Extra 4 Pengantar Teori Modul

(1)

Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.

http://wijna.web.ugm.ac.id 1

Extra 4

Pengantar Teori Modul

Apabila selama ini dikenalkan suatu konsep aljabar mengenai ruang vektor, maka modul merupakan perumuman dari ruang vektor. Pada modul, syarat skalar diperumum menjadi elemen pada suatu ring dan bukan lapangan. Dengan demikian ruang vektor merupakan suatu kasus khusus dari modul dan karena sifat modul yang lebih luas dari ruang vektor maka ada berbagai sifat-sifat trivial pada ruang vektor menjadi non-trivial pada modul. Untuk mengawali pembahasan mengenai modul, berikut diberikan definisi tentang modul kanan dan modul kiri.

1. Pengertian Umum Modul dan Submodul

Definisi E4.1 (Modul Kiri)

Diberikan grup Abelian (M, )+ dan ring ( , , )R + ⋅ . Serta diberikan pula operasi biner (disebut pergandaan skalar) *: R M× →M . Himpunan M disebut modul kiri atas R

(dinotasikan M R-Modul), jika memenuhi ketiga aksioma pergandaan skalar berikut :

1. r*(m₁+m₂)=r m* ₁+r m* ₂ , ∀m m₁, ₂∈M r R∀ ∈

2. (r₁+r₂)*m=r₁*m+r₂*m , ∀ ∈m M ∀r r₁, ₂∈ R

3. (r r₁⋅ ₂)*m=r₁*( * )r₂ m , ∀ ∈m M ∀r r₁, ₂∈ . R

Contoh E4.2

Diberikan ruang vektor 3_{dan himpunan seluruh matriks bilangan real berukuran 3x3}

11 12 13 3 3 21 22 23 31 32 33 x ij a a a M a a a a a a a ⎧_⎡ _⎤ ⎫ ⎪_⎢ _⎥ ⎪ =_⎨_⎢ _⎥ ∈ _⎬ ⎪_⎢_⎣ _⎥_⎦ ⎪ ⎩ ⎭

Diberikan pula operasi biner 3 3 3 3

*:M x × → sebagai operasi pergandaan matriks dengan vektor.

(2)

Diketahui 3_{adalah grup Abelian dan} 3 3x

M adalah ring. Serta operasi pergandaan matriks

dengan vektor adalah operasi biner. Akan ditunjukkan bahwa ketiga aksioma dipenuhi. Menggunakan sifat pergandaan matriks dengan vektor :

1. Untuk sebarang matriks

11 12 13 21 22 23 3 3 31 32 33 x a a a a a a M a a a ⎡ ⎤ ⎢ _{⎥ ∈} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ dan vektor 1 1 3 2 2 3 3 , x y x y x y ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 11 12 13 1 1 11 12 13 1 11 12 13 1 21 22 23 2 2 21 22 23 2 21 22 23 2 31 32 33 3 3 31 32 33 3 31 32 33 3 a a a x y a a a x a a a y a a a x y a a a x a a a y a a a x y a a a x a a a y + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ₊ ⎥ ⎢₌ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢₊ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 3 3 31 32 33 31 32 33 , _x a a a b b b a a a b b b M a a a b b b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ∈} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ dan vektor 1 3 2 3 x x x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 11 11 12 12 13 13 1 11 12 13 1 11 12 13 1 21 21 22 22 23 23 2 21 22 23 2 21 22 23 2 31 31 32 32 33 33 3 31 32 33 3 31 32 33 3 a b a b a b x a a a x b b b x a b a b a b x a a a x b b b x a a a b a b x a a a x b b b x + + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ₊ ₊ ₊ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢₌ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢₊ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ + + + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 3 3 31 32 33 31 32 33 , x a a a b b b a a a b b b M a a a b b b ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ _{⎥ ∈} ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ dan vektor 1 3 2 3 x x x ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ∈ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 11 12 13 11 12 13 1 11 12 13 11 12 13 1 21 22 23 21 22 23 2 21 22 23 21 22 23 2 31 32 33 31 32 33 3 31 32 33 31 32 33 3 a a a b b b x a a a b b b x a a a b b b x a a a b b b x a a a b b b x a a a b b b x ⎛⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎞ ⎤ ⎡⎛ ⎤ ⎡ ⎤⎞ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎟ ₌ ⎥ ⎢⎜ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎜⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎟ ⎥ ⎢⎜ ⎥ ⎢ ⎥⎟ ⎜_⎢_⎣ _{⎥ ⎢}_{⎦ ⎣} _{⎥ ⎢ ⎥ ⎢}_{⎦ ⎣ ⎦ ⎣}⎟ _{⎥ ⎢}_{⎦ ⎣}⎜ _{⎥ ⎢ ⎥}_{⎦ ⎣ ⎦} ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ Akibatnya 3₌ 3 3x M −Modul.

Diperhatikan bahwa operasi pergandaan 3_dengan 3 3x

M pada contoh diatas dapat berlaku

karena vektor dari 3_{direpresentasikan sebagai matriks vertikal. Bagaimana jika vektor pada} 3_{direpresentasikan sebagai matriks horizontal? Jelas bahwa jika vektor pada} 3

(3)

dapat berlaku. Namun 3_{dengan vektornya sebagai matriks horizontal tetap dapat menjadi}

modul atas ring M_{3 3}x jika operasi pergandaannya diubah, yakni matriks dioperasikan dengan vektor dari sisi kanan. Dari contoh tersebut dapat dinyatakan suatu definisi baru.

Definisi E4.3 (Modul Kanan)

Diberikan grup Abelian (M, )+ dan ring ( , , )R + ⋅ . Serta diberikan pula operasi pergandaan skalar *: M R× →M. Himpunan M disebut modul kanan atas R

(dinotasikan M Modul-R), jika memenuhi ketiga aksioma pergandaan skalar berikut :

1. (m₁+m₂)*r=m₁*r+m₂*r , ∀m m₁, ₂∈M r∀ ∈ R

2. m*(r₁+r₂)=m r* ₁+m r* ₂ , ∀ ∈m M ∀r r₁, ₂∈ R

3. m*(r r₁⋅ ₂)=

(

m r*

)

₁*r₂ , ∀ ∈m M ∀r r₁, ₂∈ . R

Akan tetapi tidak menutup kemungkinan bahwa operasi pergandaan skalar pada modul dapat berlaku dari kiri dan sekaligus dari kanan. Sifat modul dengan operasi pergandaan tersebut dapat dinyatakan sebagai definisi.

Definisi E4.4 (Bi-Modul)

Diberikan grup Abelian (M, )+ dan ring ( , , )R + ⋅ . Jika M adalah modul kiri sekaligus modul kanan atas R maka M disebut Bi-Modul.

Contoh E4.5

Himpunan seluruh bilangan bulat merupakan Bi-Modul dengan ring dan operasi pergandaan perkalian bilangan bulat.

Jika ring pada modul merupakan ring dengan elemen satuan, maka dapat dimunculkan suatu definisi baru.

Definisi E4.6 (Modul Uniter Kiri)

Diketahui M R-Modul dan R ring dengan elemen satuan. Modul M disebut modul uniter kiri jika dan hanya jika untuk setiap m∈M berlaku 1 *R m= dengan 1m R merupakan elemen satuan di

(4)

Definisi E4.7 (Modul Uniter Kanan)

Diketahui M Modul-R dan R ring dengan elemen satuan. Modul M disebut modul uniter kanan jika dan hanya jika untuk setiap m∈M berlaku m*1_R = dengan 1m _R merupakan elemen satuan di R.

