BILANGAN DOMINASI PERSEKITARAN PADA GRAF LENGKAP DAN GRAF BIPARTIT LENGKAP | Ratnasari | MATEMATIKA 15283 37013 1 PB

(1)

20

L ucia R atnasari 1

, B ayu Surarso 2

, Harjito 3

, Uun Maunah 4 1,2,3

D epartemen Matematika F S M Universitas D iponegoro 4

Program Studi S1 Departemen Matematika F SM Universitas D iponegoro

J l. Prof. H. S oedarto, S.H. T embalang S emarang

A bstr act. Given graph with set of vertex and set of edge E . S et subset of is

called domination set if every point in − is adjacent with at least one point in in

graph . T he minimum cardinality of all set of domination graph is called domination

number. L et be a subset of , set is called a neighborhood set if = ⋃ 〈 ()〉 ∈

with 〈 ()〉 induced subgraph of (). T he minimum cardinality of all the neighborhood set of graph is called the neighborhood number. T here are several types

of neighborhood domination number depending on the parameters. In this paper we examine the transversal neighborhood domination number and global neighborhood domination number in complete graph and complete bipartite graph.

K eywor ds: neighborhood domination number, transversal neighborhood

domination number, global neighborhood domination number global.

1. PE NDA H UL UA N

Salah satu topik dari teori graf adalah

himpunan dominasi. Secara historis,

masalah dominasi mulai dipelajari dari

tahun 1950 oleh Hedetniemi dan L askar,

kemudian Haynes dkk menuliskan dalam

bukunya lebih dari 75 jenis dominasi dan

topik-topik lanjutan dalam dominasi yang

telah didefinisikan dan diselidiki oleh

beberapa penulis [ 1]. Himpunan dominasi

dari sebuah graf =( , )merupakan

himpunan subset dari dimana setiap

titik di − bertetangga setidaknya

dengan satu titik di , sedangkan bilangan

dominasi adalah kardinalitas minimum dari

semua himpunan dominasi dari suatu graf

.

B erbagai jenis parameter dari

dominasi telah didefinisikan dan dipelajari

oleh beberapa penulis. Untuk suatu

himpunan dominasi S dari graf G juga

ingin diketahui bagaimana perilaku dari

himpunan persekitaran S. B eberapa kajian

dengan parameter dominasi persekitaran

diantaranya adalah dominasi persekitaran

total, dominasi persekitaran terhubung,

dominasi persekitaran terhubung equitable,

dominasi persekitaran global dan dominasi

persekitaran transversal. Pada tulisan ini

dikaji bilangan dominasi persekitaran

transversal dan bilangan dominasi

persekitaran global pada graf lengkap dan

graf bipartit lengkap dan selanjutnya

dibandingkan bilangan dominasi dengan

parameter-parameter tersebut.

Istilah-istilah dan notasi yang tidak didefinisikan

dalam tulisan ini diambil dari referensi [ 2]

dan [ 3].

2. H A S I L D A N PE M B A H A SA N

2.1 B ilangan D ominasi Per sek itar an

T r ansver sal

Sebelum membahas bilangan dominasi

persekitaran transversal terlebih dahulu

dijelaskan pengertian himpunan

persekitaran dan himpunan persekitaran

minimum.

D efinisi 2.1 [4] Himpunan ⊆ pada

graf =( , ) disebut himpunan

persekitaran jika =⋃ 〈 ()〉

∈ ,

dengan 〈 ()〉subgraf induksi dari

(). Himpunan persekitaran disebut

himpunan persekitaran minimum jika

himpunan tersebut mempunyai kardinalitas

minimum dari semua himpunan

(2)

21 minimum dari semua himpunan

persekitaran disebut bilangan persekitaran

dari dan dinotasikan sebagai ( ).

C ontoh 2.2 D iberikan Graf dengan

himpunan titik = , , , , dan

= , , , , , .

Misal diambil = ,

G ambar 2.1 Graf dengan himpunan = ,

Pada G ambar 2.1 terlihat bahwa =

, merupakan himpunan persekitaran

dari karena = ⋃ 〈 ()〉

∈ =

〈 ( )〉∪〈 ( )〉.

