PENELITIAN OPERASIONAL I
MODEL SIMULASI
Oleh :
Eliyani
PROGRAM KELAS KARYAWAN
PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI
FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
UNIVERSITAS MERCU BUANA
http://www.mercubuana.ac.id
JAKARTA
2007
MODEL SIMULASI
PENDAHULUAN
Model-model deterministik seperti model pemprograma linier, model antrian atau model-model analisis keputusan memiliki nilai-nilai harapan (expected value) atau rumusan-rumusan yang jelas. Contoh: F = m.a, Z=3X1 + 2X2, dan lain-lain. Kondisi nyata kadang tidak dapat disederhanakan dengan model yang demikian atau rumus-rumus yang sudah ada. Sistem yang rumit tersebut perlu dimimikkan antara lain melalui pendekatan probabilistik sedemikian rupa sehingga peluang- peluang kejadian suatu nilai dapat diduga. Pada kondisi yang demikian, model simulasi dapat diandalkan untuk mendapatkan solusi yang tepat.
Terdapat dua macam model simulasi, yaitu simulasi analog dan simulasi matematik. Simulasi analog yaitu dengan mengganti fisik yang asli dengan fisik tiruan yang lebih mudah untuk dimanipulasi. Contoh mobil balap Ferrari diganti dengan replikanya. Contoh lain gedung UMB diganti dengan maket gedung UMB.
Simulasi matematik yaitu meniru sistem dengan model matematik untuk
mendapatkan operating characteristics sistem melalui suatu eksperimen. Contoh untuk menduga bagaimana pertumbuhan tanaman jati yang memakan waktu ratusan tahun dilakukan eksperimen baik lapangan maupun laboratorium untuk mendapatkan parameter-parameter maupun model matematis pertumbuhannya. Jika eksperimen tersebut dilakukan berulang-ulang maka dibutuhkan bantuan komputer agar perhitungan lebih mudah dan lebih cepat.
Penekanan pada kuliah ini adalah model simulasi matematik yang diterapkan pada beberapa kasus.
Penjualan (X) Probabilitas (Px) 14 0.2 15 0.4 16 0.2 17 0.1 18 0.1
PROSES MONTE CARLO
Sebagian besar model simulasi merupakan model probabilitas. Simulasi sering dijalankan dengan memilih angka secara acak (random) dari distribusi
probabilitas. Tujuan dari penggunaan angka ini adalah untuk mendekati variabel acak yang sering menyulitkan dalam menyelesaikan sebuah model secara analitik.
Teknik memilih angka secara acak dari distribusi probabilitas disebut dengan Monte Carlo Sampling. Monte Carlo bukan merupakan jenis simulasi atau simulasi probabilistik tetapi teknik yang digunakan dalam simulasi.
Contoh (dikutip dari Mulyono, 2004):
Penjualan BBM per hari dari sebuah SPBU merupakan variabel random diskret dengan distribusi probabilitas seperti pada Tabel 1.
Tabel 1. Distribusi Probabilitas Penjualan BBM per Hari Sebuah SPBU
Proses Monte Carlo akan memunculkan variabel random melalui proses sampling dari distribusi probabilitas. Proses ini dilakukan dengan memutar roda rolet yang disekat menjadi lima bagian seperti pada Gambar 1.
x=18 10% x=17 10% x=16 20% x=14 20% x=15 40%
Gambar 1. Roda rolet probabilitas penjualan BBM sebuah SPBU.
Pemutaran merupakan rekonstruksi penjualan. Dalam dunia nyata, real time
proses penjualan tersebut dapat terjadi selama bertahun-tahun (nilai X
merupakan nilai rata-rata) ditiru dengan putaran-putaran roda rolet yang hanya memakan waktu singkat atau simulated time. Jika pemutaran jujur, frekuensi relatif dari nilai yang muncul akan mendekati distribusi probabilitas. Untuk alasan praktis, pemunculan angka random dapat dilakukan dengan mengambil satu angka secara acak dari Tabel Angka Random seperti disajikan pada Tabel 2.
Proses Monte Carlo dilakukan menggunakan komputer. Untuk lebih memahami, proses tersebut secara manual digambarkan sebagai berikut.
