PERTEMUAN 1 Sensus vs Survei Alasan Penggunaan Sampling Konsep-konsep dalam Sampling Kerangka sampel Keuntungan dan kelemahan Sampling Probability

LOGO

PERTEMUAN 1

 Sensus vs Survei  Alasan Penggunaan Sampling  Konsep-konsep dalam Sampling  Kerangka sampel  Keuntungan dan kelemahan Sampling  Probability dan Nonprobability Sampling

LOGO

 Tidak menggunakan kaidah peluang dalam pemilihan sampel

 Hasil surveinya tidak dapat digunakan untuk melakukan pendugaan

(estimasi) terhadap karakteristik populasi

 Menggunakan kaidah peluang

(probability) dalam pemilihan sampel  Hasil surveinya dapat digunakan

untuk melakukan pendugaan (estimasi) terhadap karakteristik populasi

Mengumpulkan data dari sebagian elemen populasi

Mengumpulkan data dari seluruh elemen dalam populasi

Metode Pegumpulan Data

Probability

sampling Nonprobability Sampling

Pengumpulan data

Sensus _(sampling) Survei

Catatan administrasi (registrasi)

Sensus



Pengumpulan data untuk mendapatkan informasi

dari semua elemen dalam populasi



Undang-undang No.16 Tahun 1997, tentang

Statistik:

 Sensus Penduduk (tahun berakhiran-0)  Sensus Pertanian (tahun berakhiran-3)  Sensus Ekonomi (tahun berakhiran-6)



Dalam sensus biasanya dikumpulkan data dasar /

pokok



Karakteristik yang dicakup terbatas



Penyajian sampai wilayah satuan unit kecil seperti

LOGO

Keuntungan dan Kelemahan Sensus



Keuntungan

1. Dapat menyajikan data wilayah kecil

2. Dapat dijadikan kerangka sampel (frame)



Kelemahan

1. Cakupan variabel terbatas

2. Waktu lama

3. Biaya besar

4. Ketelitian kurang

Mengapa Sampling?

1. Sumber daya terbatas

2. Waktu yang tersedia terbatas 3. Pengamatan kadang bersifat merusak 4. Mustahil mengamati seluruh anggota populasi

bagaimana caranya dengan mengambil dan menggunakan data sampel kita dapat mengambil

LOGO

Prinsip-Prinsip Sampling Theory

1. Prinsip validitas

Design sampling harus menjamin adanya estimasi yang valid dari parameter-parameter populasi.

2. Prinsip “Statistical Regularity”

Jumlah sampel yang diambil secara random dari populasi secara rata-rata akan mempunyai karakteristik yang

sama/menyerupai karakteristik populasi.

3. Prinsip optimisasi.

Desain sampling (metode penarikan sampel dan estimasi): a. Dengan tingkat ketelitian tertentu, diperlukan sumber

daya yang minimum, atau

b. Dengan biaya tertentu, memberikan ketelitian yang optimum

LOGO

Konsep dan Definisi

 Populasi

Populasi merupakan agregasi dari seluruh elemen yang perlu ditentukan berikut isi, unit, cakupan, dan waktu.

Contoh populasi: semua penduduk yang bertempat tinggal dalam rumahtangga biasa di Kecamatan Polobangkang Selatan,

Kabupaten Takalar, pada bulan September tahun 2012

 Populasi dibedakan menjadi finite populaton dan infinite

population, tergantung dari jumlah unitnya terbatas atau tidak

terbatas

 Continous population: populasi yang terdiri dari zat/benda

(mass of matter) yang tidak bisa diidentifikasi/dibedakan dengan mudah dan unit atau kumpulan unitnya terbentuk secara alami. Contoh: Populasi air di danau.

Dalam praktiknya, kita akan memfokuskan hanya pada finite population saja MPC1

LOGO

Konsep dan Definisi



Populasi Target

Target populasi merupakan sub populasi dari

elemen yang ada pada populasi yang berbagai

indikatornya akan dicari, seperti penduduk usia

7-12 tahun.



Karakteristik

Ciri, sifat atau hal-hal yang dimiliki elemen,

seperti penghasilan, pengeluaran, biaya, jumlah

anggota rumahtangga.

Nilai karakteristik yang dihitung (diestimasi) dapat

berupa rata-rata, total, rasio, proporsi, persentase, dan sebagainya

LOGO

Konsep dan Definisi

 Elemen (elementary unit)

 Elemen adalah unit yang digunakan untuk mendapatkan

informasi, misalnya individu, rumah tangga, perusahaan, dsb.  Unit observasi

 Unit observasi adalah unit dimana informasinya diperoleh baik secara langsung maupun melalui responden tertentu.  Elemen sangat erat kaitannya dengan unit observasi.

 Elemen bisa sama dengan unit observasi, sebagai contoh

rumahtangga adalah selain sebagai elemen juga dapat sebagai unit observasi, misal pengumpulan data keadaan tempat

tinggal.

 Unit observasi bisa individu dari elemen yang mewakili sekumpulan elemen, misalnya kepala rumah tangga yang memberikan informasi mengenai anggota rumah tangganya.

Konsep dan Definisi

 Unit sampling (sampling unit)

 Unit sampling adalah unit yang dijadikan dasar penarikan sampel baik berupa elemen maupun kumpulan elemen (klaster).

 Contoh:

1. Unit sampling elemen: rumah tangga

2. Unit sampling klaster: kumpulan rumahtangga pada wilayah tertentu seperti blok sensus, RT/RW, bahkan desa.

 Selain rumahtangga, cukup banyak unit yang bisa dijadikan unit sampling sesuai dengan tujuan survei seperti sekolah, kelas, perusahaan, dsb.

 Unit analisis

 Unit yang digunakan pada tahap tabulasi data, bisa berupa elemen atau kumpulan elemen.

 Unit analisis tidak selalu sama dengan unit observasi

 Misal: unit observasi adalah rumah tangga (atau lebih spesifik kepala

rumah tangga). Unit analisisnya bisa rumah tangga itu sendiri atau anggota rumah tangga

LOGO

Konsep dan Definisi

 Kerangka Sampel

Kerangka sampel adalah daftar semua unit yang akan dijadikan

sampling unit (sebagai dasar penarikan sampel) dan harus

memenuhi persyaratan kerangka sampel yang dibentuk dari master

file.

 Survey period: the time period during which the required data are collected.

 Reference period: the time period to which the data information should refer. It depends on the objective of the survey

Konsep dan Definisi



Prasyarat yang harus diperhatikan:



Desain probability sampling baru dapat

diaplikasikan

bila tersedia kerangka sampel

sesuai metode sampling yang ditetapkan.



Metode sampling yang dipilih harus

dapat

diaplikasikan di lapangan

ditinjau dari segi unit

sampling dan biaya.



Metode yang telah ditentukan harus

benar-benar

LOGO

Contoh Kasus 1:

 Populasi:

semua mahasiswa STIS tahun 2012

 Populasi target:

semua mahasiswa STIS tahun 2012

 Kerangka sampel:

daftar mahasiswa STIS tahun 2012

 Unit sampling:

mahasiswa STIS

 Unit observasi:

mahasiswa STIS

 Karakteristik yang diteliti:

pengeluaran sebulan

 Nilai karakteristik yang diestimasi:

rata-rata

 Unit analisis:

mahasiswa STIS

MPC1

Suatu survei dilakukan dengan tujuan untuk mengetahui rata-rata pengeluaran sebulan mahasiswa STIS tahun 2012. Definisikan apa yang menjadi populasi, populasi target, kerangka sampel, unit

sampling, unit observasi, karakteristik yang diteliti, nilai karakteristik yang diestimasi, dan unit analisnya!

Contoh Kasus 2:

 Suatu survei bertujuan untuk memperkirakan total biaya produksi dari rumah tangga yang mengusahakan tanaman hortikultura di Desa Kayuwangi Mei 2012.

 Populasi: semua rumah tangga di Desa Kayuwangi Mei 2012

 Populasi target: semua rumah tangga yang mengusahakan

tanaman hortikultura Mei 2012

 Kerangka sampel: Daftar rumah tangga yang mengusahakan

tanaman hortikultura di Desa Kayuwangi Mei 2012

 Unit sampling: rumah tangga yang mengusahakan tanaman

hortikultura

 Unit observasi: rumah tangga yang mengusahakan tanaman

hortikultura (kepala rumah tangga)

 Karakteristik yang diteliti: biaya produksi

 Nilai karakteristik yang diestimasi: total

 Unit analisis: rumah tangga yang mengusahakan tanaman

LOGO

MPC1

Contoh Kasus 3:

 Suatu survei bertujuan untuk memperkirakan rasio murid-guru Sekolah Dasar di Provinsi DIY bulan September 2012.