Contoh E4.8

Himpunan seluruh bilangan bulat merupakan Bi-Modul Uniter dengan ring dan operasi pergandaan perkalian bilangan bulat.

Untuk mempermudah penulisan, notasi a b∗ akan ditulis ab. Harap diperhatikan bahwa untuk seterusnya pembahasan mengenai modul di tulisan ini mengacu kepada modul uniter kiri dan dengan penalaran yang serupa pembahasan dapat diterapkan juga pada modul uniter kanan. Selanjutnya, akan diperkenalkan suatu struktur dari suatu modul yang disebut submodul.

Definisi E4.9 (Submodul)

Diketahui M R-Modul, R ring dengan elemen satuan, dan N ⊆M , maka N disebut submodul dari M jika dan hanya jika ketiga aksioma berikut dipenuhi:

1. N merupakan subgrup Abelian dari M

2. Operasi pergandaan skalar yang berlaku pada M juga berlaku pada N 3. N memenuhi aksioma-aksioma modul uniter.

Jika N merupakan submodul dari M, maka N dapat dinyatakan sebagai R-Modul.

Contoh E4.10

Pada − Modul, himpunan 3 merupakan submodul dari .

(5)

Teorema berikut dapat dipergunakan untuk menelaah apakah suatu himpunan merupakan submodul.

Teorema E4.11

Diketahui M R-Modul dan N ⊆M , maka N disebut submodul dari M jika dan hanya jika memenuhi dua syarat berikut:

1. n₁− ∈ n₂ N , ∀n n₁, ₂∈ N

2. rn∈N , ∀ ∈n N r R∀ ∈ Bukti.

( )

⇒

Diketahui bahwa N adalah submodul dari modul M. Dengan demikian N adalah subgrup Abelian dari M dan akibatnya untuk setiap n n₁, ₂∈ , berlaku N n₁− ∈ . n₂ N Karena operasi pergandaan

skalar yang berlaku pada M juga berlaku pada N, maka untuk setiap n∈N dan r R∈ , berlaku rn∈N.

( )

⇐

Karena untuk setiap n n₁, ₂∈ berlaku N n₁− ∈ , maka menurut n₂ N Teorema 1.19 N merupakan

subgrup Abelian dari M. Selanjutnya, karena rn∈N untuk setiap n∈N dan r R∈ maka operasi pergandaan skalar di M juga berlaku di N. Terakhir, karena N merupakan himpunan bagian dari M dan operasi pergandaan skalar di M juga berlaku di N maka aksioma-aksioma modul uniter di M juga berlaku di N. Jadi, N merupakan submodul dari M.

Jika diketahui dua submodul dari suatu modul, maka dapat dibentuk submodul baru dari kedua submodul tersebut. Teorema berikut menyatakan hal tersebut.

Teorema E4.12

Diketahui M R-Modul. Jika H dan K merupakan sebarang submodul dari M, maka kedua sifat berikut berlaku:

1. H∩ merupakan submodul dari M K

(6)

Bukti. (1)

Akan ditunjukkan H∩ adalah submodul dari M, yaitu HK ∩ memenuhi Teorema E4.11. K

Diambil sebarang n n₁, ₂∈ ∩ maka H K n n₁, ₂∈ dan H n n₁, ₂∈ . Karena H dan K adalah K

submodul, maka n₁− ∈ dan n₂ H n₁− ∈ . Akibatnya n₂ K n₁− ∈ ∩ . Selanjutnya, diambil n₂ H K

sebarang r R∈ , karena H dan K adalah submodul maka rn rn₁, ₂∈ dan H rn rn₁, ₂∈ . K

Akibatnya rn rn₁, ₂∈ ∩ . H K

Jadi, terbukti bahwa H∩ merupakan submodul dari M. K

(2)

Akan ditunjukkan H K+ adalah submodul dari M, yaitu H K+ memenuhi Teorema E4.11. Diperhatikan bahwa H + =K

{

h+k h∈H dan k∈K

}

. Diambil sebarang n n₁, ₂∈ + , maka H K

1 1 1

n = + dan h k n₂ =h₂+ untuk suatu k₂ h h₁, ₂∈ dan H k k₁, ₂∈ . Karena H dan K adalah K

submodul maka h₁− ∈ dan h₂ H k₁− ∈ . Akibatnya k₂ K

1 2 ( 1 1) ( 2 2) ( 1 2) ( 1 2)

n −n = h +k − h +k = h −h + k −k ∈ + . Selanjutnya, diambil sebarang r RH K ∈ .

Karena H dan K adalah submodul, maka rh₁∈ dan H rk₁,∈ . Akibatnya K

1 ( 1 1) 1 1

rn =r h +k =rh +rk ∈ + . H K

Jadi, terbukti bahwa H K+ merupakan submodul dari M.

Contoh E4.13

Diberikan ring polinomial dengan peubah x dan koefisiennya bilangan bulat, [ ]x . Karena

adalah ring dengan elemen satuan maka [ ]x juga ring dengan elemen satuan. Karena ring

dengan elemen satuan adalah grup Abelian maka [ ]x adalah -Modul dengan operasi

(7)

Diambil sub-himpunan dari [ ]x , yaitu

0 [ ] i i i i n x a x a n ∞ = ⎧ ⎫ =_⎨ ∈ _⎬

⎩

∑

⎭. Akan ditunjukkan bahwa [ ]

n x adalah submodul dari [ ]x . Diambil sebarang ,x y∈n [ ]x maka

0 i i i x a x ∞ = =

∑

dan 0 i i i y b x ∞ = =

∑

untuk ,a bi i∈n , sehingga 0 0 0 ( ) i i i i i i i i i i x y a x b x a b x ∞ ∞ ∞ = = = − =

∑

−

∑

=

∑

− untuk suatu i i

a − ∈b n , akibatnya x− ∈y n [ ]x . Untuk sebarang m∈ dan

0 i i i x a x ∞ = =

∑

, 0 0 ( ) i i i i i i mx m a x ma x ∞ ∞ = =

=

∑

=

∑

untuk suatu ma_i∈n , akibatnya mx∈n [ ]x .

Diperhatikan bahwa 2 [ ]x dan 5 [ ]x merupakan submodul dari [ ]x . Dengan demikian

menurut Teorema E4.12 berlaku: 1. 2 [ ] 5 [ ] 10 [ ]x ∩ x = x

2. 2 [ ] 5 [ ]x + x = [ ]x

Diperhatikan bahwa 2 [ ] 5 [ ]x ∪ x bukanlah submodul dari M. Karena untuk 2x∈2 [ ]x dan

5x∈5 [ ]x , 5x−2x=3x∉2 [ ] 5 [ ]x ∪ x .

Dari definisi-definisi beserta teorema-teorema diatas dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

1. Setiap ring merupakan modul atas dirinya sendiri, yaitu jika R ring maka R R-Modul. 2. Jika R dipandang sebagai R-Modul, maka setiap ideal pada R merupakan submodul di R. 3. Setiap ruang vektor merupakan modul.

Untuk contoh-contoh selanjutnya, submodul pada -Modul akan selalu berbentuk n dengan n merupakan bilangan bulat. Untuk menujukkan kebenaran pernyataan ini dapat menggunakan sifat Daerah Ideal Utama, yaitu setiap ideal pada dibangun oleh tepat satu elemen. Terkait dengan pembangun suatu submodul, subbab selanjutnya akan membahas pembangun suatu submodul.

