PERNYATAAN MAJEMUK & NILAI KEBENARAN
1. Pernyataan Majemuk
Perhatikan pernyataan “hari ini hujan dan aku berjalan-jalan”. Pernyataan tersebut terdiri dari dua pernyataan pokok/tunggal (prime sentence), yaitu pernyataan ”hari ini hujan” dan pernyataan ”aku berjalan-jalan”. Pernyataan yang terdiri dari beberapa pernyataan pokok disebut pernyataan majemuk (composite sentence). Pernyataan pokok yang menyusun pernyataan majemuk disebut komponen pernyataan majemuk.
Jadi dalam pernyataan majemuk, kita menggabungkan beberapa pernyataan menjadi satu pernyataan. Untuk penggabungan ini diperlukan kata penghubung (logical connective). Dalam matematika kita kenal empat kata penghubung yaitu kata ”dan” (disebut konjungsi, dinotasikan ∧), kata ”atau” (disebut disjungsi, dinotasikan ∨), kata ”jika... maka...” (disebut implikasi, dinotasikan ⇒), dan kata ”jika hanya jika” (disebut biimplikasi, dinotasikan ⇔).
2. Konjungsi Perhatikan kalimat
Saya sedang mengerjakan tugas kuliah dan menonton pertandingan sepakbola Bagaimana nilai kebenaran kalimat itu ? Perhatikan keadaan berikut :
− Saya mengerjakan tugas kuliah bersama teman-teman di ruang kuliah, jadi tidak memungkinkan bagi saya untuk menonton pertandingan sepak bola. − Saya menonton pertandingan sepakbola di stadion tambak sari, jadi tidak
memungkinkan bagi saya untuk mengerjakan tugas kuliah
− Saya mengerjakan tugas kuliah sendirian di rumah sambil menonton pertandingan seopakbola bola di televisi
− Saya sedang mandi (tidak mengerjakan tugas kuliah, juga tidak menonton pertandingan sepak bola)
Dari tiga keadaan tersebut, bagaimana nilai kebenaran kalimat di atas ?
Suatu konjungsi bernilai benar hanya jika semua komponennya bernilai benar. Jadi konjungsi p ∧ q (dibaca p dan q) bernilai benar hanya jika p dan q masing-masing bernilai benar. Hal itu dituliskan dalam tabel kebenaran berikut :
p q p ∧ q
B B B
B S S
S B S
S S S
Dari suatu kalimat terbuka, kita dapat menentukan nilai dari konstanta-konstanta pengganti variabel sehingga pernyataan menjadi benar (konstanta yang demikian seringkali disebut penyelesaian). Bagaimana kita menentukan penyelesaian dari kalimat terbuka yang berbentuk konjungsi ? Untuk itu kita harus ingat kembali bahwa konjungsi bernilai benar hanya jika semua komponennya bernilai benar. Artinya penyelesaian yang kita peroleh nanti adalah penyelesaian dari semua komponennya. Perhatikan contoh berikut :
x + 5 ≥ 10 dan x+2 >1
Misalkan p(x) : x + 5 ≥ 10 sedangkan q(x) : x+2 >1, maka penyelesaian dari p(x) adalah x ≥ 5 sedangkan penyelesaian dari q(x) adalah x > −1. Jadi penyelesaian dari p(x) ∧ q(x) adalah x ≥ 5.
Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut : 1. Saya seorang laki-laki dan memakai sepatu hitam 2. Saya kuliah di Unair dengan IPK lebih besar dari 2,00 3. Hari ini mendung dan saya membawa payung 4. Dalam bidang dua garis sejajar dan berpotongan
5. Kurva y = x2 − 2x + 5 memotong sumbu x dan melalui titik (1, 4)
3. Disjungsi Perhatikan kalimat :
Hani sedang berjalan atau menulis sms
Bagaimana nilai kebenaran kalimat itu ? Perhatikan keadaan berikut : − Hani berjalan tanpa menulis sms
− Hani duduk sambil menulis sms − Hani menulis sms sambil berjalan
− Hani duduk membaca buku
Dari tiga keadaan tersebut, bagaimana nilai kebenaran kalimat di atas ?
