Kuis “Selamat Datang” MA4183 Model Risiko “Forecast, assess, and control your risk” Tanggal 22 Agustus 2015, Waktu: “suka-suka” menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi berikut:
F (x) = 0, x < 0 1 3 + x 5, 0≤ x < 1 3 5, 1≤ x < 2 9 10, 2≤ x < 3 1, x≥ 3
(a) Gambarkan grafik fungsi distribusi F (x) (b) Tentukan fungsi peluang dari X.
Kuis 1 MA4183 Model Risiko
“Forecast, assess, and control your risk” Tanggal 29 Agustus 2015, Waktu: “suka-suka” menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
1. Misalkan X peubah acak dengan fungsi laju kegagalan h(x) = (K +exp(2x)) untuk x≥ 0. Diketahui nilai fungsi kesintasan 0.5 di x = 0.4 atau SX(0.4) = 0.5.
Tentukan K.
2. Untuk suatu perubah acak X, diketahui nilai parameter sebagai berikut:
µ = 2; σ/µ = 2; µ′3 = 136.
Hitung kemencengan (skewness) γ1.
3. Diketahui: bF (400) = 0.2; bF (800) = 0.7; bF (1600) = 0.1. Hitung kemencengan empirisnya.
4. Misalkan X memiliki fungsi distribusi (fd) F (x) = (1− 1/x2) untuk x≥ 1.
“Bocoran” Ujian 1 MA4183 Model Risiko
“Forecast, assess, and control your risk” Tanggal 9 September 2015, Waktu: 100 menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
1. Sebuah studi dilakukan untuk memonitor kesehatan dua kelompok yang independen (berisi masing-masing 10 pemegang polis) selama periode waktu satu tahun. Setiap indi-vidu atau partisipan akan keluar (mengundurkan diri) dari studi tersebut dengan peluang 0.2, saling bebas antar individu. Hitung peluang bahwa setidaknya 9 partisipan, pada satu kelompok dan bukan kedua kelompok, ikut dalam studi tersebut hingga akhir.
2. Di suatu kantor, 40% pegawainya tidak memiliki mobil dan tidak mengendarai mobil. Pada (pegawai) yang lainnya, banyaknya kecelakaan yang dialami mengikuti distribusi Poisson dengan λ = 0.07. Misalkan T menyatakan total banyaknya kecelakaan dari 100 pegawai yang dipilih secara acak. Hitung V ar(T ).
3. Banyak klaim untuk setiap risiko dalam suatu kelompok risiko mengikuti distribusi Pois-son. Banyak risiko (yang diharapkan) di kelompok risiko tersebut yang tidak mengajukan klaim adalah 96. Banyak risiko (yang diharapkan) di kelompok risiko tersebut yang men-gajukan dua klaim adalah 3. Tentukan banyaknya risiko di kelompok tersebut yang memiliki 4 klaim.
4. Misalkan Xi, i = 1, 2 peubah acak-peubah acak geometrik dengan parameter α.
Tentukan distribusi X1, diberikan X1+ X2 = k. Hitung E(X1|X1+ X2 = k).
5. Misalkan N menyatakan banyak klaim yang masuk. Data yang tersedia adalah:
n 0 1 2 3 4
P (N = n) 0.35 0.25 0.20 0.15 0.05 Tentukan fungsi pembangkit peluang GN(s).
6. Pada peubah acak berdistribusi modifikasi-nol Poisson (zero-modified Poisson), diketahui: fmod(2) = 0.273, fmod(3) = 0.127. Hitung fmod(0).
Ujian 1 MA4183 Model Risiko
“Forecast, assess, and control your risk” Tanggal 9 September 2015, Waktu: 100 menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
• Pilih dan kerjakan HANYA 5 soal dari 8 soal yang tersedia. • Nilai setiap soal adalah 5.
1. Kegagalan bisnis dapat terjadi karena risiko pasar, risiko kredit, dan risiko operasional; kontribusinya berturut-turut, adalah 30%, 20% dan 50%. Misalkan banyak kegagalan bisnis yang terjadi setiap tahun adalah peubah acak Poisson dengan mean 4.2. Tentukan peluang satu kegagalan bisnis terjadi karena risiko pasar, diberikan terdapat empat kega-galan bisnis pada suatu tahun.
2. Tentukan hubungan antara fungsi pembangkit peluang peubah acak berdistribusi modifikasi-nol (zero-modified distribution) dan tak-bernilai-modifikasi-nol (zero-truncated distribution).
3. Misalkan X kerugian acak dengan fungsi peluang P (X = x) = (1− θ)xθ, x = 0, 1, 2, . . ..
Misalkan N peubah acak modifikasi nol dari ditribusi untuk peubah acak X. Diketahui E(N ) = 3, V ar(N ) = 54. Hitung P (N = 0).
4. Diketahui N ∼ P OI(1.3). Hitung E(N − j)+ untuk j = 1, 2.
Petunjuk: (N− j)+ = n− j, untuk n ≥ j dan nol untuk n yang lain.
5. Banyaknya klaim mengikuti “zero-modififed Poisson distribution with λ and fmod(0)”. Kerugian-kerugian kecil (small losses) memiliki proporsi 70% dari seluruh kerugian. Hitung peluang “zero small losses”.
6. Diketahui kerugian acak N memiliki fungsi peluang P (N = n) = b+11 , n = 0, 1, 2, . . . , b. Jika E(min(N, 10)) = 0.875· E(N), tentukan b.
7. Gambarkan plot fungsi kesintasan dan hitung momen kedua untuk kerugian acak dengan fungsi distribusi F (x) = 1−( 2000
x+2000
)
, x≥ 0.
