EŞDEĞER DEPREM YÜKÜ YÖNTEMİ
EŞDEĞER DEPREM YÜKÜ YÖNTEMİ
Yapıların depreme dayanıklı olarak boyutlandırılmasında kullanılacak olan ve gözönüne alınan deprem doğrultusunda binanın tümüne etkiyen Toplam Eşdeğer Deprem Yükü
Vt (yapının taban kesme kuvveti) şu şekilde belirlenir: Vt=W. A(T1) / Ra
Burada W toplam yapı ağırlığıdır ve Wi kat ağırlıklarının toplamı ile elde edilir.
∑
= = N 1 i i W WKat ağırlıkları her kattaki sabit yüklere hareketli yüklerin yapı tipine göre değişen belirli bir katsayı (n katsayısı) ile çarpılarak eklenmesi ile elde edilir. Hareketli yükün azaltılma nedeni deprem sırasında bütün katlarda hareketli yüklerin tamamının bulunması olasılığının düşük olmasıdır. Konutlarda n=0.3 alınır.
Wi=Gi+n.Qi
A(T1):Birinci doğal titreşim periyodu T1’e karşı gelen spektral ivme katsayısıdır. A(T1)=A0. I. S(T1)
A0:Etkin yer ivmesi katsayısı
Deprem Bölgesi A0 1 0.40 2 0.30 3 0.20 4 0.10
I:Bina önem katsayısı (Konutlar, işyerleri, oteller, bina türü endüstri yapıları, vb) için I=1 alınır
T1 = T1A = Ct HN ¾ , Taşıyıcı sistemi sadece betonarme çerçevelerden veya dışmerkez
çaprazlı çelik perdelerden oluşan binalarda Ct = 0.05, HN binaların temel üstünden ölçülen toplam yüksekliği
Spektrum Katsayısı: S(T)
Yerel zemin koşullarına ve bina doğal periyodu T’ye (sn) bağlı olarak şu şekilde hesaplanır S(T)=1+1.5. T/TA (0≤T≤TA)
S(T)=2.50 (TA ≤T≤TB) S(T)=2.5. (TB/ T)0.8 (T>TB)
1.0 2.5
S(T)
TA TB
2.5(T /T)B 0.8
Spektrum Karakteristik Periyotları (TA,TB) Yerel Zemin Sınıfı TA (sn) TB (sn) Z1 0.10 0.30 Z2 0.15 0.40 Z3 0.15 0.60 Z4 0.20 0.90
Ra:Deprem yükü azaltma katsayısı
Ra tanımlanan Taşıyıcı Sistem Davranış Katsayısı R ve doğal titreşim periyodu T’ye bağlı olarak şu şekilde belirlenir:
Ra= A A T / T ) 1 R / 5 . 2 ( 1 T / T 5 . 1 1 ⋅ − + ⋅ + (0≤T≤TA) Ra =R (T>TA)
Toplam eşdeğer deprem yükü bina katlarına etkiyen ek tasarım deprem yüklerinin toplamı olarak şu şekilde belirtilebilir:
Vt=∆ FN+
∑
= N 1 i i F∆ FN=0.005. HN3/4. Vt
Toplam eşdeğer deprem yükünün ∆ FN dışında kalan kısmı N. kat dahil olmak üzere bina
katlarına şu şekilde dağıtılır: Fi=(Vt-∆ FN).
∑
= ⋅ ⋅ N 1 j j j i i H W H WKatlara gelecek deprem kuvvetleri
Kat Hi (m) Wi (kN) Wi.Hi (kNm) Wi.Hi/Σ Wj.Hj Fi (kN) Z
1 2 3 4
EŞDEĞER DEPREM YÜKLERİ ALTINDA ÇERÇEVE SİSTEMLERİN MUTO YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ
“Afet Bölgelerinde yapılacak Yapılar Hakkında Yönetmelik” binaların ve bina türü yapıların hesabında; A1 türü burulma düzensizliği olmayan, varsa her bir katta η ∆i ≤ 2 koşulunu sağlayan 1. ve 2. deprem bölgelerinde temel üst seviyesinden itibaren ölçülen toplam bina yüksekliği HN ≤ 25m olan tüm binalarda ve 25m ≤ HN ≤ 60m arasında olan B2 türü düşey geometrik süreksizliği bulunmayan binalarda ve 3. ve 4. deprem bölgelerinde HN ≤ 75m olan tüm binalarda koşulların sağlanması durumunda eşdeğer deprem yükü yönteminin uygulanabileceğine izin verilmiştir.
