yang x x x e x f x ; 0 , 2 , 1 , 0 ; !    Dengan e = 2,7183… (Djauhari, 1990:163). 2.1.2. Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial merupakan suatu distribusi random yang variabelnya berdiri bebas tanpa memori masa lalu. Sifat-sifat dari distribusi eksponensial adalah :

(25)

1. Suatu Random variabel x dikatakan tidak mempunyai memori (ingatan) ke belakang lagi ( memory test) apabila P{x > s+t / x > t} = P{x > t} untuk semua s,t ≥ 0

2. Apabila kita anggap x adalah distribusi dari umur suatu benda (product) maka probabilitas di atas menunjukkan benda atau product tersebut akan tahan (hidup/baik) paling sedikit (s+t) jam di mana daya tahannya sebanyak t jam adalah sama dengan probabilitas semula yang tahan paling sedikit s jam

3. Dengan kata lain apabila produk tersebut hidup/tahan selama waktu t maka distribusi dari sejumlah sisa waktunya yang bisa bertahan (survive) adalah sama dengan original lifetime distribusinya, yang mana produk tersebut tidak lagi diingat bahwa dia sudah digunakan di dalam waktu t jam

4. Dalam hal ini kondisi probabilitasnya akan ekuivalen atau sma dengan :

Atau

P{x > s+t} = P{x > s}.P{x > t}

5. Dengan rumus ini berarti X memenuhin syarat distribusi eksponensial bilamana random variabel dari distribusi eksponensial tidak mempunyai ingatan ke belakang lagi, yang dirumuskan dengan :

(26)

Definisi 2.2

Jika X ~ (µ) maka X dikatakan berdistribusi eksponensial dengan perameter µ dengan f.k.p. :

 

         lain yang x x x e x f x ; 0 0 ; 0 ; 1   

di sini X dapat menyatakan waktu yang di butuhkan sampai terjadinya 1 kali sukses dengan



1

= rata-rata banyaknya sukses dalam selang waktu satuan (Djauhari, 1990:175).

2.2 Uji Kebaikan Suai (Goodness of-fit Test)

Goodness of-fit Test (Uji Kebaikan Suai) dirancang untuk menguji hipotesis bahwa sebuah distribusi observasi adalah sesuai dengan distribusi teoritis tertentu (Taha, 1997:10).

Membandingkan distribusi observasi dan distribusi teoritis adalah dasar untuk uji Kolmogorov-Smirnov satu sampel (K-S). Uji ini hanya dapat diterapkan untuk variabel acak kontinu dengan memanfaatkan sebuah statistik untuk menolak atau menerima distribusi yang dihipotesiskan dengan tingkat signifikan tertentu.

Uji statistik yang digunakan dalam penelitian ini adalah uji Chi-Square yang berlaku baik untuk variabel acak diskrit maupun kontinu. Uji ini didasari oleh perbandingan fungsi kepadatan probabilitas daripada fungsi kepadatan komulatif seperti uji K-S.

(27)

2.2.1 Uji Chi-Square Goodness of-fit terhadap peristiwa berdistribusi Poisson.

Variabel acak diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson jika fungsi peluangnya sebagai berikut :

 

, 0,1,2,3, !    x x e x P x   (Sudjana,2002 : 134). Sehingga untuk jumlah n frekuensi observasi

 

f₀ maka frekuensi harapan

 

f_e adalah:

fe = n P(x).

nilai dari 2 dihitung dengan menggunakan rumus :







   m x e e f f f 0 2 0 2 

Dengan m adalah sel (baris) yang dipergunakan dalam mengembangkan fungsi kepadatan empiris (Sugiyono,1999:104). 2.2.2 Uji Chi-Square Goodness of-fit terhadap peristiwa yang

berdistribusi Eksponensial.

Misalkan variabel acak X berdistribusi eksponensial, frekuensi teoritis yang berkaitan dengan interval [Ii-1,I1] dihitung sebagai berikut

 



  i i I I e n f t dt f 1 , i = 1, 2, 3, …, m

dengan m adalah banyaknya interval yang digunakan. Sedangkan f(t) adalah fungsi kepadatan peluang dari distribusi eksponensial sebagai berikut :

(28)

 

t

e t

f _  _{, t >0, µ >0 (Taha, 1997:14).}

Dengan substitusi persamaan di atas diperoleh :



 



i I t e i

dt

e

n

f

1 





   i I t i dt e n 1 





1



1  _          _n _e  Ii _e  Ii  





_

 1







_n

_e

 Ii

_e

 Ii



 _  1



 Ii Ii e n e e f   (Taha, 1997:12). Nilai chi-square hitung diperoleh dengan menggunakan rumus :







  e e f f f₀ 2 2  (Taha, 1997:11).

