Bilangan ramsey untuk graf bintang Sn dan graf roda Wm.

ABSTRACT

GivengraphGandH,theRamseynumberR(G,H)isthesmall estnatural

numbernsuchthateverygraphFofordernfulfillsthefollowingcon dition:either

F containsGorthecomplementofF containsH. Thispaperinvestig atesthe

RamseynumberR(Sn,Wm)ofstarversuswheel. GivenstarSnandwh

eelWm

thenR(Sn,Wm) = 3n−2foroddm, n ≥ 3andm ≤ 2n−1. Furthe

rmore

R(Sn,Wm)=3n−4foroddn,n≥5andm=2n−4.

BAB

I

PENDAHULUAN

1.1

Latar

Belakang

Masalah

Seiringperkembanganzamandankemajuanteknologi,aplikasiteorigraf

telahmerambahkeanekadisiplinilmudanmembantumemudahkanoranguntuk

menyelesaikanpermasalahan. Penggunaangrafditekankanuntukmemodelkan

persoalan. Teorigrafjugasangatbergunauntukmengembangkanmodel-model

yangterstrukturdalamberbagaisituasi. Teorigrafberkembangseiringdengan

ditemukannyamasalah-masalahdalamkehidupan.Beberapamasalahyangdapat

diselesaikandenganteorigraf,sepertimasalahjaringanlistrik,jaringantelepon,

jaringankomputer,jalanpenghubungantarkotadanlainsebagainya.

Salahsatuteoriyangberkembangpesatdalambidanggrafadalahteori

Ramsey.TeoriRamseypertamakalidikajiolehFrankPlumptonRamsey(1930).

Teoriinidigunakandalampermasalahanmencariproseduruntukmenentukan

benar-tidaknya(konsistensi)suatuformulalogikayangdiberikan.Teoritersebut

menjaditerkenalsetelahErdosdanSzekeres(1935)mengaplikasikannyakedalam

teoriGraf. Ramseymendefinisikanbahwaapabilaterdapatduabuahbilangan

asliadanbdengana,b≥2,makabilanganRamseyR(a,b)adalahbilanganasli

terkeciln,sedemikiansehinggajikagraflengkapKndenganntitikdiwarnai

2

KadenganatitikmerahatauKbdenganbtitikbirusebagaisubgraf. Bilangan

R(a,b)inidisebutsebagaibilanganRamseyklasik.

PenelitiantentangpenentuanbilanganRamseyklasikR(a,b)telah

mem-perolehbanyakperhatian. Namundemikian,hasilnyamasihjauhdariyang

di-harapkan. Semenjak pertama kali diperkenalkan (1928), hanya sembilan nilai

eksakbilanganRamseyklasikR(a,b)yangbarudiketahui.Konsepawalbilangan

RamseyadalahkonsepbilanganRamseyklasikduawarnayangdiberikanoleh

ErdosdanSzekeres. Karenamasalahinisangatsulit,beberapapeneliti

mem-perumumkonsepbilanganRamseyklasikmenjadikonsepbilanganRamseygraf

sebarang. BilanganRamseygrafR(G,H)didefinisikansebagaibilanganbulat

terkecil N sedemikian sehingga setiap graf F dengan orde N akan memenuhi

kondisisebagaiberikut: F memuatGsebagaisubgrafataukomplemendariF

memuatHsebagaisubgraf.

KajianpenentuanbilanganRamseyGrafuntukpasangangrafbintangdan

bintangtelahtuntasdilakukanolehBurrdkk(1973).PenentuanbilanganRamsey

untukbintangdangrafbipartitlengkapjugatelahdikaji,walaupunhasilnyamasih

sedikit. HalinidilakukanolehHarary(1972),Lawrence(1973),Parson(1975),

danRosyida(2004).KajianpenentuanbilanganRamseyuntukbintangdanroda

hampirtuntas,dandilakukanolehbeberapapeneliti,diantaranya:Baskorodkk.

(2002),Chendkk.(2004),danKorolova(2005).Kasusyangtersisauntukbintang

3

1.2

Perumusan

Masalah

Misalterdapatgrafbintangdenganntitik,dinotasikanSndangrafroda

de-nganm+1titik,dinotasikanWm.Akanditentukanberapakahbilanganasli

terke-cilR(Sn,Wm)=tsedemikiansehinggasebaranggrafGdenganttitikmemuat

sebuahgrafbintangSnataukomplemennyamemuatsebuahgrafrodaWm.

1.3

Pembatasan

Masalah

Padatahun2001,SurahmatdanBaskoromengkajibilanganRamseyuntuk

bintangdanroda.HasilnyaadalahR(Sn,W4)=2n−1untuknganjil,n≥3dan

PadatugasakhiriniakandibahasbilanganRamseyuntukpasangan

bin-tangdanrodauntukselangmdannyangbelumdikajiyaitu:R(Sn,Wm)untuk

4

1.4

Tujuan

Penelitian

Adapuntujuanpenulisanskripsiiniadalahuntukmenentukanbilangan

Ramsey R(Sn,Wm) untuk m ganjil, n ≥ 3 dan m ≤ 2n−1, serta bilangan

RamseyR(Sn,Wm)untuknganjil,n≥5danm=2n−4.

1.5

Sistematika

Penulisan

PadaBabIdiuraikantentanglatarbelakangmasalah,perumusanmasalah,

pembatasanmasalah,tujuan,dansistematikapenulisanskripsiini.Konsepdasar

daribilanganRamsey,definisidanterminologi,sertabeberapateoripendukung

yangdigunakanuntukmenyelesaikanpermasalahanskripsiinidisajikanpadaBab

IIsebagailandasanteori. Padababinijugaakandiberikanbeberapateorema

pendukunguntukmembantuprosespembuktianteoremautama. Pembahasan

daripermasalahantersebutakandiuraikanpadaBabIII.Penulisanskripsiini

BILANGAN

RAMSEY

UNTUK

GRAF

BINTANG

S

n

DAN

GRAF

RODA

W

m

SKRIPSISARJANAMATEMATIKA

OLEH:

ISNAINI RAMADHANI

BP.07934025

JURUSAN

MATEMATIKA

FAKULTASMATEMATIKADANILMUPENGETAHUANALAM

UNIVERSITASANDALAS