 Populasi: semua Sekolah Dasar di Provinsi DIY September

2012

 Populasi target: semua Sekolah Dasar di Provinsi DIY

September 2012

 Kerangka sampel: Daftar Sekolah Dasar di Provinsi DIY

September 2012

 Unit sampling: Sekolah Dasar

 Unit observasi: Sekolah Dasar

 Karakteristik yang diteliti: jumlah murid, jumlah guru

 Nilai karakteristik yang diestimasi: rasio

Contoh Kasus 4:

 Suatu survei bertujuan di Kelurahan Rawajati Mei 2012 bertujuan untuk:

1. Memperkirakan proporsi balita dengan gizi buruk.

2. Memperkirakan rata-rata pengeluaran rumah tangga yang mempunyai balita dengan status gizi buruk

 Populasi: semua rumah tangga di Kelurahan Rawajati Mei 2012

 Populasi target: semua rumah tangga yang mempunyai balita di

Kelurahan Rawajati Mei 2012

 Kerangka sampel: Daftar rumah tangga yang mempunyai balita di

Kelurahan Rawajati Mei 2012

 Unit sampling: rumah tangga yang mempunyai balita

 Unit observasi: rumah tangga yang mempunyai balita

Karakteristik

yang diteliti Nilai karakteristik yang diestimasi Unit analisis

LOGO

Kerangka Sampel

 Kerangka sampel harus memenuhi persyaratan: 1. Tersedia sampai dengan unit sampling

2. Batas jelas

3. Tidak tumpang tindih atau terlewat 4. Ada korelasi dengan data yang diteliti 5. Mutakhir

 Persyaratan tsb diperlukan agar tidak terjadi:

1. Unit sampling yang tidak dijumpai 2. Unit sampling yang duplikasi

3. Unit sampling yang terpecah 4. Unit sampling yang tergabung

5. Unit sampling baru yang belum tercakup

Kerangka Sampel

 Dalam bentuk daftar sampling unit/list frame (seperti daftar rumah tangga, daftar perusahaan industri

besar/sedang, diretori perusahaan pertanian dsb)

 Dalam bentuk peta/area frame/map frame (peta blok sensus, peta desa,dsb)  menunjukkan batas geografis dari sampling unit atau kumpulan sampling unit.

Bentuk Kerangka Sampel

Konsep dan Definisi Blok Sensus:

Blok sensus biasa (B) adalah blok sensus yang sebagian besar muatannya antara 80 sampai 120 rumahtangga atau bangunan tempat tinggal atau bangunan bukan tempat tinggal atau gabungan keduanya.

Blok sensus khusus (K) adalah blok sensus yang tertutup untuk umum. Tempat-tempat yang biasa dijadikan blok sensus khusus antara lain asrama/barak militer, asrama perawat, panti asuhan dengan 100 penghuni atau lebih dan lembaga pemasyarakatan (tidak ada batasan jumlah penghuni).

LOGO

Keuntungan Survei Sampel

1. Menghemat biaya

2. Mempercepat penyajian hasil survei

3. Cakupan materi lebih luas

4. Akurasi data lebih tinggi

Kelemahan Survei Sampel



Penyajian sampai wilayah kecil (seperti kecamatan

atau desa) dengan sampel yang terbatas tidak akan

dapat dipenuhi



Penyajian variabel langka/jarang terjadi/proporsi

kecil tidak dapat dipenuhi



Bila diperlukan trend data untuk mengukur

perubahan yang sangat kecil, survei sampel dari satu

periode ke periode berikutnya kemungkinan tidak

dapat digunakan, kecuali bila digunakan panel (sampel

sama untuk beberapa periode)



Apabila tidak tersedia kerangka sampel maka

LOGO

Probability Sampling

 Metode pemilihan sampelnya berdasarkan teori peluang  Setiap unit dari populasi memiliki peluang untuk terpilih

sebagai sampel (besarnya peluang tidak boleh sama dengan nol)

 Besarnya peluang dapat sama (equal probability) atau tidak sama (unequal probability) tergantung dari metode sampling yang digunakan

 Untuk keperluan penarikan sampel diperlukan kerangka sampel

 Oleh karena setiap unit dalam populasi mempunyai peluang untuk terpilih dalam sampel dan besarnya juga telah

diperhitungkan, maka dimungkinkan untuk menghasilkan estimasi parameter dari populasi seperti total, rata-rata, proporsi, dan sebagainya.

Probability Sampling harus memenuhi 4 kriteria

1. Kita bisa mendefinisikan “the set of distinct samples” yang bisa dipilih

2. Setiap sampel mempunyai probability untuk dipilih, dan besarnya probability diketahui

3. Terpilihnya sampel dengan proses automatic randomization, konsisten dengan probability-nya

4. Metode untuk menghitung estimasinya harus

menggunakan sampling weight dan menghasilkan nilai estimasi yang unik.

LOGO

Probability Sampling

Probability Sampling Sampling Elemen Simple Random Sampling (SRS) Systematic sampling PPS Sampling Stratified Sampling Sampling Klaster Single Stage Cluster Sampling Multistage Sampling Dipelajari di MPC 1 Dipelajari di MPC 2 MPC1

LOGO

Nonprobability Sampling



Sampel dipilih dengan sebuah metode

non-random



Dalam memilih sampel sangat tergantung pada

kebijaksanaan atau pertimbangan dari peneliti



Dapat digunakan tanpa menggunakan kerangka

sampel



Kelemahan:

1. Tidak dapat melakukan generalisasi populasi

berdasarkan data sampel

2. Tidak mungkin untuk mengukur tingkat

ketelitian (presisi) data dari sampelnya

3. Kesalahan frame atau nonrespon tidak dapat

LOGO

Nonprobability Sampling



Convenience sampling



Prosedur untuk mendapatkan unit sampel

menurut keinginan peneliti dengan

menggunakan sampel yang paling sederhana dan

ekonomis



Tidak memerlukan daftar populasi yang panjang



Seringkali menghasilkan output penelitian

dengan tingkat objektivitas yang rendah



Variabilitas dan bias tidak dapat diukur atau

dikontrol

Nonprobability Sampling



Judgement (purposive) sampling



Peneliti memilih sampel berdasarkan

penilaian

terhadap beberapa karakteristik anggota sampel

yang disesuaikan dengan tujuan penelitian



Peneliti ahli memilih sampel untuk memenuhi

tujuannya, seperti meyakinkan bahwa semua

populasi mempunyai karakteristik tertentu



Biasanya dilakuakn bila unit yang dipilih sedikit,

misalnya melakukan studi kasus di daerah kecil



Biaya moderat, namun hasilnya bias karena sampel

tidak representatif

LOGO

Nonprobability Sampling



Contoh Judgement (Purposive) Sampling:

Sebuah penelitian mengenai pengaruh

pengumuman merger dan akuisisi terhadap return

saham perusahaan target di Bursa Efek Jakarta.

Sampel penelitiannya adalah semua perusahaan

yang dijadikan target merger dan akuisisi pada

tahun 1991-1997, dengan alasan pada akhir 1997

Indonesia

dilanda

krisis

ekonomi

yang

mengakibatkan kesulitan likuiditas. Dari kriteria tsb,

diperoleh 36 perusahaan yang dijadikan sampel

penelitian.

