Bilangan Dominasi Persekitaran Pada Graf Lengkap Dan Graf Bipartit Lengkap

(1)

20

Lucia Ratnasari1_{, Bayu Surarso}2_{, Harjito}3_{, Uun Maunah}4 1,2,3_{Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro}

4_{Program Studi S1 Departemen Matematika FSM Universitas Diponegoro} Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang

Abstract. Given graph with set of vertex and set of edge E. Set subset of is called domination set if every point in − is adjacent with at least one point in in graph . The minimum cardinality of all set of domination graph is called domination number. Let be a subset of , set is called a neighborhood set if = ⋃ 〈 ( )〉∈ with 〈 ( )〉 induced subgraph of ( ). The minimum cardinality of all the neighborhood set of graph is called the neighborhood number. There are several types of neighborhood domination number depending on the parameters. In this paper we examine the transversal neighborhood domination number and global neighborhood domination number in complete graph and complete bipartite graph.

Keywords: neighborhood domination number, transversal neighborhood domination number, global neighborhood domination number global.

1. PENDAHULUAN

Salah satu topik dari teori graf adalah himpunan dominasi. Secara historis, masalah dominasi mulai dipelajari dari tahun 1950 oleh Hedetniemi dan Laskar, kemudian Haynes dkk menuliskan dalam bukunya lebih dari 75 jenis dominasi dan topik-topik lanjutan dalam dominasi yang telah didefinisikan dan diselidiki oleh beberapa penulis [1]. Himpunan dominasi dari sebuah graf = ( , ) merupakan himpunan subset dari dimana setiap titik di − bertetangga setidaknya dengan satu titik di , sedangkan bilangan dominasi adalah kardinalitas minimum dari semua himpunan dominasi dari suatu graf

.

Berbagai jenis parameter dari dominasi telah didefinisikan dan dipelajari oleh beberapa penulis. Untuk suatu himpunan dominasi S dari graf G juga ingin diketahui bagaimana perilaku dari himpunan persekitaran S. Beberapa kajian dengan parameter dominasi persekitaran diantaranya adalah dominasi persekitaran total, dominasi persekitaran terhubung, dominasi persekitaran terhubung equitable, dominasi persekitaran global dan dominasi

persekitaran transversal. Pada tulisan ini dikaji bilangan dominasi persekitaran

transversal dan bilangan dominasi

persekitaran global pada graf lengkap dan graf bipartit lengkap dan selanjutnya dibandingkan bilangan dominasi dengan parameter-parameter tersebut. Istilah-istilah dan notasi yang tidak didefinisikan dalam tulisan ini diambil dari referensi [2] dan [3].

2. HASIL DAN PEMBAHASAN

2.1 Bilangan Dominasi Persekitaran Transversal

Sebelum membahas bilangan dominasi persekitaran transversal terlebih dahulu dijelaskan pengertian himpunan persekitaran dan himpunan persekitaran minimum.

Definisi 2.1 [4] Himpunan ⊆ pada

graf = ( , ) disebut himpunan

persekitaran jika _{= ⋃ 〈 ( )〉}_∈ ,

dengan 〈 ( )〉 subgraf induksi dari

( ). Himpunan persekitaran disebut

himpunan persekitaran minimum jika himpunan tersebut mempunyai kardinalitas

minimum dari semua himpunan

(2)

21

minimum dari semua himpunan

persekitaran disebut bilangan persekitaran

dari dan dinotasikan sebagai ( ).

Contoh 2.2 Diberikan Graf dengan himpunan titik = , , , , dan

= , , , , , .

Misal diambil = ,

Gambar 2.1 Graf dengan himpunan = ,

Pada Gambar 2.1 terlihat bahwa = , merupakan himpunan persekitaran dari karena_{= ⋃ 〈 ( )〉}_∈ =

〈 ( )〉 ∪ 〈 ( )〉.

