Pilihan Topik Matematika

Pilihan Topik

Pilihan Topik

Pilihan Topik

Pilihan Topik

Matematika

Matematika

Matematika

Matematika

Aplikasi dalam

Analisis Rangkaian Listrik

0leh

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Edisi Juli 2012

Pilihan Topik Matematika

(Aplikasi dalam Analisis Rangkaian Listrik )

oleh

Hak cipta pada penulis.

SUDIRHAM, SUDARYATNO Beberapa Topik Matematika

Aplikasi Dalam Analisis Rangkaian Listrik Darpublic, Kanayakan D-30, Bandung, 40135.

Pengantar

Buku ini berisi bahasan mengenai topik-topik matematika yang dipilih terkait dengan penggunaannya dalam Analisis Rangkaian Listrik. Sudah barang tentu bahwa matematika sebagai ilmu dasar tidak hanya terpakai dalam analisis rangkaian listrik. Namun uraian dalam buku ini dikaitkan dengan buku-buku lain yang penulis susun, bahkan contoh-contoh persoalan yang diberikan banyak diambil dari buku-buku tersebut; dengan penulisan buku ini penulis bermaksud memberi penjelasan mengenai dasar matematika yang digunakan di dalamnya. Dalam buku ini penulis mencoba menyajikan bahasan matematika dari sisi pandang aplikasi teknik, dengan sangat membatasi penggunaan ungkapan matematis; pendefinisian dan pembuktian formula-formula diganti dengan pernyataan-pernyataan serta gambaran grafis yang lebih mudah difahami. Dengan cara demikian penulis berharap bahwa pengertian matematis yang diperlukan bisa difahami dengan lebih mudah. Pendalaman lebih lanjut dapat diperoleh dari buku-buku tentang matematika yang digunakan sebagai referensi dalam kuliah matematika. Kemajuan teknologi komputer telah sangat membantu proses pemecahan persoalan di bidang teknik. Namun buku ini tidak membahas cara perhitungan dengan menggunakan komputer tersebut, melainkan menyajikan bahasan mengenai pengertian-pengertian dasar tentang topik matematika yang dipilih, yang penulis anggap dapat memberikan pemahaman mengenai proses perhitungan dengan menggunakan komputer.

Akhir kata, penulis harapkan tulisan ini bermanfaat bagi pembaca.

Bandung, Juli 2012 Wassalam,

Daftar Isi

Pengantar iii

Daftar Isi v

Bab 1: Pengertian Fungsi dan Grafik 1

Fungsi. Domain. Kurva, Kekontinyuan, Simetri. Bentuk Implisit. Fungsi Bernilai Tunggal dan Bernilai Banyak. Fungsi dengan Banyak Peubah Bebas. Koordinat Polar. Pembatasan Bahasan dan Sajian Bahasan.

Bab 2: Fungsi Linier 15

Fungsi Tetapan. Fungsi Linier – Persamaan Garis Lurus. Pergeseran Kurva. Perpotongan Garis.

Bab 3: Gabungan Fungsi Linier 27

Fungsi anak Tangga. Fungsi Ramp. Pulsa. Perkalian Ramp dan Pulsa. Gabungan Fungsi Ramp.

Bab 4: Mononom dan Polinom 37

Mononom: Mononom Pangkat Dua, Mononom Pangkat Tiga. Polinom: Fungsi Kuadrat. Penambahan Mononom Pangkat Tiga pada Fungsi Kuadrat.

Bab 5: Bangun Geometris 55

Persamaan Kurva. Jarak Antara Dua Titik. Parabola. Lingkaran. Elips. Hiperbola. Kurva berderajat Dua. Perputaran Sumbu.

Bab 6: Fungsi Trigonometri 69

Peubah Bebas Bersatuan Derajat. Peubah Bebas Bersatuan Radian. Fungsi Trigonometri Inversi.

Bab 7: Gabungan Fungsi Sinus 85

Fungsi Sinus Dan Cosinus. Kombinasi Fungsi Sinus. Spetrum Dan Lebar Pita Fungsi Periodik.

Bab 8: Fungsi Logaritma. Natural, Eksponensial, Hiperbolik 97 Fungsi Logaritma Natural. Fungsi Exponensial. Fungsi Hiperbolik.

Bab 9: Koordinat Polar 107

Relasi koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku. Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar. Persamaan Garis Lurus. Parabola, Elips, Hiperbola. Lemniskat dan Oval Cassini. Luas Bidang.

Bab 10: Turunan Fungsi Polinom 119 Pengertian Dasar. Mononom. Polinom. Nilai Puncak. Garis Singgung.

Bab 11: Turunan Fungsi-Fungsi 135

Fungsi Perkalian Dua Fungsi. Fungsi Pangkat Dari Suatu Fungsi. Fungsi Rasional. Fungsi Implisit. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat. Kaidah Rantai. Diferensial dx dan dy.

Bab 12: Turunan Fungsi-Fungsi Transenden 147 Fungsi Trigonometri. Fungsi Trigonimetri Inversi. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi. Fungsi Logaritmik. Fungsi Eksponensial.

Bab 13: Integral 155

Macam-macam Integral. Integral Tak Tentu, Integral Tentu. Luas Sebagai Suatu Integral. Aplikasi.

Bab 14: Integral Tak Tentu Fungsi-Fungsi 177 Fungsi Tetapan. Mononom. Polinom. Fungsi Pangkat dari Fungsi. Fungsi Berpangkat Satu. Fungsi Eksponensial. Tetapan Berpangkat Fungsi. Fungsi Trigonometri. Fungsi Hiperbolik. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri. Tabel Relasi Diferensial-Integral.