(8)

2. Modul Faktor dan Homomorfisma

Misalkan diketahui M R-Modul. Karena M grup Abelian, maka sebarang subgrup dari M

juga merupakan grup Abelian. Misalkan N merupakan sebarang subgrup dari M. Karena N subgrup Abelian, maka N merupakan subgrup normal terhadap M, yaitu aN =Na untuk setiap a∈M . Dengan demikian menurut Teorema E3.17, M N =

{

a+N a∈M

}

merupakan grup

terhadap operasi biner

(

a+N

) (

+ +b N

) (

= a b+ +

)

N. Karena M grup Abelian, maka jelas bahwa

(

a+N

) (

+ +b N

) (

= a b+ +

)

N =

(

b+a

)

+N =

(

b+N

) (

+ a+N

)

. Jadi, M N merupakan grup Abelian terhadap operasi penjumlahan koset.

Teorema E4.14

Diketahui M R-Modul, N sebarang submodul dari M, dan R ring dengan elemen satuan, maka

M N R -Modul terhadap operasi pergandaan koset r a

(

+N

) ( )

= ra +N untuk setiap r∈ R dan aN∈M N. Selanjutnya, M N disebut dengan modul faktor.

Bukti.

Akan ditunjukkan bahwa operasi pergandaan koset diatas merupakan operasi biner. Pertama akan ditunjukkan bahwa operasi ini terdefinisi dengan baik. Diambil sebarang

,

a+N b+N ∈M N dengan a+N = +b N. Menggunakan sifat kesamaan dua koset diperoleh a b− ∈N. Karena N submodul, maka untuk sebarang r R∈ berlaku, r a b

(

−

)

=ra− ∈rb N. Dengan kata lain

( )

ra +N =

( )

rb +N, sesuai dengan definsi operasi pergandaan koset

(

) (

)

r a+N =r b+N . Terbukti operasi ini terdefinisi dengan baik. Kedua, operasi ini tertutup karena ra∈M untuk sebarang r R∈ dan a∈M dan dengan demikian berlaku

(

) ( )

(9)

Terakhir, diberikan sebarang a+N b, +N ∈M N dan r r r, ,₁ ₂∈ . Akan ditunjukkan bahwa R

operasi pergandaan koset memenuhi aksioma pergandaan skalar : 1.

2.

3.

4.

Jadi, terbukti bahwa M N merupakan modul atas R.

Contoh E4.15

Pada -Modul dapat dipilih submodul 6 dan dibentuk grup abelian

{

}

6 = 0 6 , 1 6 , 2 6 , 3 6 , 4 6 , 5 6+ + + + + + . Himpunan 6 merupakan modul atas dengan operasi pergandaan skalar r a

(

+6

) ( )

= ra +6 untuk setiap r∈ dan

6 6 a+ ∈ .

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

r a N b N r a b N r a b N ra rb N ra N rb N r a N r b N + + + = + + = + + = + + = + + + = + + +

(

)(

) (

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 r r a N r r a N r a r a N r a N r a N r a N r a N + + = + + = + + = + + + = + + +

( )(

)

(

( )

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 r r a N r r a N r r a N r r a N r r a N + = + = + = + = +

(

) ( )

1 1 . R a N Ra N a N + = + = +

(10)

Modul faktor merupakan salah satu sifat yang digunakan pada pembahasan mengenai teorema utama homomorfisma. Berikut diberikan pengertian mengenai homomorfisma, yaitu suatu pemetaan dari suatu modul ke modul lain yang “mengawetkan” sifat-sifat operasi pergandaan skalar di kedua modul.

Definisi E4.16 (Homomorfisma Modul)

Diketahui M dan M adalah R-Modul. Pemetaan :' φ M →M' disebut homomorfisma modul jika dan hanya jika memenuhi kedua syarat berikut:

1. φ(m₁+m₂)=φ( )m₁ +φ(m₂) , untuk setiap m m₁, ₂∈M

2. φ(rm)=r φ( )m , untuk setiap m∈M dan r∈ . R

Contoh E4.17

Diketahui dan

[ ]

x keduanya merupakan -Modul. Pemetaan φ: →

[ ]

x dengan definisi

( )

3

a ax

φ = merupakan homomorfisma modul, karena

1. ₍ ₎

(

)

3 3 3 _{( )} _{( )}

a b a b x ax bx a b

φ + = + = + =φ +φ , untuk setiap ,a b∈

2. _{( )}

( )

3

( )

_{( )}

ra ra x r ax r a

φ = = = φ , untuk setiap a∈ dan r ∈ .

Berikut diberikan lemma mengenai sifat-sifat homomorfisma modul. Lemma E4.18

Diketahui M dan M adalah R-Modul dan :' φ M →M' merupakan homomorfisma modul, maka keempat sifat berikut berlaku:

1. Jika 0M merupakan elemen identitas di M, maka φ

( )

0M =0M'

2. Jika a∈M , maka φ

( )

− = −a φ

( )

a

3. Jika H merupakan sumodul dari M, maka φ

( )

H merupakan submodul dari M '

(11)

Bukti. (1)

Misalkan 0_M merupakan elemen identitas di M, yaitu a+0_M =0_M + = untuk setiap a a a∈M . Karena 0a+ M =0M + = , maka berlaku a a φ

(

a+0M

)

=φ

(

0M +a

)

=φ

( )

a . Karena φ homomorfisma, maka diperoleh:

i. φ

(

a+0_M

)

=φ

( ) ( )

a +φ 0_M =φ

( )

a dan ii. φ

(

0M +a

)

=φ

( ) ( )

0M +φ a =φ

( )

a .

Jadi, diperoleh φ

( ) ( )

a +φ 0_M =φ

( ) ( )

0_M +φ a =φ

( )

a untuk setiap a∈M dan dengan demikian

( )

0M 0M'

φ = yaitu elemen identitas di M . '

(2)

Diambil sebarang a∈M dan dengan demikian diperoleh a+ − = − + =

( ) ( )

a a a 0_M. Karena

( ) ( )

0_M

a+ − = − + =a a a , maka berlaku φ

(

a+ −

( )

a

)

=φ

(

( )

− +a a

)

=φ

( )

0_M . Karena φ homomorfisma dan menurut (1) berlaku φ

( )

0M =0M_', maka diperoleh:

i. φ

(

a+ −

( )

a

)

=φ

( ) ( )

a +φ − =a 0M_' dan ii. φ

(

( )

− +a a

)

=φ

( ) ( )

− +a φ a =0_M_'.

Jadi, diperoleh φ

( ) ( )

a +φ − =a φ

( ) ( )

− +a φ a =0M_' untuk setiap a∈M dan dengan demikian berlaku φ

( )

− = −a φ

( )

a .

(3)

Diambil sebarang a b, ∈φ

( )

H , maka a=φ

( )

x dan b=φ

( )

y untuk suatu ,x y∈ . H

Diperhatikan bahwa a b− =φ

( ) ( )

x −φ y =φ

( ) ( )

x +φ − =y φ

(

x−y

)

. Karena H submodul dan ,

x y∈ , maka menurut Teorema E4.11 berlaku x y HH − ∈ dan dengan demikian

(

) ( )

a b− =φ x−y ∈φ H . Diambil sebarang r R∈ dan diperhatikan bahwa ra=rφ

( ) ( )

x =φ rx . Karena H submodul, maka menurut Teorema E4.11 berlaku rx∈H dan dengan demikian

( ) ( )

(12)

(4)

Diambil sebarang _, 1

( )

_'

a b∈φ− K , maka φ

( )

a =k₁ dan φ

( )

b =k₂ untuk suatu k k₁, ₂∈K'. Karena

'

K submodul, maka menurut Teorema E4.11 berlaku k₁− ∈k₂ K' dan dengan demikian

( ) ( )

(

)

1 2 '

k −k =φ a −φ b =φ a b− ∈K . Sehingga berlaku a b− ∈φ−1

( )

K' . Diambil sebarang r∈ dan diperhatikan bahwa R rk₁ =rφ

( ) ( )

a =φ ra . Karena 'K submodul, maka menurut

Teorema E4.11 berlaku rk₁ =φ

( )

ra ∈K' dan dengan demikian ra∈φ−1

( )

K' . Jadi, menurut

Teorema E4.11 terbukti bahwa 1

( )

_'

K φ−

merupakan submodul.