(a) (b) Gambar 2.2 Subgraf Induksi dari (a) ( ) dan (b) ( )

Oleh karena tidak ada himpunan persekitaran yang mempunyai kardinalitas kurang dari 2 maka kardinalitas minimum dari setiap himpunan persekitaran di graf adalah dua sehingga bilangan persekitaran dari graf adalah dua atau

( ) = 2.

Definisi 2.3 [4] Himpunan dominasi

⊆ dari sebuah graf disebut

himpunan dominasi persekitaran

transversal jika himpunan tersebut beririsan dengan setiap himpunan

persekitaran minimum. Kardinalitas

minimum dari himpunan dominasi persekitaran transversal disebut bilangan dominasi persekitaran transversal dan

dinotasikan dengan ( ). Suatu

transversal dari dengan | | = ( )

disebut himpunan .

Contoh 2.4 Diberikan gambar graf seperti berikut :

Gambar 2.3 Graf , dengan himpunan dominasi

= ,

Jika = ( , , ) adalah graf bipartit lengkap , maka hanya terdapat satu himpunan persekitaran minimum pada graf bipartit lengkap , tersebut yaitu

= , . Misal akan dibentuk himpunan dominasi = , dengan dua titik dimana satu titiknya diambil dari

= , dan satu titik lainnya diambil dari = , , maka ∩ =

, ∩ , = . Karena

himpunan dominasi dan himpunan persekitaran minimum beririsan maka himpunan dominasi merupakan himpunan dominasi persekitaran

transversal. Oleh karena himpunan

dominasi persekitaran transversal

merupakan kardinalitas minimum dari himpunan dominasi persekitaran

transversal yang berada pada graf bipartit

lengkap _, maka terbukti jika bilangan dominasi persekitaran transversal graf adalah 2.

Teorema 2.5 [4] Untuk setiap graf bipartit

lengkap _, berlaku ;

( ) = 2,_1, ≠ 1;_{= 1.}

Bukti :

Misal = ( , , ) adalah sebuah graf bipartit lengkap , maka terdapat tiga kasus yaitu :

(3)

22

Diketahui graf adalah graf bipartit lengkap _, untuk < atau , ≠ 1

dengan | | = dan | | = . Karena

< maka merupakan himpunan persekitaran minimum dari graf bipartit lengkap _, . Kemudian setiap himpunan dominasi dengan dua titik dimana satu titik berasal dari dan satu titik lainnya berasal dari akan mendominasi semua titik pada graf bipartit lengkap _, dan juga beririsan dengan sebagai himpunan persekitaran minimum pada graf bipartit lengkap _, . Oleh karena himpunan dominasi beririsan dengan setiap himpunan persekitaran minimum pada graf bipartit lengkap _, maka ( ) = 2. Kasus II : =

Diketahui graf adalah bipartit lengkap , untuk = dimana | | = dan

| | = . Karena = maka terdapat

dua himpunan persekitaran minimum pada graf bipartit lengkap _, yaitu dan . Kemudian setiap himpunan dominasi dengan dua titik dimana satu titik berasal dari m dan satu titik lainnya berasal dari atau sebaliknya akan mendominasi semua titik pada graf bipartit lengkap , dan juga beririsan dengan setiap himpunan persekitaran minimum pada graf bipartit lengkap _, . Oleh karena himpunan dominasi beririsan dengan setiap himpunan persekitaran minimum pada graf bipartit lengkap _, maka ( ) = 2. Kasus III : atau = 1

Diketahui graf adalah graf bipartit lengkap , dimana | | = dan

| | = . Karena atau = 1 maka

terdapat satu himpunan persekitaran minimum graf bipartit lengkap _, yaitu atau = 1 yang mempunyai anggota himpunan titik berjumlah satu. Kemudian titik tersebut juga yang akan menjadi himpunan dominasi dan juga beririsan dengan himpunan persekitaran minimum pada graf bipartit lengkap _, . Oleh karena himpunan dominasi beririsan dengan setiap himpunan persekitaran

minimum pada graf bipartit lengkap _,

maka ( ) = 1. ∎

Contoh 2.6 Kasus I :

Diberikan gambar graf bipartit lengkap seperti berikut :

