Modul 10. PENELITIAN OPERASIONAL MODEL TRANSPORTASI. Oleh : Eliyani PROGRAM KELAS KARYAWAN PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

Modul 10.

PENELITIAN OPERASIONAL

MODEL TRANSPORTASI

Oleh : Eliyani

PROGRAM KELAS KARYAWAN PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI

FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS MERCU BUANA http://www.mercubuana.ac.id

JAKARTA 2007

1. PENDAHULUAN

Suatu jaringan adalah suatu sistem garis-garis atau saluran-saluran yang menghubungkan titik-titik yang berlainan, contohnya antara lain: jaringan rel kereta api, sistem saluran pipa, jaringan jalan raya, dan jaringan

penerbangan. Dalam semua jaringan ini terjadi arus dari titik-titik sumber menuju beberapa titik tujuan. Misalnya, dalam suatu sistem saluran pipa dapat dikirim air, minyak atau gas dari sumber menuju langganan yang meminta.

Terdapat bermacam-macam model jaringan (network model). Masalah jaringan dapat juga dapat dirumuskan sebagai masalah LP dan solusinya diperoleh dengan menggunakan metode simpleks. Tetapi, banyak teknik jaringan khusus telah dikembangkan yang pada umumnya lebih efisien daripada metode simpleks, salah satunya adalah model transportasi.

2. DEFINISI DAN APLIKASI MODEL TRANSPORTASI

Masalah transportasi berhubungan dengan distribusi suatu produk tunggal dari beberapa sumber, dengan penawaran terbatas, menuju beberapa tujuan, dengan permintaan tertentu, pada biaya transpor minimum. Karena hanya ada satu macam barang, suatu tempat tujuan dapat memenuhi permintaannya dari satu atau lebih sumber.

Asumsi dasar model ini adalah bahwa biaya transpor pada suatu rute tertentu proporsional dengan banyaknya unit yang dikirimkan. Definisi unit yang dikirimkan sangat tergantung pada jenis produk yang diangkut, yang penting, satuan penawaran dan permintaan akan barang yang diangkut harus konsisten.

MODEL TRANSPORTASI

a. Masalah Transportasi Seimbang

Untuk menjelaskan masalah transportasi, suatu contoh akan disajikan di mana jumlah supply dari semua sumber sama dengan jumlah permintaan pada semua tempat tujuan. Masalah jenis ini dinamakan masalah

transportasi seimbang.

Sebuah Perusahaan Negara berkepentingan mengangkut pupuk dari tiga pabrik ke tiga pasar. Kapasitas supply ketiga pabrik, permintaan pada ketiga pasar dan biaya transpor per unit disajikan pada Tabel 1.

Tabel 1. Suplai Pupuk dari Tiga Pabrik ke Tiga Pasar

Pasar Penawaran

1 2 3

1 8 5 6 120

Pabrik 2 15 10 12 80

Permintaan

3 3

150

9

70

10

60

80

280

Masalah transportasi ini diilustrasikan sebagai suatu model jaringan pada Gambar 1.

Dikutip dari Mulyono, 2004 by Eliyani

Sumber

(x

volume yang diangkut (X ^ij )

tujuan

Supply S ¹ = 120

1

2

3

1

2

3

Gambar 1. Model jaringan suplai dan permintaan pupuk.

Kendala model menunjukkan jumlah yang dapat ditawarkan oleh masing- masing pabrik dan jumlah yang diminta pada setiap pasar sebagai jumlah dari alternatif-alternatif pengiriman secara individu (rute). Kendalanya berupa persamaan karena masalahnya seimbang (semua barang yang ditawarkan akan didistribusikan dan semua permintaan akan dipenuhi).

Masalah ini dapat dipecahkan dengan menggunakan metode simpleks.

Namun suatu masalah transportasi yang relatif kecil, seperti pada contoh di atas, dapat berkembang menjadi tabel simplex yang besar dengan 6

kendala, 9 variabel keputusan dan 6 artificial variable. Jika diperhatikan lebih lanjut, semua koefisien matriks kendala pada masalah ini sama dengan 1.