Berikut diberikan definisi mengenai Kernel dan Image suatu homomorfisma beserta sifat-sifatnya.

Definisi E4.19 (Kernel dan Image Homomorfisma)

Diketahui M dan M adalah R-Modul dan :' φ M →M' merupakan homomorfisma modul, maka

1. Kernel φ =

{

m∈M φ( ) 0m = M_'

}

dan 2. Image φ =

{

φ( )m ∈M m' ∈M

}

. Selanjutnya, kernel φ dinotasikan ker

( )

φ .

Contoh E4.20

Pada Contoh E4.17 diketahui ker

( ) { }

φ = 0 dan _image

( )

{

3

}

ax a

φ = ∈ .

Lemma E4.21

Diketahui M dan M adalah R-Modul dan :' φ M →M' merupakan homomorfisma modul, maka

1. ker

( )

φ merupakan submodul dari M dan 2. image

( )

φ merupakan submodul dari 'M .

Bukti.

Diperhatikan bahwa ker

( )

φ bukan himpunan kosong, karena 0_M ∈ker

( )

φ . Selanjutnya, diambil sebarang k k₁, ₂∈ker

( )

φ . Karena φ adalah homomorfisma modul maka berlaku,

(13)

1 2 1 2 ' ' '

(k k ) ( )k ( ) 0k _M 0_M 0_M

φ − =φ −φ = − = dan dengan demikian k₁− ∈k₂ ker

( )

φ . Terakhir diambil sebarang r R∈ dan k∈ker

( )

φ . Karena φ adalah homomorfisma modul maka

' '

( )rk r ( )k r0_M 0_M

φ = φ = = dan dengan demikian rk∈ker

( )

φ . Jadi, menurut Teorema E4.11

( )

ker φ merupakan submodul dari M.

Diperhatikan bahwa image

( )

φ bukan himpunan kosong karena 0M_'∈image

( )

φ . Selanjutnya, diambil sebarang x y, ∈image

( )

φ . Maka x=φ( )m₁ dan y=φ(m₂) untuk suatu m m₁, ₂∈M .

Karena φ adalah homomorfisma modul maka x− =y φ( )m₁ −φ(m₂)=φ(m₁−m₂). Karena M modul, maka m₁−m₂∈M dan dengan demikian x− =y φ(m₁−m₂) image∈

( )

φ . Terakhir diambil sebarang r R∈ dan x∈image

( )

φ , maka x=φ( )m untuk suatu m∈M. Karena φ adalah homomorfisma modul, maka rx=rφ( )m =φ(rm). Karena M modul, maka rm∈M dan dengan demikian rx=φ

( )

rm ∈image

( )

φ . Jadi, menurut Teorema E4.11 image

( )

φ merupakan submodul dari M . '

Definisi mengenai isomorfisma berikut, akan mengawali pembahasan mengenai Teorema Utama Homomorfisma Modul.

Definisi E4.22 (Isomorfisma)

Diketahui M dan M adalah R-Modul dan :' φ M →M' merupakan homomorfisma modul. Jika

φ adalah pemetaan bijektif, yaitu φ pemetaan injektif sekaligus surjektif, maka pemetaan φ disebut isomorfisma modul.

Contoh E4.23

Diketahui -Modul, maka pemetaan :ϕ → dengan ϕ

( )

a = −a, untuk setiap a∈ merupakan isomorfisma modul.

(14)

Teorema E4.24

Diketahui M dan M adalah R-Modul dan :' φ M →M' merupakan homomorfisma modul dengan ker

( )

φ =H. Maka pemetaan μ: M H →ϕ

( )

M yang didefinisikan μ

(

a+H

)

=φ

( )

a

untuk setiap a+ ∈H M H merupakan isomorfisma modul.

Bukti.

Bukti sejalan dengan pembuktian Teorema E3.13.

Teorema E4.25

Diketahui M dan M adalah R-Modul dan :' φ M →M' merupakan homomorfisma modul dengan ker

( )

φ =H. Maka pemetaan γ : M →M H yang didefinisikan γ

( )

a = +a H untuk setiap a∈M merupakan homomorfisma surjektif.

Bukti.

Dari Teorema E4.24 dan E4.25, dapat dibentuk langkah-langkah sebagai berikut: 1. Diketahui M dan M' merupakan R-Modul

2. Diketahui :φ M →M' homomorfisma modul 3. Diketahui φ

( )

M ⊆M'

4. Dari Teorema E4.14, diperoleh M ker

( )

φ merupakan R-Modul

5. Dari Teorema E4.25, dapat dibentuk suatu homomorfisma surjektif dari M ke

( )

ker

M φ

6. Dari Teorema E4.24, dapat dibentuk suatu isomorfisma dari M ker

( )

φ ke φ

( )

M . Diperhatikan langkah 4, 5, dan 6. Jika a∈M , maka untuk memetakan elemen a ke M' melalui

suatu pemetaan homomorfisma modul, tidak harus melalui pemetaan φ. Dari langkah 4, 5, dan 6, untuk memetakan elemen a ke M dapat pula melalui pemetaan ' γ dan μ yang keduanya merupakan pemetaan homomorfisma modul. Pertama, elemen a dipetakan terlebih dahulu ke grup M ker

( )

φ melalui pemetaan γ , hasil petanya adalah γ

( )

a . Selanjutnya, elemen γ

( )

a

(15)

dipetakan ke φ

( )

M ⊆M' melalui pemetaan μ, hasil petanya adalah μ γ

(

( )

a

)

=

(

μ γ

)( )

a . Jadi, menggunakan langkah-langkah tersebut elemen a tidak langsung dipetakan ke M melalui ' pemetaan φ, melainkan harus “singgah sejenak” di modul M ker

( )

φ untuk kemudian dipetakan ke 'M melalui pemetaan μ γ . Tetapi yang terpenting adalah modul M ker

( )

φ dan φ

( )

M isomorfis, yaitu ada suatu isomorfisma dari M ker

( )

φ ke φ

( )

M . Sifat tersebut dapat dinyatakan ke dalam sebuah teorema.

Teorema E4.26 (Teorema Utama Homomorfisma Modul 1)

Diketahui M dan M adalah R-Modul dan :' φ M →M' merupakan homomorfisma modul, maka terdapat suatu isomorfisma modul dari M ker

( )

φ ke φ

( )

M .

Jika φ merupakan pemetaan surjektif akan diperoleh φ

( )

M =M' dan Teorema E4.26 dapat berubah menjadi seperti berikut.

Teorema E4.27

Diketahui M dan M adalah R-Modul dan :' φ M →M' merupakan homomorfisma modul yang surjektif, maka terdapat suatu isomorfisma modul dari M ker

( )

φ ke 'M .

Teorema Utama Homomorfisma Modul pada dasarnya merupakan kasus khusus dari Teorema Utama Homomorfisma Grup dan Ring. Karena itu terdapat juga Teorema ke-2 dan ke-3 mengenai Teorema Utama Homomorfisma Modul. Pembuktian untuk kedua teorema tersebut serupa dengan pembuktian untuk Teorema Utama Homomorfisma Grup dan Ring.

