• Tidak ada hasil yang ditemukan

Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov"

Copied!
46
0
0

Teks penuh

(1)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov

Rukmono Budi Utomo, M.Sc. Email: rukmono.budi.u@mail.ugm.ac.id

(2)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Empat Metode Membentuk Fungsi Lyapunov

(3)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Latar Belakang

Untuk menentukan kestabilan global dari suatu sistem PD tidaklah mudah. Diperlukan banyak titik pada domain D untuk di coba.

Kestabilan Lokal yang biasa dilakukan dengan Linearisasi Jakobian umumnya hanya dapat menyelidiki kestabilan disekitar titik kesetimbangan saja ( bersifat lokal) dan tdak dapat menjelaskan kesetimbangan secara global.

Salah satu cara menentukan kestabilan secara global adalag dengan menggunakan Kestabilan Lyapunov.

Apabila dapat ditemukan suatu fungsi V(x,y) yang definit Postif dengan ˙V <0, maka sistem PD dikatakan stabil global, sebaliknya sistem tidak stabil. Jika ˙V = 0, maka sistem stabil.

(4)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Latar Belakang

Untuk menentukan kestabilan global dari suatu sistem PD tidaklah mudah. Diperlukan banyak titik pada domain D untuk di coba.

Kestabilan Lokal yang biasa dilakukan dengan Linearisasi Jakobian umumnya hanya dapat menyelidiki kestabilan disekitar titik kesetimbangan saja ( bersifat lokal) dan tdak dapat menjelaskan kesetimbangan secara global.

Salah satu cara menentukan kestabilan secara global adalag dengan menggunakan Kestabilan Lyapunov.

Apabila dapat ditemukan suatu fungsi V(x,y) yang definit Postif dengan ˙V <0, maka sistem PD dikatakan stabil global, sebaliknya sistem tidak stabil. Jika ˙V = 0, maka sistem stabil.

(5)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Latar Belakang

Untuk menentukan kestabilan global dari suatu sistem PD tidaklah mudah. Diperlukan banyak titik pada domain D untuk di coba.

Kestabilan Lokal yang biasa dilakukan dengan Linearisasi Jakobian umumnya hanya dapat menyelidiki kestabilan disekitar titik kesetimbangan saja ( bersifat lokal) dan tdak dapat menjelaskan kesetimbangan secara global.

Salah satu cara menentukan kestabilan secara global adalag dengan menggunakan Kestabilan Lyapunov.

Apabila dapat ditemukan suatu fungsi V(x,y) yang definit Postif dengan ˙V <0, maka sistem PD dikatakan stabil global, sebaliknya sistem tidak stabil. Jika ˙V = 0, maka sistem stabil.

(6)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Latar Belakang

Untuk menentukan kestabilan global dari suatu sistem PD tidaklah mudah. Diperlukan banyak titik pada domain D untuk di coba.

Kestabilan Lokal yang biasa dilakukan dengan Linearisasi Jakobian umumnya hanya dapat menyelidiki kestabilan disekitar titik kesetimbangan saja ( bersifat lokal) dan tdak dapat menjelaskan kesetimbangan secara global.

Salah satu cara menentukan kestabilan secara global adalag dengan menggunakan Kestabilan Lyapunov.

Apabila dapat ditemukan suatu fungsi V(x,y) yang definit Postif dengan ˙V <0, maka sistem PD dikatakan stabil global, sebaliknya sistem tidak stabil. Jika ˙V = 0, maka sistem stabil.

(7)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Pemasalahan

Permasalahan yang muncul apabila ingin menyelidiki kestabilan global dengan menggunakan Fungsi Lyapunov adalah bagaimana cara mengkonstruksi Fungsi Lyapunov V(x,y)?

Penentuan Fungsi Lyapunov yang diakukan dengan trial and eror sangatlah tidak efektif, dikarenakan tidak semua fungsi yang definit positif merupakan Fungsi Lyapunov.