Bab 15: Persamaan Diferensial Orde-1 187

Pengertian. Solusi. Persamaan Diferensial Orde Satu Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan. Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu. Persamaan Diferensial Linier Orde Satu. Solusi Pada Berbagai Fungsi Pemaksa.

Bab 16: Persamaan Diferensial Orde-2 201

Persamaan Diferensial Linier Orde Dua. Tiga Kemungkinan Bentuk Solusi.

Bab 17: Matriks 211

Konsep Dasar Matriks. Pengertian dan Operasi Matriks. Matriks Khusus. Putaran Matriks. Sistem Persamaan Linier. Eliminasi Gauss. Kebalikan Matriks, Eliminasi Gauss-Jordan.

Bab 18: Bilangan dan Peubah Kompleks 241 Pengertian dan Definisi. Operasi-Operasi Aljabar. Repersentasi Grafis. Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar. Fungsi Kompleks. Pole dan Zero. Aplikasi untuk Menyatakan Fungsi Sinus.

Bab 19: Transformasi Laplace 251

Pemahaman Transformasi Laplace. Transformasi Laplace. Sifat-sifat Transformasi Laplace. Transformasi Balik

Bab 20: Deret dan Transformasi Fourier 271

Deret Fourier. Koefisien Fourier. Deret Fourier Bentuk Eksponensial. Transformasi Fourier. Sifat-Sifat Transformasi Fourier. Transformasi Balik.

Daftar Pustaka 297

Bab 1

Pengertian Fungsi dan Grafik

Fungsi dan dan bentuk-bentuk kurvanya akan kita gunakan secara luas di buku ini untuk memahami berbagai relasi matematis. Oleh karena itu bab pertama ini kita akan mempelajari secara umum lebih dulu mengenai fungsi dan grafik.

1.1. Fungsi

Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. Contoh: panjang batang logam merupakan fungsi temperatur. Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan

)

(x

f

y

=

(1.1) Perhatikan bahwa penulisan

_y

====

_f

_(x

₎

bukanlah berarti y sama dengan f kali x, melainkan untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari x yang tidak lain adalah sebuah aturan atau sebuah ketentuan berapakah y akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai.

y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan sebagai peubah-tak-bebas (y) dan peubah-peubah-tak-bebas (x). Peubah-peubah-tak-bebas x adalah simbol dari suatu besaran yang bisa memiliki nilai sembarang dari suatu set bilangan. Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang tergantung dari nilai yang dimiliki x.

Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1.1) adalah sebuah persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda. Kita ambil contoh dalam relasi fisis

) 1 ( 0 T L L_T = +λ

dengan LT adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L0 adalah

panjang pada temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai panjang. Panjang batang tergantung dari temperatur; makin tinggi temperatur makin panjang batang logam. Namun sebaliknya, makin panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi. Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akan bertambah panjang namun tidak berarti temperaturnya meningkat.

Walaupun nilai x di ruas kanan (1.1) bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh bervariasi.

1.2. Domain

Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. Dalam kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk sebagai berikut:

a). rentang nilai berupa bilangan-nyata yang terletak antara dua nilai a dan b. Kita tuliskan rentang nilai ini sebagai

a < x < b

Ini berarti bahwa x bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun lebih kecil dari b. Rentang ini disebut rentang terbuka, yang dapat kita gambarkan sebagi berikut:

a b

a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut. b). rentang nilai

a ≤ x < b kita gambarkan sebagai

a b

Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan rentang setengah terbuka.

c). rentang nilai

a ≤ x ≤ b

Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini adalah rentang tertutup, dan kita gambarkan

1.3. Kurva, Kekontinyuan, Simetri

Kurva. Fungsi y==== f(x) dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam visualisasi ini kita memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal memanjang dari −∞ ke arah kiri sampai +∞ ke arah kanan, ditetapkan sebagai sumbu-x atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik referensi 0 serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat menggambarkan nilai-nilai x pada garis ini (lihat Gb.1.1); peubah x memiliki nilai yang berupa bilangan-nyata.

Gb.1.1. Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku.

Catatan: Suatu bilangan-nyata dapat dinyatakan dengan desimal terbatas maupun desimal tak terbatas. Contoh: 1, 2, 3, ...adalah bilangan-nyata bulat; 1,586 adalah bilangan-nyata dengan desimal terbatas; π adalah bilangan-nyata dengan desimal tak terbatas, yang jika hanya dilihat sampai sembilan angka di belakang koma nilainya adalah 3,141592654.

Selain sumbu-x ditetapkan pula sumbu-y yang tegak lurus pada sumbu-x, memanjang ke −∞ arah ke bawah dan +∞ arah ke atas, yang melewati titik referensi 0 di sumbu-x dan disebut ordinat. Titik perpotongan sumbu-y dengan sumbu-x merupakan titik referensi yang disebut titik-asal dan kita tulis berkoordinat [0,0]. Pada sumbu-y ditetapkan juga satuan skala seperti halnya pada sumbu-x, yang memungkinkan kita untuk menggambarkan posisi bilangan-nyata di sumbu-y. Besaran fisik yang dinyatakan dengan peubah-tak-bebas dalam skala sumbu-y tidak harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-x; misalnya sumbu-x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 P[2,1] Q[-2,2] R[-3,-3] S[3,-2]

y

x

IV I II III

menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu-y menunjukkan jarak dengan satuan meter/skala.

Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu-x dan sumbu-y, selanjutnya kita sebut bidang x-y, akan terbagi dalam 4 kuadran, yaitu kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada Gb.1.1.

Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita nyatakan posisinya sebagai K[xk,yk], dengan xk dan yk berturut-turut menunjukkan jumlah skala di

sumbu-x dan di sumbu-y dari titik K yang sedang kita tinjau. Pada Gb.1.1. misalnya, posisi empat titik yang digambarkan di kuadran I, II, III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[2,1], Q[-2,2], R[-3,-3] dan S[3,-2].

Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nyata akan berkaitan dengan satu titik di bidang x-y. Dengan cara inilah pasangan nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan suatu fungsi y = f(x) dapat divisualisasikan pada bidang x-y. Visualisasi itu akan berbentuk kurva fungsi y di bidang x-y, dan kurva ini memiliki persamaan y = f(x), sesuai dengan pernyataan fungsi yang divisualisasikannya.

Contoh: sebuah fungsi

x

y=0,5 (1.2) Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y. Jika kita muatkan dalam suatu tabel, nilai x dan y akan terlihat seperti pada Tabel-1.1.

Tabel-1.1.

x -1 0 1 2 3 4 dst.

y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.

Fungsi y=0,5x yang memiliki pasangan nilai x dan y seperti tercantum dalam Tabel-1.1. di atas akan memberikan kurva seperti terlihat pada Gb.1.2. Kurva ini berbentuk garis lurus melalui titik-asal [0,0] dan memiliki kemiringan tertentu (yang akan kita pelajari lebih lanjut); persamaan garis ini adalah y=0,5x.

Dengan contoh ini, relasi (1.2) yang merupakan relasi fungsional, setelah berbentuk kurva berubah menjadi sebuah persamaan yaitu persamaan dari kurva yang diperoleh. Ruas kiri dan kanan persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut kita

bisa mendapatkan dengan mudah nilai y jika diketahui nilai x, dan sebaliknya kita juga dapat memperoleh nilai x jika diketahui nilai y.

Gb.1.2. Kurva dari fungsi

y

====

0

,

5

x

Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi y=0,5x membentuk kurva dengan persamaan y=0,5x di bidang x-y. Dalam contoh ini titik-titik P, Q, dan R terletak pada garis tersebut dengan koordinat P[-1,-0.5], Q[2,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan persamaan kurva ini perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris.

Kekontinyuan. Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x

tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Syarat untuk terjadinya fungsi yang kontinyu dinyatakan sebagai berikut:

Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat, yaitu:

(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c;

(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai lim f(x) f(c)

c

x→ =

yang kita baca limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).

Contoh: Kita lihat misalnya fungsi y = 1/x. Pada x = 0 fungsi ini tidak terdefinisi karena 1/0 tidak dapat kita tentukan berapa nilainya;

)

(

lim

f

x

c x→

tidak terdefinisi jika x menuju nol. Kedua persyaratan ∆x ∆y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 -1 0 1 2 3 x 4 y R P Q

kekontinyuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinyu di x = 0. Hal ini berbeda dengan fungsi yang terdefinisikan di x = 0 (lihat selanjutnya ulasan di Bab-3) sebagai

0 untuk 0 0 untuk 1 ), ( < = ≥ = = x y x y x u y

yang bernilai 0 untuk x < 0 dan bernilai 1 untuk x ≥ 0. Perhatikan Gb.1.3.

Tak terdefinikan di x = 0.

Terdefinisikan di x = 0 Gb.1.3. Fungsi

y

=

1

/

x

dan y=u(x)

Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik

tertentu

a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III. c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva

fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x. y = 1/x y = 1/x y x -1 0 1 -10 -5 0 5 10

y

x y = u(x) 1 0 0

d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.1.4. berikut ini.

Kurva y = 0,3x2 simetris terhadap sumbu-y. Jika kita ganti nilai x = 2 dengan x = - 2, nilai tidak berubah karena x berpangkat genap. Kurva y = 0,05x3 simetris terhadap titik-asal [0,0]. Di sini x berpangkat ganjil sehingga fungsi tidak akan berubah jika x diganti – x dan y diganti – y.

Kurva

x

2

+

y

2

=

9

simetris terhadap sumbu-x, simetris terhadap sumbu-y, simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga simetris terhadap garis-bagi kuadran II dan IV.

Gb.1.4. Contoh-contoh kurva fungsi yang memiliki simetri.

1.4. Bentuk Implisit

Suatu fungsi kebanyakan dinyatakan dalam bentuk eksplisit dimana peubah-tak-bebas y secara eksplisit dinyatakan dalam x, seperti

)

(x

f

y

=

. Namun sering kali kita jumpai pula bentuk implisit di mana nilai y tidak diberikan secara eksplisit dalam x. Berikut ini adalah beberapa contoh bentuk implisisit.