Setelah dihitung probabilitas kumulatif dan intervalnya serta interval angka random seperti disajikan pada Tabel 3, pilih sembarang angka random dari daftar angka random pada Tabel 2. Misalkan dipilih angka 39. Angka ini terletak pada interval 20 – 59 yang selaras dengan per hari 15.
Tabel 2.Daftar Angka Random 39 65 76 45 45 73 71 23 70 90 72 18 47 33 84 75 12 25 69 17 37 17 79 88 74 02 48 08 16 94 87 89 15 70 07 98 18 71 70 15 10 83 58 07 04 47 08 56 37 31 93 90 31 03 07 21 05 11 47 99 95 89 94 06 97 97 18 31 55 73 69 08 88 86 13 41 26 10 25 03 91 47 14 63 62 80 94 54 18 47 67 06 77 63 99 59 72 24 13 75 63 62 06 34 41 78 47 23 53 90 87 68 62 15 43 47 60 92 01 77 56 88 87 59 41 22 17 68 65 84 19 36 27 59 46 16 77 23 02 77 78 43 76 71 61 03 28 28 26 08 04 31 17 21 56 61 06 98 03 91 23 68 35 26 00 15 39 25 70 99 58 71 96 30 24 93 22 53 64 39 78 76 58 54 74 61 81 31 96 82 42 88 07 10 05 77 94 30 05 39 19 90 69 64 61 65 97 60 12 11 51 67 47 97 19 17 95 27 78 58 63 52 06 34 30 85 53 83 29 95 37 79 49 12 38 89 09 39 59 24 76 62 16 48 68 71 82 13 50 41 34 18 04 52 35 11 20 99 45 18 27 37 83 28 71 10 65 81 92 59 59 71 74 17 32 87 63 93 95 17 08 61 74 51 69 08 52 85 08 40 89 85 84 46 06 42 29 72 23 19 79 53 36 02 95 79 93 96 38 63 97 48 72 66 48 26 97 05 73 51 06 87 37 78 48 87 02 22 57 51 39 77 32 77 09 28 06 24 25 93 97 67 63 99 61 69 30 16 09 05 33 73 99 19 87 87 14 77 43 96 99 53 93 61 28 93 86 52 77 65 18 46 23 34 27 07 10 63 76 35 92 38 70 96 92 00 57 25 60 59 24 98 65 63 21 28 10 99 00 27 20 26 36 31 62 31 56 34 19 19 98 40 07 17 66 24 33 45 77 48 01 31 60 10 27 56 27 09 24 43 48 13 93 55 96 00 06 41 41 20 58 76 17 17 86 27 55 10 24 92 74 13 39 35 22 76 51 94 84 86 79 57 95 13 91 77 31 61 95 46 48 38 75 93 29 81 83 83 04 49 92 79 43 89 79 48 40 35 94 22 64 71 06 21 66 06 94 76 10 08 94 61 09 43 62 34 85 52 05 09 53 16 71 13 81 88 46 38 03 58 65 88 69 58 39 68 69 80 95 44 75 57 92 36 59 22 45 44 84 11 80 45 67 93 82 53 58 47 70 93 26 72 39 27 67 43 00 65 98 50 52 70 05 48 34 15 33 59 05 28 85 13 99 24 44 87 03 04 79 88 52 06 79 79 45 46 72 60 18 77 47 21 61 88 32 12 73 73 99 12 58 24 97 14 97 47 83 75 51 33 23 05 09 51 80 69 81 84 09 29 35 07 79 71 53 21 78 55 09 82 41 92 45 71 51 14 36 59 25 47 59 53 11 51 21 28 04 67 53 44 68 95 23 92 35 13 79 93 37 55 09 61 87 25 21 20 44 90 32 64 73 37 32 04 05 77 45 85 50 51 29 18 94 51 23 72 65 71 08 86 89 37 20 70 01 81 30 15 39 14 20 21 14 68 86 85 43 01 72 73 59 97 50 99 52 72 68 49 29 31 88 *2 84 27 83 11 29 01 95 80 89 74 19 82 15 87 80 61 65 31 59 73 19 85 23 66 56 45 65 79 53 77 57 68 93 45 60 33 01 07 56 65 05 61 86 22 87 26 07 47 49 18 09 79 49 08 13 13 85 51 82 63 18 27 44 55 66 12 62 11 27 87 30 21 60 49 99 57 94 82 95 06 70 99 00 30 62 38 20 46 59 78 11 52 49 93 22 70 45 80 28 99 52 01 41 72 61 88 73 61 09 18 25 58 94 54 45 17 24 89 66 04 18 72 87 95 23 00 84 47 36 63 70 35 33 98 16 04 41 67 56 20 11 32 44 26 99 76 75 63 60 82 29 20 25 79 88 01 97 30 14 85 11 47 23 50 03 42 99 36 61 65 70 22 12 81 83 17 16 33 84 95 48 46 45 14 93 87 81 40 24 62 2*0 42 31 75 70 16 08 24 85 81 56 39 38 49 34 35 86 47 08 58 94 34 74 09 71 91 74 25 53 33 65 97 21 45 56 20 19 47 60 61 97 22 61 98 99 46 50 47 90 92 10 70 80 86 96 98 29 06 74 16 32 23 02 55 34 57 72 69 69 66 92 19 09 08 99 55 64 57 10 92 35 36 12 96 88 57 17 91