Berdasarkan hal tersebut, diperlukan metode untuk mengkonstruksi Fungsi Lyapunov dari sistem PD yang diketahui

(8)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Pemasalahan

Permasalahan yang muncul apabila ingin menyelidiki kestabilan global dengan menggunakan Fungsi Lyapunov adalah bagaimana cara mengkonstruksi Fungsi Lyapunov V(x,y)?

Penentuan Fungsi Lyapunov yang diakukan dengan trial and eror sangatlah tidak efektif, dikarenakan tidak semua fungsi yang definit positif merupakan Fungsi Lyapunov.

Berdasarkan hal tersebut, diperlukan metode untuk mengkonstruksi Fungsi Lyapunov dari sistem PD yang diketahui

(9)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Pemasalahan

Permasalahan yang muncul apabila ingin menyelidiki kestabilan global dengan menggunakan Fungsi Lyapunov adalah bagaimana cara mengkonstruksi Fungsi Lyapunov V(x,y)?

Penentuan Fungsi Lyapunov yang diakukan dengan trial and eror sangatlah tidak efektif, dikarenakan tidak semua fungsi yang definit positif merupakan Fungsi Lyapunov.

Berdasarkan hal tersebut, diperlukan metode untuk mengkonstruksi Fungsi Lyapunov dari sistem PD yang diketahui

(10)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menguraikan berbagai metode yang dapat digunakan dalam mengkonstruksi Fungsi Lyapunov, antara lain:

1 Metode First Integral 2 Metode Krasovsi 3 Metode Zubov dan 4 Metode Khalil

(11)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode First Integral

Metode First Integral digunakan apabila pada sistem PD dimungkinkan dilakukan integrasi langsung. Salah satu bentuk sistem PD yang dapat dilakukan First Integral memiliki bentuk sebagai berikut ˙ x=f (y1,y2, . . . ,yn) ˙ y=f (x1,x2, . . . ,xn) Contoh 1

Diberikan sistem PD sebagi berikut ˙ x=y

˙ y =−x

Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan MetodeFirst Integral

(12)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode First Integral

Metode First Integral digunakan apabila pada sistem PD dimungkinkan dilakukan integrasi langsung. Salah satu bentuk sistem PD yang dapat dilakukan First Integral memiliki bentuk sebagai berikut ˙ x=f (y1,y2, . . . ,yn) ˙ y=f (x1,x2, . . . ,xn) Contoh 1

Diberikan sistem PD sebagi berikut ˙ x=y

˙ y =−x

Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan MetodeFirst Integral

(13)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Solusi

Dengan membentuk sistem menjadi dydx = yx, maka diperoleh solusi 12x2+12y2 =C. Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov yakniV(x,y) =x2+y2.

Perhatikan bahwa nilai ˙V = 0, maka berdasarkan hal tersebut Sistem PD stabil.

Contoh 2

Diberikan sistem PD sebagai berikut ˙

x=y ˙

y = 4x3−4x

Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan MetodeFirst Integral

(14)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Solusi

Dengan membentuk sistem menjadi dydx = yx, maka diperoleh solusi 12x2+12y2 =C. Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov yakniV(x,y) =x2+y2.

Perhatikan bahwa nilai ˙V = 0, maka berdasarkan hal tersebut Sistem PD stabil.

Contoh 2

Diberikan sistem PD sebagai berikut ˙

x=y ˙

y = 4x3−4x

Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan MetodeFirst Integral

(15)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Solusi

Dengan membentuk sistem menjadi dydx = yx, maka diperoleh solusi 12x2+12y2 =C. Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov yakniV(x,y) =x2+y2.

Perhatikan bahwa nilai ˙V = 0, maka berdasarkan hal tersebut Sistem PD stabil.

