Modul ke:
Fakultas
Program Studi
STATISTIK
Probabilitas atau Peluang
Bethriza Hanum ST., MT
05
Pengertian dan Pendekatan
• Mempelajari probabilitas kejadian suatu peristiwa sangat bermanfaat dalam pengambilan keputusan yang tepat, karena di dunia tidak ada kepastian dan setiap
pengambilan keputusan jarang memiliki informasi yang lengkap, sehingga perlu untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa kejadian.
• Probabilitas atau kejadian adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi dimasa depan. Probabilitas dinyatakan dalam 0 - 1 dalam
Pendekatan Klasik
• Mengasumsikan bahwa sebuah peristiwa
mempunyai kesempatan untuk terjadi yang sama besar atau memiliki peluang yang sama besar.
• Probabilitas suatu peristiwa=
Jumlah kemungkinan hasil (peristiwa) Jumlah total kemungkinan hasil
Pendekatan Relatif
• Probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa
banyak suatu peristiwa terjadi dari
keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan.
Percobaan kejadian relatif = Jumlah peristiwa yang terjadi
Contoh Pendekatan Relatif
Dari data diatas terlihat bahwa jumlah bulan inflasi ada 10 dan jumlah bulan deflasi 2dari total 12. oleh karena itu probabilitas terjadinya inflasi = 10/12 0,83 dan deflasi 2/12 = 0,17
Pendekatan Subjektif
• Menentukan besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penelitian
pribadi dan dinyatakan dalam derajat
kepercayaan atau berdasarkan penilaian pribadi.
• contoh: menurut Menteri Keuangan
Indonesia Sri Mulyani pada tahun2007, Indonesia akan mengalami gejalas krisis. Anda akan mendapatkan nilai minimal B
HUKUM DASAR PROBABILITAS
• 1. HUKUM PENJUMLAHAN • 2. HUKUM PERKALIAN
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS
A. Hukum Penjumlahan
A AB B
• Peristiwa atau Kejadian Bersama (joint Event)
Contoh : P(A) = 0,35, P(B) 0,40 DAN P (C) 0,25
Maka P(A ATAU C ) = 0,35 + 0,25 = 0,60 P(A ATAU B) = P(A) + P(B)
Contoh joint event
Kegiatan Perusahaan Jumlah
Simpati mentari starone
Sales(A) 30 50 40 120
Buy(B) 40 30 10 80
sum 70 80 50 200
P(BS) = 40/200 = 0.15 P(AS) = 30/200=0.20
• Peristiwa Saling Lepas(MUTUALLY EXLUSIVE) P(AB) = 0
Maka P(A ATAU B) = P (A) + P(B) + 0 = P(A) + P(B)
A B
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS
Bahwa peristiwa A tidak menjadi bagian peristiwa B. Begitu juga sebaliknya.
Contoh
Kegiatan Perusahaan Jumlah
Simpati mentari starone
Sales(A) 30 50 40 120
Buy(B) 40 30 10 80
sum 70 80 50 200
P(A atau B) = P(A) +P(B)-P(AB) = 0.6 + 0.4-0 =1
Prob 3 kartu cellular (P(SMS))=0.
P(S atau M/S) = P(S)+P(M)+P(S)-P(SMS)
EXCERCISE
SUATU PERUSAHAAN MEMERLUKAN BAN MOBIL
UNTUK KENDARAAN MILIK PERUSAHAAN. PROB AKAN MEMBELI BAN MEREK UNIROYAL (0,17),
GOODYEAR (0,22), LIDAS (0,03),
CONTINENTAL (0.29),BRIDGESTONE (0,21),
DAN AMSTRONG (0.08).HITUNGLAH PROB BAHWA PERUSAHAAN AKAN MEMBELI:
1. BAN MEREK G atau B 2. Ban Merek U, C atau B 3. Ban Merek L atau A
jawab
Apabila merek ban tersebut di urutkan dengan A,B,C,D,E dan F. Maka:
1. P( B U E )= P(B) +P(E) = 0,22 +0,21 = 0.43 2. P(A U D U E) = 0.17+0,29+0,21 = )0.67 3. P(C U F)= 0.03 + 0.08 = 0.11
4. P (B U D U F)= 0,22 + 0,29 + 0.08= 0.59. Prob Mutually Exlusive.
HUKUM PERKALIAN PROB
Hukum Perkalian
Peristiwa Independen adalah terjadinya peristiwa tidak mempengaruhi probabilitas kejadian lainnya
Rumus kejadian A dan B yang saling Independet sbb:
P( A DAN B) = P(A) X P(B)
Contoh: ada 3 transaksi saham (S&B), transaksi pertama melakukan transaksi beli, dan pada transaksi ke 2&3 bisa melakukan transaksi beli atau jual (bebas dari
pengaruh transaksi pertama)
Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25
Kejadian Bersyarat
• Kejadian Bersyarat P(B|A)
KONSEP DASAR HUKUM PROBABILITAS
• Hukum Perkalian
P( A DAN B) = P(A) X P(B)
Apabila P(A) 0,35 DAN P(B) = 0,25 Maka P(A ∏ B) = 0,35 X 0,25 = 0,0875
• Kejadian Bersyarat conditional Probability P(B|A) P(B|A) = P(AB)/P(A)
DIAGRAM POHON 1 Beli 0,4 Jual 0, 6 BNI BLP BCA BNI BLP BCA 0,25 0,40 0,35 0,25 0,4 0 0,3 5
Keputusan Jual atau Beli Jenis Saham Probabilitas Bersyarat Probabilitas bersama 1 x 0,6 x 0,35 = 0,21 1 x 0,6 x 0,40 = 0,24 1 x 0,6 x 0,25 = 0,15 1 x 0,4 x 0,35 = 0,14 1 x 0,4 x 0,40 = 0,16 1 x 0,4 x 0,25 = 0,10 0,21+0,24+0,15+0,14 +0,16+0,10 =1,0 Jumlah Harus = 1.0 • Diagram Pohon Suatu diagram berbentuk pohon yang membantu mempermudah mengetahui probabilitas suatu peristiwa
CONTOH
Komposisi dari beberapa tingkatan manajemn Dari 200 orang eksekutuf ditunjukkan sebagai Berikut:
TM 18 (Pria) 2 (W), MM 3 6 (P) 24 (w), LM 24 (p) 96 (w) Total P (78) W (122).
a. Jika 200 eksekutuf tersebut scara random seorang eksekutif Berapa prob eksekutif Pria atau eksekutif puncak?
b. Dipilih 2 orang berapa prob eks Pria dan seorang Eksekutif wanita c. Terpilih eksekutif pria pada pilihan pertama dan terpilih
TEOREMA BAYES
P(Ai|B) = P(Ai) X P (B|Ai)
P(A1) X P(B|A1)+P(A2) X P(B|A2) + … + P(Ai) X P(B|Ai)
Merupakan probabilitas bersyarat-suatu kejadian terjadi setelah kejadian lain ada.
BEBERAPA PRINSIP MENGHITUNG
Factorial = n!
Permutasi nPr = n!/ (n-r)!
• Factorial (berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam kelompok).
• Permutasi (sejumlah kemungkinan susunan jika terdapat satu kelompok objek).
Konsep Dasar
Probabilitas
Pengantar Permutasi -Faktorial
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1. Untuk n = 0 atau dengan kata lain 0! didefinisikan =1.
Pengantar Permutasi -Faktorial
Contoh:
Tuliskan 10 faktorial pertama :
Penyelesaian: 0! = 1 1! = 1 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24
Pengantar Permutasi -Faktorial
Latihan Soal 1.
FAKTORIAL
• Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu dalam suatu kelompok. • Dalam matematika perhitungan faktorial
dilambangkan dengan (!) • 0! Artinya 1
• Ada beberapa cara menyusun urutan dari 5 perusahaan yang memberikan deviden
terbesar?
• Menyusun urutan 5 perusahaan = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara
Permutasi
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula.
Urutan diperhatikan
Misalkan Masalah penyusunan kepanitiaan yang terdiri dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara dimana urutan dipertimbangkan merupakan salah satu contoh permutasi. Jika terdapat 3 orang (misalnya Amir, Budi dan Cindy) yang akan dipilih untuk menduduki posisi tersebut, maka dengan menggunakan Prinsip Perkalian kita dapat
• Pertama menentukan Ketua, yang dapat dilakukan dalam 3 cara.
