BATAS ATAS BILANGAN RAMSEY UNTUK GRAF BINTANG DAN GRAF BIPARTIT LENGKAP | Rosyida | BIMIPA 13918 28590 1 PB

(1)

Isnaini Rosyida, Batas Bilangan Ramsey…

BATAS ATAS BILANGAN RAMSEY UNTUK GRAF BINTANG

DAN GRAF BIPARTIT LENGKAP

(Upper bound of Ramsey Number for Star Graph and Complete Bipartite Graph)

Isnaini Rosyida,

Jurusan Matemetika FMIPA UNNES

ABSTRAK

Misal G dan H dua buah graf sebarang, bilangan Ramsey R(G,H) adalah bilangan asli terkecil n sehingga untuk setiap graf F dengan n titik akan memuat G atau komplemen dari F memuat H. Makalah ini akan membahas batas atas dari bilangan Ramsey untuk graf bintang Sn dan graf bipartit lengkap Kp,q. Khususnya, kita akan menunjukkan batas atas dari R(Sn, K2,q) serta batas atas dari R(Sn, Kp,q) untuk n = 5, 3 = p = n-1 dan q = 2.

Kata Kunci : Bilangan Ramsey, Graf Bintang dan Bipartit

ABSTRACT

Suppose G and H are arbritary graphs, Ramsey number R(G,H) is the smallest natural number for every graph F with n points which will include G and the complement of F include H. This article discuss the upper band of Ramsey number for star graph Sn and complete bipartite graph Kp,q. Specifically we will show the upper bound of R(Sn, K2,q) and R(Sn, Kp,q) for n = 5, 3 = p = n-1 and q = 2.

Keywords: ransey number, Star and Bipartite Graph.

1. PENDAHULUAN

Semua graf dalam tulisan ini sederhana dan hingga. Misal G=G(V,E) adalah graf dengan himpunan titik V ≠φ, dan himpunan sisi E. Banyaknya titik dari graf G dinotasikan dengan ¦ G¦ =¦ V(G)¦ . Jika

{ }

uv uv E

( )

G

e= , = ∈ dengan u,v∈V

( )

G maka titik u disebut bertetangga dengan titik v atau v tetangga dari u dan sebaliknya. Untuk sebarang v∈V

( )

G dan B⊆V

( )

G , definisi

( )

V

{

x B vx E

( )

G

}

N B = ∈ : ∈ dan

[ ]

v

{ }

v N

( )

v

N_B = ∪ _B . Derajat dari titik x didefinisikan sebagai δ

( )

x = Nv

( )

x ,

( )

G = maks

{

( )

x x∈V

( )

G

}

∆ δ . Komplemen

dari garf G dinotasikan dengan G. Untuk sebarang himpunan B⊂V

( )

G , G

[ ]

B

menyatakan subgraf dari G yang diinduksi oleh B. Himpunan B dikatakan bebas

(independent) jika tidak ada dua titik di B yang bertetangga.

Graf yang berupa lingkaran dengan n titik dinotasikan dengan Cn. Graf yang

berupa pohon dengan n titik dinotasikan dengan Tn, Graf G dikatakan graf k-reguler

jika setiap titik di G berderajat k. Graf G dikatakan graf bipartit jika V(G) dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian V1

dan V2 sedemikian hingga setiap sisi di E(G)

menghubungkan suatu titik di V1 dengan

suatu titik di V2. Graf Bipartit dikatakan

lengkap jika setiap titik di V1 bertetangga

dengan setiap titik di V2. Graf bipartit

lengkap dengan partisi V1, V2 dimana

¦ V1¦ = p dan ¦ V2¦ = q dinotasikan dengan

(2)

Berkala MIPA, 15(3), September 2005.

52

dengan n titik, yaitu graf dengan satu titik pusat yang bertetangga dengan n-1 titik lain yang berderajat satu. Graf bintang ini juga dapat dinyatakan sebagai K1,n -1.

Diberikan dua graf G dan H. Bilangan Ramsey R(G,H) adalah bilangan asli terkecil n sedemikian hingga untuk setiap graf F dengan n titik akan memuat G atau F memuat H. Graf F disebut (G,H)-goodgraph

jika F tidak memuat G dan F tidak memuat H. Sebarang (G,H)-goodgraph dengan n titik dinotasikan dengan (G,H,n)-goodgraph. Bilangan Ramsey R(G,H) juga dapat didefinisikan sebagai bilangan asli terkecil n sehingga tidak ada (G,H,n)-goodgraph.

Studi tentang bilangan Ramsey suatu graf telah berkembang dengan pesat dan banyak dijadikan sebagai obyek riset. Salah satu hasil yang sangat penting dalam penentuan bilangan Ramsey suatu graf diberikan oleh Chavatal dan Harary (1972).