Gambar 2.4 Graf bipartit lengkap , dengan himpunan dominasi = ,

Pada Gambar 2.4 merupakan graf bipartit lengkap _, dengan = , , dan

= , , , . Karena | | < | |

maka = , , merupakan

himpunan persekitaran pada graf bipartit , . Misal himpunan dominasi =

, maka ∩ = , ∩

, , = . Karena himpunan dominasi beririsan dengan himpunan persekitaran maka Himpunan dominasi merupakan himpunan dominasi persekitaran transversal. Oleh karena himpunan dominasi persekitaran

transversal merupakan kardinalitas

minimum dari himpunan dominasi persekitaran transversal yang berada pada graf bipartit lengkap , maka terbukti jika ( , ) = 2.

Kasus II :

Diberikan gambar graf bipartit lengkap seperti berikut :

Gambar 2.5 Graf bipartit lengkap _, dengan himpunan dominasi = ,

(4)

23 Pada Gambar 2.5 merupakan graf bipartit

lengkap , dengan = , , dan

= , , . Karena | | = | | maka terdapat dua himpunan persekitaran minimum pada graf bipartit lengkap , yaitu = , , dan =

, , . Misal himpunan dominasi

= , maka ∩ = , ∩

, , = dan ∩ =

, ∩ , , = . Karena

himpunan dominasi beririsan dengan setiap himpunan persekitaran minimum pada graf bipartit lengkap _, maka Himpunan dominasi merupakan himpunan dominasi persekitaran

transversal. Oleh karena himpunan

lengkap _, maka terbukti jika , = 2.

Kasus III :

Diberikan gambar graf bipartit seperti berikut :

Gambar 2.6 Graf bipartit lengkap , dengan himpunan dominasi =

Pada Gambar 2.6 merupakan graf bipartit lengkap , dengan | | = dan

| | = , , . Karena | | < | |

maka = merupakan himpunan persekitaran pada graf bipartit lengkap , . Karena = mendominasi semua titik pada graf bipartit lengkap _, maka himpunan dominasi dengan kardinalitas minimum pada graf bipartit lengkap , adalah = . Karena himpunan dominasi juga merupakan himpunan persekitaran minimum pada graf bipartit lengkap , yang mana himpunan tersebut pastilah saling beririsan

maka himpunan dominasi merupakan himpunan dominasi persekitaran

transversal . Oleh karena itu himpunan

lengkap _, maka terbukti jika , = 1.

Teorema 2.7 [4] Untuk setiap graf lengkap

dengan order n maka _{( ) =}

Bukti :

Misal adalah sebuah graf lengkap dengan order . Oleh karena setiap titik pada graf lengkap merupakan himpunan persekitaran minimum dan juga setiap titik pada graf lengkap dapat mendominasi semua titik pada graf lengkap maka himpunan dominasi persekitaran

transversal-nya adalah semua titik pada

graf lengkap . Jadi terbukti ( ) =

. ∎

Contoh 2.8 Diberikan gambar graf seperti berikut :

Gambar 2.7 Graf K dengan himpunan dominasi D = v , v , v , v , v

Pada Gambar 2.7 terlihat graf roda dengan order 5. Karena setiap titik merupakan himpunan persekitaran

minimum = , = , =

, = , = maka himpunan dominasinya haruslah beririsan dengan setiap himpunan persekitaran minimum graf . Misal = , , , ,

maka :

∩ = , , , , ∩ =

(5)

24

∩ = , , , , ∩ =

Karena himpunan dominasi beririsan dengan setiap himpunan persekitaran minimum pada graf maka merupakan himpunan dominasi persekitaran

transversal pada graf . Oleh karena

transversal merupakan kardinalitas

minimum dari himpunan dominasi persekitaran transversal yang berada pada graf maka terbukti ( ) = 5.

2.2 Bilangan Dominasi Persekitaran Global

Sebelum dibahas himpunan dominasi persekitaran global, terlebih dahulu dibahas mengenai himpunan dominasi global, himpunan dominasi terkendali, himpunan dominasi terhubung dan himpunan dominasi independen .