-6 -3 0 3 6 -6 -3 0 3 6 y = 0,3x2 y = 0,05x3 y 2 _{+ x}2 _{= 9}

x

y

tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y tidak berubah bila x diganti −x

tidak berubah jika x diganti −x

x dan y diganti dengan −x dan −y x dan y dipertukarkan

8 1 1 2 2 2 2 2 = + + = = = + y xy x x y xy y x (1.3)

Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y. Contoh pertama sampai ke-tiga pada (1.3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi tersebut kedalam sistem koordinat x-y dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit. Contoh yang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk persamaan kuadrat

8

2 2

₊

₊

₌

y

xy

x

⇒

y

2

+

xy

+

(

x

2

−

8

)

=

0

yang akar-akarnya adalah

2 ) 8 ( 4 , 2 2 2 1 − − ± − = x x x y y

Nilai y1 dan y2 dapat dihitung untuk setiap x yang masih memberikan

nilai nyata untuk y. Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita tuliskan sebagai 2 ) 8 ( 4 2 2 2_{− −} ± − = x x x y (1.4)

yang merupakan bentuk pernyataan eksplisit

y

=

f

( x

)

. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.5.

Gb.1.5. Kurva ₂ 4₂( 8) 2 2_{− −} ± − = x x x y -8 -4 0 4 8 -4 -2 0 2 4 x y

1.5. Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banyak

Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi yang hanya memiliki satu nilai

peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi bernilai tunggal.

1).

y

=

0 x

,

5

2.

Pada fungsi ini setiap nilai x hanya memberikan satu nilai y. Kurva dari fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.6. Kita tahu bahwa kurva fungsi ini simetris terhadap sumbu-y namun dalam gambar ini terutama diperlihatkan rentang x ≥ 0.

Gb.1.6. Kurva y=0 x,5 2 2).

y

=

+

x

.

Pada fungsi ini, y hanya mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb 1.7.

Gb.1.7. Kurva

y

=

+

x

0 0, 0, 1, 1, 0 0,5 1 1,5 _x 2 y 0 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y

3).

y

=

−

x

.

Peubah tak-bebas y hanya mengambil nilai negatif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal dengan kurva seperti terlihat pada Gb.1.8. Sesungguhnya kurva fungsi ini adalah pasangan dari kurva

x

y

=

+

. Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana y mengambil nilai baik positif maupun negatif.

Gb.1.8. Kurva

y

=

−

x

4).

y

=

log

₁₀

x

.

Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baiknya kita mengingat kembali tentang logaritma.

log10 adalah logaritma dengan basis 10; log10a berarti

berapakah 10 harus dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi x y=log₁₀ berarti 10y = x

0

1

log

₁₀ 1

=

=

y

;

3

1000

log

₁₀ 2

=

=

y

;

30103

,

0

2

log

₁₀ 3

=

=

y

; ...dst.

Kurva fungsi

y

=

log

₁₀

x

terlihat pada Gb.1.9.

Gb.1.9. Kurva

_y

=

_log

₁₀

_x

-1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0 0 0,5 1 1,5 _x 2 y -0,8 -0,4 0 0,4 0,8 0 1 2 3 _x 4 y

5).

_y

=

_x

=

_x

2 .

Fungsi ini berlaku untuk nilai x negatif maupun positif. Perhatikanlah bahwa

x

2 tidak hanya sama dengan x, melainkan

± x. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.10.

Gb.1.10. Kurva y = |x| = √x2

Fungsi Bernilai Banyak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat

lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai banyak. Berikut ini adalah contoh fungsi bernilai banyak.

1). Fungsi

_y

=

±

_x

.

Perhatikan bahwa ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Sesungguhnya

x

bernilai ± x dan bukan hanya x saja. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.1.11. Jika y hanya mengambil nilai positif atau negatif saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan pada contoh 2 dan 3 pada fungsi bernilai tunggal .

Gb.1.11. Kurva

_y

=

±

_x

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 x y 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 4 y

2). Fungsi

x

y

2

=

1

.

Fungsi ini bernilai banyak; ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Kurva fungsi ini diperlihatkan pada Gb.1.12.

Gb.1.12. Kurva

_y

2

=

₁

_/

_x

⇒

_y

=

±

₁

_/

_x

1.6. Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

Fungsi dengan banyak peubah bebas tidak hanya tergantung dari satu peubah bebas saja, x, tetapi juga tergantung dari peubah bebas yang lain. Misalkan suatu fungsi dengan dua peubah bebas x dan t dinyatakan sebagai

)

,

( t

x

f

y

=

(1.5)

Sesungguhnya dalam peristiwa fisis banyak fungsi yang merupakan fungsi dengan peubah-bebas banyak, misalnya persamaan gelombang berjalan. Simpangan gelombang berjalan merupakan fungsi dari posisi (x) dan waktu (t).

Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banyak sebagai

)

,

,

,

,

(

x

y

z

u

v

f

w

=

(1.6)

untuk menyatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas x, y, z,u,dan v.

Fungsi dengan peubah bebas banyak juga mungkin bernilai banyak, misalnya -10 -5 0 5 10 0 1 2 3 x y

2 2 2

2

₌

_x

₊

_y

₊

_z

ρ

(1.7)

Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hanya meninjau nilai positif dari ρ dan kita nyatakan fungsi yang bernilai tunggal ini sebagai

2 2 2

_y

_z

x

+

+

+

=

ρ

(1.8)

1.7. Sistem Koordinat Polar

Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar ini posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku posisi titik dinyatakan sebagai P(x,y) maka dalam koordinat polar dinyatakan sebagai P(r,θ).

Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah

θ

=

r

sin

y

;

θ

=

r

cos

x

; 2 2

_y

x

r

=

+

)

/

(

tan

−1

y

x

=

θ

Hubungan ini terlihat pada Gb.1.13.

Gb.1.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar.

x P θ r y rsinθ rcosθ

1.8. Fungsi Parametrik

Dalam koordinat sudut-siku fungsi

y

=

f

(x

)

mungkin juga dituliskan sebagai

)

(t

y

y

=

x

=

x

(t

)

(1.10) jika y dan x masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi yang demikian disebut fungsi parametrik dengan t sebagai parameter.