Diketahui M R-Modul serta H dan N merupakan sebarang submodul dari M, maka terdapat suatu ismomorfisma modul dari

(

H +N

)

N ke H

(

H∩N

)

.

Bukti.

(16)

Diketahui M R-Modul serta H dan N merupakan sebarang submodul dari M. Jika H juga submodul dari N, maka terdapat suatu ismomorfisma modul dari M N ke

(

M H

) (

N H

)

.

Bukti.

Teorema E4.30

Diketahui M dan M adalah R-Modul dan :' φ M →M' merupakan homomorfisma modul, maka untuk sebarang submodul K dari ' M berlaku: '

1. Submodul 1

( )

_'

K φ−

memuat ker

( )

φ .

2. Jika terdapat submodul H dari M yang memuat ker

( )

φ dan φ

( )

H =K' maka

( )

1 _' K H φ− ₌ . Bukti. (1)

Karena 0M_'∈M', elemen identitas di M , termuat pada ' K maka '

( )

1 _'

K

φ− _{memuat setiap}

anggota M yang dipetakan ke 0_M_'. Dengan kata lain 1

( )

_'

K

φ− _memuat_ker

( )

_{φ .}

(2)

Misalkan H merupakan submodul dari M dengan ker

( )

φ ⊆H dan φ

( )

H =K'.

Karena φ

( )

H =K', maka jelas bahwa H ⊆φ−1

( )

K' . Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa

( )

1 _' K H φ− _⊆ _{. Diambil sebarang} _' k∈K . Karena 1

( )

_' K H φ− ₌ _dan

(

1

( )

_'

)

_' K K φ φ− ₌ _{, maka}

( )

k =φ h =φ x , untuk suatu h∈H dan

( )

1 _'

x∈φ− K . Karena φ

( )

h =φ

( )

x , maka diperoleh φ

( ) ( )

h −φ x =0_M_'∈K'.

Karena φ homomorfisma, diperoleh φ

( ) ( )

h −φ x =φ

(

h−x

)

. Dengan demikian, φ

(

h−x

)

=0_M_' atau dengan kata lain h− ∈x ker

( )

φ . Karena ker

( )

φ ⊆H, akibatnya h− ∈x H . Karena − ∈h H

(17)

dan h− ∈x H , akibatnya − +h

(

h−x

) (

= − +h h

)

− =x 0_M − = − ∈x x H. Karena − ∈x H dan H submodul, maka x∈H. Karena pemilihan k sebarang dan φ

( )

H =K', berakibat φ−1

( )

K' ⊆H . Jadi, karena berlaku 1

( )

_'

H ⊆φ− K dan φ−1

( )

K' ⊆H , maka φ−1

( )

K' =H . Teorema E4.31 (Teorema Korespondensi)

Diketahui M dan M dan ' H K , serta N merupakan submodul dari M. Jika submodul H dan K , memuat N dan berlaku H N =K N, maka H = . K

Bukti.

Karena N merupakan submodul dari M, maka menurut Teorema E4.14 M N merupakan R-Modul. Dibentuk homomorfisma φ: M →M N, dengan definisi φ

( )

a = +a N untuk setiap

a∈M dan jelas bahwa ker

( )

φ =N. Diperhatikan bahwa φ merupakan pemetaan surjektif, karena untuk sebarang a+ ∈N M N dapat dipilih x∈M dengan x=a sehingga φ

( )

a = +a N. Karena H dan K merupakan submodul dari M dan φ merupakan pemetaan surjektif, maka jelas bahwa φ

( )

H =H N dan φ

( )

K =K N. Karena submodul H memuat N =ker

( )

φ dan

( )

H H N K N

φ = = , maka menurut Teorema E4.32 (ii) berakibat 1

(

)

K N H φ− ₌ _{. Karena}

(

)

1 K N K φ− ₌ _{, maka diperoleh H} K = . Contoh E4.32

Pada -Modul, akan ditunjukkan bahwa m

_{( )}

n ≅ mn dengan m dan n saling relatif prima. Diperhatikan dahulu bahwa

1. a +b =d , dengan d =gcd ,

( )

a b 2. a ∩b =c , dengan c=lcm ,

( )

a b

dengan gcd merupakan faktor persekutuan terbesar dan lcm merupakan kelipatan persekutuan terkecil. Selanjutnya, dimisalkan N =n dan H =m . Karena m dan n saling relatif prima, maka gcd ,

(

n m

)

=1 dan lcm ,

(

n m

)

=mn. Dengan demikian H +N =m +n = dan

(18)

( )

H∩ =N m ∩n = mn . Sehingga menurut Teorema Utama Homomorfisma Modul 3 diperoleh

(

H N

)

H

₍

₎

N H N

+ _≅ _⇔

∩ n ≅m

( )

mn . 3. Elemen Torsi dan Annihilator

Sesuai definisi modul, suatu ring dengan elemen satuan dapat dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri. Diperhatikan pada kasus ketika ring tersebut memuat elemen pembagi nol. Ingat kembali bahwa elemen pembagi nol pada suatu ring adalah elemen a dan b yang keduanya tidak nol dengan ab=0. Keberadaan elemen pembagi nol ini akan memunculkan sifat pada modul yang tidak terdapat pada ruang vektor. Hal tersebut dikarenakan skalar pada ruang vektor merupakan elemen lapangan yang setiap elemennya bukan merupakan pembagi nol.

Definisi E4.33 (Elemen Torsi)

Diberikan M R-Modul, elemen m∈M disebut elemen torsi jika dan hanya jika terdapat

{ }

0R

r∈ −R sehingga rm=0M. Dengan demikian 0M∈M merupakan elemen torsi.

Definisi E4.34 (Modul Torsi)

Diberikan M R-Modul. Modul M disebut modul torsi jika dan hanya jika setiap elemennya merupakan elemen torsi.

Definisi E4.35 (Modul Bebas Torsi)

Diberikan M R-Modul. Modul M disebut modul bebas torsi jika dan hanya jika M memiliki tepat satu elemen torsi, yaitu 0_M∈M .

Contoh E4.36

Diketahui ring 8 merupakan modul atas ring dan juga atas dirinya sendiri. Jika 8 dipandang sebagai -Modul, maka seluruh elemen pada 8 merupakan elemen torsi dan dengan demikian 8 merupakan modul torsi. Karena dapat dipilih 8∈ sehingga

(

)

(19)

dirinya sendiri, maka elemen torsinya adalah 0 8 , 2 8 , 4 8 , dan 6 8+ + + + . Diperhatikan bahwa dengan mengganti ring yang menyertai modul, maka elemen-elemen torsi dapat berubah.

Dari definisi elemen torsi, jika diberikan suatu M R-Modul maka dapat dihimpun semua elemen torsi pada modul M tersebut. Misalkan M merupakan himpunan seluruh elemen torsi T modul M. Teorema-teorema berikut menyatakan sifat himpunan M . _T

Teorema E4.37

Diketahui M R-Modul dan M himpunan seluruh elemen torsi pada M. Jika R daerah integral, _T maka M merupakan submodul dari M. _T

Bukti.