Dalam salah satu papernya Chavatal dan Harary, 1972 menetapkan suatu batas bawah: R

(

G,H

)

≥

(

V

( )

G −1

)

(

χ

( )

H −1

)

+1, dengan χ

( )

H bilangan kromatik dari graf H. Dengan demikian kita dapat menentukan bilangan Ramsey melalui batas bawahnya terlebih dahulu. Lebih jauh, Chavatal telah menunjukkan R

(

Tn,Km

) ( )(

= n−1 m−1

)

+1.

Hasil – hasil penelitian tentang bilangan Ramsey suatu graf telah banyak diperoleh, untuk mengkaji lebih lanjut dapt dilihat pada Radziszowski, 2002. Secara khusus, Parsons, 1976 telah menunjukkan:

(

K2,3,K1,7

)

=13

R . Parsons, 1975 juga telah menunjukkan: R

(

C₄,K₁_,n

)

<n+ n+1 untuk

2

≥

n . Berikutnya Lawrence, 1973 telah menunjukkan bahwa: R

(

K2,2,K1,1 5

)

=20.

Pada makalah ini kita akan menunjukkan batas atas dari R(Sn,K2,q) untuk n = 4 dan q =

2; serta batas atas dari R

(

Sn,K2,q

)

untuk 3 = p

= n-1 dan q = 2.

2. HASIL UTAMA

Batas atas dari bilangan Ramsey untuk graf bintang dan graf bipartit lengkap akan ditunjukkan dalam teorema 1 dan teorema 2 di bawah ini.

Teorema 1.

(

S ,K₂_,

)

≤2n+q−4

R _n _q untukn≥4danq≥2

Bukti. Misal F sebarang graf dengan 4

2 + −

= n q

F untuk n = 4 dan q = 2 dan F tidak memuat Sn. Karena F tidak memuat Sn

maka N

( )

x ≤n−2,∀x∈V

( )

F . Jika

( )

x x V

( )

F

N =0,∀ ∈ maka F merupakan graf K2n+q -4 (F memuat K2,q). Jadi tidak mungkin

( )

x x V

( )

F

N =0,∀ ∈ . Akibatnya pasti terdapat

( )

F V

x∈ dengan N

( )

x ≥1. Pilih x∈V

( )

F

dengan N

( )

x ≥1. Tulis Q=V

( )

F N

[ ]

x . Maka

3

− +

≥n q

Q . Ambil y∈N

( )

x sebarang dan

definisikan R=Q\NQ(y). Karena R ≥q maka

{ } { }

[

x y R

]

F ∪ ∪ . Akan memuat K2,q di F .

Jadi R

(

S_n,K₂_,_q

)

≤2n+q−4.

Selanjutnya akan diberikan batas atas secara umum dari bilangan Ramsey untuk R(Sn,Kp,q) yang akan dibuktikan dalam

teorema 2 di bawah ini.

Teorema 2. Misal n∈ℵ dann≥5.

(

S K

)

(

p

)(

n

) ( )

n q

R n, p,q ≤ −1 −3 + −1 + untuk

1

3≤ p≤n− dan q≥2

Bukti. Diberikan n∈ℵ dan n≥5. Misal F sebarang graf dengan F =

( )( ) ( )

p−1n−3+n−1+q untuk 3≤ p≤n−1 dan F tidak memuat Sn.

Akan ditunjukkan F ⊇Kp,q. Karena F tidak

memuat Sn maka N

( )

x ≤n−2,∀x∈V

( )

F .

Misalkan terdapat x∈V

( )

F dengan

( )

x n k

N ≤ − untuk k = 3. TulisA=V

( )

F N

[ ]

x

dan B A N

( )

vi vi N

( )

x

i

A ∀ ∈

= \

U

, , maka

(

)(

) ( )

{

−1 −3+ −1 +

} {

− − −1

}

≥ P n n q n k

A

(

p−

)(

n−

) (

+ k−

)

+q

= 1 3 2

Misal ada salah satu v_j∈N

( )

x dengan

( )

≤ −4 ≤ N v n

i _A _j .

(3)

Isnaini Rosyida, Batas Bilangan Ramsey…

53

( )( ) ( )

{

} ( )(

{

) ( )

}

(

)( ) ( )

{

} ( )(

{

) ( )

(

)

}

( )( ) ( )

{

} ( )(

{

[

)

]

}

( )( ) ( )

{

} ( )( )

( )( ) ( )

{

} ( )(

)

( ) ( ) (

(

)

( )(

)

(

)

( )

6 2 2 2 . 3 2 2 1 3 2 2 1 1 2 1 1 3 1 1 3 1 3 2 3 1 1 3 2 3 1 1 1 1 3 2 3 1 1 3 1 3 2 3 1 3 2 3 1 + + − = + + − ≥ + − + − ≥ − + + − + − ≥ − + + − + − − = − + + + − + − − ≥ + + − − + + − + − − = + − − − + − + − − = − + − − − − + − + − − = − − + − − − − + − + − − = − + − − − − + − + − − ≥ q n p q n p q k n p q k k n p q k k n p n q k k n p n k n n q k n p k n n q k n p k n n q k n p n k n n q k n k p k n k n n q k n p B

Definisi

( )

i i A

( )

j i

B y y N v

N B

B0 = \

U

,∀ ∈ .