(a) (b)

G ambar 2.2 S ubgraf Induksi dari (a) ( ) dan ( b) ( )

Oleh karena tidak ada himpunan

persekitaran yang mempunyai kardinalitas

kurang dari 2 maka kardinalitas minimum

dari setiap himpunan persekitaran di

graf adalah dua sehingga bilangan

persekitaran dari graf adalah dua atau

( )=2.

D efinisi 2.3 [4] Himpunan dominasi

⊆ dari sebuah graf disebut

himpunan dominasi persekitaran

transversal jika himpunan tersebut

beririsan dengan setiap himpunan

persekitaran minimum. K ardinalitas

minimum dari himpunan dominasi

persekitaran transversal disebut bilangan

dominasi persekitaran transversal dan

dinotasikan dengan ( ). Suatu

transversal dari dengan | |= ( )

disebut himpunan .

C ontoh 2.4 Diberikan gambar graf seperti

berikut :

G ambar 2.3 Graf ,dengan himpunan dominasi

= ,

J ika =( , , )adalah graf bipartit

lengkap , maka hanya terdapat satu himpunan persekitaran minimum pada

graf bipartit lengkap , tersebut yaitu

= , . Misal akan dibentuk

himpunan dominasi = , dengan

dua titik dimana satu titiknya diambil dari

= , dan satu titik lainnya diambil

dari = , , maka ∩ =

, ∩ , = . K arena

himpunan dominasi dan himpunan

persekitaran minimum beririsan maka

himpunan dominasi merupakan

transversal. Oleh karena himpunan

dominasi persekitaran transversal

merupakan kardinalitas minimum dari

transversal yang berada pada graf bipartit

lengkap

, maka terbukti j ika bilangan dominasi persekitaran transversal graf

adalah 2.

T eor ema 2.5 [4] Untuk setiap graf bipartit

lengkap , berlaku ;

( )=

2, ≠1;

1, =1.

B uk ti :

Misal =( , , ) adalah sebuah graf

bipartit lengkap , maka terdapat tiga kasus yaitu :

[image:2.612.335.534.143.290.2] [image:2.612.107.303.303.491.2]

(3)

22

Diketahui graf adalah graf bipartit

lengkap

, untuk < atau , ≠1 dengan | |= dan | |= . K arena

< maka merupakan himpunan

persekitaran minimum dari graf bipartit

lengkap

,. K emudian setiap himpunan dominasi dengan dua titik dimana satu

titik berasal dari dan satu titik lainnya

berasal dari akan mendominasi semua

titik pada graf bipartit lengkap

, dan juga beririsan dengan sebagai himpunan

persekitaran minimum pada graf bipartit

lengkap

,. Oleh karena himpunan dominasi beririsan dengan setiap

himpunan persekitaran minimum pada graf

bipartit lengkap

, maka ( )=2. K asus I I : =

Diketahui graf adalah bipartit lengkap

, untuk = dimana | |= dan | |= . K arena = maka terdapat

dua himpunan persekitaran minimum pada

graf bipartit lengkap

, yaitu dan . K emudian setiap himpunan dominasi

dengan dua titik dimana satu titik berasal

dari m dan satu titik lainnya berasal dari

atau sebaliknya akan mendominasi semua

titik pada graf bipartit lengkap , dan juga beririsan dengan setiap himpunan

persekitaran minimum pada graf bipartit

lengkap ,. Oleh karena himpunan dominasi beririsan dengan setiap

himpunan persekitaran minimum pada graf

bipartit lengkap

, maka ( )=2. K asus I I I : atau =1

Diketahui graf adalah graf bipartit

lengkap

, dimana | |= dan

| |= . K arena atau =1 maka

terdapat satu himpunan persekitaran

minimum graf bipartit lengkap

, yaitu atau =1yang mempunyai anggota

himpunan titik berjumlah satu. K emudian

titik tersebut juga yang akan menjadi

himpunan dominasi dan juga beririsan

dengan himpunan persekitaran minimum

pada graf bipartit lengkap

,. Oleh karena himpunan dominasi beririsan

dengan setiap himpunan persekitaran

minimum pada graf bipartit lengkap ,

maka ( )=1. ∎

C ontoh 2.6

K asus I :