Diambil sebarang m m₁, ₂∈MT, maka terdapat r r1, 2∈ −R

{ }

0R sehingga r m1 1=r m2 2 =0M. Akan ditunjukkan m₁−m₂∈M_T. Karena R adalah daerah integral, maka R tidak memuat elemen

pembagi nol yaitu untuk setiap r r₁, ₂∈ −R

{ }

0R , berlaku r r1 2 ≠0R. Dengan demikian dapat dipilih

{ }

3 1 2 0R

r =r r ∈ −R , sehingga r m₃( ₁−m₂)=r m₃ ₁−r m₃ ₂ =(r r m_{1 2}) ₁−(r r m_{1 2}) ₂.

Karena R adalah daerah integral maka pergandaan di R bersifat komutatif, sehingga

1 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1

(r r m) −(r r m) =(r r m) −(r r m) =r r m( )−r r m( )=r 0M −r0M =0M. Sehingga diperoleh m₁−m₂∈M_T.

Selanjutnya, diambil sebarang r R∈ dan m∈M_T. Akan ditunjukkan rm∈M_T. Karena m∈M_T

maka terdapat r₀∈ −R

{ }

0_R sedemikian sehingga r m₀ =0_M. Karena R adalah daerah integral

maka pergandaan di R bersifat komutatif, sehingga

0( ) ( )0 ( )0 (0 ) 0M 0M

r rm = r r m= rr m=r r m =r = .

Sehingga diperoleh rm∈M_T.

(20)

Teorema E4.38

Diketahui M R-Modul dan M himpunan seluruh elemen torsi pada M. Jika R daerah integral, _T maka M M merupakan modul bebas torsi. _T

Bukti.

Menurut Teorema E4.37, karena R daerah integral maka M adalah submodul atas M sehingga T menurut Teorema E4.14 M M adalah R-Modul. Andaikan _T M M memiliki elemen torsi _T

0

T M T

m+M ≠ +M , maka terdapat r₀∈ −R

{ }

0R sehingga r m

(

+MT

)

=0M +MT. Karena

(

_T

)

_T 0_M _T

r m+M =rm+M = +M , akibatnya rm∈M_T. Karena rm∈M_T, maka terdapat

{ }

0R

s∈ −R sedemikian sehingga (s rm) ( )= sr m=0_M. Karena R adalah daerah integral, maka

0_R

sr≠ , akibatnya m=0_M dan dengan kata lain m+M_T =0_M +M_T.

Muncul kontradiksi dengan pengandaian bahwa m+MT ≠0M +MT. Sehingga yang benar T

M M modul bebas torsi.

Jika elemen torsi merupakan elemen pada modul, maka dari kondisi rm=0_M juga dapat dihimpun elemen pada ring yang menyebabkan kondisi tersebut berlaku.

Definisi E4.37 (Annihilator)

Diberikan M R-Modul dan X ⊆M . Annihilator atas X, dinotasikan dengan ann X

( )

, didefinisikan sebagai ann X

( )

= ∈

{

r R rx=0 untuk setiap _M x∈X

}

.

Contoh E4.38

Diketahui ring 8 merupakan modul atas ring dan X =

{

2 8 , 6 8+ +

}

maka

( )

(21)

Lemma E4.39

Diberikan M R-Modul dan X ⊆M , maka ann X

( )

merupakan ideal kiri di R.

Bukti.

Diambil sebarang a b, ∈ann

( )

X , maka ax=bx=0M untuk setiap x∈X . Dengan demikian

(

a b x−

)

=ax bx− =0_M −0_M =0_M untuk setiap x∈X . Sehingga diperoleh a b− ∈ann

( )

X . Diambil sebarang r R∈ , diperhatikan bahwa

( )

ra x=r ax

( )

=r0M =0M untuk setiap x∈X dan dengan demikian ra∈ann

( )

X . Jadi, ann X

( )

merupakan ideal kiri di R.

Akibat E4.40

Diberikan M R-Modul dan X ⊆M. Jika R ring komutatif, maka ann X

( )

merupakan ideal kiri sekaligus ideal kanan di R.

Untuk selanjutnya, ideal yang dimaksud pada tulisan ini merupakan ideal kiri yang juga merupakan ideal kanan.

4. Pembangun Submodul dan Modul Bebas

Apabila diketahui X merupakan suatu himpunan bagian dari M R-Modul, maka dapat dibentuk suatu submodul dari M yang dibangun oleh X. Submodul tersebut merupakan submodul terkecil dari M yang memuat X. Definisi berikut menyatakan hal tersebut.

Definisi E4.41 (Submodul yang Dibangun oleh X)

Diketahui M R-Modul dan X ⊆M . Submodul N merupakan submodul yang dibangun oleh X jika dan hanya jika

I

N I

∈

=

_∩

I

dengan I =

{

I submodul dari M X ⊆I

}

.

(22)

Contoh E4.42

Pada -Modul, dipilih himpunan X =

{

2, 4,6

}

⊂ . Karena submodul pada berbentuk n maka submodul-submodul dari yang memuat X adalah 2 dan sendiri, dengan demikian I =

{

2 ,

}

. Sehingga submodul yang dibangun oleh X adalah 2 ∩ =2 .

Teorema E4.43

Diketahui M R-Modul. Jika H dan K merupakan sebarang submodul dari M maka H+ K merupakan submodul terkecil yang memuat submodul H dan K.

Bukti.

Pada Teorema E4.12 telah dinyatakan bahwa H K+ merupakan submodul dari M. Diperhatikan bahwa untuk sebarang h∈H dapat dipilih k =0_M sehingga h= +h 0_M = + ∈ + dan h k H K

dengan demikian H ⊆H+ . Dengan cara yang serupa dapat pula ditunjukkan bahwa K K ⊆H+ dan dengan demikian berlaku HK ∪ ⊆K H + . K

Andaikan ada submodul S dengan H∪ ⊆ . Karena ,K S H K⊆H∪ akibatnya HK ⊆ dan S K ⊆ . Karena S merupakan submodul, maka untuk setiap S h∈H dan k∈K berlaku h+ ∈k S. Dengan kata lain H K+ ⊆ . S

Jadi, terbukti bahwa H K+ merupakan submodul terkecil yang memuat submodul H dan K.

Akibat E4.44

Diketahui M R-Modul. Jika H dan K merupakan sebarang submodul dari M maka

H∪K =H+K.

Teorema E4.45

Diketahui M R-Modul, jika X = ∅ maka X =

{ }

0_M . Bukti.

Diperhatikan bahwa untuk setiap himpunan bagian N ⊆M , maka ∅ ⊆ . Dengan demikian N

(23)

dari M selalu memuat elemen 0_M, akibatnya 0_M I

I

∈

_∩

I

dan dengan demikian berlaku

{ }

{ }0

{ }

0 0 M M M I X I ∈ − ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = ∅ = ∩_⎨ _⎬= ⎪ ⎪ ⎩ I

∩

⎭ . Teorema E4.46

Diketahui M R-Modul dan X ⊆M dengan X ≠ ∅, maka berlaku

1 , , dan n i i i i i X r x n r R x X = ⎧ ⎫ =_⎨ ∈ ∈ ∈ _⎬ ⎩

∑

⎭. Bukti. Misalkan 1 , , dan n i i i i i K r x n r R x X = ⎧ ⎫ =_⎨ ∈ ∈ ∈ _⎬

⎩

∑

⎭. Akan ditunjukkan bahwa K merupakan

submodul dari M . Diambil sebarang ,a b∈ , maka K

1 n i i i a r x = =

∑

dan 1 m i i i b s y = =

∑

untuk suatu , i i

r s ∈ dan ,R x y_i _i∈ . Diperhatikan bahwa X

1 1 1 n m n m i i i i j j i i j a b r x s y k z + = = = − =

∑

−

∑

=

∑

dengan 1 1 j j j n r j n k s ₋ n j m ≤ ≤ ⎧ = ⎨ _{+ ≤ ≤} ⎩ dan 1 1 j j j n x j n z y ₋ n j m ≤ ≤ ⎧ = ⎨ _{+ ≤ ≤} ⎩ . Sehingga diperoleh 1 n m j j j a b k z K + = − =

∑

∈ .