Bab 2

Fungsi Linier

2.1. Fungsi Tetapan

Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞. Kita tuliskan

k

y= [2.1] dengan k bilangan-nyata. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.2.1. berupa garis lurus mendatar sejajar sumbu-x, dalam rentang nilai x dari −∞ sampai +∞. -4 0 5 -5 0 x 5 y y = 4 y = −3,5

Gb.2.1. Fungsi tetapan (konstan):

4

=

y

dan

y

=

−

3

,

5

. 2.2. Fungsi Linier - Persamaan Garis Lurus

Persamaan (2.1) adalah satu contoh persamaan garis lurus yang merupakan garis mendatar sejajar sumbu-x, dengan kurva seperti terlihat pada Gb.2.1. Kurva yang juga merupakan garis lurus tetapi tidak sejajar sumbu-x adalah kurva yang memiliki kemiringan tertentu. Kemiringan garis ini adalah perbandingan antara perubahan y terhadap perubahan x, atau kita tuliskan

      ∆ ∆ = = " delta " " delta " : dibaca , kemiringan x y x y m (2.2)

Dalam hal garis lurus, rasio x y

∆

∆ _{memberikan hasil yang sama di titik}

manapun kita menghitungnya. Artinya suatu garis lurus hanya mempunyai satu nilai kemiringan, yaitu yang diberikan oleh m pada fungsi

y

=

mx

. Gb.2.2. berikut ini memperlihatkan empat contoh kurva garis lurus yang semuanya melewati titik-asal [0,0] akan tetapi dengan kemiringan yang berbeda-beda. Garis

y

=

x

lebih miring dari

x

y

=

0

,

5

, garis

y

=

2

x

lebih miring dari

y

=

x

dan jauh lebih miring dari

y

=

0

,

5

x

, dan ketiganya miring ke atas. Makin besar nilai m, garis akan semakin miring. Garis yang ke-empat memiliki m negatif −1,5 dan ia miring ke bawah (menurun).

Gb.2.2. Empat contoh kurva garis lurus

y

=

mx

.

Secara umum, persamaan garis lurus yang melalui titik-asal [0,0] adalah mx

y= (2.3) dengan m menunjukkan kemiringan garis; makin besar nilai m garis akan semakin miring. Jika m bernilai positif, garis miring ke atas (naik). Jika m bernilai negatif, garis akan miring ke bawah (menurun).

2.3. Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis

Bagaimanakah persamaan garis lurus jika ia tidak melalui titik-asal [0,0] melainkan memotong sumbu-y misalnya di titik [0,2]? Misalkan garis ini memiliki kemiringan 2. Setiap nilai y pada garis ini untuk suatu nilai x, sama dengan nilai y pada garis yang melalui [0,0], yaitu y = 2x, ditambah 2. Oleh karena itu kita dapat menuliskan persamaa garis ini sebagai

2 2 + = x y . Perhatikan Gb.2.3. -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 x 4 y y = 0,5x y = x y = 2x y = -1,5 x

Gb.2.3. Garis lurus melalui titik [0,2], kemiringan 2.

Secara umum, persamaan garis dengan kemiringan m dan memotong sumbu-y di [0,b] adalah

mx b y− )=

( (2.4) b bisa positif ataupun negatif. Jika b positif, maka garis tergeser ke arah sumbu-y positif (ke atas) yang berarti garis memotong sumbu-y di atas titik [0,0]. Jika b negatif, garis tergeser kearah sumbu-y negatif (ke bawah); ia memotong sumbu-y di bawah titik [0,0]. Secara singkat, b pada (2.4) menunjukkan pergeseran kurva y sepanjang sumbu-y.

Kita lihat sekarang garis yang memiliki kemiringan 2 dan memotong sumbu-x di titik [a,0], misalnya di titik [1,0]. Lihat Gb.2.4. Dibandingkan dengan garis yang melalui titik [0,0] yaitu garis y=2x, setiap nilai y pada garis ini terjadi pada (x−1) pada garis y=2x; atau dengan kata lain nilai y pada garis ini diperoleh dengan menggantikan nilai x pada garis

y

=

2

x

dengan (x−1). Contoh: y = 2,8 pada garis ini terjadi pada x = x1 dan hal ini terjadi pada x=(x1−1) pada kurva

x y=2 .

Gb.2.4. Garis lurus melalui titik [1,0].

x1 x1−1 y = 2x -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 x 4 y 0 y =2(x–1) y = 2x y = 2x + 2 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 _x 4

Secara umum persamaan garis yang melalui titik [a,0] dengan kemiringan m kita peroleh dengan menggantikan x pada persamaan

mx

y

=

dengan (x−a). Persamaan garis ini adalah )

(x a m

y= − (2.5) Pada persamaan (2.5), jika a positif garis

y

====

mx

tergeser ke arah sumbu-x positif (ke kanan); dan jika a negatif garis itu tergeser ke arah sumbu-x negatif (ke kiri). Secara singkat a pada (2.5) menunjukkan pergeseran kurva y sejajar sumbu-x.