D iberikan gambar graf bipartit lengkap

seperti berikut :

G ambar 2.4 Graf bipartit lengkap , dengan

hi mpunan dominasi = ,

Pada Gambar 2.4 merupakan graf bipartit

lengkap , dengan = , , dan

= , , , . K arena | |<| |

maka = ,, merupakan

himpunan persekitaran pada graf bipartit

,. Misal himpunan dominasi =

, maka ∩ = , ∩

, , = . K arena himpunan

dominasi beririsan dengan himpunan

persekitaran maka Himpunan dominasi

merupakan himpunan dominasi

persekitaran transversal. Oleh karena

transversal merupakan kardinalitas

persekitaran transversal yang berada pada

graf bipartit lengkap , maka terbukti

j ika ( ,)=2.

K asus I I :

D iberikan gambar graf bipartit lengkap

seperti berikut :

G ambar 2.5 Graf bi partit lengkap , dengan

[image:3.612.309.503.108.291.2] [image:3.612.309.508.308.693.2]

(4)

23 Pada Gambar 2.5 merupakan graf bipartit

lengkap

, dengan = , , dan

= , , . K arena | |=| | maka

terdapat dua himpunan persekitaran

minimum pada graf bipartit lengkap

,yaitu = , , dan =

, , . Misal himpunan dominasi

= , maka ∩ = , ∩

, , = dan ∩ =

, ∩ , , = . K arena

himpunan dominasi beririsan dengan

setiap himpunan persekitaran minimum

pada graf bipartit lengkap

, maka

Himpunan dominasi merupakan

transversal. Oleh karena himpunan

lengkap

, maka terbukti jika

, =2. K asus I I I :

D iberikan gambar graf bipartit seperti

berikut :

G ambar 2.6 Graf bi partit lengkap , dengan

hi mpunan dominasi =

Pada Gambar 2.6 merupakan graf bipartit

lengkap , dengan | |= dan

| |= , , . K arena | |<| |

maka = merupakan himpunan

persekitaran pada graf bipartit lengkap

,. K arena = mendominasi

semua titik pada graf bipartit lengkap ,

maka himpunan dominasi dengan

kardinalitas minimum pada graf bipartit

lengkap

, adalah = . K arena

himpunan dominasi juga merupakan

himpunan persekitaran minimum pada

graf bipartit lengkap

, yang mana himpunan tersebut pastilah saling beririsan

maka himpunan dominasi merupakan

transversal . Oleh karena itu himpunan

lengkap

, maka terbukti jika

, =1.

T eor ema 2.7 [4] Untuk setiap graf lengkap

dengan order n maka ( )=

B uk ti :

Misal adalah sebuah graf lengkap

dengan order . Oleh karena setiap titik

pada graf lengkap merupakan himpunan

persekitaran minimum dan j uga setiap titik

pada graf lengkap dapat mendominasi

semua titik pada graf lengkap maka

transversal-nya adalah semua titik pada

graf lengkap . J adi terbukti ( )=

. ∎

C ontoh 2.8 Diberikan gambar graf seperti

berikut :

G ambar 2.7 Graf K dengan himpunan dominasi D = v ,v,v,v,v

Pada Gambar 2.7 terlihat graf roda

dengan order 5. K arena setiap titik

merupakan himpunan persekitaran

minimum = , = , =

, = , = maka himpunan

dominasinya haruslah beririsan dengan

setiap himpunan persekitaran minimum

graf . Misal = , , , ,

maka :

∩ = , , , , ∩ =

∩ = ,, , , ∩ =

[image:4.612.106.307.83.523.2]

(5)

24

∩ = , , , , ∩ =

K arena himpunan dominasi beririsan

dengan setiap himpunan persekitaran

minimum pada graf maka merupakan

transversal pada graf . Oleh karena

transversal merupakan kardinalitas

persekitaran transversal yang berada pada

graf maka terbukti ( )=5.

2.2 B ilangan D ominasi P er sek itar an

G lobal

Sebelum dibahas himpunan dominasi

persekitaran global, terlebih dahulu

dibahas mengenai himpunan dominasi

global, himpunan dominasi terkendali,

himpunan dominasi terhubung dan

himpunan dominasi independen .