Pola pelayanan dapat diasumsikan berdistribusi eksponensial jika waktu pelayanannya acak atau waktu pelayanan tidak tergantung pada jumlah pelanggan (Aminudin,2005:175).

Uji Chi-Square Goodness of-fit keputusan diambil berdasarkan hipotesis penelitian yang telah ditentukan sebelumnya. Hipotesis Nol (H0) menyatakan bahwa waktu kedatangan pelanggan/ waktu pelayanan memiliki distribusi Poisson/Eksponensial, sedangkan H1 menyatakan bahwa waktu kedatangan pelanggan/ waktu pelayanan tidak memiliki distribusi Poisson/Eksponensial. H0 diterima jika harga

2

(29)

dengan tingkat signifikansi α, m adalah banyaknya interval yang digunakan dan k adalah jumlah parameter yang diestimasi dari data mentah untuk dipergunakan dalam mendefinisikan teoritis yang bersangkutan.

2.3 Proses Kelahiran-Kematian

2.3.1 Proses Pertumbuhan Populasi

Suatu populasi adalah suatu himpunan objek-objek yang memiliki sifat sama. Apabila satu anggota bergabung dengan suatu populasi, maka terjadi suatu peristiwa kelahiran (birth), sedangkan suatu kematian (death) terjadi apabila satu anggota meninggalkan populasi. Suatu proses kelahiran murni adalah suatu proses yang hanya terdiri dari kelahiran dan tidak terjadi kematian, sedangkan proses kematian murni adalah suatu proses yang hanya terdiri dari kematian (Bronson,1996:296).

2.3.2 Proses Kelahiran-Kematian Markov Umum

Suatu proses pertumbuhan adalah suatu proses Markov jika probabilitas-probabilitas transisi untuk bergerak dari satu keadaan ke keadaan lain hanya bergantung dari keadaan sekarang tercapai. Menurut Bronson (1996:297) suatu proses kelahiran kematian Markov umum memenuhi kriteria sebagai berikut :

(30)

1) Distribusi-distribusi probabilitas yang menentukan jumlah kelahiran dan kematian dalam suatu selang waktu tertentu hanya bergantung pada panjang selang dan tidak ada titik awalnya.

2) Probabilitas untuk terjadi satu kelahiran saja adalah suatu selang waktu t, bila pada titik awal selang terdapat suatu populasi dengan n anggota, adalah _n to

 

t , dimana_n adalah suatu konstanta, yang dapat berbeda untuk n yang berbeda.

3) Probabilitas untuk terjadi satu kematian saja adalah suatu selang waktu t, bila pada titik awal selang terdapat suatu populasi dengan n anggota, adalah _n to

 

t , dimana_n adalah suatu konstanta, yang dapat berbeda untuk n yang berbeda.

4) Probabilitas untuk terjadi lebih dari satu kelahiran atau kematian dalam suatu selang waktu adalah o

 

t kedua-duanya.

2.3.3 Proses Kelahiran Poisson

Suatu kelahiran Poisson adalah suatu proses kelahiran murni Markov dimana probabilitas suatu kelahiran dalam sebarang waktu yang kecil tak tergantung pada ukuran populasinya. Dipunyai_n dan_o 0 untuk semua n (Bronson ,1996:298).

Proses kelahiran murni selama periode t dijabarkan dengan distribusi poisson sebagai berikut :

 

, 0,1,2, !            n n e t t P t n n  

(31)

Dengan adalah laju kedatangan per unit waktu dengan jumlah kedatangan yang diperkirakan selama t yang sebesar λt (Taha, 1997:182).

2.3.4 Proses Kematian Poisson

Suatu kematian Poisson adalah suatu proses kematian murni Markov dimana probabilitas suatu kematian dalam sebarang waktu yang kecil tak tergantung pada ukuran populasinya. Dipunyai_n 0dan_o 0 untuk semua n (Bronson ,1996:298).

Proses kematian murni selama periode t dijabarkan dengan distribusi Poisson sebagai berikut :

 



N n



! e t t P t n N n       , n = 1, 2, …,N

 

_

 

   N n n t P t P 1 0 1 (Taha, 1997:183).