Sifat-sifat model ini mengakibatkan pengunaan metode solusi khusus yang perhitungannya lebih efisien dibanding metode simplex.

Ke

Dari

Tujuan

Supply

1 2 . . . j . .. n

S

u m b e r

1 C1

1 X11

C12 . .. C11 . . . C1n

X1n S1

2 C21

X21 C2

X22 2

. .. C21

X21 . . . C2n

X2n .

S2

. . .

. .

. . .

i .

CI1 CI2 . . . Cij

.

. . . Cin S1

. . .

. .

. . .

. . .

m Cm

1 Xm1

Cm 2 Xm2

Cm1

Xm1 Xmn Sn

Demand D1 D2 . .. Dj

. . . Dn

MODEL TRANSPORTASI

a. Tabel Transportasi

Karena bentuk masalah transportasi yang khas, ia dapat ditempatkan dalam suatu bentuk tabel khusus yang dinamakan tabel transportasi. Tabel ini mempunyai bentuk umum seperti ditunjukkan pada Tabel 2.

Tabel 2. Bentuk Umum Tabel Transportasi

Sumber ditulis dalam baris-baris dan tujuan dalam kolom-kolom. Tabel itu punya m x n kotak. Biaya transpor per unit (cij) dicatat pada kotak kecil di bagian kanan atas setiap kotak. Permintaan dari setiap tujuan terdapat pada baris paling bawah, sementara penawaran setiap sumber dicatat pada kolom paling kanan. Kotak pojok kiri bawah menunjukkan kenyataan bahwa

penawaran sama dengan permintaan (S=D). Variabel Xij pada setiap kotak menunjukkan jumlah barang yang diangkut dari sumber i ke tujuan j (yang akan dicari).

Ke

Dari 1 2 3

1 8 5 6

2 15 10 12

80

3 3 9 10

80

Demand 100 70 60 280

Tabel transportasi masalah transportasi pupuk di atas diilustrasikan pada Tabel 3.

Tabel 3. Tabel Transportasi Masalah Pupuk

Dari masalah yang telah disajikan dalam bentuk tabel, dapat diselesaikan melalui satu atau beberapa teknik solusi transportasi. Namun, untuk memulai proses solusi, suatu solusi dasar layak harus ditentukan.

3. SOLUSI AWAL

Pada bentuk umum masalah transportasi di atas, terdapat m kendala penawaran dan n kendala permintaan, keseluruhannya terdapat m + n kendala. Dalam suatu masalah LP banyaknya variabel basis dalam tabel simpleks sama dengan banyaknya kendala. Namun, pada masalah transportasi, terdapat sebuah kendala yang berlebih (redundant).



^{j1 S i}



MODEL TRANSPORTASI

Kondisi keseimbangan m n

j1 D ^j memberikan kenyataan bahwa jika m + n – 1 kendala terpenuhi kemudian m + n -1 persamaan independent.

Sehingga, solusi awal hanya memiliki m + n – 1 variabel basis.

Ada beberapa metode untuk mencari solusi dasar awal layak. Tiga dari metode yang dikenal, yaitu North west Corner, Least Cost, dan Aproksimasi Vogel.

a. Metode North – West Corner

Metode ini adalah yang paling sederhana diantara tiga metode yang telah disebutkan untuk mencari solusi awal. Langkah-langkahnya diringkas seperti berikut :

1) Mulai pada pojok barat laut tabel dan alokasikan sebanyak mugkin pada X ¹¹ tanpa menyimpang dari kendala penawaran atau permintaan (artinya X ¹¹ ditetapkan sama dengan yang terkecil di antara nilai S ¹ da D ¹ )

2) Ini akan menghabiskan penawaran pada sumber 1 dan atau permintaan pada tujuan 1. Akibatnya, tak ada lagi barang yang dapat dialokasikan ke kolom atau baris yang telah dihabiskan dan kemudian baris atau kolom itu dihilangkan. Kemudian alokasikan sebanyak mungkin ke kotak di dekatnya pada baris atau kolom yang tak dihilangkan. Jika baik kolom maupun baris telah dihabiskan, pindahlah secara diagonal ke kotak berikutnya.