Suatu disjungsi bernilai benar jika ada komponennya yang bernilai bernilai benar. Jadi konjungsi p ∨ q (dibaca p atau q) bernilai benar jika p bernilai benar atau q bernilai benar. Dengan kata lain konjungsi p ∨ q bernilai salah hanya jika keduanya salah. Hal itu dituliskan dalam tabel kebenaran berikut :
p q p ∨ q
B B B
B S B
S B B
S S S
Bagaimana kita menentukan penyelesaian dari kalimat terbuka yang berbentuk disjungsi ? Untuk itu kita harus ingat kembali bahwa disjungsi hanya bernilai salah hanya jika semua komponennya bernilai salah. Perhatikan contoh berikut :
x + 5 ≥ 10 atau x+2 >1
Misalkan p(x) : x + 5 ≥ 10 sedangkan q(x) : x+2 >1, maka penyelesaian dari p(x) adalah x ≥ 5 sedangkan penyelesaian dari q(x) adalah x > −1. Jadi penyelesaian dari p(x) ∨ q(x) adalah x > −1.
Tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut :
1. Saya seorang perempuan atau memakai baju merah 2. Hari ini hujan atau saya berangkat kuliah
3. Dalam bidang dua garis sejajar atau berpotongan
4. Kurva y = x2 − 2x + 5 memotong sumbu y atau melalui titik (4, 1)
4. Implikasi
Perhatikan kalimat-kalimat berikut :
a. Jika engkau lulus ujian maka akan kutraktir makan
b. Jika bendera berkibar setengah tiang maka ada pembesar yang wafat c. Jika engkau membiasakan diri mandi di malam hari maka engkau akan
kena penyakit encok
d. Jika bulan purnama maka rumput di halaman berwarna hijau e. Jika 2 > 3 maka 3 < 4
Semua kalimat di atas membentuk pernyataan majemuk dengan dua komponen yang dihubungkan dengan jika ... maka, disebut implikasi. Komponen yang mengikuti kata jika disebut anteseden (antecedent), sedangkan komponen yang mengikuti kata maka disebut konsekwen (consequent).
Umumnya dalam pemakaian sehari-hari selalu terdapat hubungan antara anteseden dan konsekwen. Kalimat a mempunyai hubungan janji, kalimat b mempunyai hubungan tanda, dan kalimat c mempunyai hubungan sebab-akibat. Jarang kita temui implikasi yang antara anteseden dan konsekwen tidak mempunyai hubungan (kalimat d). Tetapi secara matematik antara anteseden dan konsekwen tidak selalu mempunyai hubungan (oleh karena itu tidak digunakan istilah sebab-akibat), kebenaran pernyataan implikasi semata-mata ditentukan oleh kebenaran komponen-komponennya.
Apabila p : ”Hari hujan” dan q : ”genteng basah”, maka kalimat ”Jika hari hujan maka genteng basah” dapat dituliskan dengan simbol p ⇒ q. Simbol tersebut dibaca (salah satu) :
Jika p maka q p hanya jika q
p syarat cukup untuk q q jika p
q syarat perlu untuk p
Bagaimana kebenaran kalimat ”Jika hari hujan maka genteng basah”? Perhatikan keadaan berikut :
− Hari hujan, genteng basah − Hari hujan, genteng tidak basah
− Hari tidak hujan, genteng basah − Hari tidak hujan, genteng tidak basah
Bagaimana nilai kebenaran kalimat di atas pada masing-masing keadaan tersebut ? Perhatikan kembali kalimat berikut :
Jika engkau lulus ujian maka akan kutraktir makan
Bagaimana kebenaran pernyataan tersebut terkait keadaan berikut − Engkau lulus ujian, aku mentraktirmu makan
− Engkau lulus ujian, aku tidak mentraktirmu makan − Engkau tidak lulus ujian, aku mentraktirmu makan − Engkau tidak lulus ujian, aku tidak mentraktirmu makan
Bagaimana nilai kebenaran kalimat di atas pada masing-masing keadaan tersebut ? Suatu pernyataan berbentuk implikasi bernilai benar jika anteseden salah atau konsekwen benar. Dengan kata lain implikasi bernilai salah hanya jika anteseden benar dan konsekwen salah. Hal itu dituliskan dalam tabel kebenaran berikut. p q p ⇒ q B B B B S S S B B S S B
Bagaimana kita menentukan penyelesaian dari kalimat terbuka yang berbentuk implikasi ? Untuk itu kita harus ingat kembali bahwa implikasi hanya bernilai salah hanya jika anteseden bernilai benar dan konsekwen bernilai salah. Agar implikasi bernilai benar, apabila nilai konstanta menyebabkan anteseden bernilai benar (merupakan penyelesaian untuk anteseden), maka konstanta itu harus menyebabkan konsekwen bernilai benar pula. Selain itu, apabila nilai konstanta menyebabkan anteseden bernilai salah (bukan merupakan penyelesaian untuk anteseden), maka apapun pengaruhnya konstanta itu pada konsekwen akan selalu mengakibatkan implikasi bernilai benar pula. Perhatikan contoh berikut :
Nilai x yang menyebabkan anteseden benar adalah x < −1 atau x > 5, sedangkan penyelesaian dari konsekwen adalah x < 4. Jika diambil nilai x agar anteseden bernilai benar dan konsekwen bernilai benar, maka dipenuhi oleh x < −1. Tetapi perlu diingat pula bahwa untuk −1 ≤ x ≤ 5, anteseden selalu bernilai salah. Bandingkan dengan x ≥ 5 yang menyebabkan anteseden bernilai benar dan anteseden bernilai salah. Interval terakhir ini tidak merupakan penyelesaian untuk implikasi tersebut, karena interval itu menyebabkan implikasi bernilai salah. Jadi nilai x yang menyebabkan implikasi di atas bernilai benar adalah x ≤ 5.
Apabila kita mempunyai implikasi ”p ⇒ q”, maka pernyataan yang berbentuk ”∼p ⇒ ∼q” disebut invers dari implikasi tersebut, pernyataan ”q ⇒ p” disebut konvers dari implikasi tersebut, dan pernyataan ”∼q ⇒ ∼p” disebut kontraposisi dari implikasi tersebut. Pernyataan ”Jika hari hujan maka genteng basah” mempunyai:
− Invers : ”Jika hari tidak hujan maka genteng tidak basah” − Konvers : ”Jika genteng basah maka hari hujan”
− Kontraposisi : ”Jika genteng tidak basah maka hari tidak hujan”
Bagaimana nilai kebenaran invers, konvers, dan kontraposisi terhadap nilai kebenaran implikasinya ? Perhatikan tabel kebenaran berikut ini.
p q ∼p ∼q p ⇒ q ∼p ⇒ ∼q q ⇒ p ∼q ⇒ ∼p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B S
Dalam tabel itu dapat dilihat bahwa nilai kebenaran dari ”p ⇒ q” sama dengan nilai kebenaran dari ”∼q ⇒ ∼p”, artinya nilai kebenaran suatu implikasi sama dengan kontraposisinya. Dua pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama dinamakan ekuivalen. Jadi implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya. Coba anda cari pernyataan yang ekuivalen dengan implikasi ”p ⇒ q” dalam bentuk disjungsi atau konjungsi.
1. Jika Andi nonton televisi atau mendengarkan radio maka tidak mengerjakan tugas
2. Jika Agus melihat hantu maka Agus bersembunyi atau lari keluar rumah
Dengan menggunakan tabel kebenaran, tentukan nilai kebenaran pernyataan berikut 3. a. p ⇒ p b. ∼p ⇒ p c. p ⇒ ∼p d. ∼p ⇒ ∼p 4. a. p ⇒ ∼q b. ∼q ⇒ p c. ∼p ⇒ q d. q ⇒ ∼p 5. a. p ⇒ ∼(q ∨ r) b. p ⇒ ∼(q ∧ r) c. ∼p ⇒ (q ∨ r) d. ∼p ⇒ (q ∧ r) e. (p ∨ q) ⇒ r f. (p ∨ q) ⇒ ∼r g. (p ∧ q) ⇒ r h. (p ∧ q) ⇒ ∼r 5. Biimplikasi
Biimplikasi merupakan gabungan dari implikasi dan konjungsi. Apabila kita mempunyai pernyataan p dan pernyataan q, kita dapat membentuk biimplikasi ”p ⇔ q” yang dibaca (salah satu)
Jika p maka q dan sebaliknya p jika hanya jika q
p syarat cukup dan perlu untuk q q syarat perlu dan cukup untuk p
Biimplikasi ”p ⇔ q” mempunyai arti ”p ⇒ q” dan ”q ⇒ p”. Bagaimana nilai kebenaran suatu biimplikasi ? Perhatikan tabel kebenaran berikut.
p q p ⇒ q q ⇒ p p ⇔ q
B B B B B
B S S B S
S B B S S
S S B B B
Dari tabel tersebut terlihat bahwa biimplikasi bernilai benar jika kedua komponennya bernilai sama (senilai). Jika kedua komponennya bernilai tidak sama, maka biimplikasi bernilai salah.
Kapan pernyataan ”Hari hujan jika hanya jika genteng basah” bernilai benar ? Perhatikan keadaan berikut :
− Hari hujan, genteng tidak basah − Hari tidak hujan, genteng basah − Hari tidak hujan, genteng tidak basah
Keadaan mana yang menyebabkan biimplikasi bernilai benar ?
Bagaimana kita menentukan penyelesaian dari kalimat terbuka yang berbentuk biimplikasi ? Ingat bahwa biimplikasi bernilai benar hanya kedua komponennya senilai. Perhatikan contoh berikut :
x2 − 4x − 5 > 0 jika hanya jika x + 5 < 9
Nilai x yang menyebabkan anteseden benar adalah x < −1 atau x > 5, sedangkan penyelesaian dari konsekwen adalah x < 4. Jelas bahwa x < −1 menyebabkan kedua komponen bernilai benar. Demikian juga 4 ≤ x ≤ 5 menyebabkan kedua komponen bernilai salah. Nilai x pada −1 ≤ x < 4 dan x > 5 menyebabkan kedua komponen berbeda nilai kebenarannya. Oleh karena itu penyelesaian dari biimplikasi di atas adalah x < −1 dan 4 ≤ x ≤ 5.
6. Ingkaran dari konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi
Masih ingat kalimat ”Saya sedang mengerjakan tugas kuliah dan menonton pertandingan sepakbola” ? Kita tahu bahwa ingkaran kalimat tersebut adalah ”Tidak benar saya sedang mengerjakan tugas kuliah dan menonton pertandingan sepakbola”. Kalau kita ingin mengatakan dalam bentuk kalimat yang berbeda, bagaimana bunyi kalimat itu ? Kita ingat kembali bahwa ingkaran suatu pernyataan mempunyai nilai kebenaran yang berkebalikan dengan nilai kebenaran pernyataan semula.
Perhatikan tabel kebenaran berikut.
p q ∼p ∼q p ∧ q ∼p ∨ ∼q
B B S S B S
B S S B S B
S B B S S B
Jadi pernyataan ”Tidak benar saya sedang mengerjakan tugas kuliah dan menonton pertandingan sepakbola” dapat pula dinyatakan dengan ” saya sedang tidak mengerjakan tugas kuliah atau tidak menonton pertandingan sepakbola”
Secara sama perhatikan tabel berikut.
p q ∼p ∼q p ∨ q ∼p ∧ ∼q
B B S S B S
B S S B B S
S B B S B S
S S B B S B
Bagaimana ingkaran dari implikasi dan biimplikasi ? Kita tahu bahwa implikasi ”p ⇒ q” senilai dengan pernyataan ”∼p ∨ q”, oleh karena itu ingkaran implikasi ”p ⇒ q” juga senilai dengan ingkaran dari disjungsi ”∼p ∨ q”. Dari pembahasan di atas, ”∼ (∼p ∨ q) ” adalah ”p ∧ ∼q ”. Jadi ingkaran implikasi ”p ⇒ q” adalah ”p ∧ ∼q ”. Biimplikasi ”p ⇔ q” mempunyai arti ”(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)” sehingga ” ∼(p ⇔ q)” senilai dengan ” ∼ ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p))”. Ingkaran konjungsi terakhir ini adalah ”∼(p ⇒ q) ∨ ∼(q ⇒ p)” yang senilai dengan ”(p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p) ”. Coba kita cek hasil ini dengan tabel kebenaran berikut.
p q ∼p ∼q p ⇒ q p ∧∼q p ⇔ q q ∧ ∼p (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p)
B B S S B S B S S
B S S B S B S B B
S B B S B S S B B
S S B B B S B S S
Kita lihat bahwa nilai kebenaran kolom ke-5 berkebalikan dengan nilai kebenaran pada kolom ke-6, ini menunjukkan bahwa ” ∼(p ⇒ q) adalah ”p ∧∼q”. Demikian juga ”∼(p ⇔ q)” adalah ”(p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p)” dengan melihat nilai kebenaran pada kolom ke-7 yang berkebalikan dengan nilai kebenaran pada kolom ke-9.
Misalkan p : ”Burhan adalah seorang mahasiswa” dan q : ”Burhan adalah orang malas”
Tuliskan kalimat berikut dalam notasi logika
a. Burhan adalah seorang mahasiswa tetapi malas b. Burhan bukan seorang mahasiswa apabila ia malas
c. Burhan bukan seorang mahasiswa meskipun ia tidak malas d. Burhan adalah orang malas apabila ia mahasiswa
e. Bila burhan seorang mahasiswa maka ia tidak malas
f. Burhan adalah orang malas atau bila tidak malas maka ia seorang mahasiswa g. Burhan bukanlah seorang mahasiswa yang malas
Tentukan ingkaran dari masing-masing kalimat di atas 7. Tautologi dan kontradiksi
Perhatikan kalimat
Andin makan nasi atau tidak makan nasi
Apabila ternyata Andin makan nasi, maka pernyataan di atas bernilai benar. Begitu pula apabila Andin tidak makan nasi. Mengapa ? Sekarang perhatikan kalimat
Andin makan nasi dan tidak makan nasi
Apabila ternyata Andin makan nasi, maka pernyataan di atas bernilai salah. Begitu pula apabila Andin tidak makan nasi. Mengapa ?
Jika pernyataan ”Andin makan nasi” dinotasikan p, maka kalimat pertama dapat ditulis ”p ∨ ∼p ” yang selalu mempunyai nilai benar, apapun nilai kebenaran p. Kalimat kedua dapat dinotasikan ”p ∧ ∼p ” yang selalu mempunyai nilai salah, apapun nilai kebenaran p.
Suatu pernyataan yang selalu bernilai benar disebut tautologi, sedangkan pernyataan yang selalu mempunyai nilai salah dinamakan kontradiksi.
8. Pernyataan berkuantor Perhatikan kalimat
Semua orang mandi pagi
Ada orang senang membaca Juga kalimat
Beberapa binatang berkaki dua
Pada kalimat-kalimat tersebut terdapat kata semua, ada, setiap, dan beberapa yang terkait dengan kuantitas (jumlah). Kalimat semacam itu dinamakan kalimat berkuantor.
Pada kelompok pertama, kita berbicara tentang orang sehingga kita dapat mengambil semesta pembicaraan : manusia. Misalkan himpunan orang/manusia dinotasikan dengan A, Pernyataan ”orang mandi pagi” kita nyatakan dengan p(x), pernyataan ”orang senang membaca” kita nyatakan dengan q(x), maka kalimat tersebut dapat dituliskan dalam notasi matematika sebagai
∀ x ∈ A, p(x) ∃ x ∈ A, q(x)
Notasi ∀ dibaca ”untuk semua” atau ”untuk setiap”, disebut kuantor universal, sedangkan notasi ∃ dibaca ”ada” atau ”beberapa” atau ”terdapat” atau ”paling sedikit satu”, disebut kuantor eksistensial.
Sebagai suatu pernyataan, suatu pernyataan berkuantor tentu mempunyai nilai kebenaran. Bagaimana menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan berkuantor ? Untuk menentukan kebenaran pernyataan ”Semua orang mandi pagi”, kita harus bertanya kembali benarkah semua orang mandi pagi ? Jika jawabnya ya, maka pernyataan tersebut bernilai benar, tetapi apabila ada orang yang tidak mandi pagi meskipun hanya satu orang, maka pernyataan tersebut bernilai salah.
Demikian pula pada kalimat ”Ada orang senang membaca”. Jika kita dapat menemukan orang yang senang membaca sekalipun hanya satu orang, maka pernyataan tersebut bernilai benar. Tetapi bila kita tidak dapat menemukan orang yang senang membaca (sama sekali tidak ada), maka pernyataan tersebut bernilai salah.
Dalam praktek matematika sehari-hari, seringkali kuantor tidak ditulis secara eksplisit. Contohnya pada rumus
x2 − y2 = (x+ y)(x− y)
Rumus itu berlaku untuk semua bilangan real x dan y, sehingga penulisan lengkap beserta kuantornya adalah
∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R, x2 − y2 = (x+ y)(x− y)
atau ditulis singkat
Contoh : Ucapkan kalimat berikut 1. ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R, y > x 2. ∃ y ∈ R, ∀ x ∈ R, y > x 3. ∀ x, y ∈ R, x = y ⇔ y = x 4. ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R, x ≠ y ⇒ ∃ z ∈ R, (x < z ∧ z < y) ∨ (y < z ∧ z < x) 5. ∃ x∈ R, ∀ y ∈ R, y + x = y + x = y 6. ∀ x∈ R, ∃ y ∈ R, y + x = y + x = 0 7. ∃ z ∈ R, ∀ x, y ∈ R, xy = z ⇒ x = z ∨ y = z 8. ∀ x, y ∈ R, ∃ z ∈ R, xz = y 9. ∃ x∈ R, ∀ y ∈ R, xy = x 10. ∀ x ∈ R, ∀ y ∈ R, x ≠ y ⇒ x < y ∨ y < x 11. ∃ y ∈ R, y2 < 0 ⇒ y = 1