2.4 Model Sistem Antrian

Suatu proses antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seorang pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) apabila semua pelayan sibuk dan pada akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan dan pemrosesan masalahnya ( Bronson,1996:308).

(32)

mendapat pelayanan atau sedang dilayani. Suatu kelahiran terjadi apabila seorang pelanggan tiba di suatu fasilitas pelayanan, sedangkan apabila pelanggannya meninggalkan fasilitas tersebut maka terjadi suatu kematian. 2.4.1 Ciri Sistem Antrian Menurut Taha (1997:178)

1) Distribusi kedatangan (kedatangan tunggal atau kelompok). 2) Distribusi waktu pelayanan (kedatangan tunggal atau kelompok). 3) Rancangan sarana pelayanan (stasiun serial atau paralel).

4) Peraturan pelayanan, meliputi FIFO (First In First Out) yakni pelayanan menurut urutan kedatangan; LIFO (Last In First Out) yakni pelanggan yang datang paling akhir mendapat pelayanan yang berikutnya; SIRO (Service In Random Order) yakni pelayanan dengan urutan acak; GD (General Dicipline) yakni pelayanan dengan urutan khusus.

5) Ukuran antrian (terhingga atau tak terhingga) 6) Sumber pemanggilan (terhingga atau tak terhingga)

7) Perilaku manusia (pemindahan, penolakan, pembatalan).

2.4.2 Struktur Dasar Proses Antrian

Proses antrian pada umumnya dikelompokkan kedalam empat struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas pelayanan, yaitu :

(33)

Antrian Pelayan Gambar 2.1 Proses Antrian Satu Saluran Satu Tahap 2) Banyak saluran satu tahap

Antrian Pelayan

Gambar 2.2 Proses Antrian Banyak Saluran Satu Tahap 3) Satu saluran banyak tahap

Antrian Pelayan

Gambar 2.3 Proses Antrian Satu Saluran Banyak Tahap 4) Banyak saluran banyak tahap

Antrian Pelayan

Gambar 2.4 Proses Antrian Banyak Saluran Banyak Tahap Banyaknya saluran dalam proses antrian adalah jumlah pelayanan paralel yang tersedia. Banyaknya tahap menunjukkan jumlah pelayanan berurutan yang harus dilalui oleh setiap kedatangan ( Mulyono, 2002:287).

(34)

2.4.3 Ukuran Steady-State dari Kinerja

Ukuran steady-state adalah keadaan yang stabil dimana laju kedatangan kurang dari laju pelayanan. Apabila probabilitas steady-state dari Pn untuk n acak pelanggan dalam sistem ditentukan, dapat dihitung ukuran-ukuran steady-state dari kerja dari situasi antrian. Ukuran-ukuran kinerja kemudian dapat dipergunakan untuk menganalisis operasi situasi antrian tersebut dengan maksud pembuatan rekomendasi tentang perancang sistem. Keadaan steady-state dari kinerja tercapai apabila yang menyatakan bahwa laju kedatangan kurang dari laju pelayanan. Jika maka kedatangan terjadi dengan kelajuan yang lebih cepat daripada yang ditampung oleh sistem, panjang antrian diharapkan bertambah tanpa batas sehingga tidak terjadi steady-state. Kinerja yang sama terjadi apabila . Ukuran-ukuran kinerja tersebut adalah :

Ls = jumlah pelanggan rata-rata yang diperkirakan dalam sistem Lq = jumlah pelanggan rata-rata yang diperkirakan dalam antrian Ws = waktu menunggu rata-rata yang diperkirakan dalam sistem

Wq = waktu menunggu rata-rata yang diperkirakan dalam antrian Untuk sistem dengan sarana pelayanan c pelayan, dari definisi Pn diperoleh :



   0 n n s nP L







   _n q n c P L

(35)

dengan menganggap λeff adalah laju kedatangan rata-rata efektif (tidak bergantung pada jumlah dalam sistem n), maka :

Ls = λeff Ws

Lq = λeff Wq (Taha, 1997 : 190). Nilai dari λeff ditentukan dari λn yang bergantung pada keadaan dan probabilitas Pn sebagai berikut :



   0 n n n eff  P  (Taha, 1997 : 190).

Waktu menunggu yang diperkirakan dalam sistem diperoleh dengan:

 1   _q s W W

dengan µ adalah laju pelayanan dan



1

adalah waktu pelayanan yang diperkirakan.