3) Lanjutkan dengan cara yang sama sampai semua penawaran telah dihabiskan dan keperluan permintaan telah dipenuhi.

Dikutip dari Mulyono, 2004 by Eliyani

Ke

Dari 1 2 3 Supply

1 8

120

5 6

120

2 15

30

10

50 12

80

3

3 9

20

10

60 80

Demand 150 70 280 280

Pada masalah transportasi pupuk, solusi awal dengan metode North-West Corner ditunjukkan pada Tabel 4.

Tabel 4. Solusi Awal Masalah Pupuk dengan Metode North-West Corner

Solusi awal diperoleh dengan cara seperti berikut :

1) Sebanyak mungkin dialokasikan ke X ¹¹ sesuai dengan aturan bahwa X ¹¹ adalah yang minimum di antara [120, 150], berarti X ¹¹ = 120. Ini

menghabiskan penawaran pabrik 1 dan akibatnya, pada Langkah selanjutnya baris 1 dihilangkan.

2) Karena X ¹¹ = 120, maka permintaan pada tujuan 1 belum terpenuhi sebanyak 30. Kotak di dekatnya, X ²¹ , di alokasikan sebanyak mungkin sesuai dengan X ²¹ = min [30, 80] = 30. ini menghilangkan kolom 1 pada langkah selanjutnya.

3) Kemudian X ²² = min [50, 70] = 50, yang menghilangkan baris 2.

MODEL TRANSPORTASI

4) X ²² = min [20, 80] = 20 5) X ³³ = min [60, 60] = 60

Perhatikan bahwa proses langkah tangga ini menghasilkan solusi awal dengan 5 (=3+3 -1) variabel basis dan 4 variabel nonbasis (yaitu alokasi nol).

Untuk alokasi ini, biaya transpor total adalah :

Z = (8x120) + (15x30) + (10x50) + (9x20) + (10x60) = 2690

Ingat bahwa ini hanya solusi awal sehingga tidak perlu optimum.

Kenyataannya dari tiga metode untuk memperoleh suatu solusi awal,

metode ini adalah yang paling tidak efisien, karena ia tidak mempertimbangkan biaya transpor per unit dalam membuat alokasi.

Akibatnya, mungkin diperlukan beberapa iterasi solusi tambahan sebelum solusi optimum diperoleh.

b. Metode Least-Cost

Metode Least-Cost berusaha mencapai tujuan minimisasi biaya dengan alokasi sistematik kepada kotak-kotak sesuai dengan besarnya biaya transpor per unit . Prosedur metode ini adalah :

1. Pilih variabel X ^ij (kotak) dengan biaya transpor (C ^ij ) terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin. Untuk C ^ij terkecil, X ^ij = minimum [S ⁱ ,

D ^j ]. Ini akan menghabiskan baris i atau kolom j.

2. Dari kotak-kotak sisanya yang layak (yaitu yang tidak terisi atau tidak dihilangkan), pilih nilai C ^ij terkecil dan alokasikan sebanyak mungkin.

3. Lanjutkan proses ini sampai semua penawaran dan permintaan terpenuhi.

Ke

Dari 1 2 3 Supply

1 8 5 6

120

2 15 10 12

80

3

80 3 9 10

80

Demand 150 70 60 280

Pikirkan lagi contoh transportasi pupuk. Tabel 5 menunjukkan alokasi kotak awal dengan metode Least-Cost.

Tabel 5. Solusi Awal Masalah Pupuk dengan Metode Least Cost

Langkah pertama dalam metode Least-Cost menyarankan alokasi pada X 31 , karena c 31 = 3 adalah kotak dengan biaya minimum. Jumlah yang

dialokasikan adalah X 31 = minimum [150, 80] = 80. Karena alokasi ini

menghabiskan penawaran sumber 3, baris 3 dihapus, dan X ³² maupun X ³³ tak layak lagi. Juga, permintaan sebanyak 150 pada tujuan 1 dikurangi 80 sehingga sekarang permintaannya tinggal 70.

