Barisan Eksak

Untuk suatu koleksi submodul N₁,...,N dari M R-Modul, dapat dibentuk suatu barisan _n

yang disebut dengan barisan eksak. Barisan tersebut dinamakan barisan eksak dan memiliki sifat penting di teori modul, salah satunya pada pembahasan mengenai modul proyektif.

Definisi E4.65 (Barisan Eksak)

Diketahui M R-Modul dan

{

N ii ∈ merupakan koleksi submodul dari M. Diketahui juga I

}

f _i merupakan homomorfisma dari N_i−1 ke N . Barisan dari R-Modul dan homomorfisma f_i i

dikatakan eksak pada N_i jika dan hanya jika image

( )

f_i =ker

( )

f_i+1 . Barisan tersebut dikatakan barisan eksak jika eksak pada setiap Ni.

Definisi E4.66 (Barisan Pendek)

Diketahui M R-Modul serta N dan ₁ N merupakan submodul dari M, maka barisan ₂

disebut barisan pendek dengan f dan g merupakan homomorfisma modul.

Dari barisan pendek dapat diturunkan tiga sifat sebagai berikut. Teorema E4.67

Barisan

eksak di N jika dan hanya jika homomorfisma modul f injektif. ₁

Bukti.

( )

⇒

Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul φ yang mungkin dari

{ }

0_M ke N ₁

adalah φ

( )

0_M =0_M. Karena barisan tersebut eksak di N1, maka image

( )

φ =ker f

( )

. Karena

Ni-1 Ni Ni+1 … … ^fi f_i+1 N1 f M g N2

{ }

0_M

{ }

0_M N1 ^f M

{ }

0_M

Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.

http://wijna.web.ugm.ac.id 31

( ) { }

image φ = 0_M , maka ker

( ) { }

f = 0_M . Sehingga sejalan dengan Lemma E3.6, berakibat homomorfisma modul f injektif.

( )

⇐

Karena homomorfisma modul f injektif, maka sejalan dengan Lemma E3.6 berakibat

( ) { }

ker f = 0_M . Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul φ yang mungkin dari

{ }

0_M ke N adalah ₁ φ

( )

0_M =0_M. Karena image

( ) { }

φ = 0_M =ker

( )

f , maka barisan tersebut eksak di N . ₁

Teorema E4.68

Barisan

eksak di N jika dan hanya jika homomorfisma modul g surjektif. ₂

Bukti.

( )

⇒

Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul ψ yang mungkin dari N ke ₂

{ }

0_M adalah ψ

( )

a =0_M untuk setiap a∈N₂. Karena barisan tersebut eksak di N2, maka

( ) ( )

image g =ker ψ . Karena ker

( )

ψ =N2, maka image g

( )

=N2 dan dengan demikian

homomorfisma modul g surjektif.

( )

⇐

Karena homomorfisma modul g surjektif, maka image g

( )

=N2. Diperhatikan bahwa satu-satunya homomorfisma modul ψ yang mungkin dari N ke ₂

{ }

0_M adalah ψ

( )

a =0_M untuk setiap a∈N₂. Karena image

( )

g =N2 =ker

( )

ψ , maka barisan tersebut eksak di N . ₂

Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.

http://wijna.web.ugm.ac.id 32

Teorema E4.69

Barisan pendek

merupakan barisan eksak jika dan hanya jika homomorfisma modul f injektif, g surjektif, dan

( ) ( )

image f =ker g . Lebih lanjut, menurut Teorema Utama Homomorfisma Modul 1, berlaku

( )

2 ^Mimage N f ≅ . Contoh E4.70 Barisan

merupakan barisan eksak pendek dengan f a

(

+3

)

=2a+3 dan g b

(

+6

) (

= bmod 2

)

+2 untuk setiap a+3 ∈ 3 dan b+6 ∈ 6 . Sesuai Teorema Utama Homomorfisma Modul 1 dan 3, berlaku 2 ≅ ⁶ _{2 6} .