Jumlah pelanggan yang diperkirakan dalam sistem juga dapat diperoleh dengan :  _eff q s L L  

Persentase waktu menganggur pelayan adalah % 100 1 _          c X (Taha, 1997 : 201) 2.4.4 Sistem Antrian M/M/s

(36)

sebanyak s yang tidak saling bergantung tetapi waktu pelayanan dari masing-masingnya adalah identik mengikuti pola distribusi eksponensial (yang mana tidak bergantung pada keadaan sistem); kapasitasnya berhingga dan disiplin antriannya PMPK (Pertama Datang Pertama Keluar) / FIFO (First In First Out). Pola kedatangan juga tidak bergantung pada keadaan sistem, jadi λn = λ untuk semua n. waktu-waktu pelayanan yang berkaitan dengan tiap-tiap pelayan juga tidak bergantung dari keadaan. Tetapi karena jumlah pelayan yang benar-benar melayani pelanggan (yang tidak menganggur) bergantung pada jumlah pelanggan dalam sistem, maka waktu efektif yang dibutuhkan sistem untuk memproses para pelanggan melalui fasilitas pelayanannya juga tidak bergantung dari keadaan. Khususnya, jika



1

adalah waktu pelayanan rata-rata bagi seorang pelayan untuk menangani satu pelanggan, maka laju rata-rata untuk menyelesaikan pelayanan apabila terdapat n pelayan dalam sistem adalah :









          , 2 , 1 , 1 , 0 s s n s s n n n   

Persyaratan-persyaratan keadaan tunak berlaku apabila : 1      s (Bronson ,1996 : 327). Probabilitas-probabilitas keadaan tunak sebagai berikut :





 

1 0 1 0

!

1 !

  



















_

s n n s s

n

s

P



(37)

dan

 

_

_





              , 2 , 1 ! , , 1 ! 0 s s n P s s s n P n s P n n s n n



Sehingga diperoleh :





2 0 1 1 !      s P s L s s q



q q L W 



1 



_q s

W

s s

W

L





Dengan  ,

 



 









_

















  



  

s

e

P

s

e

t

W

s s t s t s

1

1 !

1

1 0 (t ≥ 0)

 





  



_ _





0 1

1 !

t s s q

e

s

P

s

t

W

, (t ≥ 0) (Bronson ,1996 : 328). Keterangan Simbol : : Sistem Pelayanan

λ : Rata-rata Laju Kedatangan Pelanggan

µ : Rata-rata Laju Pelayanan Pelanggan s : jumlah pelayan

(38)

Pn : Probabilitas dari n pelanggan dalam sistem

Ls : jumlah pelanggan rata-rata yang diperkirakan dalam sistem Lq : jumlah pelanggan rata-rata yang diperkirakan dalam antrian Ws : waktu menunggu rata-rata yang diperkirakan dalam sistem

Wq : waktu menunggu rata-rata yang diperkirakan dalam antrian Ws(t) : probabilitas waktu yang dihabiskan pelanggan dalam sistem Wq(t) : probabilitas waktu yang dihabiskan pelanggan dalam antrian

(39)

BAB III

METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini meliputi beberapa tahap sebagai berikut.

3.1 Pengumpulan Data

Penelitian ini pengambilan datanya dilakukan secara langsung pada sistem antrian teller Bank Jateng Cabang Rembang yang terletak di jalan Kartini Nomor 10 Rembang. Pelanggan datang pada sarana pelayanan dan mengisi slip (penabungan/penarikan) serta mengambil nomor antrian kemudian menunggu untuk mendapatkan pelayanan pada tempat yang disediakan. Penelitian dilakukan selama 3 hari pada tanggal 3, 4, dan 5 Agustus 2009 dilakukan mulai pukul 08.30 - 10.30 WIB dan pukul 11.00 - 13.00 WIB. Pengumpulan data berkenaan dengan kedatangan dan pelayanan pelanggan dengan metode observasi yaitu :

1) Mengukur waktu kedatangan yang berturut-turut untuk memperoleh waktu kedatangan rata-rata.

2) Mengukur waktu pelayanan setiap pelanggan untuk memperoleh waktu

pelayanan rata-rata.

3.2 Metode Analisis Data

Langkah-langkah yang digunakan untuk menganalisis data adalah sebagai berikut.

