Permukaan. Persamaan Codazzi dan Persamaan Gauss. Wono Setya Budhi Februari, 2014 KK Analisis Geometri, FMIPA-ITB.

Permukaan

Persamaan Codazzi dan Persamaan Gauss

Wono Setya Budhi Februari, 2014

Persamaan Codazzi dan Gauss

1 Pada bagian ini kita akan mencari nilaix_{u u},x_uv danx_vv dinyatakan

dalam basis yang ada yaituxu,xv dann= _kx_xuu×_×x_xv_vk

2 Misalkan

x_{u u} =Γu_{u u}x_u+Γv_{u u}x_v+ln

xuv =Γuuvxu+Γvuvxv+mn x_vv =Γu_vvx_u+Γv_vvx_v+nn

3 Karenax_uv =x_vu, makaΓ_uv? =Γ?_vu. FungsiΓ?_?? disebut sebagai

Persamaan Codazzi dan Gauss

1 Pada bagian ini kita akan mencari nilaix_{u u},x_uv danx_vv dinyatakan

dalam basis yang ada yaituxu,xv dann= _kxxu×_u×x_xv_vk

2 Misalkan

x_{u u} =Γu_{u u}x_u+Γv_{u u}x_v+ln xuv =Γuuvxu+Γvuvxv+mn

x_vv =Γu_vvx_u+Γv_vvx_v+nn

3 Karenax_uv =x_vu, makaΓ_uv? =Γ?_vu. FungsiΓ?_?? disebut sebagai

Persamaan Codazzi dan Gauss

1 Pada bagian ini kita akan mencari nilaix_{u u},x_uv danx_vv dinyatakan

dalam basis yang ada yaituxu,xv dann= _kxxu×_u×x_xv_vk

2 Misalkan

x_{u u} =Γu_{u u}x_u+Γv_{u u}x_v+ln

xuv =Γuuvxu+Γvuvxv+mn x_vv =Γu_vvx_u+Γv_vvx_v+nn

3 Karenax_uv =x_vu, makaΓ_uv? =Γ?_vu. FungsiΓ?_?? disebut sebagai

Persamaan Codazzi dan Gauss

1 Misalkan

xu u =Γuu uxu+Γvu uxv+ln

xuv =Γuuvxu+Γvuvxv+mn

xvv =Γuvvxu+Γvvvxv+nn

2 Karena{x_u,x_v}tidak selalu orthogonal, maka

xu u·xu=Γuu uxu·xu+Γvu uxu·xu dst

3

xu u·xu=Γuu uE+Γvu uF xu u·xv =Γuu uF+Γvu uG

Persamaan Codazzi dan Gauss

1 Misalkan

xu u =Γuu uxu+Γvu uxv+ln xuv =Γuuvxu+Γvuvxv+mn xvv =Γuvvxu+Γvvvxv+nn

2 Karena{x_u,x_v}tidak selalu orthogonal, maka

xu u·xu=Γuu uxu·xu+Γvu uxu·xu

dst

3

xu u·xu=Γuu uE+Γvu uF xu u·xv =Γuu uF+Γvu uG

Persamaan Codazzi dan Gauss

1 Misalkan

xu u =Γuu uxu+Γvu uxv+ln xuv =Γuuvxu+Γvuvxv+mn xvv =Γuvvxu+Γvvvxv+nn

2 Karena{x_u,x_v}tidak selalu orthogonal, maka

xu u·xu=Γuu uxu·xu+Γvu uxu·xu dst

3

xu u·xu=Γuu uE+Γvu uF

Persamaan Codazzi dan Gauss

1

x_{u u}·x_u=Γu_{u u}E+Γv_{u u}F xu u·xv =Γuu uF+Γvu uG

2 SedangkanE =x_u·x_u, maka E_u=. . .danx_{u u}·x_u= 1

2Eu 3 Untuk x_{u u}·x_v = (x_u·x_v)_u−x_u·x_uv =F_u−1 2Ev, sebab Ev = (xu·xu)v =2xu·xuv 4 Jadi Γu u u Γv u u = E F F G −1 ₁ 2Eu Fu−1₂Ev

Persamaan Codazzi dan Gauss

1

x_{u u}·x_u=Γu_{u u}E+Γv_{u u}F xu u·xv =Γuu uF+Γvu uG

2 SedangkanE =x_u·x_u, maka E_u=. . .danx_{u u}·x_u= 1

2Eu 3 Untuk x_{u u}·x_v = (x_u·x_v)_u−x_u·x_uv =F_u−1 2Ev, sebab Ev = (xu·xu)v =2xu·xuv 4 Jadi Γu u u Γv u u = E F F G −1 ₁ 2Eu Fu−1₂Ev

Persamaan Codazzi dan Gauss

1

x_{u u}·x_u=Γu_{u u}E+Γv_{u u}F xu u·xv =Γuu uF+Γvu uG

2 SedangkanE =x_u·x_u, maka E_u=. . .danx_{u u}·x_u= 1

2Eu 3 Untuk x_{u u}·x_v = (x_u·x_v)_u−x_u·x_uv =F_u−1 2Ev, sebab Ev = (xu·xu)v =2xu·xuv 4 Jadi Γu u u Γv u u = E F F G −1 ₁ 2Eu Fu−1₂Ev

Persamaan Codazzi dan Gauss

1

x_{u u}·x_u=Γu_{u u}E+Γv_{u u}F xu u·xv =Γuu uF+Γvu uG

2 SedangkanE =x_u·x_u, maka E_u=. . .danx_{u u}·x_u= 1

2Eu 3 Untuk x_{u u}·x_v = (x_u·x_v)_u−x_u·x_uv =F_u−1 2Ev, sebab Ev = (xu·xu)v =2xu·xuv 4 Jadi Γu u u Γv u u = E F F G −1 ₁ 2Eu Fu−1₂Ev

Persamaan Codazzi dan Gauss

1 Lengkapnya _Γu u u Γv u u = E F F G −1 1 2Eu F_u−1₂E_v 2 Γu uv Γv uv = E F F G −1 ₁ 2Ev 1 2Gu 3 _Γu vv Γv vv = E F F G −1 Fv−1₂Gu 1 2Gv

4 Komponen tangen darix_{u u},x_uv,x_vv cukup dihitung dari bentuk

Persamaan Codazzi dan Gauss

1 Lengkapnya _Γu u u Γv u u = E F F G −1 1 2Eu F_u−1₂E_v 2 Γu uv Γv uv = E F F G −1 ₁ 2Ev 1 2Gu 3 _Γu vv Γv vv = E F F G −1 Fv−1₂Gu 1 2Gv

4 Komponen tangen darix_{u u},x_uv,x_vv cukup dihitung dari bentuk

Persamaan Codazzi dan Gauss

1 Lengkapnya _Γu u u Γv u u = E F F G −1 1 2Eu F_u−1₂E_v 2 Γu uv Γv uv = E F F G −1 ₁ 2Ev 1 2Gu 3 _Γu vv Γv vv = E F F G −1 Fv−1₂Gu 1 2Gv

4 Komponen tangen darix_{u u},x_uv,x_vv cukup dihitung dari bentuk

Persamaan Codazzi dan Gauss

1 Lengkapnya _Γu u u Γv u u = E F F G −1 1 2Eu F_u−1₂E_v 2 Γu uv Γv uv = E F F G −1 ₁ 2Ev 1 2Gu 3 _Γu vv Γv vv = E F F G −1 Fv−1₂Gu 1 2Gv

4 Komponen tangen darix_{u u},x_uv,x_vv cukup dihitung dari bentuk

Matriks Penyajian Operator Bentuk

1 Operator bentukS_p:T_pM →T_pM terhadap basis{x_u,x_v}, yaitu

a c b d

2 MisalkanS_p(x_u) =ax_u+bx_v danS_p(x_v) =cx_u+dx_v. Kita harus

mencari a,b,c,d. 3 Untuk mencaria,b, S_p(xu)·xu=aE+bF −Dxun·xu=aE+bF x_{u u}·n=aE+bF l=aE+bF

Matriks Penyajian Operator Bentuk

1 Operator bentukS_p:T_pM →T_pM terhadap basis{x_u,x_v}, yaitu

a c b d

2 MisalkanS_p(x_u) =ax_u+bx_v danS_p(x_v) =cx_u+dx_v. Kita harus

mencari a,b,c,d. 3 Untuk mencaria,b, S_p(xu)·xu=aE+bF −Dxun·xu=aE+bF x_{u u}·n=aE+bF l=aE+bF

Matriks Penyajian Operator Bentuk

1 Operator bentukS_p:T_pM →T_pM terhadap basis{x_u,x_v}, yaitu

a c b d

2 MisalkanS_p(x_u) =ax_u+bx_v danS_p(x_v) =cx_u+dx_v. Kita harus

mencari a,b,c,d. 3 Untuk mencaria,b, S_p(xu)·xu=aE+bF −Dxun·xu=aE+bF x_{u u}·n=aE+bF l=aE+bF

Matriks Penyajian Operator Bentuk

1 Operator bentukS_p:T_pM →T_pM terhadap basis{x_u,x_v}, yaitu

a c b d

2 MisalkanS_p(x_u) =ax_u+bx_v danS_p(x_v) =cx_u+dx_v. Kita harus

mencari a,b,c,d.

3 Untuk mencaria,b

l =aE+bF m=aF+bG

Matriks Penyajian Operator Bentuk

1 Operator bentukS_p:T_pM →T_pM terhadap basis{x_u,x_v}, yaitu

a c b d

2 MisalkanS_p(x_u) =ax_u+bx_v danS_p(x_v) =cx_u+dx_v. Kita harus

mencari a,b,c,d.