Penjualan Probabilitas Probabilitas Kumulatif Interval Probabilitas Kumulatif Interval Angka Random Angka Random (r) 14 0.2 0.2 0.0-0.19 00-19 15 0. 4 0.6 0.2-0.59 20-59 39 16 0.2 0.8 0.6-0.79 60-79 17 0.1 0.9 0.8-0.89 80-89 18 0.1 1.0 0.9-0.99 90-99
)()(
iixPxx
Tabel 3. Memuncul Variabel Random dari Daftar Angka Random
Selanjutnya ulangi pemilihan angka random, arahnya bisa ke mana pun dari pemilihan pertama asal tidak diulang. Simulasi penjualan 15 hari (proses diulang 15 kali) ditunjukkan pada Tabel 4. Rata-rata penjualan hasil simulasi adalah 241/15 = 16.07. Expected value (nilai harapan) penjualan yang dihitung secara analitik dari distribusi probabilitas adalah:
n
i1
= 14 (0.2) + 15 (0.5) + 16 (0.2) + 17 (0.1) + 18 (0.1) = 15.5
Perbedaan hasil simulasi angka random dengan perhitungan analitik merupakan kesalahan sampling (sampling error). Jika periode simulasi ditambah yang artinya memperbanyak sample, hasil simulasi akan semakin tepat, atau dikatakan hasil simulasi mendekati kondisi steady state. Membandingkan hasil simulasi dengan hasil perhitungan analitik disebut dengan kegiatan validasi model. Namun umumnya simulasi dilakukan jika solusi secara analitik tidak mungkin sehingga tidak ada patokan untuk validasi. Validasi dapat juga dilakukan dengan menggunakan data-data yang tidak digunakan dalam pembuatan model.
Hari ke- Angka Random r Penjualan X 1 39 15 2 73 16 3 72 16 4 75 16 5 37 15 6 02 14 7 87 17 8 98 18 9 10 14 10 47 15 11 93 18 12 21 15 13 95 18 14 97 18 15 69 16 = 241 Tabel 4. Simulasi Penjualan 15 Hari
TENTANG ANGKA RANDOM
Angka random selalu dibutuhkan dalam setiap simulasi probabilistik untuk menentukan nilai variabel random. Angka random pada tabel angka random diciptakan dengan menggunakan teknik numerik sehingga bukan merupakan angka random murni tetapi pseudo random numbers. Angka random murni hanya dapat diciptakan dengan proses fisik seperti pemutaran rolet, penarikan kertas undian, dan lain-lain. Namun tentu saja kegiatan fisik tersebut kurang praktis sehingga penggunaan angka random lebih memungkinkan terutama untuk simulasi menggunakan komputer.
PANGGILAN PROBABILITAS 0 0.05 1 0.12 2 0.15 3 0.25 4 0.22 5 0.15 6 0.06
Validitas simulasi dapat terpengaruh dengam menggunakan angka random yang tidak murni ini. Oleh karena itu, angka random harus memiliki karakteristik:
1. Memiliki distribusi seragam artinya setiap angka memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih.
2. Teknik numerik untuk menciptakan angka random harus efisien artinya proses berjalan cepat dan murah dan angka yang telah muncul dapat muncul lagi setelah periode yang lama.