Nonprobability Sampling



Quota sampling



Peneliti mengklasifikasikan populasi menurut

kriteria tertentu (partinent properties), menentukan

proporsi sampel yang

dikehendaki

untuk tiap kelas,

menetapkan kuota untuk setiap pewawancara



Tidak memerlukan daftar populasi lagi



Memberikan hasil klasifikasi yang bias



Penyimpangan hasil populasi tidak dapat

diperkirakan karena penggunaan seleksi yang

LOGO

Nonprobability Sampling



Haphazard sampling



Peneliti memilih sampel tanpa prosedur khusus atau

tanpa mengontrol dalam pemilihan sampel



Misal: menanyakan sukarelawan untuk

berpartisipasi dalam pendidikan



Cara ini mudah, murah, dan berguna hanya untuk

bentuk yang kesannya umum atau secara garis besar

saja



Hasilnya bias dan tidak dapat menduga nilai

populasi

LOGO

Nonprobability Sampling



Snowball sampling



Peneliti memilih sampel di mana responden awal

(pertama) dipilih dengan metode probabilitas,

kemudian responden selanjutnya diperoleh dari

informasi yang diberikan oleh responden yang

pertama



Keuntungan: memungkinkan ditekannya ukuran

sampel dan biaya, bermanfaat untuk pengalokasian

anggota populasi yang jumlahnya sedikit



Kelemahan: hasilnya bias karena jumlah sampel

tidak independen (orang yang direkomendasikan

oleh responden terdahulu untuk diwawancarai

memiliki kemungkinan kemiripan)

LOGO

Nonprobability Sampling

Identifikasi Responden Snowball

LOGO

PERTEMUAN 2

 Sampling Error dan Nonsampling Error  Parameter dan Statistik  All Possible Sample  Expected Value dan Bias  Mean Square Error  Distribusi sampling

LOGO

Error

Sampling error

Kesalahan karena

faktor sampling

Non-sampling error

Kesalahan bukan

karena faktor sampling

Kesalahan (Error) dalam Pengumpulan Data



Setiap pengukuran tidak akan terlepas dari kemungkinan

adanya kesalahan (error)



Kesalahan dalam pengumpulan data ada 2, yaitu sampling

error dan nonsampling error

Total Error

A

B

C

Besar kesalahan (error) Sampling error

Non sampling error

Ukuran sampel (n)

LOGO

Sampling Error

 Kesalahan (error) timbul berkenaan dengan penarikan kesimpulan tentang populasi berdasarkan observasi terhadap sebagian unit populasi (sampel)

 Error ini tidak akan muncul pada pencacahan

lengkap/complete enumeration/sensus

 Sampel dengan sampling error terkecil selalu

dipertimbangkan sebagai representasi yang baik dari populasi

 Nilai sampling error akan menurun dengan peningkatan ukuran sampel (sample size)

 Penurunan nilai sampling error akan berbanding terbalik terhadap akar kuadrat dari sample size

Cara Mengurangi Sampling Error

Memperbesar ukuran sampel (sample size)

Tetapi cara ini bisa meningkatkan nonsampling error

Sampling design yang tepat

Misalnya tanpa menambah jumlah sampel, sampling

error bisa ditekan dengan menggunakan stratified

random sampling

LOGO

Nonsampling Error



Kesalahan (error) yang timbul terutama pada

tahap pengumpulan dan pengolahan data.



Error ini muncul di dalam pencacahan lengkap

(sensus) dan survei sampel



Error ini akan meningkat seiring dengan

peningkatan ukuran sampel



Error ini akan lebih besar pada pencacahan

lengkap (sensus) daripada survei

Nonsampling Error

1. Conceptual Error

a. Error dalam penggunaan konsep, definisi , dan

klasifikasi.

b. Error dalam perencanaan (kuesioner desain,

frame, pelatihan petugas, instruksi dalam

manual)

2. Error karena penggantian sampel

a. Kesalahan identifikasi unit sampling

b. Unit sampling tidak ditemukan

c. Unit sampling sulit dijangkau (bencana alam,

faktor keamanan, faktor alam, dsb)

LOGO

Nonsampling Error

4. Kesalahan Petugas

a. Tidak dipahaminya konsep dan definisi

b. Under/over coverage

c. Petugas kurang gigih menggali informasi

responden

Dishonest Interviewer

Daripada capek cari responden, aku berburu saja. Nanti

kuesioner aku isi sendiri

Nonsampling Error

5. Error karena responden

a. Kurangnya penjelasan petugas kepada

responden tentang tujuan/maksud dari survei

dan maksud dari item-item pertanyaan

b. Responden tidak bisa menjawab atau menolak

c. Responden terlalu reaktif dan menghubungkan

dengan hal-hal lain yang tak terkait dengan

survei

LOGO

Nonsampling Error

6. Error Pengolahan Data

a. Error Receiving dan batching

b. Error Editing dan coding

c. Error Entry data

d. Error Validasi data

e. Error Cross-check table

Cara Mengurangi Nonsampling Error



Callback



Rewards and incentive



Trained interviewers



Data check (monitoring)

LOGO

Parameter vs Statistik

data populasi pengolahan/analisis parameter

data sampel pengolahan/analisis statistik

Statistik merupakan nilai yg dihitung dari hasil survei sample mengenai

karakteristik, biasanya untuk tujuan membuat estimasi populasi.

 Jika digunakan untuk membuat estimasi nilai karakteristik populasi akan disebut sebagai penduga (estimator).

MPC1 Parameter : sebuah fungsi nilai frekuensi dari seluruh N unit (populasi)

Contoh:

Total: 𝑌₁ + 𝑌₂ + ⋯ + 𝑌_𝑁 = 𝑁_𝑖=1𝑌_𝑖 = 𝑌 Rata-rata: total dibagi jumlah unit, 𝑌 = 1

𝑁 𝑌𝑖 = 𝑌 𝑁 𝑁

Estimator vs Estimate



Estimator

is a statistics obtained by specified

procedure for estimating a population parameter.

The estimator is a random variable as its value differs

from sample to sample and the samples are selected

with specified probability.



The particular value, which the estimator takes for a

given sample, is known as an

estimate

LOGO

Notasi

Pada metode sampling telah disepakati adanya notasi dengan “huruf besar” menyatakan data populasi dan “huruf kecil”

menyatakan nilai sampel

No Rincian Populasi Sampel

1 Nilai karakteristik unit ke-i 𝑌_𝑖 𝑦_𝑖

2 Rata-rata nilai karakteristik 𝑌 _{𝑦 = 𝑌}

3 Total nilai karakteristik 𝑌 𝑌

4 Banyaknya unit sampling 𝑁 𝑛

5 Varians 𝑆2 𝑠2

6 Proporsi 𝑃 𝑝 = 𝑃

7 Rasio 𝑅 𝑟 = 𝑅

Varians dan Varians Sampling

 Varians (𝑠2) menunjukkan bagaimana tingkat

homegenitas/heterogenitas nilai karakteristik unit dalam populasi.

 Akar dari varians (𝑠2) disebut standar deviasi.  Varians sampling 𝑣(𝜃 ) , varians ini berbeda dengan

varians yang dinyatakan dengan 𝑠2. Varians sampling

menunjukkan tingkat keragaman dari nilai-nilai estimasi  Akar dari varians sampling disebut standard error atau

sampling error  𝑠𝑒(𝜃 ).

 Standar error dibagi nilai estimasi karakteristik disebut relative standar error (rse), biasanya dinyatakan dalam

LOGO

All Possible Samples



Misalkan, kita ingin memilih sebanyak 𝑛 sampel dari

populasi sebanyak 𝑁 unit .



Dalam pemilihan sampel, terdapat 2 cara yaitu dengan

pengembalian (with replacement/wr) dan tanpa

pengembalian (without replacement/wor).



All posible sample:



With replacement (wr)--- > terdapat 𝑁

𝑛

possible sample



Without replacement (wor)--- > terdapat 𝑁

𝑛

=

𝑁! 𝑛! 𝑁−𝑛 !

possible sample

All Posible Sample



Misal, kita akan memilih 2 orang sampel dari populasi

3 orang yaitu A, B, C.



Jika pemilihan dilakukan dengan with replacement

(wr) akan terdapat 3

2

= 9 kemungkinan sampel yaitu:



Jika pemilihan dilakukan dengan without replacement

(wor) akan terdapat 3

2

=

3! 2!(3−2)!

= 3 kemungkinan

sampel yaitu:

1. AA 2. AB 3. AC 4. BA 5. BB 6. BC 7. CA 8. CB 9. CC 1. AB 2. AC 3. BC

LOGO

Expected Value dan Bias

 Misalkan, peluang terpilihnya gugus sampel ke-i adalah 𝑃_𝑖 dan 𝜃 _𝑖 adalah estimasi dari gugus sampel ke-i, yang

merupakan penduga 𝜃 dari parameter 𝜃 (i=1,2,…,M), M adalah total dari gugus sampel yang mungkin.

 Nilai harapan (expected value) atau rata-rata dari penduga 𝜃 adalah

𝐸 𝜃 = 𝑃_𝑖𝜃 _𝑖 𝑀

𝑖=1

 Jika peluang terpilihnya tiap gugus sampel sama 𝑃_𝑖 = _𝑀1 , maka 𝐸 𝜃 = 1 𝑀 𝜃 𝑖 𝑀 𝑖=1 MPC1

Expected Value, Bias, dan Consistent Estimator



Penduga 𝜃 dikatakan unbiased estimator (penduga

yang tidak bias) dari parameter 𝜃 jika expected

value-nya sama dengan 𝜃.

𝐸 𝜃 = 𝜃



Jika 𝐸 𝜃 ≠ 𝜃 , maka penduga 𝜃 dikatakan biased

estimator (penduga yang bias) dari 𝜃.



Bias dari 𝜃 adalah

𝐵 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝜃



Penduga 𝜃 dikatakan consistent estimator dari

parameter 𝜃 jika nilai 𝜃 akan mendekati 𝜃 seiring

dengan peningkatan jumlah sampel

LOGO

Suatu penduga (estimator) adalah random variabel yang juga memiliki sebaran tertentu. Sampel yang berbeda dari populasi yang

sama bisa memiliki nilai estimator yang berbeda.

Ilustrasi Gugus Sampel

populasi

ambil sampel berukuran n ambil sampel

berukuran n ambil sampel

berukuran n ambil sampel berukuran n Gugus Sampel 1 Gugus Sampel 2 Gugus Sampel 3 Gugus Sampel k

𝜃

₁

𝜃

₂

_𝜃

₃

𝜃

_𝑘 MPC1

LOGO

Mean Square Error (MSE)

 Nilai estimasi berdasarkan pada observasi terhadap suatu gugus sampel akan berbeda dengan nilai estimasi dari gugus sampel lainnya

 Perbedaan antara estimasi 𝜃 _𝑖 berdasarkan gugus sampel ke-i dengan parameter 𝜃 disebut kesalahan estimasi 𝜃 _𝑖 − 𝜃

 Kesalahan estimasi bervariasi antara gugus sampel yang satu dengan gugus sampel yang lainnya.

 Rata-rata ukuran perbedaan dari estimasi-estimasi yang

berbeda dari nilai parameternya disebut Mean Square Error (MSE) yang dihitung berdasarkan nilai harapan (expected

value) dari kuadrat kesalahan estimasi, yaitu

𝑀𝑆𝐸 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝜃 2 = 𝑃_𝑖 𝑀 𝑖=1

𝜃 _𝑖 − 𝜃 2

LOGO

Varians Sampling



Varians sampling dihitung berdasarkan nilai

harapan (expected value) dari deviasi nilai estimasi

dengan nilai harapannya

𝑉 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝐸 𝜃

2

= 𝐸 𝜃

2

− 𝐸 𝜃

2



Varians sampling mengukur keragaman atau

ketepatan dari penduga (estimator)

Hubungan Antara MSE dan Varians Sampling



MSE adalah jumlah dari varians sampling dan bias

kuadrat, hal ini bisa dibuktikan:

𝑀𝑆𝐸 𝜃 = 𝐸 𝜃 − 𝜃

2

= 𝐸 𝜃 − 𝐸 𝜃 + 𝐸 𝜃 − 𝜃

2

= 𝐸 𝜃 − 𝐸 𝜃

2

+ 𝐸 𝐸 𝜃 − 𝜃

2

= 𝑉 𝜃 + 𝐵 𝜃

2



Untuk unbiased estimator, MSE sama dengan

LOGO

All Posible Sample



Berikut ini adalah data jumlah populasi siswa

laki-laki dan perempuan di suatu kelas

No Kelas Laki-laki (X) Perempuan (Y)

1 A 5 2 2 B 10 5 3 C 15 3 4 D 5 2 5 E 10 4 MPC1

All Possible Sample

No Kelas (Xi) (Yi)

1 A 5 2 2 B 10 5 3 C 15 3 4 D 5 2 5 E 10 4 Total 𝑋 = 𝑋𝑖 = 45 𝑌 = 𝑌𝑖 = 16 Rata-rata 𝑋 = _𝑁1 𝑋𝑖 = 1 5 × 45 = 9 𝑌 = 1 𝑁 𝑌𝑖 = 1 5 × 16 = 3.2 Rasio _{𝑅 =} 𝑋 𝑌 = 9 3.2 = 2.8125

LOGO

Jika dari 5 kelas tersebut, diambil 2 kelas sebagai

sampel secara wor, maka akan terdapat 5

2

=10

kemungkinan sampel.

MPC1

All Possible Sample

No Sampel

Laki-laki (x) Perempuan (y) Rasio

𝑹_𝒊 = 𝒙 𝒊 𝒚 _𝒊 𝑥_𝑖1 𝑥_𝑖2 𝑥 _𝑖 𝑦_𝑖1 𝑦_𝑖2 𝑦 _𝑖 1 A,B 5 10 7.5 2 5 3.5 2.1 2 A,C 5 15 10 2 3 2.5 4 3 A,D 5 5 5 2 2 2 2.5 4 A,E 5 10 7.5 2 4 3 2.5 5 B,C 10 15 12.5 5 3 4 3.1 6 B,D 10 5 7.5 5 2 3.5 2.1 7 B,E 10 10 10 5 4 4.5 2.2 8 C,D 15 5 10 3 2 2.5 4 9 C,E 15 10 12.5 3 4 3.5 3.6 10 D,E 5 10 7.5 2 4 3 2.5 Jumlah 90 32 28.7

LOGO

All Possible Sample

 Expected value dari estimator vs parameter

𝐸 𝑥 = _𝑀1 𝑀_𝑖=1 𝑥 _𝑖 = ₁₀1 × 90 = 9 , 𝑋 = 9 (unbiased) 𝐸 𝑦 = _𝑀1 𝑀_𝑖=1 𝑦 _𝑖 = ₁₀1 × 32 = 3.2 , 𝑌 = 3.2 (unbiased) 𝐸 𝑅 = 1 𝑀 𝑅 𝑖 𝑀 𝑖=1 = ₁₀1 × 28.7 = 2.87 , 𝑅 = 2.8125 (biased)

Dari hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa estimator rata-rata adalah estimator yang unbiased, sedangkan estimator rasio

adalah estimator yang biased.

Besarnya bias untuk estimator rasio adalah

All Possible Sample

 Jika diketahui populasi berukuran N=6 yaitu A, B, C, D, E, dan F dengan nilai variabel X berturut-turut adalah 6,2,8,4,2, dan 4. Sampel berukuran n=4 dipilih secara acak tanpa

pengembalian (wor) dari populasi tsb. a. Hitunglah nilai 𝐸 𝑥 , 𝐸 𝑋 dan 𝐸 𝑠2

b. Bandingkan hasil pada point (a) dengan nilai

parameternya. Kesimpulan apa yang bisa diambil ?

Petunjuk:

Untuk gugus sampel ke-i: 𝑋 _𝑖 = 𝑁𝑥 _𝑖

LOGO

Koefisien Korelasi



Mengukur keeratan/kekuatan hubungan antara

dua variabel



Korelasi bisa bernilai positif atau negatif



Semakin besar nilai koefisien korelasi

menandakan bahwa hubungan dua variabel

tersebut semakin kuat



Rumus:

𝜌 =

𝑐𝑜𝑣 𝜃

1

, 𝜃

2

𝑣 𝜃

₁

× 𝑣 𝜃

₂

=

𝐸 𝜃

1

− 𝜃

1

𝜃

2

− 𝜃

2

𝐸 𝜃

₁

− 𝜃

₁ 2

× 𝐸 𝜃

₂

− 𝜃

₂ 2 MPC1

Distribusi Sampling

 Dari hasil estimasi yang didapat dari satu gugus sampel akan menghasilkan suatu estimasi titik (point estimate).

 Sebenarnya setiap gugus sampel dari seluruh kemungkinan gugus sampel mempunyai nilai estimasi yang kemungkinan akan berbeda dengan nilai sebenarnya (true value).

 Seluruh nilai point estimate dari setiap gugus sampel dapat diperkirakan dengan menggunakan estimasi selang (interval

estimate) atau confidence interval (1-𝛼)%, dengan rumus:

𝜃 − 𝑍_𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝜃 < 𝜃 < 𝜃 + 𝑍_𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝜃

 Interpretasi confidence interval (1-𝛼)%: jika kita melakukan pemilihan n sampel secara berulang sebayak 100 kali maka kita akan terdapat 100 selang kepercayaan dan harapannya sebanyak (1-𝛼) selang kepercayaan akan memuat nilai

LOGO

Distribusi Sampling

𝐸(𝑦 )

-2se(𝑦 ) _{-se(𝑦 ) +se(𝑦 ) +2se(𝑦 )} 𝑦 _{𝑌 𝑌 𝑡𝑟𝑢𝑒} SB NSB TB Total Error Peluang Keterangan:

SE: sampling error SB: sampling bias

NSB: nonsampling bias TB: total bias

MPC1 SE

Akurasi, Efisiensi, dan Presisi



Akurasi diukur dari nilai

total error

, yaitu

perbedaan antara nilai estimasi dengan nilai

sebenarnya (true value). Semakin kecil nilai total

error, suatu estimator dikatakan semakin akurat.



Efisiensi diukur dari besarnya

mean square error

(MSE)

. Semakin kecil nilai MSE, suatu estimator

akan semakin efisien.



Presisi diukur dari besarnya

varians sampling

.

Semakin kecil nilai varians sampling, suatu

LOGO

𝑅𝐸_𝑐 𝜃 ₁|𝜃 ₂ = 𝑀𝑆𝐸 𝜃 1 × 𝐶 𝜃 1 𝑀𝑆𝐸 𝜃 ₂ × 𝐶 𝜃 ₂

Estimator 𝜃 ₁ dikatakan lebih efisien daripada estimator 𝜃 ₂ jika 𝑀𝑆𝐸 𝜃 ₁ < 𝑀𝑆𝐸 𝜃 ₂ , besarnya Relative Efficiency (RE) dirumuskan:

𝑅𝐸_𝑠 𝜃 ₁|𝜃 ₂ = 𝑀𝑆𝐸 𝜃 1 𝑀𝑆𝐸 𝜃 ₂

Estimator 𝜃 ₁ dikatakan lebih precise daripada estimator 𝜃 ₂ jika V 𝜃 ₁ < 𝑉 𝜃 ₂

Relative Efficiency

Efficiency

Sampling efficiency Cost efficiency MPC1

LOGO

PERTEMUAN 3

 Pengertian  Keuntungan dan Kelemahan  SRS WR dan SRS WOR  All Possible Sample  Estimasi Rata-rata, Total  Estimasi Varians

LOGO

Pengertian

 Simple Random Sampling/SRS (Penarikan Sampel Acak

Sederhana/PSAS) adalah suatu metode memilih sampel dengan peluang setiap unit populasi untuk terpilih di dalam sampel adalah sama.

 Keuntungan: cara pengambilan sampel dan teknik estimasi parameternya sederhana

 Kelemahan:

 hanya cocok untuk populasi yang relatif homogen,  hanya cocok untuk cakupan survei yang tidak terlalu

luas, karena membutuhkan kerangka sampel sampai elemen,

 biaya tinggi untuk populasi yang besar

SRS WR dan SRS WOR

Ada 2 tipe penarikan sampel secara SRS:



SRS WR

Setiap unit yang sudah terpilih sebagai sampel,

dikembalikan lagi ke dalam populasi, sehingga terjadi

kemungkinan terpilih kembali pada pengambilan

sampel berikutnya



SRS WOR

Suatu unit hanya terpilih satu kali sebagai sampel, unit

yang sudah terpilih tidak dikembalikan ke dalam

LOGO

All Possible Samples



Misalkan, kita ingin memilih sebanyak 𝑛 sampel dari

populasi sebanyak 𝑁 unit .



All posible sample:



SRS with replacement (wr)--- > terdapat 𝑁

𝑛

possible

sample



SRS without replacement (wor)--- > terdapat

𝑁

𝑛

=

𝑁!

𝑛! 𝑁−𝑛 !

possible sample

All Posible Sample

 Misal, kita akan memilih 2 orang sampel dari populasi 3 orang yaitu A, B, C.

 Jika pemilihan dilakukan dengan with replacement (wr) akan terdapat 32 = 9 kemungkinan sampel yaitu:

 Jika pemilihan dilakukan dengan without replacement (wor) akan terdapat 3

2 = 3! 2!(3−2)! = 3 kemungkinan sampel yaitu: 1. AA 2. AB 3. AC 4. BA 5. BB 6. BC 7. CA 8. CB 9. CC 1. AB 2. AC 3. BC

LOGO

Inclusion Probability 𝝅

_𝒊

MPC1

 Ketika mengambil satu unit sebagai sampel, peluang unit ke-i untuk terpilih sebagai sampel adalah 𝑝_𝑖 = 1

𝑁

 Misalkan kita mengambil sampel sebanyak n kali, maka peluang unit ke-i untuk terpilih dalam sampel (inclusion

probability) adalah penjumlahan dari peluang terpilihnya

unit tersebut pada pengambilan yang pertama, kedua, ketiga, dst sampai dengan pengambilan ke-n.

 Pada SRS WR 𝜋_𝑖 = 1 𝑁 + 1 𝑁 + ⋯ + 1 𝑁 = 1 𝑁 = 𝑛 𝑁 𝑛 𝑖=1  Pada SRS WOR 𝜋_𝑖 = 1 𝑁 + 𝑁 − 1 𝑁 ∙ 1 𝑁 − 1 + ⋯ + 𝑁 − 𝑛 𝑁 ∙ 1 𝑁 − 𝑛 = 𝑛 𝑁

Prosedur Pemilihan Sampel



Lottery Method



Menggunakan tabel angka random

1. Independent Choice Of Digits

2. Pendekatan Sisa (Remainder Approach)

3. Pendekatan hasil bagi (Quotient Approach)



Menggunakan angka random yang di-generate

LOGO

Independent Choice Of Digits

 Tentukan baris, kolom, dan halaman Tabel Angka Random (TAR) yang digunakan untuk memulai penelusuran angka random

 Jika jumlah populasi sebanyak N unit dan jumlah digits dari N adalah sebanyak 𝑟 digit, maka telusuri 𝑟 digit angka dari baris dan kolom permulaan.

 Jika angka random (AR)≤ N, maka unit yang nomor urutnya sama dengan AR tsb terpilih sebagai sampel.

 Jika angka random (AR)=0, maka unit ke-N (terakhir) terpilih sampel  Jika angka random (AR)>N, maka lanjutkan penelusuran ke angka

random di baris selanjutnya pada kolom yang sama.

 Lakukan pengambilan AR sampai jumlah sampel terpenuhi

 Jika sudah sampai pada kolom terakhir dan belum mendapatkan angka random sebanyak sampel, lanjutkan ke kolom berikutnya baris

pertama

Independent Choice Of Digits

 Misalkan kita ingin mengambil sampel SRS n=6 dari populasi N=60. Pembacaan TAR dimulai dari halaman 1, baris 1, kolom 1. N=60, 𝑟=2 (jumlah digit populasi)  Sampel terpilih: SRS WR: 57, 57, 26, 48, 22,19 SRS WOR: 57, 26, 48, 22,19, 46 Baris Kolom (1-5) 1 88347 2 57140 3 74686 4 68013 5 57477 6 89127 7 26519 8 48045 9 22531 10 84887 11 72047 12 19645 13 46884 14 92289 Baris Kolom (1-5) 1 88347 2 57140 3 74686 4 68013 5 57477 6 89127 7 26519 8 48045 9 22531 10 84887 11 72047 12 19645 13 46884 14 92289 SRS WR SRS WOR

LOGO

Remainder Approach

 Dari N unit populasi dan jumlah digits dari N adalah sebanyak 𝑟 digit, maka tentukan nilai 𝑁′ yaitu kelipatan terbesar dari N dengan jumlah digit yang sama. 𝑁′ adalah batas atas dari angka random yang akan dipilih.

Misal: N=32, 𝑟=2, 𝑁′=96

 Jika AR≤ N, maka unit yang nomor urutnya sama dengan AR tsb terpilih sebagai sampel.

 Jika AR=0, maka unit ke-N (terakhir) terpilih sampel  Jika N<AR≤ 𝑁′, maka lakukan operasi pembagian:

𝐴𝑅

𝑁 = 𝑘 (𝑠𝑖𝑠𝑎 𝑠)

Unit dengan nomor urut=s terpilih sebagai sampel. Jika s=0, unit ke-N (terakhir) terpilih sampel

 Jika AR > 𝑁′, maka lanjutkan penelusuran ke angka random di baris selanjutnya pada kolom yang sama.

 Lakukan pengambilan AR sampai jumlah sampel terpenuhi

 Jika sudah sampai kolom terakhir dan belum mendapatkan AR sebanyak sampel, lanjutkan ke kolom berikutnya baris pertama

LOGO

Remainder Approach

 Misalkan kita ingin mengambil sampel SRS WOR n=3 dari populasi N=36 dengan remainder

approach. Pembacaan TAR dimulai dari halaman

1, baris 1, kolom 2.

N=36, 𝑟=2, 𝑁′ = 72  Angka random:

• 83 tolak, karena lebih dari 𝑁′

• 71 71

36 = 1, 𝑠𝑖𝑠𝑎 35 (unit ke-35 terpilih sampel) • 46 46₃₆ = 1, 𝑠𝑖𝑠𝑎 10 (unit ke-10 terpilih sampel)

• 80 tolak, karena lebih dari 𝑁′ • 74 tolak, karena lebih dari 𝑁′ • 91 tolak, karena lebih dari 𝑁′ • 65 65

36 = 1, 𝑠𝑖𝑠𝑎 29 (unit ke-29 terpilih sampel)

 Sampel terpilih: 35, 10, 29 Baris Kolom (1-5) 1 88347 2 57140 3 74686 4 68013 5 57477 6 89127 7 26519 8 48045 9 22531 10 84887 11 72047 12 19645 13 46884 14 92289 MPC1

LOGO

Quotient Approach

 Dari N unit populasi dan jumlah digits dari N adalah sebanyak 𝑟 digit, maka tentukan nilai 𝑁′ yaitu kelipatan terbesar dari N dengan jumlah digit yang sama.

Misal: N=32, 𝑟=2, 𝑁′=96  Hitung nilai 𝑞 = 𝑁′

𝑁

 Angka random (AR) yang diambil adalah mulai dari 0 sampai (𝑁′ − 1)  Hitung 𝑡 = 𝐴𝑅

𝑞 (pembulatan ke bawah)

 Sampel terpilih=unit dengan nomor urut (t-1)

 Lakukan pengambilan AR sampai jumlah sampel terpenuhi

 Jika sudah sampai kolom terakhir dan belum mendapatkan AR sebanyak sampel, lanjutkan ke kolom berikutnya baris pertama

LOGO

Quotient Approach

 Misalkan kita ingin mengambil sampel SRS WOR n=3 dari populasi N=36 dengan quotient approach.

Pembacaan TAR dimulai dari halaman 1, baris 1, kolom 2.

N=36, 𝑟=2, 𝑁′ = 72, (𝑁′−1) = 71, 𝑞 = 72

36 = 2

 Angka random:

• 83 tolak, karena lebih dari 𝑁′ − 1 • 71 t = 71

𝑞 = 71

2 = 35 (unit ke-34 terpilih sampel) • 46 t = 46

𝑞 = 46

2 = 23 (unit ke-22 terpilih sampel)

• 80 tolak, karena lebih dari 𝑁′ − 1 • 74 tolak, karena lebih dari 𝑁′ − 1 • 91 tolak, karena lebih dari 𝑁′ − 1 • 65 t = 65

𝑞 = 65

2 = 32 (unit ke-31 terpilih sampel)

 Sampel terpilih: 34, 22, 31 Baris Kolom (1-5) 1 88347 2 57140 3 74686 4 68013 5 57477 6 89127 7 26519 8 48045 9 22531 10 84887 11 72047 12 19645 13 46884 14 92289 MPC1

LOGO

Estimasi

Nilai yang diestimasi SRS WR WOR Rata-rata 𝑦 = 1 𝑛 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 Varians rata-rata _{𝑣 𝑦 =} 𝑠2 𝑛 𝑣 𝑦 = 𝑁 − 𝑛 𝑁 ∙ 𝑠2 𝑛 Total 𝑌 = 𝑁 𝑛 𝑦𝑖 = 𝑁𝑦 𝑛 𝑖=1 Varians Total 𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙ 𝑠2 𝑛 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦 𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙ 𝑁 − 𝑛 𝑁 ∙ 𝑠2 𝑛 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦 MPC1

Estimasi Rata-rata

 Estimasi rata-rata 𝑦 adalah estimasi yang unbiased dari parameter 𝑌 . Bukti: 𝐸 𝑦 = 𝐸 1 𝑛 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 𝐸 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 𝑝𝑖𝑌𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 𝑌_𝑖 𝑁 𝑁 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 𝑌 = 1 𝑛 𝑛𝑌 𝑛 𝑖=1 = 𝑌

LOGO

Varians Rata-rata (1)

 Varians rata-rata adalah:

𝑉 𝑦 =

𝑁−𝑛 𝑁

∙

𝑆2 𝑛 Bukti: 𝑉 𝑦 = 𝐸 𝑦 − 𝑌 2 = 𝐸 1 𝑛 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑛 𝑖=1 2 = 1 𝑛2 𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑛 𝑖=1 2 = 1 𝑛2 𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 2 + 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑦𝑗 − 𝑌 𝑛 𝑖≠𝑗 𝑛 𝑖=1 MPC1

Varians Rata-rata (2)

𝑉 𝑦 = 1 𝑛2 𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 2 + 1 𝑛2 𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑦𝑗 − 𝑌 𝑛 𝑖≠𝑗 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛2 1 𝑁 𝑦𝑖 − 𝑌 2 𝑁 𝑖=1 + 1 𝑛2 1 𝑁 ∙ 1 𝑁 − 1 ∙ 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑦𝑗 − 𝑌 𝑁 𝑖≠𝑗 𝑛 𝑖≠𝑗 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛2 𝜎2 𝑛 𝑖=1 + 1 𝑛2 ∙ 1 𝑁 ∙ 1 𝑁 − 1 ∙ 𝑦𝑖 − 𝑌 𝑁 𝑖=1 2 − 𝑦_𝑖 − 𝑌 2 𝑁 𝑖=1` 𝑛 𝑖≠𝑗 = 1 𝑛2 𝑛𝜎2 + 1 𝑛2 ∙ 1 𝑁 ∙ 1 𝑁 − 1 ∙ − 𝑦𝑖 − 𝑌 2 𝑁 𝑖=1 𝑛 𝑖≠𝑗 = 𝜎 2 𝑛 − 1 𝑛2 ∙ 1 𝑁 ∙ 1 𝑁 − 1 ∙ 𝜎2 𝑛 𝑖≠𝑗 = 𝜎2 𝑛 − 1 𝑛2 ∙ 1 𝑁 ∙ 1 𝑁 − 1 ∙ 𝑛 𝑛 − 1 𝜎2 = 𝑁 − 𝑛 𝑁 − 1 ∙ 𝜎2 𝑛 𝑵 − 𝒏 𝑺𝟐

LOGO

Varians Rata-rata (3)

Rumus Varians Untuk SRS WOR 𝑉 𝑦 = 𝑁 − 𝑛 𝑁 ∙ 𝑆2 𝑛 = 1 − 𝑛 𝑁 ∙ 𝑆2 𝑛 = 1 − 𝑓 ∙ 𝑆 2 𝑛 Keterangan:  𝑁−𝑛 𝑁 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 (𝑓𝑝𝑐)  𝑓 = _𝑁𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

Jika sampel diambil dengan SRS WR, 𝑦_𝑖 dan 𝑦_𝑗 saling statistically

independent, sehingga 𝐸 𝑦_𝑖 − 𝑌 𝑦_𝑗 − 𝑌 = 0 dan 𝑉 𝑦 = 1

𝑛2 ∙ 𝑛𝜎2

= 𝜎

2

Sample Varians 𝒔

𝟐

𝑠2 adalah unbiased estimator dari parameter 𝑆2 dan 𝜎2. 𝐸 𝑠2 = 𝜎2 jika sampel diambil secara SRS WR

𝐸 𝑠2 = 𝑆2 jika sampel diambil secara SRS WOR Bukti: 𝑠2 = 1 𝑛 − 1 𝑦𝑖 − 𝑦 2 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 − 1 𝑦𝑖 − 𝑌 2 − 𝑛 𝑦 − 𝑌 2 𝑛 𝑖=1 𝐸 𝑠2 = 1 𝑛 − 1 𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 2 𝑛 𝑖=1 − 𝐸 𝑛 𝑦 − 𝑌 2

LOGO

Sample Varians 𝒔

𝟐 𝐸 𝑠2 = 1 𝑛 − 1 𝐸 𝑦𝑖 − 𝑌 2 𝑛 𝑖=1 − 𝑬 𝒏 𝒚 − 𝒀 𝟐 MPC1 𝑬 𝒏 𝒚 − 𝒀 𝟐 𝑺𝑹𝑺 𝑾𝑹: 𝑬 𝒏 𝒚 − 𝒀 𝟐 = 𝒏 ∙ 𝝈𝟐 𝒏 = 𝝈𝟐 … (𝟐𝒂) 𝑺𝑹𝑺 𝑾𝑶𝑹: 𝑬 𝒏 𝒚 − 𝒀 𝟐 = 𝒏 ∙ 𝑵 − 𝒏 𝑵 ∙ 𝑺𝟐 𝒏 = 𝑵 − 𝒏 𝒏 ∙ 𝑺𝟐 … (𝟐𝒃) 𝑬 𝒚_𝒊 − 𝒀 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 = 𝑬 𝒚_𝒊 − 𝒀 𝟐 = 𝟏 𝑵 𝒚𝒊 − 𝒀 𝟐 𝑵 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒊=𝟏 = 𝟏 𝑵 ∙ 𝒏 ∙ 𝑵 − 𝟏 ∙ 𝑺𝟐 … (𝟏)



SRS WR

Dari persamaan (1) dan (2a) diperoleh:

𝐸 𝑠

2

=

1 𝑛−1 𝑛(𝑁−1) 𝑁

𝑆

2

_{− 𝜎}

2

_{= 𝜎}

2

_(terbukti)



SRS WOR

Dari persamaan (1) dan (2b) diperoleh:

𝐸 𝑠

2

=

1 𝑛−1 𝑛(𝑁−1) 𝑁

𝑆

2

−

𝑁−𝑛 𝑁

𝑆

2

= 𝑆

2

(terbukti)

Sample Varians 𝒔

𝟐

LOGO

Varians Sampling Untuk penduga Rata-rata 𝒗 𝒚



Dengan men-substitusikan 𝑠

2

untuk 𝜎

2

(SRS WR)

dan 𝑆

2

(SRS WOR), kita akan memperoleh unbiased

estimasi varians sampling untuk penduga rata-rata,

yaitu:

𝑣 𝑦 =

𝑠2 𝑛

(SRS WR)

𝑣 𝑦 =

𝑁−𝑛 𝑁

∙

𝑠2 𝑛

(SRS WOR)

MPC1

Estimasi Total Karakteristik (𝒀

)



Estimasi total karakteristik

𝑌 = 𝑁𝑦

Penduga total di atas adalah unbiased estimator untuk

parameter 𝑌, dapat dibuktikan:

𝐸 𝑌 = 𝐸 𝑁𝑦 = 𝑁 ∙ 𝐸 𝑦 = 𝑁𝑌 = 𝑌

Estimasi varians dari penduga total karakteristik:

𝑣 𝑌 = 𝑣 𝑁𝑦 = 𝑁

2

∙ 𝑦

SRS WR: 𝑣( 𝑌 = 𝑁

2

∙

𝑠_𝑛2

LOGO

Estimasi Rata-rata

Nilai yang diestimasi SRS WR WOR Rata-rata 𝑦 = 1 𝑛 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 Varians rata-rata _{𝑣 𝑦 =} 𝑠2 𝑛 𝑣 𝑦 = 𝑁 − 𝑛 𝑁 ∙ 𝑠2 𝑛 Standar error 𝑠𝑒 𝑦 = 𝑣 𝑦 Relative standar error (RSE) 𝑟𝑠𝑒 𝑦 = 𝑠𝑒(𝑦 ) 𝑦 × 100% 1 − 𝛼 % Confidence Interval 𝑦 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 < 𝑌 < 𝑦 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 MPC1 𝑠2 = 1 𝑛 − 1 𝑦𝑖 − 𝑦 2 𝑛 𝑖=1 Catatan: _ 𝑁−𝑛 𝑁 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 (𝑓𝑝𝑐)  𝑓 = _𝑁𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

Estimasi Total

Nilai yang diestimasi SRS WR WOR Total 𝑌 = 𝑁 𝑛 𝑦𝑖 = 𝑁𝑦 𝑛 𝑖=1 Varians total 𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙ 𝑠 2 𝑛 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦 𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙ 𝑁 − 𝑛 𝑁 ∙ 𝑠2 𝑛 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦 Standar error 𝑠𝑒 𝑌 = 𝑣 𝑌 Relative standar error (RSE) 𝑟𝑠𝑒 𝑌 = 𝑠𝑒(𝑌 ) 𝑌 × 100% 1 − 𝛼 % Confidence Interval 𝑌 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑌 < 𝑌 < 𝑌 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑌

LOGO

Contoh 1

 Sebuah sampel acak sederhana yang terdiri dari 20 rumah tangga dipilih dari blok sensus X yang mempunyai muatan sebanyak 150

rumah tangga. Jumlah ART dari rumah tangga sampel sebagai berikut:

a. Perkirakan rata-rata jumlah ART dan total penduduk di blok sensus tersebut beserta standar error dan rse-nya !

b. Dengan tingkat kepercayaan 95%, buatlah selang kepercayaan untuk estimasi rata-rata jumlah ART dan total penduduk !

c. Interpretasikan hasil penghitungan di atas !

No ruta sampel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Jumlah ART 4 2 3 5 4 6 3 4 5 7

No ruta sampel 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Jumlah ART 3 4 6 2 1 2 3 4 6 4

LOGO

Penyelesaian (1)

Diketahui: 𝑁 = 150, 𝑛 = 20 Estimasi rata-rata: 𝑦 = 1 𝑛 𝑦𝑖 = 1 20 4 + 2 + 3 + ⋯ + 6 + 4 = 1 20 ∙ 78 = 3,9 𝑛 𝑖=1

Varians dari estimasi rata-rata: 𝑣 𝑦 = 𝑁 − 𝑛 𝑁 ∙ 𝑠2 𝑛 = 150 − 20 150 ∙ 2,515 20 = 0,109

Standar error dari estimasi rata-rata:

𝑠𝑒 𝑦 = 𝑣 𝑦 = 0,109 = 0,330

Relative standar error (RSE):

𝑟𝑠𝑒 𝑦 = 𝑠𝑒(𝑦 )

𝑦 ∙ 100% =

0,330

3,9 ∙ 100% = 8,46% Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95%:

𝑦 − 𝑍_𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 < 𝑌 < 𝑦 + 𝑍_𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑦 3,9 − 1,96 ∙ 0,330 < 𝑌 < 3,9 + 1,96 ∙ 0,330

3,253 < 𝑌 < 4,547

LOGO



Interpretasi:

Estimasi rata-rata anggota rumah tangga di blok

sensus X adalah 3,9 orang per rumah tangga dengan

perkiraan rata-rata penyimpangan (standar error)

sebesar 0,33 dan relative standar error sebesar

8,46%. Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat

dinyatakan bahwa nilai populasi rata-rata anggota

rumah tangga akan berada pada interval antara

3,253 sampai 4,547 orang per rumah tangga.

MPC1

Penyelesaian (3)

Estimasi total:

𝑌 = 𝑁𝑦 = 150 ∙ 3,9 = 585 Varians dari estimasi rata-rata:

𝑣 𝑌 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑦 = 1502 ∙ 0,109 = 2452,895

Standar error dari estimasi rata-rata:

𝑠𝑒 𝑌 = 𝑣 𝑌 = 2452,895 = 49,526

Relative standar error (RSE):

𝑟𝑠𝑒 𝑌 = 𝑠𝑒(𝑌 )

𝑌 ∙ 100% =

49,526

585 ∙ 100% = 8,46% Selang Kepercayaan (Confidence Interval) 95%:

𝑌 − 𝑍_𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑌 < 𝑌 < 𝑌 + 𝑍_𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑌

585 − 1,96 ∙ 49,526 < 𝑌 < 585 + 1,96 ∙ 49,526 487,92 < 𝑌 < 682,07

LOGO



Interpretasi:

Estimasi total penduduk di blok sensus X adalah 585

orang dengan perkiraan rata-rata penyimpangan

(standar error) sebesar 49,526 orang dan relative

standar error sebesar 8,46%. Dengan tingkat

kepercayaan 95%, dapat dinyatakan bahwa nilai

populasi total penduduk akan berada pada interval

antara 487,92 sampai 682,07 orang.