Definisi E4.71 (Barisan Eksak Terpisah)

Diketahui M R-Modul, maka barisan eksak pendek dikatakan barisan eksak terpisah jika dan hanya jika image

( )

f =ker

( )

g merupakan komplemen pada M.

Contoh E4.72

Pada Contoh E4.70 diketahui image

( )

f =ker

( )

g =2 6 =

{

0 6 , 2 6 , 4 6+ + +

}

. Sehingga menurut Contoh E4.64, barisan eksak pendek pada Contoh E4.70 merupakan barisan eksak terpisah.

N1 f M g N2

{ }

0_M

{ }

0_M

f g

Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.

http://wijna.web.ugm.ac.id 33

Selanjutnya, didefinisikan pemetaan identitas 1 :_M M →M dengan 1_M

( )

a =a untuk setiap a∈M . Pemetaan identitas tersebut jelas merupakan homomorfisma modul dan dapat diturunkan sifat barisan eksak terpisah. Sebelumnya diberikan lemma mengenai pemetaan berikut.

Lemma E4.73

Diketahui A dan B sebarang himpunan dan pemetaan f A: → , maka B

1. Jika terdapat pemetaan h B: →A dengan

(

h f

)

=1_A maka pemetaan h surjektif

2. Jika terdapat pemetaan k B: →A dengan

(

f k

)

=1_A maka pemetaan k injektif.

Bukti.

Untuk sebarang a∈A jelas bahwa f a

( )

∈f A

( )

⊆B. Dengan demikian untuk sebarang a∈A dapat dipilih y= f a

( )

∈B sehingga h y

( )

=h f a

( ( ))

=

(

h f

)( )

a =1_A

( )

a =a. Jadi, pemetaan h surjektif.

Selanjutnya, diambil sebarang b b₁, ₂∈ dengan B k b

( )

1 =k b

( )

2 . Diperhatikan untuk

( )

1

x=k b ∈A, maka diperoleh f x

( )

= f k b

( ( )

1

)

= f k b

( ( )

2

)

. Karena

( ) ( ( )

1

) ( )( )

1 1_A

( )

1 1

f x = f k b = f k b = b =b maka diperoleh f k b

( ( )

1

)

= f k b

( ( )

2

)

=b1. Dengan cara yang serupa, untuk x=k b

( )

2 ∈A diperoleh juga f k b

( ( )

2

)

= f k b

( ( )

1

)

=b2. Jadi, diperoleh

1 2

Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.

http://wijna.web.ugm.ac.id 34

Teorema E4.74

Diketahui M R-Modul, N dan ₁ N merupakan submodul dari M, serta f dan g keduanya ₂ merupakan homomorfisma modul. Jika barisan pendek

merupakan barisan eksak maka tiga pernyataan dibawah ini ekuivalen:

1. Terdapat homomorfisma modul α: M →N₁ sehingga

(

α f

)

=1_N1 2. Terdapat homomorfisma modul β: N₂ →M sehingga

(

g β

)

=1_N2 3. Barisan pendek tersebut merupakan barisan eksak terpisah dan

( ) ( )

( ) ( )

1 2 image ker image ker . M f g N N α β ≅ ⊕ ≅ ⊕ ≅ ⊕ Bukti.

(

1⇒2

)

Sebelumnya akan ditunjukkan terlebih dahulu bahwa ker

( )

α ∩image

( ) { }

f = 0 . Diambil sebarang x∈ker

( )

α ∩image

( )

f . Karenax∈ker

( )

α , maka α

( )

x =0_M dan karena

( )

image

x∈ f , maka x= f a

( )

untuk suatu a∈N₁. Dengan demikian

( ) ( ( )) ( )( )

₁

( )

0_M =α x =α f a = α f a =1_N a =a. Karena f homomorfisma modul, maka

( ) ( )

0_M 0_M

x= f a = f = dan dengan demikian ker

( )

α ∩image

( ) { }

f = 0 .