(40)

1. Menentukan distribusi waktu antar kedatangan pelanggan dan waktu pelayanan. Apakah Laju kedatangan berdistribusi Poisson atau tidak , dan apakah laju pelayanan berdistribusi Eksponensial atau tidak

2. Pengujian Hipotesis.

i.Hipotesis untuk kedatangan pelanggan sebagai berikut : 1. H0 : Kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson

2. H1 : Kedatangan pelanggan tidak berdistribusi Poisson

ii. Hipotesis untuk waktu pelayanan sebagai berikut :

1. H0 : Waktu pelayanan pelanggan berdistribusi Eksponensial

2. H1 : Waktu pelayanan pelanggan tidak berdistribusi Eksponensial

3. Menghitung laju kedatangan pelanggan dan laju rata-rata pelayanan pelanggan.

Untuk menghitung laju kedatangan pelanggan dan laju rata-rata pelayanan digunakan rumus :    s 

4. Menghitung jumlah pelanggan di dalam antrian dan di dalam sistem.

Untuk jumlah rata-rata pelanggan di dalam antrian dan di dalam system

digunakan rumus :

L

s





W

sdan





2 0 1 1 !      s P s L s s q

5. Menghitung waktu tunggu rata-rata pelanggan di dalam antrian dan di dalam sistem

Untuk waktu rata-rata pelanggan menunggu di dalam antrian dan di dalam

system digunakan rumus :



1 



_q s

W

_dan



q q L W 

(41)

6. Menghitung persentase pelayan menganggur

Persentase pelayan menganggur dihitung dengan menggunakan rumus :

% 100 1 _          c X

7. Menentukan apakah jumlah pelayan yang ada sudah ideal

Jumlah pelayan ideal atau belum dapat dilihat dari persentase pelayan menganggur.

3.3 Penarikan Simpulan dan Saran

Setelah menganalisis data, kemudian dibuat simpulan berdasarkan rumusan masalah dan saran.

(42)

BAB IV

HASIL KEGIATAN DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil Kegiatan

4.1.1 Hasil Pengamatan

Hasil pengamatan terhadap waktu kedatangan dan waktu pelayanan pelanggan dilihat pada lampiran 3 dan 4. Berdasarkan data

tersebut dapat dihitung nilai λ dan µ dalam satuan pelanggan per menit.

Hasil perhitungan di sajikan dalam tabel berikut. Tabel 4.1

Laju Kedatangan Pelanggan (λ) dan Laju Pelayanan Pelanggan (µ)

Tanggal Pukul λ (pelanggan per menit) µ (pelanggan per menit) 03 Agustus 09 08.30 - 10.30 0,975 0,275 11.00 - 13.00 0,958 0,283 04 Agustus 09 08.30 - 10.30 0,850 0,333 11.00 - 13.00 0,858 0,331 05 Agustus 09 08.30 - 10.30 0,950 0,274 11.00 - 13.00 0,975 0,289

4.1.2. Uji Chi Square Goodness of-fit Terhadap Waktu Kedatangan Pelanggan

Berdasarkan data hasil pengamatan antrian pelanggan ( lampiran 1) dapat disusun tabel kedatangan pelanggan dengan interval per 2 menit (lampiran 2). Data dari tabel tersebut selanjutnya digunakan untuk Uji

(43)

Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu kedatangan pelanggan. Hasil pengujian data disajikan dalam tabel berikut.

Tabel 4.2

Hasil Uji Chi Square Goodness of-fit Terhadap Waktu Kedatangan Pelanggan

Tanggal Pukul λ χ2hitung χ2tabel Ket 3 Agustus 09 08.30-10.30 0,975 2,78900 7,81 H0 diterima 11.00-13.00 0,958 7,04324 9,49 H0 diterima 4 Agustus 09 08.30-10.30 0,850 1,94014 7,81 H0 diterima 11.00-13.00 0,858 7,34554 11,1 H0 diterima 5 Agustus 09 08.30-10.30 0,950 1,81604 11,1 H0 diterima 11.00-13.00 0,975 2,28502 9,49 H0 diterima

Berdasarkan Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu kedatangan pelanggan pada hari Senin tanggal 3 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30, dengan taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 3 diperoleh

χ2tabel sebesar 7,81. Jadi χ2hitung < χ2tabel maka Ho diterima. Artinya pola kedatangan pelanggan mengikuti distribusi Poisson dengan parameter λ.

Berdasarkan Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu kedatangan pelanggan pada hari Senin tanggal 3 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00, dengan taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 4 diperoleh

(44)

Artinya pola kedatangan pelanggan mengikuti distribusi Poisson dengan parameter λ.