Muto yöntemi, Prof. Muto’nun geliştirdiği bir hesap algoritmasıdır (Atımtay, 2000). Muto yöntemi, yatay yükler altında çerçeve taşıyıcı sistemlerin çözümünde kullanılan bir hesap algoritmasıdır. Döşemelerin yatay düzlemde rijit diyafram olarak çalıştığı kabul edilen binalarda, katlarda bulunan kolonların aynı yerdeğiştirme yapacak şekilde zorlanmasından dolayı katlara gelen kesme kuvvetleri Vi , kolonlar tarafından yatay öteleme rijitlikleri oranda bölüşülerek taşınırlar. Kolonların yatay öteleme rijitlikliğine, kolonun kendi rijitliği ile birlikte, çerçeve içerisinde bu kolona birleşen diğer elemanların rijitliği de etkilidir (Celep ve Kumbasar, 2000).
Herhangi bir i katında j kolonunda rijitlik ise; Dij = a×kc şeklinde tanımlanır. Burada kc kolonun yatay öteleme rijitliği, a ise çerçeve içerisinde diğer elemanların söz konusu kolonun rijitliğine olan etkisini hesaba alan düzeltme katsayısıdır. Sonuç olarak bir katta bulunan tüm kolonların rijitliği bulunduktan sonra i kattaki kesme kuvveti Vi , kat kolonları arasında D değerleri ile orantılı olarak dağıtılır. i katında j kolonu tarafından taşınan kesme kuvveti,
∑
× = k ik ij i ij D D V Veğilme momentleri ise;
Mcüst =Vij×h×(1-y) ve Mcalt =Vij×h×y
bağıntılarıyla bulunur. Burada h kolon yüksekliği, y ise moment sıfır noktasının kolonun alt ucuna olan uzaklığının kolon yüksekliğine oranıdır. Kirişlerde oluşacak eğilme momentleri ise bağlı bulunduğu düğümde bulunan kolon uç momentlerinden, kirişlerin rijitlikleri oranında paylaştırılarak hesaplanır.
Şekil 1. de verilen bir düzlem çerçevede katlarda bulunan Vi kesme kuvvetleri kolayca belirlenebilir. Bu kat kesme kuvvetleri, her katta bulunan kolonlar tarafından yatay öteleme rijitlikleri oranında bölüşülerek taşınır. Örneğin, bir i. kattaki kesme kuvveti Vi ve bu katta j. kolonunda bulunan bir yatay yerdeğiştirme rijitliği Dij ise, bu kolon tarafından taşınan kesme kuvveti
Vij = Vi Dij / ∑k Dik
olarak hesaplanabilir.
Şekil 1.Yatay yükler altında düzlem çerçeve
Kolonun çerçeve içindeki Dij rijitliğine, önce kolonun kendi rijitliği, sonra sistemdeki diğer, özellikle yakın olan, elemanların rijitlikleri etkili olacaktır. Bu ise, Dij = a kc şeklinde yazılabilir. Burada; kc uç düğüm noktaları dönmeye karşı tutulmuş kolonun iki uç düğüm noktasının birbirine göre olan yatay yer değiştirmesine karşı gelen 12 Ec Ic / lc3 rijitliğidir. Çerçevedeki diğer taşıyıcı elemanların söz konusu kolonun rijitliğine olan etkisi ise, a düzeltme katsayısı ile hesaba katılmaktadır. Kat içindeki kolonların mutlak olmayan rijitlikleri kat kesme kuvvetinin paylaşımında önemli olduğu için kolon relatif rijitliği
kc = Ic / lc
olarak kabul edilebilir. Burada; Ic kolon atalet momentini ve lc kolon yüksekliğini göstermektedir. Kolonun çerçeve içindeki rijitliğine, kolona doğrudan bağlanan elemanların etkisi büyük olduğu halde, bunların dışındaki elemanların etkisi oldukça azdır. Kolonun rijitliğine sadece alt ve üst düğüm noktasına birleşen iki kirişin kolona göre olan dönme rijitliklerinin doğrudan etkili olduğunun kabul edilmesi yeterli bir yaklaşım sayılabilir. Bir ucu tutulmuş kiriş veya kolonun diğer ucunun dönme rijitliği 4 EI/l dir. Burada önemli olanın yine relatif rijitlik olduğu hatırlanırsa, kolon için kabul edilen relatif rijitlikle de uyuşması bakımından ilgili olan kirişin relatif rijitliği ki = Ii/li olarak kabul
edilebilir. Bu kabuller altında kolonun çerçevedeki değişik konumları için a düzeltme katsayısının ifadesi Şekil 2 de verilmiştir.