Pada contoh di atas, dengan tergesernya kurva ke arah kanan dan memotong sumbu-x di titik [1,0] ia memotong sumbu-y di titik [0,-2]. Suatu garis yang titik perpotongannya dengan kedua sumbu diketahui, pastilah kemiringannya diketahui. Dalam contoh di atas, kemiringannya adalah

2

1

2

1

)

2

(

0

====

====

−−−−

−−−−

====

====

x

y

m

∆

∆

dan persamaan garis adalah

2 2 −

= x

y (2.6) Bandingkanlah persamaan ini dengan persamaan (2.4), dengan memberikan m = 2 dan b = −2.

Secara umum, persamaan garis yang memotong sumbu-sumbu koordinat di [a,0] dan [0,b] adalah

a b m b mx y= + dengan =− (2.7) Contoh: -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 _x 4 y 0

garis memotong sumbu x di 2, dan memotong sumbu y di 4

Persamaan garis: 4 2 4 2 4 + − = + − = x x y

Bagaimanakah persamaan garis lurus yang tidak terlihat perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat? Persamaan garis demikian ini dapat dicari jika diketahui koordinat dua titik yang ada pada garis tersebut. Lihat Gb.2.5.

Pada Gb.2.5. kemiringan garis dengan mudah kita peroleh, yaitu

) ( ) ( 1 2 1 2 x x y y x y m − − = ∆ ∆ = (2.8)

Gb.2.5. Garis lurus melalui dua titik.

Persamaan (2.8) ini harus berlaku untuk semua garis yang melalui dua titik yang diketahui koordinatnya. Jadi secara umum harus berlaku

1 2 1 2 x x y y m − − = (2.9) Dengan demikian maka persamaan garis yang memiliki kemiringan ini adalah ) ( ₁ 1 m x x y y− = − (2.10) Persamaan (2.10) inilah persamaan garis lurus dengan kemiringan m yang diberikan oleh (2.9), bergeser searah sumbu-y sebesar y1 dan

bergeser searah sumbu-x sebesar x1.

Contoh: Carilah persamaan garis yang melalui dua titik P(5,7) dan Q(1,2).

[x

1

,y

1

]

[x

2

,y

2

]

-4 -2 0 2 4 6 8 -1 0 1 x 3 y 2

Kemiringan garis ini adalah 1,25 1 5 2 7 = − − = − − = Q p Q P x x y y m

Kemiringan garis ini memberikan persamaan garis yang melalui titik asal y=1,25x. Persamaan garis dengan kemiringan ini yang melalui titik P(5,7) adalah

75 , 0 25 , 1 7 25 , 6 25 , 1 ) 5 ( 25 , 1 7 + = + − = → − = − x y x y x y

Kita bisa melihat secara umum, bahwa kurva suatu fungsi )

(x f y=

akan tergeser sejajar sumbu-x sebesar x1 skala jika x diganti dengan (x −

x1), dan tergeser sejajar sumbu-y sebesar y1 skala jika y diganti dengan (y − y1)

) (x f

y= menjadi y= f(x−x₁) atau y− y₁= f(x) (2.11) Walaupun (2.11) diperoleh melalui pembahasan fungsi linier, namun ia berlaku pula untuk fungsi non linier. Fungsi non linier memberikan kurva garis lengkung yang akan kita pelajari dalam bab-bab selanjutnya. Contoh:

Contoh:

Kita kembali pada contoh sebelumnya, yaitu persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2). Persamaan garis dengan kemiringan 1,25 dan melalui titik asal adalah y=1,25x. Garis ini

y + 2 = 2x (pergeseran –2 searah sumbu-y) y = 2x -4 -2 2 4 6 8 -1 0 1 2 3 x 4 y 0 kurva semula atau y = 2(x – 1) (pergeseran +1 searah sumbu-x)

harus kita geser menjadi (y−b)=1,25(x−a)agar melalui titik P dan Q. Nilai a dan b dapat kita peroleh jika kita masukkan koordinat titik yang diketahui, P(5,7) dan Q(1,2). Dengan memasukkan koordinat titik ini kita dapatkan persamaan

) 5 ( 25 , 1 7−b= −a dan 2−b=1,25(1−a)

Dari sini kita akan mendapatkan nilai a = −0,6 dan juga b = 0,75 sehingga persamaan garis yang melalui titik P(5,7) dan Q(1,2) dapat diperoleh, yaitu y−0,75=1,25x atau y=1,25(x+0,6). Garis ini memotong sumbu-y di +0,75 dan memotong sumbu-x di

−0,6.

2.4. Perpotongan Garis Dua garis lurus

1 1 1 ax b

y = + dan y₂=a₂x+b₂

berpotongan di titik P sehingga koordinat P memenuhi y₁= y₂

2 p 2 1 P 1x b a x b a + = + sehingga 2 P 2 P 1 P 1 P 2 1 1 2 P atau b x a y b x a y a a b b x + = + = ⇒ − − = ⇒ (2.12) Contoh:

Titik potong dua garis y₁=2x+3 dan y₂=4x−8 11 2 8 4 3 2 2 1=y → x+ = x− → x= y 5 , 5 2 11 P= = x ; y_P=2x+3=2×5,5+3=14 atau y_P=4×5,5−8=14

Jadi titik potong adalah P[(5,5),14]. Perhatikan Gb.2.6. berikut ini.

Gb.2.6. Perpotongan dua garis.

Jika kedua garis memiliki kemiringan yang sama sudah barang tentu kita tak akan memperoleh titik potong karena mereka sejajar; dikatakan juga mereka berpotongan di ∞.