Berdasarkan Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu kedatangan pelanggan pada hari Selasa tanggal 4 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30, dengan taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 3 diperoleh

Berdasarkan Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu kedatangan pelanggan pada hari Selasa tanggal 4 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00, dengan taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 5 diperoleh

Berdasarkan Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu kedatangan pelanggan pada hari Rabu tanggal 5 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30, dengan taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 5 diperoleh

χ2tabel sebesar 11,1. Jadi χ2hitung < χ2tabel maka Ho_diterima. Artinya pola kedatangan pelanggan mengikuti distribusi Poisson dengan parameter λ.

Berdasarkan Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu kedatangan pelanggan pada hari Rabu tanggal 5 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00, dengan taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 4 diperoleh

(45)

4.1.3. Uji Chi Square Goodness of-fit Terhadap Waktu Pelayanan Pelanggan

Berdasarkan lampiran 4 diperoleh hasil pengujian yang disajikan dalam tabel berikut.

Tabel 4.3

Hasil Uji Chi Square Goodness of-fit Terhadap Waktu Pelayanan Pelanggan

Tanggal Pukul µ χ2hitung χ2tabel Ket 3 Agustus 09 08.30-10.30 0,275 20,195 21,0 Ho diterima 11.00-13.00 0,283 16,287 21,0 Ho diterima 4 Agustus 09 08.30-10.30 0,333 17,470 18,3 Ho diterima 11.00-13.00 0,331 15,617 16,9 Ho diterima 5 Agustus 09 08.30-10.30 0,274 19,519 19,7 Ho diterima 11.00-13.00 0,279 17,794 18,3 Ho diterima

Berdasarkan Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu pelayanan pelanggan pada hari Senin tanggal 3 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30, dengan taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 12 diperoleh χ2tabel sebesar 21,0. Jadi χ2hitung < χ2tabel maka Ho diterima.

(46)

Artinya pola pelayanan pelanggan mengikuti distribusi Eksponensial dengan parameter µ.

Berdasarkan Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu pelayanan pelanggan pada hari Senin tanggal 3 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00, dengan taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 12 diperoleh χ2tabel sebesar 21,0. Jadi χ2hitung < χ2tabel maka Ho diterima. Artinya pola pelayanan pelanggan mengikuti distribusi Eksponensial dengan parameter µ.

Berdasarkan Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu pelayanan pelanggan pada hari Selasa tanggal 4 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30, dengan taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 10 diperoleh χ2tabel sebesar 18,3. Jadi χ2hitung < χ2tabel maka Ho diterima. Artinya pola pelayanan pelanggan mengikuti distribusi Eksponensial dengan parameter µ.

Berdasarkan Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu pelayanan pelanggan pada hari Selasa tanggal 4 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00, dengan taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 9 diperoleh χ2tabel sebesar 16,9. Jadi χ2hitung < χ2tabel maka Ho diterima. Artinya pola pelayanan pelanggan mengikuti distribusi Eksponensial dengan parameter µ.

Berdasarkan Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu pelayanan pelanggan pada hari Rabu tanggal 5 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30, dengan taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 11 diperoleh

(47)

χ2tabel sebesar 19,7. Jadi χ2hitung < χ2tabel maka Ho diterima. Artinya pola pelayanan pelanggan mengikuti distribusi Eksponensial dengan parameter µ.

Berdasarkan Uji Chi Square Goodness of-fit terhadap waktu pelayanan pelanggan pada hari Rabu tanggal 5 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00, dengan taraf signifikan α = 0,05 dan dk = 10 diperoleh χ2tabel sebesar 18,3. Jadi χ2hitung < χ2tabel maka Ho diterima. Artinya pola pelayanan pelanggan mengikuti distribusi Eksponensial dengan parameter µ.

4.1.4 Menentukan Peluang Tidak Ada Pelanggan Dalam Sistem

Menentukan peluang tidak ada pelanggan dalam sistem dapat di hitung menggunakan rumus





 

1 0 1 0

!

1 !

  



















_

s n n s s

n

s

P



1) Peluang tidak ada pelanggan pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30

Pada lampiran 1, lampiran 3, dan lampiran 4 dapat diperoleh bahwa

s = 4, λ = 0,975 pelanggan per menit, dan µ = 0,275 pelanggan per menit,

(48)









0132

,

0 !

886 ,

0 .

4

886 ,

0

1 !