Selanjutnya, diambil sebarang r R∈ dan diperhatikan bahwa

( )

1 1 n n i i i i i i ra r r x rr x K = = ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟= ∈ ⎝

∑

⎠

∑

.

Jadi, menurut Teorema E4.11 terbukti bahwa K merupakan submodul dari M. Karena X ⊆K

dan X merupakan submodul terkecil yang memuat X, berakibat X ⊆K.

Karena X merupakan submodul terkecil yang memuat X, maka X ⊆ X . Dengan demikian untuk setiap r R∈ dan x∈X berlaku rx∈ X . Akibatnya a b, ∈ X dan dengan demikian

K ⊆ X .

(24)

Definisi E4.47 (Modul Siklik)

Diketahui M R-Modul. Jika terdapat a∈M sehingga a =M maka modul M disebut modul siklik.

Contoh E4.48

− Modul merupakan modul siklik karena 1 = .

Lemma E4.49

Diketahui M R-Modul siklik dan M = a untuk suatu a∈M , maka M ≅R ann

( )

a .

Bukti.

Dibentuk pemetaan : Rφ →M dengan definisi φ

( )

r =ra. Pemetaan φ tersebut merupakan homomorfisma modul yang surjektif dan jelas bahwa ker

( )

φ =ann a

( )

. Jadi, menurut Teorema Utama Homomorfisma Modul 1, berlaku M ≅R ann

( )

a .

Definisi E4.50 (Rank Modul yang Dibangun Secara Berhingga)

Diketahui M R-Modul dan M = X untuk suatu X ⊆M . Jika X herupakan himpunan berhingga maka modul M dikatakan dibangun secara berhingga dan rank dari M merupakan banyaknya elemen dari himpunan pembangun M yang terkecil. Notasi μ

( )

M untuk selanjutnya menyatakan rank dari M.

Definisi E4.51 (Rank Modul yang Tidak Dibangun Secara Berhingga)

Diketahui M R-Modul dan M = X untuk suatu X ⊆M. Jika X herupakan himpunan tak berhingga maka μ

( )

M = ∞.

(25)

Akibat E4.52

Diketahui M R-Modul , maka sifat-sifat berikut berlaku:

1. Jika M =

{ }

0M , maka μ

( )

M =0

2. M merupakan modul siklik jika dan hanya jika μ

( )

M =1.

Lemma E4.53

Diketahui M R-Modul dan N sebarang submodul dari M. Jika M dibangun secara berhingga, maka modul M N juga dibangun secara berhingga dan μ

(

M N

)

≤μ

( )

M .

Bukti.

Misalkan M = X dengan X =

{

x1,...,xk

}

⊆M sebagai himpuan pembangun terkecil. Diambil sebarang y∈M N, maka y a N= + untuk suatu a∈M . Karena M = X , dengan demikian terdapat n∈ sehingga 1 n i i i a r x =

=

∑

untuk suatu r_i∈ dan R x_i∈ . Akibatnya berlaku X

( )

(

1 1

)

(

)

1

(

1

)

(

)

1 n i i n n n n i y a N r x N r x N r x N r x N r x N = ⎛ ⎞ = + =_⎜ _⎟+ = + + + + = + + + + ⎝

∑

⎠ .

Jadi, modul M N dibangun secara berhingga.

Misalkan μ

(

M N

)

>μ

( )

M dan dengan demikian M N =

{

y1+N,...,ys+N

}

dengan s>k sebagai himpunan pembangun terkecil. Dibentuk elemen

(

1

)

(

s

) (

1 s

)

a+N = y +N + + y +N = y + +y +N. Dengan demikian diperoleh

1 s

a= y + + ∈y M = X . Karena X merupakan himpunan pembangun terkecil dan s>k maka terdapat himpunan Y'⊂

{

y₁,...,y_s

}

sehingga

{

y₁,...,y_s

}

−Y'=

{

y' ,..., '₁ y _k

}

= X =

{

x₁,...,x_k

}

. Akibatnya a= y'₁+ +y'_k∈M = X dan dengan demikian a+N =

(

y'₁+ +y'_k

)

+N. Muncul kontradiksi dengan

{

y1+N,...,ys+N

}

sebagai himpunan pembangun terkecil.

(26)

Lemma E4.54

Diketahui M R-Modul dan N sebarang submodul dari M. Jika M N dan N dibangun secara berhingga, maka modul M juga dibangun secara berhingga dan μ

( )

M ≤μ

( )

N +μ

(

M N

)

.

Bukti.

Misalkan X =

{

x1,...,xk

}

⊆N merupakan himpunan pembangun terkecil untuk N, sehingga X =N . Dibentuk φ: M →M N sebagai homomorfisma surjektif dengan φ

( )

a = +a N untuk setiap a∈M . Dipilih Y =

{

y₁,...,y_s

}

⊆M , sehingga Y'=

{

φ

( )

y₁ ,...,φ

( )

y_s

}

merupakan himpunan pembangun terkecil untuk M N. Akan ditunjukkan bahwa X ∪Y =M dan dengan demikian μ

( )

M ≤ + =k s μ

( )

N +μ

(

M N

)

.

Diambil sebarang a∈M dan dengan demikian a+ ∈N M N. Karena Y' =M N, maka

( )

a a N r1

( )

y1 rs

( )

ys

φ = + = φ + + φ untuk suatu ri∈ . Karena R φ homomorfisma surjektif, diperoleh r₁φ

( )

y₁ + +r_sφ

( )

y_s =φ

(

r y_{1 1}+ +r y_s _s

)

dan dengan demikian

( )

a

(

r y1 1 r ys s

)

φ =φ + + . Diperhatikan juga bahwa r y_{1 1}+ +r y_s _s∈ Y . Karena

( )

a

(

r y1 1 r ys s

)

φ =φ + + , akibatnya φ

(

a−

(

r y1 1+ +r ys s

)

= +0 N atau dengan kata lain

(

1 1 s s

)

ker

( )

a− r y + +r y ∈ φ ⊆N = X .

Jadi, karena a=

{

a−

(

r y_{1 1}+ +r y_s _s

)

}

+

(

r y_{1 1}+ +r y_s _s

)

∈ X ∪Y , maka diperoleh M ⊆ X∪Y . Jelas bahwa X ∪Y ⊆M , dan dengan demikian diperoleh M = X ∪Y .

Tidak setiap modul memiliki himpunan pembangun. Jika suatu modul memiliki himpunan pembangun, maka terdapat sifat pada himpunan pembangun tertentu yang disebut dengan basis. Berikut akan diberikan pengertian mengenai basis dan modul bebas.

Definisi E4.55 (Bebas Linear)

Diketahui M R-Modul dan X ⊆M . Himpunan X dikatakan bebas linear jika dan hanya jika untuk setiap n∈ , untuk setiap r_i∈ dan R x_i∈ dengan X 1 i n≤ ≤ , jika r x_{1 1}+ +r x_i _i =0_M berakibat r₁ = = =r_i 0_R.

(27)

Definisi E4.56 (Basis)

Diketahui M R-Modul dan X ⊆M . Himpunan X dikatakan basis untuk M jika dan hanya jika memenuhi dua syarat berikut:

1. M = X

2. X bebas linear.

Definisi E4.57 (Modul Bebas)

Diketahui M R-Modul. Jika terdapat X ⊆M dengan X merupakan basis untuk M, maka M disebut modul bebas.