• Begitu Ketua ditentukan, Sekretaris dapat ditentukan dalam 2 cara.
• Setelah Ketua dan Sekretaris ditentukan, Bendahara dapat ditentukan dalam 1 cara.
• Sehingga banyaknya susunan panitia yang mungkin adalah 3.2.1 = 6.
Secara formal, permutasi dapat didenisikan sebagai berikut.
Denisi 3.1
Permutasi dari n unsur yang berbeda x1,x2, .. ,xn adalah pengurutan dari n unsur
Contoh 3.1
Tentukan permutasi dari 3 huruf yang berbeda, misalnya ABC !
Penyelesaian
Permutasi dari huruf ABC adalah
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Teorema 3.1
Terdapat n! permutasi dari n unsur yang berbeda.
Contoh 3.2
Gunakan Teorema 3.1 untuk mencari berapa banyak permutasi dari huruf ABC ?
Penyelesaian
Terdapat 3 unsur dari huruf ABC, jadi banyaknya permutasinya adalah 3!, atau
Contoh 3.3
Berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEF jika huruf ABC harus selalu muncul bersama?
Penyelesaian :
Karena huruf ABC harus selalu muncul bersama, maka huruf ABC bisa dinyatakan sebagai satu unsur. Dengan demikian terdapat 4 unsur yang dipermutasikan, sehingga banyaknya permutasi adalah
1. Misalkan dalam kelas matematika diskrit ada 20 mhs. Akan di pilih seorang yang akan menjadi ketua kelas dan seorang bendahara. Ada berapa banyak cara untuk memilih ketua dan bendahara??
Soal latihan :
2. Berapa banyak kata yang dapat terbentuk dari kata “BOSAN” ???
Soal latihan :
3. Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut : 1, 2, 3, 4, 5, jika:
Soal latihan :
4. Terdapat 5 buku kimia, 4 buku fisika dan 2 buku matematika yang masing-masing buku berbeda satu sama lain. Berapa banyak cara untuk menyusun buku – buku tersebut ke dalam sebuah rak jika setiap buku
Definisi 3.2
Permutasi-r dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek yang dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada
Teorema 3.2
Banyaknya permutasi-r dari n unsur yang berbeda adalah
Atau dengan kata lain, secara umum permutasi r objek dari n buah objek dapat di hitung dengan persamaan berikut :
Contoh 3.4
Tentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.
Contoh 3.5
Gunakan Teorema 3.2 untuk menentukan permutasi-3 dari 5 huruf yang berbeda, misalnya ABCDE.
Penyelesaian
Karena r = 3 dan n = 5 maka permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah
Jadi banyaknya permutasi-3 dari 5 huruf ABCDE adalah 60.
1. Sebuah undian dilakukan menggunakan angka yang terdiri dari 7 digit. Jika digit – digit dalam suatu angka diharuskan berbeda satu dengan yang lain, ada berapa kemungkinan nomor undian???
2. Berapa banyak jumlah urutan berbeda yang dihasilkan jika memasukan 6 buah bola yang berbeda kedalam 3 buah kotak, dan masing – masing kotak hanya boleh diisi 1 buah bola???
3. Berapa banyak String yang dapat dibentuk yang terdiri dari 4 huruf berbeda dan diikuti dengan 3 angka yang berbeda pula ??
4. Tentukan banyaknya susunan 3 huruf berbeda yang dapat diperoleh dari kata SMART???
5. Berapa banyak permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 buah kursi, sedangkan satu orang di antaranya selalu duduk d kursi tertentu ??
6. Misalkan X={a, b, c, d}
a. Hitunglah Permutasi dari X b. Hitunglah Permutasi-3 dari X
KOMBINASI
• Kombinasi digunakan kita tertarik beberapa cara sesuatu diambil dari objek tanpa
memperhatikan urutannya.
• Misal ada 10 bank dan kita hanya
mengambil 3 bank tanpa memperhatikan urutannya
• Ada 5 bank yang mengajukan kredit
portofolio ke Bank Indonesia. Sementara di Bank Indonesia hanya akan memilih 2 bank saja. Ada berapa kombinasi bank yang
dapat dipilih oleh Bank Indonesia?
• Misalkan nama banknya A,B,C,D,E maka:
