CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M
1. Diketahui bahwa a1 2, a2 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa 3 1
1 2 2 1 k k k a a a .
Tentukan jumlah tak hingga dari a1a2 a3 . Solusi:
Kita misalkan a1a2 a3 S. Dengan demikian kita dapat menuliskan
4 3 1 3 2 1 3 3 1 2 2 1 2 3 1 1 2 1 3 2 1 3 2 S a a a a a a a a aKedua ruas kita kalikan 6 sehingga diperoleh
1 2 3
1 2 3
1 4 3 2 3 2 1 4 3 3 2 2 1 4 3 1 3 2 1 3 3 1 2 2 1 2 3 1 1 2 1 2 2 3 30 2 3 30 2 3 2 3 2 3 18 12 6 3 2 6 6 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a S Dengan demikian 6S303S2S22. Sehingga diperoleh S 26.
2. Buktikan bahwa (n1)n(n3 1) senantiasa habis dibagi 6 untuk semua bilangan asli n. Bukti:
Ambil sebarang bilangan asli n. Untuk membuktikan bahwa (n1)n(n3 1) senantiasa habis dibagi oleh 6, maka harus dibuktikan bahwa (n1)n(n3 1) habis dibagi 2 dan habis dibagi 3.
Akan dibuktikan bahwa (n1)n(n3 1) habis dibagi 2.
Kita pecah dalam dua kasus, yaitu untuk n2k dan untuk n2k1 untuk sebarang bilangan asli k. Untuk n2k diperoleh
2 1
8 1
2 1 2 2 1 2 1 1 3 3 3 k k k k k k n n nyang merupakan kelipatan 2. Untuk n2k1 diperoleh
n1
n
n31
2k
2k1
8k312k26k2
yang merupakan kelipatan 2.Dari kedua kasus tersebut dapat disimpulkan bahwa (n1)n(n3 1) habis dibagi 2 untuk setiap bilangan asli n.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa (n1)n(n3 1) habis dibagi 3.
Kita pecah dalam tiga kasus, yaitu untuk n3k, untuk n3k1 dan untuk n3k2 untuk sebarang bilangan asli k.
Untuk n3k diperoleh
3 1
27 1
3 1 3 3 1 3 1 1 3 3 3 k k k k k k n n nyang merupakan kelipatan 3. Untuk n3k1 diperoleh
yang merupakan kelipatan 3. Untuk n3k2 diperoleh
3 1
3 2
9
3 6 4 1
1 8 36 54 27 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 3 1 1 2 3 2 3 3 3 k k k k k k k k k k k k k n n nyang merupakan kelipatan 3.
Dari ketiga kasus tersebut dapat disimpulkan bahwa (n1)n(n3 1) habis dibagi 3 untuk setiap bilangan asli n.
Dengan demikian (n1)n(n3 1) habis dibagi 2 dan habis dibagi 3. Karena 2 dan 3 saling relatif prima (FPB dari 2 dan 3 adalah 1), maka (n1)n(n3 1) habis dibagi 6 untuk setiap bilangan asli n.
3. Untuk bilangan real a dan b sebarang, buktikan bahwa a2b2 2(ab)2. Catatan:
Untuk membuktikan soal tersebut, permasalahan yang sering muncul adalah harus dimulai dari mana untuk mengkonstruksikan pembuktiannya. Untuk pembuktian yang masih sederhana, masalah tersebut tidak terlalu mengganggu. Akan tetapi untuk soal yang lebih kompleks, masalah tersebut akan sangat mengganggu. Hal ini dapat diatasi jika kita mulai dengan terlebih dahulu membuat proses/langkah berpikirnya. Dalam proses berpikir ini, kita bergerak mundur (working backward) dari yang akan dibuktikan, dengan langkah-langkah yang logis menuju ke yang diketahui. Pada penulisan buktinya, proses berpikir ini tidak perlu dicantumkan dan cukup ditulis di lembar corat-coret saja (buram). Proses berpikir:
1
1
0 0 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b b a a b a b a b a b aDari proses berpikir tersebut, ternyata langkah buktinya harus dimulai dari
a1
2 0dan
b1
2 0. Hal ini didasarkan dari sifat kuadrat sebarang bilangan real selalu nonnegatif.Bukti:
Ambil a dan b sebarang bilangan real.
1
0 0 1 2 2 b aJumlahkan kedua ketaksamaan maka diperoleh
2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 0 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a b a b a b b a a b a4. Seseorang memiliki sejumlah koin senilai 1000 rupiah. Setelah diperhatikan dengan seksama, ternyata koin yang dimilikinya terdiri dari tiga macam koin di antara 4 macam koin yang sekarang masih berlaku (500-an, 200-an, 100-an dan 50-an). Selidiki dan tentukan berapa banyak kombinasi koin yang mungkin dimiliki oleh orang tersebut. Solusi:
Strategi membuat daftar yang sistematis akan digunakan untuk menyelesaikan masalah ini.