Maka

B ≥

{

2p−2n+q+6

} (

−

{

n−3

)(

n−4

)

}

{

} (

)(

)

(

)

(

)

q q p q p n q p q n p n q n p n n q n p ≥ − + = − + ≥ − − + = + + − = + − + + + − ≥ − − + + + − = 6 2 2 . 3 2 3 3 2 9 3 2 3 6 2 2 4 3 6 2 2

Tulis D=N

[ ]

x ∪NA

( )

vj .

Karena 1≤ N

( )

x ≤n−k dengan k = 3 dan

( )

4

1≤ NA vj ≤n− maka D ≥n−1. Setiap titik di D tidak dapat bertetangga dengan setiap titik di B0. Akibatnya F

[

D∪B0

]

memuat Kp,q dengan 3≤ p≤n−1. Dengan

demikian tidak mungkin terdapat vj∈N

( )

x dengan N A

( )

vj ≤ n − 4 .

Jadi NA

( )

vi >n−4,∀vi∈N

( )

x . Ini berarti haruslah NA

( )

vi =n−3 untuk setiap

( )

x N

v_i∈ . Akibatnya,

[ ]

{

(

)(

) (

)

} (

)(

)

[ ]

{

(

1

)(

3

) (

2

)

} (

3

)(

3

)

3 3 2 3 1 − + − + + − + − − ≥ − − − + − + − − ≥ n n q k n p B n n q k n p B

{

(

) (

)

} (

)

2 2 2 2 . 3 2 2 . 1 + − + + ≥ + − + + − + − ≥ n q k p n q k p

= Ambil v_i∈N

( )

x sebarang.

Definisikan E = B \ NB(vi).

Maka,

(

3

)(

3

)

2 2

2 + + − + − − −

≥ p k q n n n

E

(

)(

)

{

}

(

)

(

)

(

)

q q p k q p q k p n q k p n n q k p n n n q k p ≥ + ≥ − + + = − + + ≥ − − + + ≥ + − + + − + + ≥ − + − + + − + + ≥ 2 2 2 2 2 4 2 2 3 . 2 2 2 2 3 3 2 2 2

Tulis X=N

[ ]

x ∪N_A

( )

v_i .

Karena 1≤ N

( )

x ≤n−k dengan k = 3 dan

( )

v =n−3

NA i maka

[

X ≥n−1

]

. Setiap titik di

X tidak dapat bertetangga dengan setiap titik di E. Akibatnya F

[

X∪E

]

memuat Kp,q

dengan 3=p=n-1. Dengan demikian tidak mungkin terdapat x∈V

( )

F dengan

( )

x n k

N ≤ − untuk k = 3. Jadi haruslah

( )

x n x V

( )

F

N = −2,∀ ∈ .

Sedangkan jika N

( )

x =n−2,∀∈V

( )

F maka,

(

)(

) ( )

{

p n n q

} { } (

n p

)(

n

)

q

A≥ −1 −3+ −1 + − −1 = −1 −3 + dan B ≥

(

p−1

)(

n−3

)

+q−

(

n−3

)(

n−2

)

≥q

setiap titik di N

[ ]

x tidak dapat bertetangga dengan setiap titik di B. Akibatnya

[ ]

[

N x B

]

F ∪ memuat kp,q dengan p=n-1.

Dengan demikian terbukti bahwa

(

S K

)

(

p

)(

n

) ( )

n q

R n, p,q ≤ −1 −3 + −1 + untuk

1

3≤ p≤n− dan q = 2.

3. KESIMPULAN

Jadi kita dapat menentukan bilangan Ramsey untuk graf bipartit lengkap melalui batas atasnya yang telah ditunjukkan pada teorema 1 dan 2 di atas. Pada makalah yang lain, kita pernah menunjukkan bahwa

(

S ,K ,

)

=p+q+2

R n pq dengan p,q=2; R(S5,

K2,q) =q+5 untuk q genap dan q=2 serta R(S5,

K2,q)=q+6 untuk q ganjil dan q=3.

Daftar Pustaka

Chavatal, V and F. Harary, 1972, “Generalized Ramsey Theory for Graphs,III”, Small aff Diagonal Numbers, Pas Journal Math, 41, 335-345.

Lawrence, S.L., 1973, “Cycle -Star Ramsey Numbers”, Notices Amer. Math.Soc, 20.

(karena maka n-4 = 1)

(karena n = 5)

(karena p = 3 maka 2p-6 = 0)

(karenan-4 =

1)

(4)

Berkala MIPA, 15(3), September 2005.

54

Parsons, T.D., 1975, “Ramsey Graph and Block Designs I”, Trans. Amer. Soc., 209.

Parsons, T.D., 1976, “Ramsey Graphs and Block Designs”, Journal of Combina-torial Theory, Serie s A, 20, 12-19 Radziszowski, S.P. , 2002, “Small Ramsey