D efinisi 2.9 [5] Suatu himpunan dominasi

disebut himpunan dominasi global, jika

himpunan merupakan himpunan

dominasi pada graf dan graf komplemen

( ). K ardinalitas minimum dari setiap

himpunan dominasi gobal disebut bilangan

dominasi global dari , dan dinotasikan

sebagai ( ).

C ontoh 2.10 D iberikan graf dengan

gambar sebagai berikut :

(a) (b )

G ambar 2.8 (a) G raf dan (b) graf

Graf mempunyai ( )=

, ,, , dan ( )=

, , , , , ,

, maka didapat graf dengan ( )=

, ,, , dan ( )=

, , .

Misalkan = , , maka

( )− = , , . K arena setiap

titik di − bertetangga dengan

minimal satu titik di maka

merupakan himpunan dominasi pada graf

. Graf dengan ( )− =

, , . K arena setiap titik di

( )− bertetangga dengan minimal

satu titik di , maka merupakan

himpunan dominasi pada graf . J adi

merupakan himpunan dominasi global.

G ambar 2.9 Graf dan dengan Himpunan D omi nasi = ,

K ardinalitas minimum dari setiap

himpunan dominasi global di graf

adalah 2, maka ( ) = 2.

D efinisi 2.11 [5] Suatu himpunan dominasi

disebut himpunan dominasi terkendali

jika setiap titik di − bertetangga

dengan titik di serta titik di −

dengan ≠ . K ardinalitas minimum dari

setiap himpunan dominasi terkendali

disebut bilangan dominasi terkendali dari

, dan dinotasikan sebagai ( ).

D efinisi 2.12 [6] Suatu himpunan subset

dari ( )disebut himpunan dominasi

terhubung jika himpunan dominasi dan

subgraph induksi < juga terhubung.

K ardinalitas minimum dari setiap

himpunan dominasi terhubung disebut

bilangan dominasi terhubung dari , dan

dinotasikan sebagai ( ).

D efinisi 2.13 [6] Misalkan graf

terhubung. G raf persekitaran yang

dinotasikan sebagai adalah graf

dimana ( )= ( )dan ( )=

|, ∈ ( ), terdapat ∈ ( )

sehingga , ∈ ( ).

C ontoh 2.14 Diberikan graf dengan

[image:5.612.325.457.210.291.2]

(6)

25 G ambar 2.10 Graf

Ditentukan graf

G ambar 2.11 Graf

Pada G ambar 2.11 terlihat bahwa gambar

tersebut merupakan gambar graf

persekitaran , dimana

, , , , , , ,

, ∈ ( ) sehingga

, , , , , , , ,

, ∈ ( ).

T eor ema 2.15 J ika , adalah graf

bipartit lengkap dengan =

, ,…, dan = , ,…, ,

maka

, = ⋃ .

B uk ti :

, merupakan graf bipartit lengkap

dengan = , ,…, dan =

, ,…, . K arena , adalah graf bipartit lengkap, maka untuk setiap titik di

bertetangga dengan titik di dan

setiap titik di bertetangga dengan titik di

. G raf persekitaran

,, setiap , ∈ terdapat ∈ , sehingga

, =

, , maka untuk , ∈

, terdapat ∈ ( ,) sedemikian

sehingga , ∈ , . J adi

setiap titik di bertetangga dengan titik di

yang lain dan setiap titik di

bertetangga dengan titik di yang lain,

sedemikian sehingga

, =

⋃ = ⋃ .∎

T eor ema 2.15 [6] J ika

, adalah graf

bipartit lengkap dengan =

, ,…, dan = , ,…, ,

maka

, =2 untuk 3.

B uk ti :

Graf , merupakan graf bipatit lengkap,

maka (

,) dapat dipartisi menjadi 2

himpunan dan himpunan dengan

= , ,…, dan =

, ,…, . K arena graf , adalah

graf bipatit lengkap maka setiap titik di

bertetangga dengan setiap titik di dan

setiap titik di bertetangga dengan setiap

titik di . D iambil sebarang = ,

dimana titik di dan titik di .