Alokasi kotak selanjutnya dipilih dari 6 kotak sisanya, c ij terkecil adalah c 12 = 5 dan X 12 = minimum [70, 120] = 70. Alokasi ini ditunjukkan pada Tabel 6.

Ke

Dari 1 2 3 Supply

1 8 5

70

6 120

2 15 10 12

80

3

80 3 9 10

60 80

Demand 150 70 60 280

MODEL TRANSPORTASI

Tabel 6. Tabel transportasi kedua Masalah Pupuk dengan Metode Least Cost

Jika terdapat nilai C ^ij terkecil yang kembar, pilih di antara kotak itu secara sembarangan. Karena ini hanya merupakan solusi awal yang tidak

berpengaruh terhadap solusi optimum, kecuali mungkin memerlukan iterasi lebih banyak untuk mencapainya.

Solusi awal dengan metode Least-Cost pada Tabel 6 adalah X ¹² =70, X ¹³ =50, X ²¹ =70, X ²³ =10, dan X ³¹ =80 dengan biaya transport Z = 2.060.

Membandingkan solusi awal yang diperoleh dari metode Least-Cost dengan North-West menunjukkan bahwa dengan metode Least-Cost terjadi penurunan sebesar 630 (=2.690 – 2.060). Pada umumnya, metode Least- Cost akan memberikan solusi awal lebih baik (biaya lebih rendah) dibanding metode North-West Corner. Karena metode Least-Cost menggunakan biaya

Dikutip dari Mulyono, 2004 by Eliyani

per unit sebagai kriteria alokasi sementara metode North-West tidak.

Akibatnya, banyaknya iterasi tambahan yang diperlukan untuk mencapai solusi optimum lebih sedikit. Namun, dapat terjadi meskipun jarang, di mana solusi awal yang sama atau lebih baik dicapai melalui metode North-West Corner.

c. Metode Aproksimasi Vogel (VAM)

VAM selalu memberikan suatu solusi awal yang lebih baik disbanding

metode North-west Corner dan sering kali lebih baik daripada metode Least- Cost.

Kenyataannya, pada beberapa kasus, solusi awal yang diperoleh melalui VAM akan menjadi optimum. VAM melakukan alokasi dalam suatu cara yang akan meminimumkan penalty (apportunity cost) dalam memilih kotak yang salah untuk suatu alokasi. Proses VAM dapat diringkas sebagai berikut : 1. Hitung Opportunity cost untuk setiap baris dan kolom. Opportunity cost

untuk setiap baris I dihitung dengan mengurangkan nilai C ^ij terkecil pada

baris itu dari nilai C ^ij satu tingkat lebih besarpada baris yang sama.

Opportunity cost kolom diperoleh dengan cara yang serupa. Biaya-biaya ini adalah penalty karena tidak memilih kotak dengan biaya minimum.

2. Pilih baris atau kolom dengan opportunity cost terbesar (jika terdapat nilai kembar, pilih secara sembarang). Alokasikan sebanyak mungkin ke kotak dengan nilai C ^ij minimum pada baris atau kolom yang dipilih. Untuk C ^ij terkecil, X ^ij =minimum [S ⁱ ,D ^j ]. Artinya penalty terbesar dihindari.

3. Sesuaikan penawaran dan permintaan untuk menunjukkan alokasi yang sudah dilakukan. Hilangkan semua baris dan kolom di mana penawaran dan permintaan telah dihabiskan.

Ke

Dari 1 2 3 Supply

1 8 5 6

120

2 15 10 12

80

3

80 3 9 10

80

Demand 150 70 60 280

MODEL TRANSPORTASI

4. Jika semua penawaran dan permintaan belum dipenuhi, kembali ke langkah 1 dan hitung lagi opportunity cost yang baru. Jika semua penawaran dan permintaan telah dipenuhi, solusi awal telah diperoleh.

Penerapan langkah-langkah pada contoh transportasi pupuk memberikan suatu alokasi VAM awal seperti ditunjukkan Tabel 7.