4

886 ,

0

4

4 1 0 5 4 0





















 



n n

n

P

Jadi peluang tidak ada pelanggan dalam sistem sebesar 0,0132. 2) Peluang tidak ada pelanggan pada hari Senin tanggal 03 Agustus

2009 pukul 11.00 – 13.00

s = 4, λ = 0,958 pelanggan per menit, dan µ = 0,280 pelanggan per

menit,

Terlihat bahwa ρ < 1, artinya keadaan tunak tercapai. Peluang tidak ada pelanggan dalam sistem :









0195

,

0 !

844 ,

0 .

4

844 ,

0

1 !

4

844 ,

0

4

4 1 0 5 4 0





















 



n n

n

P

Jadi peluang tidak ada pelanggan dalam sistem sebesar 0,0195. 3) Peluang tidak ada pelanggan pada hari Selasa tanggal 04 Agustus

2009 pukul 08.30 – 10.30

s = 3, λ = 0,850 pelanggan per menit, dan µ = 0,333 pelanggan per menit,

(49)

Terlihat bahwa ρ < 1, artinya keadaan tunak tercapai.

Peluang tidak ada pelanggan dalam sistem :









0396

,

0 !

850 ,

0 .

3

850 ,

0

1 !

3

850 ,

0

3

3 1 0 4 3 0





















 



n n

n

P

Jadi peluang tidak ada pelanggan dalam sistem sebesar 0,0396. 4) Peluang tidak ada pelanggan pada hari Selasa tanggal 04 Agustus

2009 pukul 11.00 – 13.00

menit,









0353

,

0 !

864 ,

0 .

3

864 ,

0

1 !

3

864 ,

0

3

3 1 0 4 3 0





















 



n n

n

P

Jadi peluang tidak ada pelanggan dalam sistem sebesar 0,0353. 5) Peluang tidak ada pelanggan pada hari Rabu tanggal 05 Agustus

2009 pukul 08.30 – 10.30

(50)









0159

,

0 !

867 ,

0 .

4

867 ,

0

1 !

4

867 ,

0

4

4 1 0 5 4 0





















 



n n

n

P

Jadi peluang tidak ada pelanggan dalam sistem sebesar 0,0159. 6) Peluang tidak ada pelanggan pada hari Rabu tanggal 05 Agustus

2009 pukul 11.00 – 13.00

Pada lampiran 1, lampiran 3, dan lampiran 4 dapat diperoleh bahwa s = 4, λ = 0,975 pelanggan per menit, dan µ = 0,289 pelanggan per menit,









0197

,

0 !

843 ,

0 .

4

843 ,

0

1 !

4

843 ,

0

4

4 1 0 5 4 0





















 



n n

n

P

Jadi peluang tidak ada pelanggan dalam sistem sebesar 0,0197. 4.1.5 Menentukan Jumlah Pelanggan Rata-rata dalam Antrian

(51)

Jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian dapat dihitung dengan menggunakan rumus





2 0 1 1 !      s P s L s s q

1) Jumlah rata-rata dalam antrian pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30

Jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian :



1 0,886



5,276 ! 4 0132 , 0 886 , 0 4 2 5 4      q L

Jadi jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah 5,276 pelanggan ≈ 5 pelanggan

2) Jumlah rata-rata dalam antrian pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00

Jumlah pelanggan rata-rata dalm antrian :



1 0,844



3,66 ! 4 0195 , 0 844 , 0 4 2 5 4      q L

Jadi jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 adalah 3,66 pelanggan ≈ 4 pelanggan

3) Jumlah rata-rata dalam antrian pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30



1 0,850



4,134 ! 3 0396 , 0 850 , 0 3 2 4 3      q L

(52)

Jadi jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah 4,134 pelanggan ≈ 4 pelanggan

4) Jumlah rata-rata dalam antrian pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00



1 0,864



4,828 ! 3 0353 , 0 864 , 0 3 2 4 3      q L

Jadi jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 adalah 4,828 pelanggan ≈ 5 pelanggan

5) Jumlah rata-rata dalam antrian pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30



1 0,867



4,703 ! 4 0159 , 0 867 , 0 4 2 5 4      q L

Jadi jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah 4,703 pelanggan ≈ 5 pelanggan

6) Jumlah rata-rata dalam antrian pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00



1 0,843



3,627 ! 4 0197 , 0 843 , 0 4 2 5 4      q L

(53)

Jadi jumlah pelanggan rata-rata dalam antrian pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 adalah 3,627 pelanggan ≈ 4 pelanggan

4.1.6. Menentukan Waktu Menunggu Rata-rata dalam Antrian

Waktu menunggu rata-rata dalam antrian dapat dihitung

dengan menggunakan rumus



q q

L

W  .