Contoh E4.58

8 8 −Modul merupakan modul siklik karena 1 8+ = 8 dan dengan demikian 8 merupakan modul bebas. Namun 8 − Modul bukan modul bebas, karena untuk sebarang X ⊆ 8 selalu dapat dipilih r= ∈8 sehingga 0 8

x X

rx

∈

= +

∑

. Jadi, setiap himpunan bagian pada 8 selain

{ }

0 tidak bebas linear dan dengan demikian 8

− Modul tidak memiliki basis.

Lemma E4.59

Diketahui M R-Modul. Jika M modul bebas dan R daerah integral, maka M modul bebas torsi.

Bukti.

Karena M modul bebas, maka M memiliki basis. Misalkan X merupakan basis untuk M dan M T merupakan himpunan elemen torsi pada M. Diambil sebarang x∈M_T dan dengan demikian

0M

rx= untuk suatu r∈ −R

{ }

0R . Karena x∈MT ⊆M , maka i i i x X x r x ∈ =

∑

untuk suatu ri∈ . R

Dengan demikian diperoleh

( )

0

i i i i i i M x X x X rx r r x rr x ∈ ∈ ⎛ ⎞ = _⎜ _⎟= =

⎝

∑

⎠

∑

. Karena X merupakan basis, maka diperoleh 0rr_i = _R untuk setiap r_i∈ . Karena R daerah integral dan R r≠0_R, maka diperoleh

0 i r = . Akibatnya 0 0 i i i i R i M x X x X x r x x ∈ ∈

(28)

(

x1,...,xn

) (

, y1,...,yn

)

∈M1× ×Mn 5. Jumlahan Langsung

Konsep jumlahan langsung (direct sum) merupakan suatu konsep untuk membentuk suatu

modul yang “lebih luas” dari beberapa modul yang diberikan. Modul-modul tersebut akan isomorfis dengan suatu submodul pada modul yang “lebih luas” tersebut.

Definisi E4.60 (Jumlahan Langsung)

Diketahui M₁,...,M untuk suatu _n n∈ merupakan modul-modul atas R, maka produk Cartesian M₁× ×M_n juga merupakan modul atas R dengan operasi:

1.

(

x₁,...,x_n

) (

+ y₁,...,y_n

) (

= x₁+y₁,...,x_n+y_n

)

, untuk setiap

2. r x

(

1,...,xn

) (

= rx1,...,rxn

)

, untuk setiap

(

x1,...,xn

)

∈M1× ×Mn dan r∈ . R

Modul M₁× ×M_n disebut jumlahan langsung dari modul M₁,...,M dan dinotasikan _n

1 n M ⊕ ⊕M atau 1 n i i= M ⊕ . Lemma E4.61

Diketahui M₁,...,M untuk suatu n n∈ merupakan modul-modul atas R , maka pemetaan

1 : n k k i i M M φ = → ⊕ dengan

( ) (

₁ ₁ ₁

) (

)

1 ,..., , , ,..., 0,...,0, ,0,...,0 n k k k k n i i a x x x x x a M φ ₋ ₊ = = = ∈⊕ merupakan isomorfisma modul. Teorema E4.62

Diketahui M R-Modul dan N₁,...,N untuk suatu _n n∈ merupakan submodul-submodul dari M. Jika dipenuhi syarat:

1. M =N₁+ +Nn

2. Untuk setiap 1 i n≤ ≤ , berlaku N_i∩

{

N₁+ +N_i₋₁+N_i₊₁+ +N_n

} { }

= 0_M , maka 1 n i i M N = ≅ ⊕ .

(29)

Bukti.

Dibentuk pemetaan :f_i N_i →M dengan f a_i

( )

=a untuk setiap a∈N_i. Dibentuk juga

pemetaan 1 : n _i i f N M = ⊕ → dengan

(

₁

)

( )

1 ,..., _n n _i _i i f x x f x = =

∑

untuk setiap

(

₁

)

1 ,..., _n n _i i x x N = ∈⊕ . Karena 1 n

M =N + +N dengan demikian f merupakan pemetaan surjektif. Diperhatikan juga bahwa f

dan f merupakan homomorfisma modul. _i

Selanjutnya, diambil sebarang

(

x₁,...,xn

)

∈ker

( )

f maka berlaku

(

1

)

( )

1 1 ,..., 0 n n i i n M i f x x f x x x =

=

∑

= + + = . Sehingga untuk 1 i n≤ ≤ diperoleh,

(

1 1 1

)

i i i n

x = − x + +x₋ +x₊ + +x dan dengan demikian

{

1 1 1

}

i i i i n

x ∈N ∩ N + +N₋ +N₊ + +N . Karena Ni∩

{

N₁+ +Ni−₁+Ni+₁+ +Nn

} { }

= 0M , maka diperoleh x_i =0_M untuk setiap 1 i n≤ ≤ . Dengan demikian ker

( ) (

f =

{

0 ,...,0_M _M

)

}

. Sehingga sejalan dengan Lemma E3.6, homomorfisma modul f injektif.

Jadi, karena f homomorfisma modul yang surjektif sekaligus injektif, maka f merupakan isomorfisma modul dan berlaku

1 n i i M N = ≅ ⊕ .

Definisi E4.63 (Komplemen)

Diketahui M R-Modul dan K submodul dari M. Submodul K dikatakan komplemen pada M jika dan hanya jika terdapat submodul H dari M sehingga K⊕H ≅M.

Contoh E4.64

Pada 6 sebagai modul atas dirinya sendiri, submodul K =

{

0 6 , 2 6 , 4 6+ + +

}

merupakan komplemen pada 6 , karena dapat dipilih submodul H =

{

0 6 , 3 6+ +

}

sehingga:

1. K+H = 6 2. K∩H =

{

0 6+

}

.

(30)

6. Barisan Eksak

Untuk suatu koleksi submodul N₁,...,N dari M R-Modul, dapat dibentuk suatu barisan _n

yang disebut dengan barisan eksak. Barisan tersebut dinamakan barisan eksak dan memiliki sifat penting di teori modul, salah satunya pada pembahasan mengenai modul proyektif.

Definisi E4.65 (Barisan Eksak)

Diketahui M R-Modul dan

{

N i_i ∈ merupakan koleksi submodul dari M. Diketahui juga I

}

f _i merupakan homomorfisma dari Ni−₁ ke N . Barisan dari R-Modul dan homomorfisma fi i

dikatakan eksak pada Ni jika dan hanya jika image

( )

fi =ker

( )

fi+1 . Barisan tersebut dikatakan

barisan eksak jika eksak pada setiap Ni.

Definisi E4.66 (Barisan Pendek)

Diketahui M R-Modul serta N dan ₁ N merupakan submodul dari M, maka barisan ₂

disebut barisan pendek dengan f dan g merupakan homomorfisma modul.

Dari barisan pendek dapat diturunkan tiga sifat sebagai berikut. Teorema E4.67

Barisan

eksak di N jika dan hanya jika homomorfisma modul f injektif. ₁

Bukti.

( )

⇒

Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul φ yang mungkin dari

{ }

0M ke N 1

adalah φ

( )

0_M =0_M. Karena barisan tersebut eksak di N1, maka image

( )

φ =ker f

( )

. Karena

Ni-1 Ni Ni+1 … … fi fi+1 N1 f M g N2

{ }

0_M

{ }

0_M N1 f M

{ }

0_M