Tabel 7. Solusi Awal Masalah Pupuk dengan Metode VAM

Penalty costs baris 1

2

6

Penalty 5 4 4

Cost kolom

Sebagai suatu contoh perhitungan penalty cost, pikirkan baris pertama. Nilai C ^ij terkecil adalah 5 untuk C ¹² . Kemudian yang satu tingkat lebih besar

adalah C ¹³ = 6 sehingga penalty cost adalah beda antara dua nilai ini, 6-5 = 1. Semua baris dan kolom yang lain dihitung dengan cara serupa.

Penalty cost terbesar untuk Tabel 7 adalah 6 yang terdapat pada baris 3.

Alokasi pada baris ini dibuat pada kotak dengan nilai C ^ij terkecil, dalam hal ini X ³¹ = minimum [80, 150] = 80. Sekarang tabel harus disesuaikan untuk menunjukkan sumber ke 3 telah terpakai habis dengan cara menghapus

Ke

Dari 1 2 3 Supply

1 8

70 5 6

120

2 15 10 12

80

3

80 3 9 10

80

Demand 150 70 60 280

baris 3. Di samping itu, permintaan yang belum terpenuhi pada tujuan 1 menjadi 70 bukan lagi 150. Tabel yang disesuaikan dengan perhitungan ulang penalty cost dan alokasi kedua diyunjukkan pada Tabel 8.

Tabel 8. Tabel Transportasi Kedua Masalah Pupuk dengan Metode VAM

Penalty costs baris 1

2

Penalty 7 5 6

Cost kolom

5. MENENTUKAN SOLUSI OPTIMUM

Setelah solusi layak dasar awal diperoleh, kemudian dilakukan perbaikan untuk mencapai solusi optimum. Dua metode mencari solusi optimum akan dibahas di sini, yaitu metode stepping-stone dan modified distribution.

a. Metode Stepping Stone

Setelah solusi layak dasar awal diperoleh dari masalah transportasi, langkah berikutnya adalah menekan ke bawah biaya transport dengan memasukkan variabel nonbasis (yaitu alokasi barang ke kotak kosong) ke dalam solusi.

Ke 1 2 3 Supply

1 -1 8

120

5 +1

6 120

2 +1 15 30

-1 10 50

12 80

3

3 9

20

10

60 80

Demand 150 70 60 280

MODEL TRANSPORTASI

Proses evaluasi variabel non basis yang memungkinkan terjadinya

perbaikan solusi dan kemudian mengalokasikan kembali dinamakan metode stepping stone.

Ini adalah proses jalur tertutup dalam prosedur stepping stone. Jalur untuk X ¹² ini ditunjukkan pada Tabel 9.

Tabel 9. Jalur X12 Metode Stepping Stone.

Beberapa hal penting perlu disebutkan dalam kaitannya dengan penyusunan jalur stepping stone.

1) Arah yang diambil, baik searah maupun berlawanan arah dengan jarum jam adalah tidak penting dalam membuat jalur tertutup.

2) Hanya ada satu jalur tertutup untuk setiap kotak kosong

3) Jalur harus hanya mengikuti kotak terisi (di mana terjadi perubahan arah), kecuali pada kotak kosong yang sedang dievaluasi.

4) Namun, baik kotak terisi maupun kosong dapat dilewati dalam penyusunan jalur tertutup

a. Metode Modified Distribution (MODI)

Solusi dengan menggunakan metode Modified Distribution (MODI) adalah suatu variasi metode stepping stone yang didasarkan pada rumusan dual. Ia berbeda dari variasi metode stepping stone dalam hal bahwa dengan MODI tidak perlu menentukan semua jalur tertutup variabel nonbasis. Sebagai

gantinya, nilai-nilai C ^ij ditentukan secara serentak dan hanya jalur tertutup untuk entering variable yang diidentifikasikan. Ini menghilangkan tugas yang melelahkan dari identifikasi semua jalur stepping stone.

Dalam metode MODI, suatu nilai U ⁱ dirancang untuk setiap baris I dan suatu nilai, Vj, dirancang untuk setiap kolom j pada tabel transportasi. Untuk setiap variabel basis (yaitu kotak yang ditempati), X ^ij mengikuti hubungan seperti berikut :

Ui + Vj = C ^ij

di mana C ^ij adalah biaya transport per unit.