Contoh: Dua garis y₁=4x+3 dan y₂=4x−8 adalah sejajar. 2.5. Pembagian Skala Pada Sumbu Koordinat

Pada penggambaran kurva-kurva di atas, panjang per skala kedua sumbu koordinat tidak sama. Apabila panjang per skala dibuat sama kita akan memiliki kemiringan garis

θ

=

tan

m

(2.13) dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh garis lurus dengan sumbu-x atau dengan garis mendatar, seperti pada Gb.2.7.

Gb.2.7. Panjang per skala sama di sumbu-x dan y.

Sesungguhnya formulasi (2.13) berlaku umum, baik untuk pembagian skala di kedua sumbu koordinat sama besar ataupun tidak. Namun jika

-30 -20 -10 0 10 20 30 -10 -5 0 5 10

y

x

P

⇒

Koordinat P memenuhi

persamaan y

1

maupun y

2

.

y2 y1 −5 y x | | − − 5 5

θ

=

tan

m

θ

pembagian skala tersebut sama besar, sudut θ yang terlihat dalam grafik menunjukkan kemiringan garis sebenarnya; jika pembagian tidak sama besar sudut θ yang terlihat pada grafik bukanlah sudut sebenarnya sehingga sudut θ sebenarnya harus dihitung dari formula (2.13) dan bukan dilihat dari grafik.

2.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Pada fungsi linier y=m(x−a)+b, peubah y akan selalu memiliki nilai, berapapun x. Peubah x bisa bernilai dari −∞ sampai +∞. Fungsi ini juga kontinyu dalam rentang tersebut.

Kurva fungsi y=mx simetris terhadap titik asal [0,0] karena fungsi ini tak berubah jika y diganti dengan −y dan x diganti dengan −x.

2.7. Contoh-Contoh Fungsi Linier

Contoh-contoh fungsi linier berikut ini mamberikan gambaran bahwa fungsi linier dengan kurva yang kita gambarkan berbentuk garis lurus, merupakan bentuk fungsi yang biasa kita jumpai dalam praktik rekayasa. 1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan

memperoleh percepatan. ma

F= ; a adalah percepatan

Jika tidak ada gaya lain yang melawan F, maka dengan percepatan a benda akan memiliki kecepatan sebagai fungsi waktu sebagai

at v t v()= ₀+

v kecepatan gerak benda, v0 kecepatan awal, t waktu. Jika kecepatan

awal adalah nol maka kecepatan gerak benda pada waktu t adalah at

t v()=

2) Dalam tabung katoda, jika beda tegangan antara anoda dan katoda adalah V , dan jarak antara anoda dan katoda adalah l maka antara anoda dan katoda terdapat medan listrik sebesar

l V E=

Elektron yang muncul di permukaan katoda akan mendapat percepatan dari adanya medan listrik sebesar eE a=

a adalah percepatan yang dialami elektron, e muatan elektron, E medan listrik. Jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah

at v_k =

3) Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula jika tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya yang diperlukan untuk menarik pegas sepanjang x merupakan fungsi linier dari x.

kx F= dengan k adalah konstanta pegas.

4) Dalam sebatang logam sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung logam diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus yang mengalir merupakan fungsi linier dari tegangan dengan relasi R V GV i= = , dengan R G= 1

G adalah tetapan yang disebut konduktansi listrik dan R disebut resistansi listrik.Persamaan ini juga bisa dituliskan

iR V =

yang dikenal sebagai relasi hukum Ohm dalam kelistrikan.

Jika penampang logam adalah A dan rata sepanjang logam, maka resistansi dapat dinyatakan dengan

A l R=ρ

ρ disebut resistivitas bahan logam.

]]]]

anoda katoda

Kerapatan arus dalam logam adalah A i

j= dan dari persamaan di atas kita peroleh

E l V RA V A i j =σ ρ = = = 1

dengan E=V/l adalah kuat medan listrik dalam logam, σ=1/ρ adalah konduktivitas bahan logam.

Secara infinitisimal kuat medan listrik adalah gradien potensial atau gradien dari V yang kita tuliskan

dx dV

E= . Mengenai pengertian gradien akan kita pelajari di Bab-9.

5). Peristiwa difusi. Secara thermodinamis, faktor pendorong untuk terjadinya difusi,

yaitu penyebaran materi menembus materi lain, adalah adanya perbedaan konsentrasi. Situasi ini analog dengan peristiwa aliran muatan listrik di mana faktor pendorong

untuk terjadinya aliran muatan adalah perbedaan tegangan.

Analog dengan peristiwa listrik, fluksi materi yang berdifusi dapat kita tuliskan sebagai

dx dC D J_x =−

D adalah koefisien difusi, dC/dx adalah variasi konsentrasi dalam keadaan mantap di mana C0 dan Cx bernilai konstan. Relasi ini

disebut Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi; dengan kata lain fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi.

Berikut ini tersaji soal-soal untuk latihan. Soal-soal ini hanya berkenaan dengan kurva garis lurus. Namun dengan contoh-contoh di atas kita menyadari bahwa fungsi linier bukan hanya sekedar pernyataan suatu

xa x Ca Cx materi masuk di xa materi keluar di x ∆x

garis lurus melainkan suatu bentuk fungsi yang banyak dijumpai dalam praktik rekayasa.

Soal-Soal

1. Tentukan persamaan garis-garis yang membentuk sisi segi-lima yang tergambar di bawah ini.

2. Carilah koordinat titik-titik potong dari garis-garis tersebut pada soal nomer-1 di atas.

3. Carilah persamaan garis yang

a) melalui titik asal (0,0) dan sejajar garis y2;

b) melalui titik asal (0,0) dan sejajar dengan garis y3.