1) Waktu menunggu rata-rata pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30

Waktu menunggu rata-rata dalam antrian :

975 , 0 276 , 5  q W = 5,411 menit

Jadi waktu menunggu rata-rata dalam antrian pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah 5,411 menit. 2) Waktu menunggu rata-rata pada hari Senin tanggal 03 Agustus

2009 pukul 11.00 – 13.00

958 , 0 66 , 3  q W = 3,821 menit

Jadi waktu menunggu rata-rata dalam antrian pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 adalah 3,821 menit.

(54)

3) Waktu menunggu rata-rata pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30

850 , 0 134 , 4  q W = 4,863 menit

Jadi waktu menunggu rata-rata dalam antrian pada hari Selasa tanggal 03 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah 4,863 menit. 4) Waktu menunggu rata-rata pada hari Selasa tanggal 04 Agustus

2009 pukul 11.00 – 13.00

858 , 0 828 , 4  q W = 5,627 menit

Jadi waktu menunggu rata-rata dalam antrian pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 adalah 5,627 menit. 5) Waktu menunggu rata-rata pada hari Rabu tanggal 05 Agustus

2009 pukul 08.30 – 10.30

950 , 0 703 , 4  q W = 4,951 menit

Jadi waktu menunggu rata-rata dalam antrian pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah 4,951 menit. 6) Waktu menunggu rata-rata pada hari Rabu tanggal 05 Agustus

2009 pukul 11.00 – 13.00

(55)

975 , 0 627 , 3  q W = 3,72 menit

Jadi waktu menunggu rata-rata dalam antrian pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 adalah 3,72 menit.

4.1.7. Menentukan Waktu Rata-rata yang Dihabiskan Pelanggan dalam Sistem

Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem dapat dihitung menggunakan rumus



1 



_q s

W

.

1) Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30

Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem :

275 ,

0

1

411 ,

5 



s

W

= 9,047 menit

Jadi waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah 9,047 menit

2) Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00

283 ,

0

1

821 ,

3 



s

W

= 7,355 menit

(56)

Jadi waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 adalah 7,355 menit

3) Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30

333 ,

0

1

863 ,

4 



s

W

= 7,866 menit

Jadi waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah 7,866 menit.

4) Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00

331 ,

0

1

627 ,

5 



s

W

= 8,648 menit

Jadi waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 adalah 8,648 menit.

5) Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30

274 ,

0

1

951 ,

4 



s

W

= 8,601 menit

(57)

Jadi waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah 8,601 menit

6) Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00

289 ,

0

1

72 ,

3 



s

W

= 7,180 menit

Jadi waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 adalah 7,180 menit.

4.1.8 Menentukan Jumlah Rata-rata Pelanggan dalam Sistem

Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem dapat dihitung menggunkan rumus

L

_s





W

_s.

1) Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30

Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem: Ls = 0,975. 9,047 = 8,82 pelanggan

Jadi jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah pelanggan 8,82 ≈ 9

pelanggan.

2) Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00

(58)

Jadi jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 adalah pelanggan 7,046 ≈ 7

pelanggan.

3) Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30

Jadi jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah pelanggan 6,686 ≈ 7 pelanggan.

4) Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00

Jadi jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada hari Selasa tanggal 04 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 adalah pelanggan 7,419 ≈ 7 pelanggan.

5) Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30

(59)

Jadi jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah pelanggan 8,171 ≈ 8

pelanggan

6) Jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00

Jadi jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem pada hari Rabu tanggal 05 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 adalah pelanggan 7,001 ≈ 7

pelanggan

4.1.9 Menentukan Persentase Waktu Menganggur Pelayan

Persentase waktu menganggur pelayan dapat dihitung dengan menggunakan rumus 1 _100%          c X .

1) Persentase waktu menganggur pelayan pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 % 100 275 , 0 4 975 , 0 1          X = 11,4%

Jadi persentase waktu menganggur pelayan pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 08.30 – 10.30 adalah 11,4%.

2) Persentase waktu menganggur pelayan pada hari Senin tanggal 03 Agustus 2009 pukul 11.00 – 13.00 % 100 958 , 0 1      X = 15,6%