3 Untuk mencaria,b

l =aE+bF m=aF+bG

Matriks Penyajian Operator Bentuk

1 Operator bentukS_p:T_pM →T_pM terhadap basis{x_u,x_v}, yaitu

a c b d

2 MisalkanS_p(x_u) =ax_u+bx_v danS_p(x_v) =cx_u+dx_v. Kita harus

mencari a,b,c,d.

3 Untuk mencaria,b

l =aE+bF m=aF+bG

Matriks Penyajian Operator Bentuk

1 Untuk mencaria,b, l =aE+bF m=aF+bG 2 Jadi l m m n = E F F G a c b d 3 Dengan demikian a c b d = E F F G −1 l m m n

Matriks Penyajian Operator Bentuk

1 Untuk mencaria,b, l =aE+bF m=aF+bG 2 Jadi l m m n = E F F G a c b d 3 Dengan demikian a c b d = E F F G −1 l m m n

Matriks Penyajian Operator Bentuk

1 Untuk mencaria,b, l =aE+bF m=aF+bG 2 Jadi l m m n = E F F G a c b d 3 Dengan demikian a c = E F −1 l m

Matriks Penyajian Operator Bentuk

1 Dengan demikian a c b d = E F F G −1 l m m n 2 a c b d = 1 EG−F2 lG−mF mG−nF −lF+mE −mF+nE

Matriks Penyajian Operator Bentuk

1 Dengan demikian a c b d = E F F G −1 l m m n 2 a c b d = 1 EG−F2 lG−mF mG−nF −lF+mE −mF+nE

Memanfaatkan Kesamaan Turunan ke

Tiga

1 Kita mengetahui bahwa

nu=Dxun=−Sp(xu) =−(axu+bxv)

n_v =D_xvn=−S_p(x_v) =−(cx_u+dx_v)

2 Pada awal slide, kita mempunyai

xu u =Γuu uxu+Γvu uxv+ln xuv =Γuuvxu+Γvuvxv+mn x_vv =Γu_vvx_u+Γv_vvx_v+nn

3 Selanjutnya, dengan mencarix_{u uv} =x_uvu dan menggunakan ke

Memanfaatkan Kesamaan Turunan ke

Tiga

1 Kita mengetahui bahwa

nu=Dxun=−Sp(xu) =−(axu+bxv) n_v =D_xvn=−S_p(x_v) =−(cx_u+dx_v)

2 Pada awal slide, kita mempunyai

xu u =Γuu uxu+Γvu uxv+ln

xuv =Γuuvxu+Γvuvxv+mn

x_vv =Γu_vvx_u+Γv_vvx_v+nn

3 Selanjutnya, dengan mencarix_{u uv} =x_uvu dan menggunakan ke

Memanfaatkan Kesamaan Turunan ke

Tiga

1 Kita mengetahui bahwa

nu=Dxun=−Sp(xu) =−(axu+bxv) n_v =D_xvn=−S_p(x_v) =−(cx_u+dx_v)

2 Pada awal slide, kita mempunyai

xu u =Γuu uxu+Γvu uxv+ln xuv =Γuuvxu+Γvuvxv+mn x_vv =Γu_vvx_u+Γv_vvx_v+nn

3 Selanjutnya, dengan mencarix_{u uv} =x_uvu dan menggunakan ke

Memanfaatkan Kesamaan Turunan ke

Tiga

1 Selanjutnya, dengan mencarix_{u uv} =x_uvu dan menggunakan ke

Memanfaatkan Kesamaan Turunan ke

Tiga

1 Selanjutnya, dengan mencarix_{u vv} =x_vvu dan menggunakan ke

Khususnya dari dua persamaan n

Selanjutnya, kita mempunyai persamaan

Gauss

Kurvature Gauss untuk Koordinat

Or-thogonal

1 Kita akan membuktikan (di latihan) bahwa

K =− 1 2√EG _E v √ EG v + _G u √ EG u

Theorem

Teorem Egregium Gauss

Kelengkungan Gauss ditentukan hanya oleh bentuk dasar pertama saja.

artinya nilai K dapat dihitung dari bentuk E,F,G dan turunan (parsial)nya.

Kurvature Gauss untuk Koordinat

Or-thogonal

1 Kita akan membuktikan (di latihan) bahwa

K =− 1 2√EG _E v √ EG v + _G u √ EG u

Theorem

Teorem Egregium Gauss

Kelengkungan Gauss ditentukan hanya oleh bentuk dasar pertama saja.

artinya nilai K dapat dihitung dari bentuk E,F,G dan turunan (parsial)nya.

Kurvature Gauss untuk Koordinat

Or-thogonal

1 Kita akan membuktikan (di latihan) bahwa

K =− 1 2√EG _E v √ EG v + _G u √ EG u

Theorem

Teorem Egregium Gauss

Kelengkungan Gauss ditentukan hanya oleh bentuk dasar pertama saja.

artinya nilai K dapat dihitung dari bentuk E,F,G dan turunan (parsial)nya.

Kurvature Gauss untuk Koordinat

Or-thogonal

Corollary

Jika dua permukaan isometri secara lokal, kelengkungan Gauss sama pada titik yang berkaitan.