Dibentuk pemetaan β: N₂ →M , dengan β

( )

x = −z

(

f α

)( )

z untuk setiap x∈N₂ dan

( )

g z =x untuk suatu z M∈ (karena g surjektif). Akan ditunjukkan bahwa β merupakan homomorfisma modul yang dimaksud. Akan ditunjukkan bahwa pemetaan β terdefinisi dengan baik. Diambil sebarang x y, ∈N₂ dengan x= . Karena, pemetaan y g M: →N₂ surjektif, maka terdapat a b, ∈M dengan x=g a

( )

dan y=g b

( )

. Karena x= , maka y

( ) ( ) ( )

0_M

g a =g b ⇔ g a b− = dan dengan demikian a b− ∈ker

( )

g . Karena barisan tersebut eksak, maka a b− ∈ker

( )

g =image

( )

f .

N1 f M g N2

Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.

http://wijna.web.ugm.ac.id 35

Dengan demikian diperoleh:

( ) ( ) ( ( )( )) ( ( )( ))

( ) (( )( ))

x y a f a b f b a b f b a β β α α α − = − − − = − + −

Diperhatikan, bahwa

(

a b− +

) (

f α

)(

b a− ∈

)

ker

( )

α , karena

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ( ))( )

( ) ( ) (( ))

( ) ( ( ))

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 0 . N M a b f b a a b f b a a b f b a a b b a a b b a a b b a α α α α α α α α α α α α α α α α − + − = − + − = − + − = − + − = − + − = − + − =

Diperhatikan juga bahwa

(

a b− +

) (

f α

)(

b a− ∈

)

image

( )

f , dan dengan demikian

(

a b− +

) (

f α

)(

b a− ∈

)

image

( )

f .

Akibatnya, β

( )

x −β

( ) (

y = a b− +

) (

f α

)(

b a− ∈

)

ker

( )

α ∩image

( ) { }

f = 0 .

Jadi, diperoleh β

( )

x =β

( )

y dan dengan demikian pemetaan β terdefinisi dengan baik.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa β merupakan homomorfisma modul. Diambil sebarang

2

,

x y∈N . Karena, pemetaan g M: →N₂ surjektif, maka terdapat ,a b∈M dengan x=g a

( )

dan y=g b

( )

. Karena g homomorfisma maka diperoleh x+ =y g a

( )

+g b

( )

=g a b

(

+

)

dan dengan demikian

( )

x

( ) (

y a b

) (

f

)(

b a

) (

x y

)

β +β = + − α + =β + . Untuk sebarang r R∈ , diperoleh

( ) ( )( ) ( )( ) ( ( )( )) ( )

rβ x =ra+ f α ra =ra−r f α a =r a− f α a =rβ x . Jadi, terbukti bahwa β merupakan homomorfisma modul.

Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.

http://wijna.web.ugm.ac.id 36

Terakhir, akan dibuktikan bahwa

(

g β

)

=1_N2. Untuk sebarang x∈N₂, karena g M: →N₂

surjektif, maka terdapat a∈M dengan x=g a

( )

. Dengan demikian diperoleh

(

g β

)( )

x =g a

(

−

(

f α

)( )

a

)

=g a

( )

−

(

g

(

f α

))( )

a . Diperhatikan, karena

(

f α

)( )

a = f

(

α

( )

a

)

∈image

( )

f dan image

( )

f =ker

( )

g , maka

(

g

(

f α

))( )

a =0_M. Jadi, diperoleh

(

g β

)( )

x =g a

( )

−0_M =g a

( )

=x atau dengan kata lain

(

g β

)

=1_N2.

(

2⇒3

)

Dari pembuktian bagian

(

1⇒2

)

telah diketahui bahwa ker

( )

α ∩image

( ) { }

f = 0 . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa M =ker

( )

α +image

( )

f . Diketahui terdapat homomorfisma modul

1

: M N

α → sehingga

(

α f

)

=1_N1. Diambil sebarang x∈M dan dengan demikian

( )

( )

(

x f x

) ( )

x

(

f

( ( )

x

)) ( ) (

x f

) ( )(

x

)

α − α =α −α α =α − α α .