3. Urutan angka random tidak menunjukkan pola tertentu.
BEBERAPA CONTOH PENERAPAN SIMULASI
Simulasi Sistem Tak Terstruktur
Yang dimaksud dengan sistem tak terstruktur adalah sistem yang tidak dapat disederhanakan dalam model matematik atau dapat dibuatkan model
matematiknya tetapi tidak tersedia teknik untuk mendapatkan solusinya atau rumusannya.
Contoh berikut dikutip dari Mulyono (2004).
Sebuah posko keamanan menerima panggilan darurat sebanyak 0 hingga 6 per hari dengan distribusi probabilitas seperti disajikan pada Tabel 5.
Tabel 5. Distribusi Probabilitas Jumlah Panggilan Darurat Posko Keamanan
Petugas keamanan membedakan setiap panggilan ke dalam tiga kelompok: ringan, sedang dan berat. Jenis kelompok menentukan jumlah petugas yang
Jumlah Panggilan Probabilitas Probabilitas Kumulatif Interval Probabilitas Kumulatif Interval Angka Random 0 0.05 0.05 0.00-0.04 00-04 1 0.12 0.17 0.05-0.16 05-16 2 0.15 0.32 0.17-0.31 17-31 3 0.25 0.57 0.32-0.56 32-56 4 0.22 0.79 0.57-0.78 57-78 5 0.15 0.94 0.79-0.93 79-93 6 0.06 1.0 0.94-0.99 94-99 Jenis Panggilan Probabilitas Probabilitas Kumulatif Interval Probabilitas Kumulatif Interval Angka Random Ringan 0.3 0.3 0.00-0.29 00-29 Sedang 0.56 0.86 0.30-0.85 30-85 Berat 0.14 1.0 0.86-0.99 86-99
JENIS PANGGILAN PROBABILITAS
Ringan 0.3
Sedang 0.56
Berat 0.14
akan dikirim untuk membantu. Jika tergolong ringan akan dikirim 2 petugas, sedang memerlukan 3 petugas, dan berat membutuhkan 5 petugas. Distribusi probabilitas menurut kelompok seperti pada Tabel 6.
Tabel 6. Distribusi Jenis Panggilan Posko Keamanan
Interval angka random untuk jumlah panggilan darurat dan jenis panggilan masing-masing ditunjukkan pada Tabel 7 dan Tabel 8.
Tabel 7. Interval Angka Random Jumlah Panggilan Darurat
Tabel 8. Interval Angka Random Jenis Panggilan Darurat
Simulasi selama 10 hari baik untuk jumlah maupun jenis panggilan darurat disajikan pada Tabel 9.
http://www.mercubuana.ac.id
8
Hari ke- r1 Banyaknya panggilan r2 Jenis panggilan Petugas yang Dikirim Jumlah Petugas Sehari 1 65 4 71 18 12 17 Sedang Ringan Ringan Ringan 3 2 2 2 9 2 48 3 89 18 83 Berat Ringan Sedang 5 2 3 10 3 08 1 90 Berat 5 5 4 05 1 89 Berat 5 5 5 18 2 08 26 Ringan Ringan 2 2 4 6 47 3 94 06 72 Berat Ringan Sedang 5 2 3 10 7 62 4 47 68 60 88 Sedang Sedang Sedang Berat 3 3 3 5 14 8 17 2 36 77 Sedang Sedang 3 3 6 9 43 3 28 31 06 Ringan Sedang Ringan 2 3 2 7 10 68 4 39 71 22 76 Sedang Sedang Ringan Sedang 3 3 2 3 11 Tabel 9. Simulasi selama 10 hari Jumlah dan Jenis Panggilan Darurat
Hasil simulasi menunjukkan :
Rata-rata jumlah panggilan darurat ringan sehari = 10/10 =1 Rata-rata jumlah panggilan darurat sedang sehari = 12/10 = 1.2 Rata-rata jumlah panggilan berat per hari = 5/10= 0.5
Rata-rata jumlah petugas yang dibutuhkan per hari = 8 orang. Jumlah petugas maksimum yang perlu disiapkan = 14 orang.