Contoh 2

Diberikan sistem PD sebagai berikut ˙

x=y ˙

y = 4x34x

Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan MetodeFirst Integral

(16)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Solusi

Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih berdasarkan sistem PD adalah

1

2y2+ 2x2−x4.Lebih lanjut Karena ˙V = 0, maka sistem PD stabil.

Contoh 3

Diberikan sistem PD sebagi berikut ˙

x= 23x y2 1 2x

˙

y= 14x2y−7y

Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan MetodeFirst Integral

(17)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Solusi

Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih berdasarkan sistem PD adalah

1

2y2+ 2x2−x4.Lebih lanjut Karena ˙V = 0, maka sistem PD stabil.

Contoh 3

Diberikan sistem PD sebagi berikut ˙

x= 23x y2 1 2x

˙

y= 14x2y−7y

Akan ditentukan Fungsi Lyapunov berdasarkan MetodeFirst Integral

(18)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Solusi

Dengan mengubah sistem PD menjadi ˙ x =x 23y21 2 ˙ y =y 14x2−7

dan dilakukan pengintegralan, maka dapat diperoleh solusi 1 8x 27 ln|x|+1 2ln|y| − 1 3y 2 =C

Berdasarkan hal tersebut Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih adalahV (x,y) = 3x2−168 ln|x|+ 12 ln|y| −8y2.

Perhatikan bahwa nilai ˙

V(x,y) =−2x2y2+ 56y2 <0

maka berdasarkan hal tersebut sistem stabil asimptotik ke titik kesetimbangan (0,0)

(19)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Solusi

Dengan mengubah sistem PD menjadi ˙ x =x 23y21 2 ˙ y =y 14x2−7

dan dilakukan pengintegralan, maka dapat diperoleh solusi 1 8x 27 ln|x|+1 2ln|y| − 1 3y 2 =C

Berdasarkan hal tersebut Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih adalahV (x,y) = 3x2−168 ln|x|+ 12 ln|y| −8y2.

Perhatikan bahwa nilai ˙

V(x,y) =−2x2y2+ 56y2 <0

(20)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode Krasovski

Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positifP sedemikian hingga diperoleh matriks definit negatifQ(x) yang didefinisikan sebagaiQ(x) =PJ(x) +JT(x)P denganJ(x) merupakan matriks Jakobian.

Apabila hal tersebut terjadi, makasistem stabil asimptotik. Perhatikan bahwa, misalkan diberikan Fungsi Lyapunov V(x,y) =fTPf yang definit positif pada ruang f. Berdasarkan ghal tersebut derivatifV(x,y) didefinisikan sebagai

˙

V(x,y) = ˙fTPf +fTPf˙ .

Dengan aturan rantai diperolah ˙f (x) =J(x) ˙x=J(x)f (x) berdasarkan hal tersebut

˙

(21)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode Krasovski

Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positifP sedemikian hingga diperoleh matriks definit negatifQ(x) yang didefinisikan sebagaiQ(x) =PJ(x) +JT(x)P denganJ(x) merupakan matriks Jakobian.

Apabila hal tersebut terjadi, makasistem stabil asimptotik.

Perhatikan bahwa, misalkan diberikan Fungsi Lyapunov V(x,y) =fTPf yang definit positif pada ruang f. Berdasarkan ghal tersebut derivatifV(x,y) didefinisikan sebagai

˙

V(x,y) = ˙fTPf +fTPf˙ .

Dengan aturan rantai diperolah ˙f (x) =J(x) ˙x=J(x)f (x) berdasarkan hal tersebut

˙

(22)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode Krasovski

Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positifP sedemikian hingga diperoleh matriks definit negatifQ(x) yang didefinisikan sebagaiQ(x) =PJ(x) +JT(x)P denganJ(x) merupakan matriks Jakobian.