Setiap titik bertetangga dengan titik

dan setiap titik bertetangga dengan titik

pada graf ,, maka = ,

merupakan himpunan dominasi untuk graf

,, sehingga diperoleh , = | |= 2. Pada graf persekitaran

, setiap titik di selain titik bertetangga dengan titik

dan setiap titik di selain titik

bertetangga dengan titik , maka =

, merupakan himpunan dominasi

untuk graf

, , sehingga , =

| |= 2. J adi = , merupakan

himpunan dominasi persekitaran global

pada graf

,, maka didapat , =

| |= 2. ∎

[image:6.612.103.262.91.333.2]

C ontoh 2.16 D iberikan graf , dengan gambar sebagai berikut :

G ambar 2.12 G raf K , dan K , dengan

himpunan dominasi D = { v ,u }

1

v

2

v

3

v

4

v

5

v

6

v

7

v

8

v

1

v

2

v

3

v

4

v

5

v

6

v

7

v

8

v

1

v v 2 v 3

1

[image:6.612.338.531.553.712.2]

(7)

26

Pada G ambar 2.12 terlihat bahwa =

{ , } merupakan himpunan dominasi

pada graf , dan , , sehingga = { , } merupakan himpunan dominasi

persekitaran global untuk graf

,. J adi kardinalitas minimum dari suatu himpunan

dominasi persekitaran global dari graf , adalah 2, sehingga , =| |=2.

T eor ema 2.17 [6] J ika adalah graf

lengkap dengan titik, maka ( )=

1 3.

B uk ti :

Graf merupakan graf lengkap, dengan

titik. K arena setiap titik pada graf

bertetangga ke semua titik yang lain.

D iambil sebarang = untuk setiap

=1,2,…,, karena setiap titik di

( )− bertetangga dengan itu

sendiri, maka merupakan himpunan

dominasi untuk graf , sehingga

diperoleh ( )=1. G raf persekitaran

adalah graf itu sendiri, maka =

merupakan himpunan dominasi untuk graf

, sehingga diperoleh ( )=| |=

1. ∎

C ontoh 2.19 Diberikan graf dengan

gambar sebagai berikut :

G ambar 2.13 Graf dan dengan himpunan domi nasi = { }

Pada Gambar 2.13 terlihat bahwa = { }

merupakan himpunan dominasi pada graf

dan . J adi = { } merupakan

himpunan dominasi persekitaran global

untuk graf . K ardinalitas minimum dari

suatu himpunan dominasi persekitaran

global dari graf adalah 1, sehingga

( )=| |=1.

3. P E NUT UP

B erdasarkan hasil pembahasan

mengenai himpunan serta bilangan

bilangan dominasi persekitara global pada

graf lengkap dan graf bipartit lengkap

, dapat diambil kesimpulan bahwa : 1. J ika G graf lengkap dengan order

maka bilangan dominasi persekitaran

transversal-nya sedangkan bilangan

dominasi persekitaran global-nya 1 untuk

3.

2. J ika G graf bipartit lengkap

, untuk

, ≠1dan  3maka bilangan

bilangan dominasi persekitara globalnya 2

4. D A F T A R PUST A K A

[ 1] S. Sivakumar, N. D . Soner, A .

A lwardi, (2012), C onnected E quitable

Domination in G raphs,1: 123-130.

[ 2] W ilson, J . R . dan J . J . W atkins,

(1990), Graphs: An Introductory

Approach. C anada: J ohn W iley &

Sons, Inc.

[ 3] F . Harary, (1969), Graph T heory,

A ddison-wesley, R eading Mass.

[ 4] M.P. S umathi, (2014), On

neighbourhood Transversal

Domination in Graphs, Int. J .

C ontemp. Math Sciences, 9(5) :

243-252.

[ 5] I.H. Naga R aja R ao, S. V . Siva R ama

R aju, (2014), Global Neigborhood

Domination, Proyecciones J ournal of

Mathematics, 33 : 25-41.

[ 6] C . Sivagnanan, (2012), Neighborhood

C onnected D omination Number of

Total G raphs, Gen. Math. Notes,

25(1): 27-32.

1

v v 2

3

v

4

v

1

v v2

3

v

4

[image:7.612.80.275.435.605.2]