Solusi Ujian 1 MA4183 Model Risiko
“Forecast, assess, and control your risk” Tanggal 9 September 2015, Waktu: 100 menit Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
• Pilih dan kerjakan HANYA 5 soal dari 8 soal yang tersedia. • Nilai setiap soal adalah 5.
1. Kegagalan bisnis dapat terjadi karena risiko pasar, risiko kredit, dan risiko operasional; kontribusinya berturut-turut, adalah 30%, 20% dan 50%. Misalkan banyak kegagalan bisnis yang terjadi setiap tahun adalah peubah acak Poisson dengan mean 4.2. Tentukan peluang satu kegagalan bisnis terjadi karena risiko pasar, diberikan terdapat empat kega-galan bisnis pada suatu tahun.
Solusi:
Misalkan N peubah acak yang menyatakan banyaknya kegagalan bisnis; N ∼ P OI(4.2). Diberikan 4 kegagalan bisnis pada suatu tahun, peluang 1 kegagalan tersebut karena risiko pasar adalah P (N = 2) = e −4.2·0.3(4.2· 0.3)2 2! e−4.2·0.2(4.2· 0.2)1 1! e−4.2·0.5(4.2· 0.5)1 1! + e −4.2·0.3(4.2· 0.3)2 2! e−4.2·0.2(4.2· 0.2)2 2! e−4.2·0.5(4.2· 0.5)0 0! + e −4.2·0.3(4.2· 0.3)2 2! e−4.2·0.2(4.2· 0.2)0 0! e−4.2·0.5(4.2· 0.5)2 2! = a P (N = 4) = e−4.64!(4.6)4 = b. Jadi, P (N = 2|N = 4) = P (N =2,N =4)P (N =4) = P (N =2)P (N =4) = a/b.
2. Tentukan hubungan antara fungsi pembangkit peluang peubah acak berdistribusi modifikasi-nol (zero-modified distribution) dan tak-bernilai-modifikasi-nol (zero-truncated distribution).
Solusi: Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f (x). Misalkan Xmod peubah acak yang merupakan zero-modified distribution dari X; fungsi peluang fmod(x). Fungsi
pembangkit peluang dari Xmod adalah
P mod(s) = E(sX mod
yang sama dengan fmod(0) + c ∑ xmod=1 sxmodf (x) = fmod(0) + c ( PX(s)− f(0) ) ,
dengan c = 1−f1−f(0)mod(0). Misalkan Xtr zero-truncated distribution dari X. Fungsi
pem-bangkit peluang dari Xtr adalah
PXtr(s) = E(sX tr ) = ∑ xtr=1 sxtrftr(x) = ∑ xtr=1 sxtrctrf (x) = ctr ∑ xtr=1 sxtrf (x)
yang sama dengan
ctr ( ∑ xtr=0 sxtrf (x)− s0f (0) ) = ctr ( PX(s)− f(0) ) .
dengan ctr = 1−f(0)1 . Dari kedua fungsi pembangkit peluang diatas, diperoleh hubungan
PXmod(s) = fmod(0) + c
(
PX(s)− f(0)
)
= fmod(0) +(1− fmod(0))cmod (
PX(s)− f(0)
)
atau PXmod(s) = fmod(0) +
(
1− fmod(0))P Xtr(s).
3. Misalkan X kerugian acak dengan fungsi peluang P (X = x) = (1− θ)xθ, x = 0, 1, 2, . . ..
Misalkan N peubah acak modifikasi nol dari ditribusi untuk peubah acak X. Diketahui E(N ) = 3, V ar(N ) = 54. Hitung P (N = 0).
Solusi: E(N ) = 1− f M(0) 1− f(0) E(X) = 1− fM(0) 1− f(0) 1− θ θ = 3; f M(0) = 1− 3θ. V ar(N ) =· · · = 54. Diperoleh θ = 1/11. Jadi, fM(0) = 8/11 = P (N = 0).
4. Diketahui N ∼ P OI(1.3). Hitung E(N − j)+ untuk j = 1, 2.
Solusi:
E(N − 1)+ = E(N− 1|N ≥ 1)P (N ≥ 1) + (0)P (N = 0)
= E(N|N ≥ 1)P (N ≥ 1) − P (N ≥ 1) + (0)P (N = 0) = λ− (1 − e−λ) = 1.3 + e−1.3− 1 = 0.5725
5. Banyaknya klaim mengikuti “zero-modififed Poisson distribution with λ and fmod(0)”.
Kerugian-kerugian kecil (small losses) memiliki proporsi 70% dari seluruh kerugian. Hitung peluang “zero small losses”.
Solusi:
fmod(0)− e−λ+ e−0.7λ− fmod(0) e−λ
1− e−λ .
6. Diketahui kerugian acak N memiliki fungsi peluang P (N = n) = b+11 , n = 0, 1, 2, . . . , b. Jika E(min(N, 10)) = 0.875· E(N), tentukan b.
Solusi:
E(N ) = (0 + 1 +· · · + b)/(b + 1) = (b(b + 1)/2)/(b + 1)
E(min(N, 10)) = (0 + 1 +· · · + 9 + (b − 9)10)/(b + 1) = (45 + 10b − 90)(b + 1).
Diperoleh b = 15 atau b = 6.857. Pilih b = 15.
7. Gambarkan plot fungsi kesintasan dan hitung momen kedua untuk kerugian acak dengan fungsi distribusi F (x) = 1−(x+20002000 ), x≥ 0.
8. Misalkan N1, N2 sampel acak geometrik dengan parameter α. Hitung E(N2|N1+N2 = k).
Solusi: P (N2|N1+ N2 = k) = P (N2 = m, N1 = k− m) P (N1+ N2 = k) = P (N2 = m)P (N1 = k− m) P (N1+ N2 = k) = (1− α) m−1α (1− α)k−mα k (1− α)k−1α2 = 1 k.