Apabila hal tersebut terjadi, makasistem stabil asimptotik. Perhatikan bahwa, misalkan diberikan Fungsi Lyapunov V(x,y) =fTPf yang definit positif pada ruang f. Berdasarkan ghal tersebut derivatifV(x,y) didefinisikan sebagai

˙

V(x,y) = ˙fTPf +fTPf˙ .

Dengan aturan rantai diperolah ˙f (x) =J(x) ˙x=J(x)f (x) berdasarkan hal tersebut

˙

(23)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode Krasovski

Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat matriks konstan definit positifP sedemikian hingga diperoleh matriks definit negatifQ(x) yang didefinisikan sebagaiQ(x) =PJ(x) +JT(x)P denganJ(x) merupakan matriks Jakobian.

Apabila hal tersebut terjadi, makasistem stabil asimptotik. Perhatikan bahwa, misalkan diberikan Fungsi Lyapunov V(x,y) =fTPf yang definit positif pada ruang f. Berdasarkan ghal tersebut derivatifV(x,y) didefinisikan sebagai

˙

V(x,y) = ˙fTPf +fTPf˙ .

Dengan aturan rantai diperolah ˙f (x) =J(x) ˙x=J(x)f (x) berdasarkan hal tersebut

(24)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Lanjutan

Dengan mengingatQ(x) definit negatif, maka ˙V juga definit negatif, berdasarkan hal tersebut sistem PD stabil asimptotik.

Contoh 4

Diberikan sistem sebagai berikut ˙

x =−ax+y ˙

y =x−y−y3

untuk a¿1, Akan ditentukan Fungsi Lyapunov dengan Metode Krasovsi.

Solusi

Berdasarkan sistem di atas dapat ditentukan matriks Jakobian J(x) sebagai berikut J(x) = −a 1 1 −1−3y2

(25)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Lanjutan

Dengan mengingatQ(x) definit negatif, maka ˙V juga definit negatif, berdasarkan hal tersebut sistem PD stabil asimptotik. Contoh 4

Diberikan sistem sebagai berikut ˙

x =−ax+y ˙

y =x−y−y3

untuk a¿1, Akan ditentukan Fungsi Lyapunov dengan Metode Krasovsi.

Solusi

Berdasarkan sistem di atas dapat ditentukan matriks Jakobian J(x) sebagai berikut J(x) = −a 1 1 −1−3y2

(26)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Lanjutan

Dengan mengingatQ(x) definit negatif, maka ˙V juga definit negatif, berdasarkan hal tersebut sistem PD stabil asimptotik. Contoh 4

Diberikan sistem sebagai berikut ˙

x =−ax+y ˙

y =x−y−y3

untuk a¿1, Akan ditentukan Fungsi Lyapunov dengan Metode Krasovsi.

Solusi

Berdasarkan sistem di atas dapat ditentukan matriks Jakobian J(x) sebagai berikut J(x) = −a 1 1 −1−3y2

(27)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Lanjutan

Dipilih matriks definit positifP , misalkan dalam hal ini P =I2, maka berdasarkan hal tersebut diperoleh matriksQ(x) sebagai berikut Q(x) =PJ(x) +JT(x)P = −2a 2 2 −2−6y2

Perhatikan bahwa meski 4a+ 12ay2−4>0, namun −2a<0 untuka>1, berdasarkan hal demikian Q(x) definit negatif. Dengan demikian sistem PD stabil asimptotik.

(28)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Lanjutan

Dipilih matriks definit positifP , misalkan dalam hal ini P =I2, maka berdasarkan hal tersebut diperoleh matriksQ(x) sebagai berikut Q(x) =PJ(x) +JT(x)P = −2a 2 2 −2−6y2

Perhatikan bahwa meski 4a+ 12ay2−4>0, namun −2a<0 untuka>1, berdasarkan hal demikian Q(x) definit negatif. Dengan demikian sistem PD stabil asimptotik.