Definisi 2.9 [5] Suatu himpunan dominasi disebut himpunan dominasi global, jika

himpunan merupakan himpunan

dominasi pada graf dan graf komplemen

( ). Kardinalitas minimum dari setiap

himpunan dominasi gobal disebut bilangan dominasi global dari , dan dinotasikan sebagai ( ).

Contoh 2.10 Diberikan graf dengan gambarsebagai berikut :

(a) (b)

Gambar 2.8 (a) Graf dan (b) graf

Graf mempunyai ( ) =

, , , , dan ( ) =

, , , , , ,

, maka didapat graf dengan ( ) =

, , , , dan ( ) =

, , .

Misalkan = , , maka

( ) − = , , . Karena setiap

titik di − bertetangga dengan minimal satu titik di maka merupakan himpunan dominasi pada graf

. Graf dengan ( ) − = , , . Karena setiap titik di

( ) − bertetangga dengan minimal

satu titik di , maka merupakan himpunan dominasi pada graf . Jadi merupakan himpunan dominasi global.

Gambar 2.9 Graf dan dengan Himpunan

Dominasi = ,

Kardinalitas minimum dari setiap himpunan dominasi global di graf adalah 2, maka ( ) = 2.

Definisi 2.11 [5] Suatu himpunan dominasi disebut himpunan dominasi terkendali

jika setiap titik di ₋ bertetangga

dengan titik di serta titik di −

dengan ≠ . Kardinalitas minimum dari

setiap himpunan dominasi terkendali disebut bilangan dominasi terkendali dari

, dan dinotasikan sebagai ( ).

Definisi 2.12 [6] Suatu himpunan subset

dari ( ) disebut himpunan dominasi

terhubung jika himpunan dominasi dan

subgraph induksi < juga terhubung.

Kardinalitas minimum dari setiap himpunan dominasi terhubung disebut bilangan dominasi terhubung dari , dan dinotasikan sebagai ( ).

Definisi 2.13 [6] Misalkan graf terhubung. Graf persekitaran yang

dinotasikan sebagai adalah graf

dimana _{( ) = ( )} dan _{( )} =

| , ∈ ( ), terdapat _{∈ ( )}

sehingga , ∈ ( ) .

Contoh 2.14 Diberikan graf dengan gambar sebagai berikut :

(6)

25 Gambar 2.10 Graf

Ditentukan graf

Gambar 2.11 Graf

Pada Gambar 2.11 terlihat bahwa gambar tersebut merupakan gambar graf persekitaran , dimana

, , , , , , ,

, ∈ ( ) sehingga

, , , , , , , ,

, ∈ ( ).

Teorema 2.15 Jika _, adalah graf

bipartit lengkap dengan =

, , … , dan ₌ _{, , … ,} ,

maka _, = ⋃ .

Bukti :

, merupakan graf bipartit lengkap dengan = , , … , dan =

, , … , . Karena _, adalah graf

bipartit lengkap, maka untuk setiap titik di

bertetangga dengan titik di dan

setiap titik di bertetangga dengan titik di . Graf persekitaran , , setiap , ∈ terdapat ∈ , sehingga _, = , , maka untuk , ∈

, terdapat ∈ ( , ) sedemikian sehingga , ∈ , . Jadi setiap titik di bertetanggadengan titik di

yang lain dan setiap titik di bertetangga dengan titik di yang lain,

sedemikian sehingga _, =

⋃ = ⋃ .∎

Teorema 2.15 [6] Jika _, adalah graf

bipartit lengkap dengan =

, , … , dan ₌ _{, , … ,} ,

maka _, _{= 2} untuk ₃.