MPC1

LOGO

PERTEMUAN 4

 Proporsi  Presisi  Penentuan Ukuran Sampel  All Possible Sample

LOGO

Proporsi Populasi 𝑷



Proporsi adalah special case dari rata-rata ketika

variabel/karakteristik yang diteliti 𝑌

_𝑖

hanya bernilai 0

dan 1.



Misalkan, kita ingin mengetahui proporsi mahasiswa

yang suka terhadap mata kuliah MPC di kelas 2KS1, maka

𝑌

_𝑖

= 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC

𝑌

_𝑖

= 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC

Maka proporsi populasi mahasiswa yang suka MPC di 2KS1:

𝑃 =

1

𝑁

𝑌

𝑖 𝑁

𝑖=1

Estimasi Proporsi (𝒑)

 Jika 𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛 adalah random sampel dengan ukuran 𝑛 yang diambil dari populasi sebanyak N, maka estimasi proporsi: 𝑝 = 1 𝑛 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 Keterangan:

𝑦_𝑖 harus bernilai 0 atau 1

Estimasi proporsi 𝑝 adalah unbiased estimator untuk parameter 𝑃, hal ini dibuktikan:

𝐸 𝑝 = 𝐸 1 𝑛 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 𝐸 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ 𝑌_𝑖 𝑁 𝑛 𝑖=1 = 𝑃

LOGO

Varians Populasi dari 𝒀

_𝒊

(𝒀

_𝒊

=0 atau 1)

 Misalkan dari sebanyak N populasi mahasiswa, terdapat A mahasiswa yang suka mata kuliah MPC, sehingga:

𝑌_𝑖 = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC 𝑌_𝑖 = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC

 Dari keterangan di atas, secara matematis dapat dituliskan: 𝑌_𝑖 = 𝐴

𝑁 𝑖=1

dan 𝑃 = 𝐴

𝑁 , 𝑄 = 1 − 𝑃  Varians dari 𝑌_𝑖 dapat dirumuskan:

𝑆2 = 1 𝑁 − 1 𝑌𝑖 − 𝑌 2 = 1 𝑁 − 1 𝑌𝑖2 − 𝑁𝑌 2 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 Karena 𝑌_𝑖 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1, maka: 𝑌_𝑖2 = 𝐴 = 𝑁𝑃 𝑁 𝑖=1 𝑑𝑎𝑛 𝑌 2 = 𝑃2 𝑆2 = 1 𝑁 − 1 𝑁𝑃 − 𝑁𝑃2 = 𝑁 𝑁 − 1𝑃𝑄 MPC1

LOGO

Varians Sampel dari 𝒚

_𝒊

(𝒚

_𝒊

=0 atau 1)

 Misalkan dari sebanyak n sampel mahasiswa, terdapat a mahasiswa yang suka mata kuliah MPC, sehingga:

𝑦_𝑖 = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC 𝑦_𝑖 = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC

 Dari keterangan di atas, secara matematis dapat dituliskan: 𝑦_𝑖 = 𝑎

𝑛 𝑖=1

dan 𝑝 = 𝑎

𝑛 , 𝑞 = 1 − 𝑝  Varians dari 𝑦_𝑖 dapat dirumuskan:

𝑠2 = 1 𝑛 − 1 𝑦𝑖 − 𝑦 2 = 1 𝑛 − 1 𝑦𝑖2 − 𝑛𝑦 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 Karena 𝑦_𝑖 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 1, maka: 𝑦_𝑖2 = 𝑎 = 𝑛𝑝 𝑛 𝑖=1 𝑑𝑎𝑛 𝑦 2 = 𝑝2 𝑠2 = 1 𝑛 − 1 𝑛𝑝 − 𝑛𝑝2 = 𝑛 𝑛 − 1𝑝𝑞 MPC1

LOGO

Varians Sampling dari Estimasi Proporsi



Untuk SRS WR

𝑣 𝑝 =

𝑠

2

𝑛

=

1

𝑛

∙

𝑛

𝑛 − 1

𝑝𝑞

=

𝑝𝑞

𝑛 − 1



Untuk SRS WOR

𝑣 𝑝 =

𝑁 − 𝑛

𝑁

∙

𝑠

2

𝑛

=

𝑁 − 𝑛

𝑁

∙

1

𝑛

∙

𝑛

𝑛 − 1

𝑝𝑞

=

𝑁 − 𝑛

𝑁

∙

𝑝𝑞

𝑛 − 1

MPC1

LOGO

Estimasi Total dari Proporsi

 Misalkan dari populasi sebanyak N mahasiswa diambil sampel sebanyak n mahasiswa. Dari sampel tersebut, terdapat

sebanyak 𝒂 mahasiswa yang suka MPC.

𝑦_𝑖 = 0 untuk seorang mahasiswa yang tidak suka MPC 𝑦_𝑖 = 1 untuk seorang mahasiswa yang suka MPC

 Dari keterangan di atas, secara matematis dapat dituliskan: 𝑦_𝑖 = 𝒂

𝑛

𝑖=1

 Estimasi proporsi mahasiswa yang suka MPC: 𝑝 = 𝒂

𝑛

 Estimasi total mahasiswa yang suka MPC:

𝐴 = 𝑁𝑝  Estimasi varians total:

𝑣 𝐴 = 𝑁2 ∙ 𝑣 𝑝

LOGO

Estimasi Proporsi

Nilai yang diestimasi SRS WR WOR Rata-rata 𝑝 = 1 𝑛 𝑦𝑖 𝑛 𝑖=1 Varians rata-rata 𝑣 𝑝 = _{𝑛 − 1}𝑝𝑞 𝑣 𝑝 = 𝑁 − 𝑛 𝑁 ∙ 𝑝𝑞 𝑛 − 1 Standar error 𝑠𝑒 𝑝 = 𝑣 𝑝 Relative standar error (RSE) 𝑟𝑠𝑒 𝑝 = 𝑠𝑒(𝑝) 𝑝 × 100% 1 − 𝛼 % Confidence Interval 𝑝 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑝 < 𝑃 < 𝑝 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝑝 MPC1 Catatan: 𝑦_𝑖 = 0 atau 1 𝑞 = 1 − 𝑝  𝑁−𝑛_𝑁 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 (𝑓𝑝𝑐)  𝑓 = _𝑁𝑛 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛

Estimasi Total

Nilai yang diestimasi SRS WR WOR Total 𝐴 = 𝑁𝑝 Varians total 𝑣 𝐴 = 𝑁2 ∙ _{𝑛 − 1}𝑝𝑞 𝑣 𝐴 = 𝑁2 ∙ 𝑁 − 𝑛 𝑁 ∙ 𝑝𝑞 𝑛 − 1 Standar error 𝑠𝑒 𝐴 = 𝑣 𝐴 Relative standar error (RSE) 𝑟𝑠𝑒 𝐴 = 𝑠𝑒(𝐴 ) 𝐴 × 100% 1 − 𝛼 % Confidence Interval 𝐴 − 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝐴 < 𝐴 < 𝐴 + 𝑍𝛼/2 ∙ 𝑠𝑒 𝐴

LOGO

Contoh 1:

 Dari populasi sebanyak 50 pegawai di perusahaan X, dipilih 10 orang sebagai sampel secara SRS WOR. Data yang diperoleh sebagai berikut:

Tentukan:

a. Estimasi proporsi pegawai yang berumur kurang dari 30 tahun b. Estimasi total/jumlah pegawai yang berumur kurang dari 30

tahun

c. Estimasi proporsi pegawai yang pendidikan terakhir S1

d. Estimasi jumlah pegawai yang pendidikan terakhir S1 _MPC1 No Umur Pendidikan

terakhir No Umur Pendidikan terakhir

1 24 S1 6 50 D3

2 35 D3 7 27 SMA

3 42 SMA 8 52 SMA

4 31 S1 9 46 S2

Penyelesaian:

No Umur Pendidikan

terakhir Kode Umur (<30=1, 30 ke atas=0) Kode Pendidikan Terakhir (S1=1, bukan S1=0) 1 24 S1 1 1 2 35 D3 0 0 3 42 SMA 0 0 4 31 S1 0 1 5 29 S1 1 1 6 50 D3 0 0 7 27 SMA 1 0 8 52 SMA 0 0 9 46 S2 0 0 10 39 S1 0 1