(29)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode Zubov

Fungsi Lyapunov yang dicari dengan Metode Zubov dilakukan dengan mencari suatu FungsiPhi yang definit Positif yang memenuhi n P i=1 ∂V ∂xifi(x) =−Φ (x) [1−V (x)] h 1 +kfk2idengan V(x) itu sendiri merupakan Fungsi Lyapunov.

Apabila ada, karena

n

P

i=1

∂V

∂xifi(x) negatif, maka SPD stabil

asimptotik Contoh 5

Diberikan Sistem Persamaan Differensial sebagai berikut ˙ x1=−x1+x2+x1 x12+x22 ˙ x2=−x1+x2+x2 x12+x22

(30)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode Zubov

Fungsi Lyapunov yang dicari dengan Metode Zubov dilakukan dengan mencari suatu FungsiPhi yang definit Positif yang memenuhi n P i=1 ∂V ∂xifi(x) =−Φ (x) [1−V (x)] h 1 +kfk2idengan V(x) itu sendiri merupakan Fungsi Lyapunov.

Apabila ada, karena

n

P

i=1

∂V

∂xifi(x) negatif, maka SPD stabil

asimptotik

Contoh 5

Diberikan Sistem Persamaan Differensial sebagai berikut ˙ x1=−x1+x2+x1 x12+x22 ˙ x2=−x1+x2+x2 x12+x22

(31)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode Zubov

Fungsi Lyapunov yang dicari dengan Metode Zubov dilakukan dengan mencari suatu FungsiPhi yang definit Positif yang memenuhi n P i=1 ∂V ∂xifi(x) =−Φ (x) [1−V (x)] h 1 +kfk2idengan V(x) itu sendiri merupakan Fungsi Lyapunov.

Apabila ada, karena

n

P

i=1

∂V

∂xifi(x) negatif, maka SPD stabil

asimptotik Contoh 5

Diberikan Sistem Persamaan Differensial sebagai berikut ˙ x1=−x1+x2+x1 x12+x22 ˙ x2=−x1+x2+x2 x12+x22

(32)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Solusi

Ambil fungsi definit positif Φ (x) = 2 x12+x22

, berdasarkan hal tersebut diperoleh ˙ V = ∂V ∂x1 ( ˙x1) + ∂V ∂x2 ( ˙x2) .

Berdasarkan Teorema Zubov

∂V ∂x1 ( ˙x1) + ∂V ∂x2 ( ˙x2) =−2 x12+x22 [1−V (x)] sehingga fungsi Lyapunov yang dimaksud adalah

(33)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Solusi

Ambil fungsi definit positif Φ (x) = 2 x12+x22

, berdasarkan hal tersebut diperoleh ˙ V = ∂V ∂x1 ( ˙x1) + ∂V ∂x2 ( ˙x2)

. Berdasarkan Teorema Zubov

∂V ∂x1 ( ˙x1) + ∂V ∂x2 ( ˙x2) =−2 x12+x22 [1−V (x)]

sehingga fungsi Lyapunov yang dimaksud adalah V(x,y) =x2+y2.

(34)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Solusi

Ambil fungsi definit positif Φ (x) = 2 x12+x22

, berdasarkan hal tersebut diperoleh ˙ V = ∂V ∂x1 ( ˙x1) + ∂V ∂x2 ( ˙x2)

. Berdasarkan Teorema Zubov

∂V ∂x1 ( ˙x1) + ∂V ∂x2 ( ˙x2) =−2 x12+x22 [1−V (x)] sehingga fungsi Lyapunov yang dimaksud adalah

(35)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Contoh 6

Diberikan Sistem Persamaan Differensial sebagai berikut ˙

x1=−x1+ 2x12x2

˙

x2=−x2

Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Zubov

Solusi

Dengan menggunakan Teorema Zubov, maka diperoleh persamaan differensial sebagai berikut

∂V ∂x1( ˙x1) + ∂V ∂x2( ˙x2) =−Φ (x) [1−V(x)] h 1 +kfk2i 1 2 =−Φ (x) [1−V (x)] h 1 +x22+ 2x12x2−x1 2i 1 2