k =(k1+k2+k3+k4)/(2kc) k =(k1+k2)/kc k =(k1+k2)/kc a =k /(2+k ) a =(0,5+k )/(2+k ) a =0,5k /(1+k )
Şekil 2. Muto Yöntemi katsayıları
Kolonların birbirine göre rijitlikleri elde edilirken, bulunan D değerlerinin sadece yük paylaşımı bakımından geçerli olduğu göz önünde bulundurulmalıdır. Yerdeğiştirmelerin hesaplanması gerektiğinde veya bir katta kirişlerin kesilmesi nedeniyle farklı yükseklikte kolonların bulunması durumunda veya çerçevenin perde ile birleştirilmesi durumunda kc için 12EcIc/lc3 ifadesi kullanılmalıdır. Yerdeğiştirmeler hesaplanmıyorsa elastiklik modülü kullanılmayabilir.
Şekil 3. Kolon ve kirişlerde deprem momentlerinin değişimi
Yatay yüklerden kolonlarda meydana gelen moment Şekil 3. de verildiği gibi doğrusal değişir. Kolonlarda moment sıfır noktasının yeri, kolonun çerçevedeki yerine, kolona birleşen kirişlerin kolona göre relatif rijitliğine ve kolonun bulunduğu katın altında ve üstünde bulunan katların yüksekliğine bağlıdır. Moment sıfır noktasının kolonun alt ucuna olan uzaklığının kat yüksekliğine oranı y yaklaşık olarak
y = y0 + y1 + y2 + y3
olarak yazılabilir. Burada; y0 yatay yüklerin düşeyde üçgen ve düzgün yayılı olması durumu için, düzgün geometri ve rijitliğe sahip bir çerçeve esas alınarak hesaplanmış ve Tablo 19.9 ve Tablo 19.10 de verilmiştir. Tablo 19.11 ise, üstten ve alttan kolona
bağlanan kirişlerin rijitliklerinin farklı olmasından meydana gelen y1 düzeltme terimini vermektedir. Üst ve alt katların yüksekliklerinin farklı olması durumunda gerekli olan y2 ve y3 düzeltme terimleri ise Tablo 19,12.de verilmiştir.
Yukarıda açıklanan şekilde kolonda moment sıfır noktasının yerini gösteren y katsayısı hesap edildikten sonra, kolon uç momentleri kolayca bulunabilir.
Mc üst = Vij h (1-y) Mc alt = Vij h y Herhangi bir A düğüm noktasında bulunan Mc1 ve Mc2 kolon momentler, birleşen kirişlerde rijitlikleri oranında meydana getirdikleri
Mb1 = ( Mc1 + Mc2 ).k1 / ( k1 + k2 ) Mb2 = ( Mc1 + Mc2 ).k2 / ( k1 + k2) momenti ile dengelenirler ( Şekil 3 ).
Açıklanan ilkeler, katların düzlemleri içindeki burulma etkisinin göz önüne alınmadığı sistemlerde aynı doğrultuda birden fazla çerçevenin bulunması durumunda da uygulanabilir. Yük doğrultusundaki kirişler kolonların rijitliklerine etkili olduğu halde, yük doğrultusuna dik bulunan kirişler yapılan kabuller altında, rijit yerdeğiştirmeler yapar ve yükün karşılanmasına katkıları olmaz.
ÖRNEK
* Deprem Bölgesi : 1.Bölge
* Malzeme: Beton BS 20 ( C 20 ), Çelik BÇI( S 220 )
Şekilde plan ve kesiti verilmiş olan konut binasının “Muto Yöntemi” ile “X” ve “Y” doğrultusunda deprem hesabını yapınız.