Nomor Koin yang Digunakan
500-an 200-an 100-an 50-an
1 - 1 1 14 2 - 1 2 12 3 - 1 3 10 4 - 1 4 8 5 - 1 5 6 6 - 1 6 4 7 - 1 7 2 8 - 2 1 10 9 - 2 2 8 10 - 2 3 6 11 - 2 4 4 12 - 2 5 2 13 - 3 1 6 14 - 3 2 4 15 - 3 3 2 16 - 4 1 2 17 1 - 1 8 18 1 - 2 6 19 1 - 3 4 20 1 - 4 2 21 1 1 - 6 22 1 2 - 2 23 1 1 3 - 24 1 2 1 -
Dengan demikian terdapat 24 kemungkinan kombinasi koin yang dapat dimiliki orang tersebut.
5. Untuk setiap pasangan bilangan asli a dan b, kita definisikan a*babab. Bilangan asli x dikatakan penyusun bilangan asli n jika terdapat bilangan asli y yang memenuhi
n y
x* . Sebagai contoh, 2 adalah penyusun 6 karena terdapat bilangan asli 4 sehingga 6 4 2 8 4 2 4 2 4 *
2 . Tentukan semua penyusun 2005.
Solusi:
Misalkan x adalah penyusun 2005. Sehingga terdapat bilangan asli y sedemikian hingga
1
1
1 * 2005 y x y x xy y xSebagai akibatnya
167 3 2 2004 1 1 2 y xFaktor-faktor dari 223167 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002, 2004. Dengan demikian x1 harus bernilai salah satu dari keduabelas faktor tersebut. Sehingga nilai x adalah salah satu dari 2, 3, 4, 5, 7, 13, 168, 335, 502, 669, 1003 atau
2005. Kita peroleh 1 1 2004 x
y untuk masing-masing nilai x. Selanjutnya kita buat daftar
sebagai berikut: x y x*y xyx y 2 2003 22003220032005 3 1001 31001310012005 4 667 466746672005 5 500 550055002005 7 333 733373332005 13 166 13166131662005 168 11 16811168112005 335 5 335533552005 502 3 502350232005 669 2 669266922005 1003 1 10031100312005 2005 0 20050200502005
Karena x dan y harus merupakan bilangan asli maka x2005 bukan penyusun 2005 karena nilai y yang diperoleh adalah 0. Dengan demikian semua penyusun 2005 adalah 2, 3, 4, 5, 7, 13, 168, 335, 502, 669 dan 1003.
6. Diketahui bentuk x2 3y2 n, dengan x dan y adalah bilangan-bilangan bulat.
a. Jika n20, bilangan berapa sajakah n tersebut dan diperoleh dari pasangan
x,yapa saja?
b. Tunjukkan bahwa tidak mungkin menghasilkan x2 3y2 8. Solusi:
a. Masalah ini dapat diselesaikan dengan membuat daftar yang sistematis.
x y x2 3y2 n n 0 0 02 302 0 0 1 0 12302 1 1 – 1 0
12 3 02 1 1 0 1 02 312 3 3 0 – 1 02 3
12 3 3 2 0 22 302 4 4 – 2 0
2 2 3 02 4 4 1 1 12312 4 4 – 1 1
12 3
12 4 4x y x2 y2 n 3 n – 1 – 1
12 3
12 4 4 2 1 22312 7 7 – 2 1
2 2 3 12 7 7 2 – 1 22 3
12 7 7 – 2 – 1
2 2 3
12 7 7 3 0 32 302 9 9 – 3 0
3 2 3 02 9 9 0 – 2 02 3
2 2 12 12 0 2 02 322 12 12 3 – 1 32 3
12 12 12 3 1 32 312 12 12 – 3 – 1
3 2 3
1 2 12 12 – 3 1
3 2 3 12 12 12 1 2 12322 13 13 – 1 2
12 3 22 13 13 1 – 2 12 3
2 2 13 13 – 1 – 2
12 3
2 2 13 13 2 2 22322 16 16 2 – 2 22 3
2 2 16 16 – 2 2
2 2 322 16 16 – 2 – 2
2 2 3
2 2 16 16 4 0 42302 16 16 – 4 0
4 2 3 02 16 16 4 1 42312 19 19 4 – 1 42 3
12 19 19 – 4 1
4 2 312 19 19 – 4 – 1
4 2 3
12 19 19b. Karena x2 3y2 8 maka haruslah x2 8 dan 3y2 8. Pertidaksamaan x2 8
hanya mungkin dipenuhi untuk x2,1,0,1,2, sedangkan pertidaksamaan 8
3y2 hanya mungkin dipenuhi untuk y1,0,1. Dari nilai-nilai x dan y yang
memenuhi, diperoleh hasil yang mungkin untuk 2
x adalah 0, 1, 4, sedangkan untuk
2
3y adalah 0, 3.
Dengan demikian nilai maksimal dari 2 2
3y
x adalah 7. Sehingga tidak ada bilangan
bulat x dan y yang dapat memenuhi persamaan x2 3y2 8.
7. Diketahui angka N 121 9 9999 999 99 9 . Tentukan nilai N. Solusi:
0989 11 1111 121 0 11 1111 1 1 1 1 00 0000 1 1000 100 10 1 00 0000 1 1 1000 1 100 1 10 9 9999 999 99 9 angka 118 angka 121 suku 121 angka 121 angka 121 angka 121 NDengan demikian N adalah 1111 110989
angka 118