Berdasarkan hal tersebut, di ambil fungsi Φ (x) = x12+x22

(36)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Contoh 6

Diberikan Sistem Persamaan Differensial sebagai berikut ˙

x1=−x1+ 2x12x2

˙

x2=−x2

Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Zubov Solusi

Dengan menggunakan Teorema Zubov, maka diperoleh persamaan differensial sebagai berikut

∂V ∂x1( ˙x1) + ∂V ∂x2( ˙x2) =−Φ (x) [1−V(x)] h 1 +kfk2i 1 2 =−Φ (x) [1−V (x)]h1 +x22+ 2x12x2−x1 2i 1 2

Berdasarkan hal tersebut, di ambil fungsi Φ (x) = x12+x22

(37)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Lanjutan

Berdasarkan hal tersebut diperoleh Fungsi Lyapunov V = 1 + exp −12x22+ x1 2 2(1−x1x2)

Fungsi V(x,y) hilang pada titik asal sama dengan 1 pada kurvax1x2 = 1, karenanya kestabilan

(38)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode Khalil

Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan V =xTPx denganATP+PA=−I . Jika ˙V negatif maka SPD stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil.

Contoh 7

Diberikan sistem PD sebagai berikut ˙

x1=−2x1+x1x2

˙

x2=−x2+x1x2

Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Khalil Solusi

Linearisasi disekitar titik kesetimbangan (0,0) menghasilkan matriksA=

−2 0 0 −1

. Lebih lanjut berdasarkan persamaanATP+PA=−I , diperoleh P =

1

4 0

0 12

(39)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode Khalil

Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan V =xTPx denganATP+PA=−I . Jika ˙V negatif maka SPD stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil.

Contoh 7

Diberikan sistem PD sebagai berikut ˙

x1=−2x1+x1x2

˙

x2=−x2+x1x2

Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Khalil

Solusi

Linearisasi disekitar titik kesetimbangan (0,0) menghasilkan matriksA=

−2 0 0 −1

. Lebih lanjut berdasarkan persamaanATP+PA=−I , diperoleh P =

1

4 0

0 12

(40)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode Khalil

Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan V =xTPx denganATP+PA=−I . Jika ˙V negatif maka SPD stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil.

Contoh 7

Diberikan sistem PD sebagai berikut ˙

x1=−2x1+x1x2

˙

x2=−x2+x1x2

Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Khalil Solusi

Linearisasi disekitar titik kesetimbangan (0,0) menghasilkan matriksA= −2 0 0 −1 .

Lebih lanjut berdasarkan persamaanATP+PA=−I , diperoleh P =

1

4 0

0 12

(41)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Metode Khalil

Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari dengan V =xTPx denganATP+PA=−I . Jika ˙V negatif maka SPD stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil.

Contoh 7

Diberikan sistem PD sebagai berikut ˙

x1=−2x1+x1x2

˙

x2=−x2+x1x2

Akan dicari Fungsi Lyapunov berdasarkan Metode Khalil Solusi

Linearisasi disekitar titik kesetimbangan (0,0) menghasilkan matriksA=

−2 0 0 −1

. Lebih lanjut berdasarkan persamaanATP+PA=−I , diperolehP =

1

4 0

0 1

(42)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Lanjutan

Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov V =xTPx = 14x12+12x22 dengan ˙ V =− x12+x22 + 1 2x1 2x 2+x1x22

Dengan transformasi polarx1 =ρcosθdanx2 =ρsinθ diperoleh

˙

V =−ρ2+ρ3cosθsinθ sinθ+12cosθ

≤ −ρ2+12ρ3|sin 2θ|sinθ+12cosθ ≤ −ρ2+ √ 5 4 ρ 3 ≤0 denganρ < √4

15. Lebih lanjutc =λmin(P)r 2 = 1 4 4 √ 5 2 = 0.8 dan karenanya diperoleh 14x12+12x22 <0.8

(43)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Lanjutan

Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov V =xTPx = 14x12+12x22 dengan ˙ V =− x12+x22 + 1 2x1 2x 2+x1x22