ÇÖZÜM:
∗
Toplam Eşdeğer Deprem Yükü; Vt = W.A(T1)/Ra∗
Bina toplam ağırlığı; W=∑
= N 1 i i WWi = Gi + n Qi ; ( n = hareketli yük azaltma katsayısı, konutlarda n = 0,3 alınır.) W3 = 1800 + 0,3x580 = 1974 KN
W2 = 1800 + 0,3x580 = 1974 KN W= W3+W2+W1
W1 = 1800 + 0,3x580 = 1974 KN W= 1974+1974+1974 = 5922 KN
∗ Spekteal ivme katsayısı; A( T1 ) = A0.I.S( T1 )
Etkin yer ivmesi katsayısı: A0 = 0.40 ( Deprem Bölgesi I. Sınıf ) Bina önem katsayısı: I=1 ( Konutlarda )
Spekteum katsayısı: S( T1 ) Yerel zemin koşullarına ve bina doğal periyodu T’ye bağlıdır. S(T)= 1+1,5 T/TA (0
≤
T<TA)S(T)= 2,5 (TA
≤
T<TB) S(T)= 2,5 (TB/T)0,8 (T>TB)∗
Spekteum karakteristik periyotları ( TA,TB )Zemin grubu: Orta sıkı kum, çakıl, C grubu zemin, σ zem = 2 kg/cm2
Yerel zemin sınıfı: En üst tabaka kalınlığı 50 m’den fazla C grubu zemin için = Z4 Zemin sınıfı Z4 için TA= 0,20 sn ve TB= 0,90 sn alınır.
Bina doğal periyodu T1== Ct HN ¾ = 0,05*103/4 =0,28 sn
TA= 0,20 sn < T= 0,28 sn < TB= 0,90 sn S(T1)= 2,5 A(T1)= 0,40x1x2,5 = 1
∗
Deprem yükü azaltma katsayısı; Ra Ra= A T / T ) 1 R / 5 , 2 ( 1 T/TA 1,5 1 − + + 0≤
T≤
TA T>TA ; T= 0,30 sn > TA=0,20 sn Ra=R R:Taşıyıcı sistem davranış katsayısı.Deprem yüklerinin tamamının betonarme çerçevelerle taşındığı süneklilik düzeyi yüksek binalarda R=8 alınır.
Vt= 5922x1x
8 1
= 740,25 KN
Fi= (Vt-
∆
FN).∑
= N 1 i i i i i H . W H . W;
∆
FN=Yapının en üst katına etkiyecek ek deprem yükü.HN
≤
25 m için∆
FN=0 olur.Deprem Yükü “Y” Yönünde Olması Durumunda Kolon Rijitliklerinin Hesabı:
1.KAT: S1 Kolonları( 0,30mx0,30m ): Ic= 12 h . b 3 = 12 30 , 0 x 30 , 0 3 = 0,000675m4 kc= 0,0001688 4 000675 , 0 l I c c = = m4/m = 0,1688x10-3 m3 S2 Kolonları( 0,45mx0,25m ): Ic= 12 25 , 0 x 45 , 0 3 = 0,0005859 m4 kc= 4 0,0005859 = 0,0001465 m4/m = 0,1465x10-3 m3 S3 Kolonları( 0,25mx0,45m ): Ic= 12 45 , 0 x 25 , 0 3 = 0,001898m4 kc= 4 0,001898 = 0,0004746 m4/m = 0,4746x10-3 m3 S4 Kolonları( 0,45mx0,45m ): Ic= 12 45 , 0 x 45 , 0 3 = 0,003417m4 kc= 4 003417 , 0 = 0,0008543 m4/m = 0,8543x10-3 m3 2.KAT:
S1 Kolonları( 0,25mx0,25m ): Ic= 12 25 , 0 x 25 , 0 3 =0,0003255 m4 kc= 3 0003255 , 0 =0,0001085 m4/m = 0,1085x10-3 m3 S2 Kolonları( 0,35mx0,25m ): Ic= 12 25 , 0 x 35 , 0 3 = 0,0004557 m4 kc= 3 0,0004557 = 0,0001519m4/m =0,1519x10-3 m3 S3 Kolonları( 0,25mx0,35m ): Ic= 12 35 , 0 x 25 , 0 3 = 0,0008932 m4 kc= 3 0008932 , 0 = 0,0002977 m4/m = 0,2977x10-3 m3 S4 Kolonları( 0,35mx0,35m ): Ic= 12 35 , 0 x 35 , 0 3 = 0,001251 m4 kc= 3 001251 , 0 =0,0004168 m4/m =0,4168x10-3 m3 3.KAT: S1 Kolonları(0,25mx0,25m): kc= 0,1085x10-3 m3 S2 Kolonları( 0,30mx0,25m ): Ic= 12 25 , 0 x 30 , 0 3 = 0,0003906 m4 kc= 3 0003906 , 0 = 0,0001302 m4/m = 0,1302x10-3 m3 S3 Kolonları( 0,25mx0,30m ): Ic= 12 30 , 0 x 25 , 0 3 =0,0005625 m4 kc= 3 0005625 , 0 = 0,0001875 m4/m =0,1875x10-3 m3 S4 Kolonları( 0,30mx0,30m ): Ic= 12 30 , 0 x 30 , 0 3 = 0,000675 m4 kc= 3 000675 , 0 = 0,000225 m4/m = 0,2250x10-3 m3