Karena

(

α f

)

=1_N1, akibatnya

(

α f

) ( )(

α x

)

=1_N1

(

α

( )

x

)

=α

( )

x dan dengan demikian

( )

( )

(

x f x

) ( ) (

x f

) ( )(

x

) ( )

x

( )

x 0_M

α − α =α − α α =α −α = . Jadi, diperoleh x−

(

f α

)( )

x ∈ker

( )

α .

Karena x=

(

x−

(

f α

)( )

x

)

+

(

f α

)( )

x dan

(

f α

)( )

x ∈image

( )

f , maka diperoleh

( ) ( )

ker image

x∈ α + f dan dengan demikian berlaku M ⊆ker

( )

α +image

( )

f . Karena

( )

ker α ⊆M dan image f

( )

⊆M , akibatnya ker

( )

α +image f

( )

⊆M .

Jadi, karena berlaku M ⊆ker

( )

α +image

( )

f dan ker

( )

α +image f

( )

⊆M , akibatnya

( ) ( )

ker image

Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.

http://wijna.web.ugm.ac.id 37

Diperhatikan bahwa karena f pemetaan injektif akibatnya image f

( )

isomorfis dengan domainnya, yaitu N . Karena ₁ β merupakan pemetaan injektif akibatnya image

( )

β isomorfis dengan domainnya, yaitu N . Dengan demikian berlaku ₂

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

image ker image image

M ≅ f ⊕ α = f ⊕ β ≅N ⊕N .

(

3⇒1

)

Diketahui baris eksak tersebut merupakan barisan eksak terpisah dan berlaku M ≅N₁⊕N₂. Karena M ≅N₁⊕N₂, maka terdapat isomorfisma modul φ dari M ke N₁⊕N₂. Dengan demikian, untuk setiap x∈M , selalu terdapat

(

n n1, 2

)

∈N1⊕N2 dengan x=φ

((

n n1, 2

))

. Dibentuk pemetaan α: M →N₁ dengan α

( )

x =n1.

Akan dibuktikan pemetaan tersebut terdefinisi dengan baik. Diambil sebarang ,x y∈M dengan

x= . Karena y M ≅N₁⊕N₂, maka terdapat n n₁, ₃∈N₁ dan n n₂, ₄∈N₂ sehingga x=φ

((

n n1, 2

))

dan y=φ

((

n n3, 4

))

. Karena x= , berakibat y φ

((

n n1, 2

))

=φ

((

n n3, 4

))

atau dengan kata lain

(

n1−n n3, 2−n4

)

∈ker

( )

φ . Karena φ isomorfisma, maka φ merupakan pemetaan injektif dan sejalan dengan Teorema E3.6 berakibat ker

( ) ( )

φ =

{

0, 0

}

. Sehingga diperoleh

(

n1−n n3, 2−n4

) ( ) (

= 0, 0 ⇔ n n1, 2

) (

= n n3, 4

)

dan dengan demikian α

( )

x =n1=n3 =α

( )

y . Jadi, pemetaan α terdefinisi dengan baik. Pemetaan α jelas merupakan homomorfisma modul dan berlaku

(

α f

)( )

a =a untuk setiap a∈N₁ atau dengan kata lain

(

α f

)

=1_N1.

Struktur Aljabar – Pengantar Teori Modul © Wijna 2009.

http://wijna.web.ugm.ac.id 38

f ^g

Diperhatikan bahwa dari Teorema E4.74 dapat dibentuk diagram seperti dibawah ini

Pemetaan φ φ φ₁, , ,dan,_{2 3} φ₄ seluruhnya merupakan pemetaan nol (zero mapping), yaitu pemetaan yang memetakan setiap elemen domain ke 0_M. Pemetaan nol tersebut merupakan homomorfisma. Lebih lanjut, φ₁ dan φ₃ merupakan pemetaan injektif serta φ₂ dan φ₄ merupakan pemetaan surjektif. N1 M N2

{ }

0_M

{ }

0_M N1 M N2 1 φ 3 φ 2 φ 4 φ α β