Metode MODI dapat diringkas dalam langkah-langkah berikut:

1). Yentukan nilai U ⁱ untuk setiap baris dan nilai-nilai V j untuk setiap kolom dengan menggunakan hubungan C ^ij = U ⁱ + V j untuk semua variable

basis dan tetapkan nilai nol untuk U ¹

2). Hitung perubahan biaya C ^ij untuk setiap variable non basis dengan menggunakan rumus C ^ij = C ^ij - U ⁱ - V j

MODEL TRANSPORTASI

3) Jika terdapat nilai C ^ij negatif, solusi belum optimal. Pilih variable X ^ij dengan nilai C ^ij negative terbesar sebagai entering variable

4)Alokasikan barang ke entering variable, X ^ij , sesuai proses stepping stone. Kembali ke langkah 1

d. Masalah transportasi tak seimbang

Sejauh ini hanya dibahas masalah transportasi seimbang, di mana penawaran sama dengan permintaan. Kenyataannya, kasus seimbang adalah kekecualian. Pada umumnya, kebanyakan masalah adalah tak seimbang di mana penawaran lebih besar daripada permintaan atau

sebaliknya. Dalam kasus masalah tak seimbang, metode solusi transportasi membutuhkan sedikit modifikasi.

Dalam kasus di mana penawaran lebih besar daripada permintaan,

diperlukan modifikasi tabel yang sebaliknya, suatu kolom dummy ditambahkan. Misalkan dalam masalah transportasi pupuk, jika permintaan pada tujuan 1 adalah 100 dan bukan lagi 150, maka jumlah permintaan menjadi 230 dan jumlah penawaran tetap 280. Sekali lagi, metode solusi tidak berubah dalam kasus ini. Tabel yang telah dimodifikasi disajikan pada Tabel 10.

d. Degenerasi

Untuk mengevaluasi kotak kosong dalam menetukan entering variable, banyaknya kotak terisi (variabel basis) harus sama dengan m + n – 1. Jika suatu tabel transportasi memiliki kurang dari m + n – 1 kotak terisi, ini adalah degenerasi. Peristiwa ini dapat terjadi baik pada solusi awal atau selama iterasi berikutnya. Dilarang menerapkan metode solusi stepping stone atau

Dikutip dari Mulyono, 2004 by Eliyani

Ke 1 2 3 Dummy Supply

1 8 5 6 0

120

2 15 10 12 0

80

3

3 9 10 0

80

100 70 60 50 280

MODI jika terjadi degenerasi. Tanpa m + n – 1 variabel basis adalah tak mungkin menentukan semua jalur tertutup atau menyelesaikan m + n -1 persamaan MODI ( U ⁱ + V ^j = C ^ij ).

Tabel 10. Tabel Transportasi yang Telah Dimodifikasi

f. Solusi Optimum Ganda

Solusi optimum unik terhadap suatu masalah transportasi terjadi jika perubahan biaya, C ^ij , untuk semua variabel non basis adalah positif.

Namun, seperti pada tabel simpleks, jika suatu variabel nonbasis memiliki perubahan biaya sama dengan nol (C ^ij = 0), maka terjadi solusi optimum ganda. Artinya biaya transpor tetap sama tetapi terdapat suatu kombinasi alokasi yang berbeda.

g. Rute Terlarang

Dalam praktek sering ditemui masalah di mana adalah tidak mungkin

mengangkut barang melewati rute tertentu. Suatu masalah transpor dengan

MODEL TRANSPORTASI

rute-rute terlarang dapat ditunjukkan dengan menetapkan suatu nilai C ^ij yang besar, M, kepada X ^ij yang dilarang. Proses solusinya dijalankan dengan memperlakukan nilai M seperti nilai C ^ij yang lain. Seperti dalam

tabel simpleks, variabel dengan C ^ij =M akhirnya akan dikeluarkan dari solusi. Hasil yang sama dapat diperoleh dengan menutup kotak terlarang dan mengebaikannya dalam proses solusi.

Dikutip dari Mulyono, 2004 by Eliyani