Bukti :

Graf , merupakan graf bipatit lengkap, maka ( , ) dapat dipartisi menjadi 2 himpunan dan himpunan dengan

= , , … , dan =

, , … , . Karena graf , adalah

graf bipatit lengkap maka setiap titik di bertetangga dengan setiap titik di dan setiap titik di bertetangga dengan setiap titik di . Diambil sebarang = ,

dimana titik di dan titik di . Setiap titik bertetangga dengan titik dan setiap titik bertetangga dengan titik

pada graf , , maka = , merupakan himpunan dominasi untuk graf

, , sehingga diperoleh , = | | =

2. Pada graf persekitaran _, setiap titik di selain titik bertetangga dengan titik dan setiap titik di selain titik bertetangga dengan titik , maka =

, merupakan himpunan dominasi untuk graf _, , sehingga _, =

| | = 2. Jadi = , merupakan

himpunan dominasi persekitaran global pada graf _, , maka didapat _, =

| | = 2. ∎

Contoh 2.16 Diberikan graf _, dengan gambar sebagai berikut :

Gambar 2.12 Graf K , dan K , dengan himpunan dominasi D = {v , u } 1 v v2 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v v8 1 v v2 3 v 4 v 5 v 6 v 7 v v8 1 v v 2 v 3 1 u u 2 u 3

(7)

26

Pada Gambar 2.12 terlihat bahwa = { , } merupakan himpunan dominasi pada graf , dan , , sehingga = { , } merupakan himpunan dominasi persekitaran global untuk graf _, . Jadi kardinalitas minimum dari suatu himpunan dominasi persekitaran global dari graf _, adalah 2, sehingga , = | | = 2. Teorema 2.17 [6] Jika adalah graf

lengkap dengan titik, maka _{( ) =}

1 3.

Bukti :

Graf merupakan graf lengkap, dengan titik. Karena setiap titik pada graf bertetangga ke semua titik yang lain. Diambil sebarang = untuk setiap

= 1,2, … , , karena setiap titik di

( ) − bertetangga dengan itu

sendiri, maka merupakan himpunan dominasi untuk graf , sehingga diperoleh ( ) = 1. Graf persekitaran adalah graf itu sendiri, maka =

merupakan himpunan dominasi untuk graf , sehingga diperoleh ( ) = | | =

1. ∎

Contoh 2.19 Diberikan graf dengan gambar sebagai berikut :

Gambar 2.13 Graf dan dengan himpunan dominasi = { }

Pada Gambar 2.13 terlihat bahwa = { } merupakan himpunan dominasi pada graf dan . Jadi = { } merupakan himpunan dominasi persekitaran global untuk graf . Kardinalitas minimum dari

suatu himpunan dominasi persekitaran global dari graf adalah 1, sehingga

( ) = | | = 1.

3. PENUTUP

Berdasarkan hasil pembahasan mengenai himpunan serta bilangan dominasi persekitaran transversal dan bilangan dominasi persekitara global pada graf lengkap dan graf bipartit lengkap

, dapat diambil kesimpulan bahwa : 1. Jika G graf lengkap dengan order maka bilangan dominasi persekitaran

transversal-nya sedangkan bilangan

dominasi persekitaran global-nya 1 untuk 3.

2. Jika G graf bipartit lengkap _, untuk

, ≠ 1 dan ₃ maka bilangan

dominasi persekitaran transversal dan

bilangan dominasi persekitara globalnya 2 4. DAFTAR PUSTAKA

[1] S. Sivakumar, N. D. Soner, A. Alwardi, (2012), Connected Equitable

Domination in Graphs,1: 123-130.

[2] Wilson, J. R. dan J. J. Watkins, (1990), Graphs: An Introductory

Approach. Canada: John Wiley &

Sons, Inc.

[3] F. Harary, (1969), Graph Theory, Addison-wesley, Reading Mass. [4] M.P. Sumathi, (2014), On

neighbourhood Transversal

Domination in Graphs, Int. J.

Contemp. Math Sciences, 9(5) : 243-252.

[5] I.H. Naga Raja Rao, S. V. Siva Rama Raju, (2014), Global Neigborhood

Domination, Proyecciones Journal of

Mathematics, 33 : 25-41.

[6] C. Sivagnanan, (2012), Neighborhood Connected Domination Number of

Total Graphs, Gen. Math. Notes,

25(1): 27-32. 1 v v 2 3 v 4 v 1 v v2 3 v 4 v