Deprem Yükü “X” Yönünde Olması Durumunda Kolon Rijitliklerinin Hesabı:
1.KAT: S1 Kolonları( 0,30mx0,30m ): kc= 0,1688x10-3 m3 S2 Kolonları(0,25mx0,45m): kc = 0,4746x10-3 m3 S3 Kolonları( 0,45mx0,25m ): kc= 0,1465x10-3 m3 S4 Kolonları( 0,45mx0,45m ): kc= 0,8543x10-3 m3 2.KAT: S1 Kolonları( 0,25mx0,25m ): kc= 0,1085x10-3 m3 S2 Kolonları( 0,25mx0,35m ): kc= 0,2977x10-3 m3
S3 Kolonları( 0,35mx0,25m ): kc= 0,1519x10-3 m3 S4 Kolonları( 0,35mx0,35m ): kc= 0,4168x10-3 m3 3.KAT: S1 Kolonları( 0,25mx0,25m ): kc= 0,1085x10-3 m3 S2 Kolonları( 0,25mx0,30m ): kc= 0,1875x10-3 m3 S3 Kolonları( 0,30mx0,25m ): kc= 0,1302x10-3 m3 S4 Kolonları( 0,30mx0,30m ): kc= 0,2250x10-3 m3
Kiriş Rijitliklerinin Hesabı:
K101, K103, K110, K112, K113, K115, K1 22, K124 Kirişleri: F1= 0,73x0,12 = 0,0876m2 F2= 0,25x0,38 = 0,095m2 YG= 2 1 2 2 1 1 F F Y . F Y . F + + = 095 , 0 0876 , 0 19 , 0 x 095 , 0 44 , 0 x 0876 , 0 + + = 0,31 m Ix′= 12 12 , 0 x 73 , 0 3 + 0,0876x 0,132 + 12 38 , 0 x 25 , 0 3 + 0,095x0,122 Ix′= 0,0040967 m4 = 4,0967x10-3 m4 k= l I = 6 10 x 0967 , 4 −3 = 0,6828x10-3 m3 K102, K111, K114, K123 Kirişleri: F1= 0,61x0,12 = 0,0732m2 F2= 0,25x0,38 = 0,095m2 YG= 095 , 0 0732 , 0 19 , 0 x 095 , 0 44 , 0 x 0732 , 0 + + = 0,30 m Ix′= 12 12 , 0 x 61 , 0 3 + 0,0732x0,142 + 12 38 , 0 x . 25 , 0 3 + 0,095x0,112 Ix′= 0,0038152 = 3,8152x10-3 m4 k= 6 10 x 8152 , 3 −3 = 0,6357x10-3 m3
K104, K106, K107, K109, K116, K118, K119, K121 Kirişleri: F1= 0,12x1,21 = 0,145 m2 F2= 0,25x0,38 = 0,095 m2 YG= 095 , 0 145 , 0 19 , 0 x 095 , 0 44 , 0 x 145 , 0 + + = 0,34 m Ix′= 12 12 , 0 x 21 , 1 3 +0,145x0,102+ 12 38 , 0 x 25 . 0 3 +0,095x0,152 Ix′= 0,0049049=4,9049x10-3 m4 k= 6 10 x 9049 , 4 −3 = 0,8175x10-3 m3 K105, K108, K117, K120 Kirişleri: F1= 0,12x0,97= 0,1164 m2 F2= 0,25.0,38 = 0,095 m2 YG= 095 , 0 1164 , 0 19 , 0 x 095 , 0 44 , 0 x 1164 , 0 + + = 0,33 m Ix′= 12 12 , 0 x 97 , 0 3 + 0,1164x0,112 + 12 38 , 0 x 25 , 0 3 + 0,095x0,142 Ix′= 0,0045533 =4,5533x10-3 m4 k= 6 10 x 5533 , 4 −3 = 0,7589x10-3 m3
DEPREM YÜKÜ Y YÖNÜNDE OLMASI DURUMUNDA M – V DİYAGRAMLARI
A – A AKSI ÇERÇEVESİ
DEPREM YÜKÜ X YÖNÜNDE OLMASI DURUMUNDA M – V DİYAGRAMLARI
1 – 1 AKSI ÇERÇEVESİ