Dengan transformasi polarx1 =ρcosθ danx2=ρsinθ diperoleh

˙

V =−ρ2+ρ3cosθsinθ sinθ+12cosθ

≤ −ρ2+12ρ3|sin 2θ|sinθ+12cosθ ≤ −ρ2+ √ 5 4 ρ 3 ≤0 denganρ < √4

15. Lebih lanjutc =λmin(P)r 2 = 1 4 4 √ 5 2 = 0.8 dan karenanya diperoleh 14x12+12x22 <0.8

(44)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Lanjutan

Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih Fungsi Lyapunov V =xTPx = 14x12+12x22 dengan ˙ V =− x12+x22 + 1 2x1 2x 2+x1x22

Dengan transformasi polarx1 =ρcosθ danx2=ρsinθ diperoleh

˙

V =−ρ2+ρ3cosθsinθ sinθ+12cosθ

≤ −ρ2+12ρ3|sin 2θ|sinθ+12cosθ ≤ −ρ2+ √ 5 4 ρ 3 ≤0 denganρ < √4

15. Lebih lanjutc =λmin(P)r 2 = 1 4 4 √ 5 2 = 0.8 dan karenanya diperoleh 14x12+ 12x22 <0.8

(45)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Kesimpulan

1 Untuk menyelidiki kestbilan global dari suatu Sistem

Persamaan Differensial perlu dikonstruksi Fungsi Lyapunov V yang definit positif. Apabila ˙V <0, maka Sistem Persamaan Differensial tersebut stabil asimptotik, sebaliknya tidak stabil.

2 Untuk mengkonstruksi Fungsi Lyapunov dapat dilakukan

dengan empat metode antara lain Metode First Integral, Metode Krasovski, Metode Zubov dan Metode Khalil

(46)

Metode Pengkonstruksi Fungsi Lyapunov

Referensi

1 A.M. Lyapunov, Probleme General de la Stabilite du

Movement, Reprinted in Annals of Mathematical Studies No. 17 , Princenton University Press, Princenton, N.J., 1949 (Russian Edition 1892)

2 W. Hahn, Theory and Aplication of Lyapunovs Direct

Referensi

Dokumen terkait

Mengingat hal tersebut penulis mengadaan penelitian tindakan sekolah dengan mengambil judul penelitian “ Meningkatlan Kompetensi Guru Dalam Menyusun Rencana

Rasio V/C maksimal &lt;0,70 &lt;0,90 Tidak memenuhi Karakteristik Arus lalu lintas Arus stabil, kecepatan sedikit terbatas oleh lalu lintasN. Arus mulai tidak stabil

bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y

Sehingga dalam hal ini berat serat singsin terhadap resin hanya yang komposisi yang sesuai dalam ikatannya resin terhadap serat yang berpengaruh pada kekuatan tarik

(1) Bidang Operasional Penanggulangan Kebakaran dan Penyelamatan mempunyai tugas membantu Kepala Dinas dalam melaksanakan perumusan kebijakan, pengoordinasian,

Fitur yang dikembangkan pada aplikasi sudah berfungsi dengan baik, tetapi untuk pengguna awal perlu membaca help agar lebih mudah dalam penggunaan aplikasi “Find Me”..

Tujuan penelitian ini adalah memanfaatkan penyedia layanan web keanekaragaman hayati untuk melengkapi informasi tumbuhan obat Indonesia dan mengusulkan prototipe

Sedangkan, secara khusus, tujuan yang ingin dicapai dari studi ini adalah: (a) mengetahui dan menganalisis sektor- sektor basis di Kota Jayapura, (b)