4. Carilah persamaan garis yang melalui

a) titik potong y1− y2 dan titik potong y3 – y4 ;

b) titik potong y3− y4 dan titik potong y1 – y5 ;

c) titik potong y1− y2 dan titik potong y4 – y5.

5. Carilah persamaan garis yang

a) melalui titik potong y1 – y5 dan sejajar dengan garis y2 ;

b) melalui titik potong y4 – y5 dan sejajar dengan garis y1.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y1 y2 y3 y4 y5

y

x

Bab 3

Gabungan Fungsi Linier

Fungsi-fungsi linier banyak digunakan untuk membuat model dari perubahan-perubahan besaran fisis. Perubahan besaran fisis mungkin merupakan fungsi waktu, temperatur, tekanan atau yang lain. Artinya waktu, temperatur, tekanan dan lainnya itu menjadi peubah bebas, x, sedangkan besaran fisis yang tergantung padanya merupakan peubah tak bebas, y.

Pada umumnya perubahan besaran fisis terjadi secara tidak linier. Jika dalam batas-batas tertentu perubahan tersebut dapat dianggap linier, besaran fisis tersebut dapat dimodelkan dengan memanfaatkan fungsi-fungsi linier dan model ini kita sebut model linier dari besaran fisis tersebut. Fungsi-fungsi berikut ini biasa dijumpai dalam analisis rangkaian listrik.

3.1. Fungsi Anak Tangga

Fungsi tetapan membentang pada nilai x dari −∞ sampai +∞. Jika kita menginginkan fungsi bernilai konstan yang muncul pada x = 0 dan membentang hanya pada arah x positif, kita memerlukan fungsi lain yang disebut fungsi anak tangga satuan yang didefinisikan bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai satu untuk x ≥ 0 dan dituliskan sebagai

u

(x

)

. Jadi

0 untuk 0 0 untuk 1 ) ( < = ≥ = x x x u (3.1)

Jika suatu fungsi tetapan

y

====

k

dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan, akan kita peroleh suatu fungsi lain yang kita sebut fungsi anak tangga (disebut juga undak), yaitu

) (x ku

y= (3.2) Fungsi anak tangga (3.2) bernilai nol untuk x < 0, dan bernilai k untuk x

≥ 0. Gb.3.1. memperlihatkan kurva dua fungsi anak tangga. Fungsi

)

(

5

,

3

u

x

y

=

dan fungsi

y

=

−

2

,

5

u

(

x

)

yang bernilai nol untuk x < 0 dan bernilai 3,5 dan −2,5 untuk x ≥ 0.

-4 0 5 -5 0 x 5 y y = 3,5 u(x) y = −2,5 u(x)

Gb.3.1. Fungsi anak tangga.

Fungsi anak tangga seperti (3.2) dikatakan mulai muncul pada x = 0 dan k disebut amplitudo. Kita lihat sekarang fungsi anak tangga yang baru muncul pada x = a. Ini tidak lain adalah fungsi anak tangga tergeser. Fungsi demikian ini dinyatakan dengan mengganti peubah x dengan

)

(x−a . Dengan demikian maka fungsi anak tangga )

(x a ku

y= − (3.3) merupakan fungsi yang mulai muncul pada x = a dan disebut fungsi anak tangga tergeser dengan pergeseran sebesar a. Jika a positif fungsi ini bergeser ke arah positif sumbu-x dan jika negatif bergeser ke arah negatif sumbu-x. Gb.3.2. memperlihatkan kurva fungsi seperti ini.

-4 0 5 -5 0 x 5 y y = 3,5 u(x−1) 1

Gb.3.2. Kurva fungsi anak tangga tergeser.

Perhatikanlah bahwa fungsi anak tangga memiliki nilai yang terdefinisi di x = 0. Oleh karena itu fungsi ini kontinyu di x = 0, berbeda dengan fungsi y = 1/x yang tidak terdefinisi di x = 0 (telah disinggung di Bab-1).

3.2. Fungsi Ramp

Telah kita lihat bahwa fungsi y = ax berupa garis lurus dengan kemiringan a, melalui titik [0,0], membentang dari x = -∞ sampai x = +∞. Fungsi ramp terbentuk jika persamaan garis tersebut bernilai nol untuk x < 0, yang dapat diperoleh dengan mengalikan ax dengan fungsi anak tangga satuan u(x) (yang telah didefisisikan lebih dulu bernilai nol untuk x < 0). Jadi persamaan fungsi ramp adalah

) (x axu

y= (3.4) Jika kemiringan a = 1, fungsi tersebut menjadi fungsi ramp satuan.

Fungsi ramp tergeser adalah

) ( ) (x g u x g a y= − − (3.5) dengan g adalah pergeserannya. Perhatikanlah bahwa pada (3.5) bagiany₁=a(x−g) adalah fungsi linier tergeser sedangkan

) (

2 u x g

y = − adalah fungsi anak tangga satuan yang tergeser. Gb.3.3. memperlihatkan kurva fungsi ramp satuan y₁=xu(x), fungsi ramp

) ( 2

2 xu x

y = , dan fungsi ramp tergeser y₃=1,5(x−2)u(x−2).

Gb.3.3. Ramp satuan y1 = xu(x), ramp y2 = 2xu(x),

ramp tergeser y3 = 1,5(x-2)u(x-2).

3.3. Pulsa

Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x1 tertentu dan

menghilang pada x2>x1. Bentuk pulsa ini dapat dinyatakan dengan

gabungan dua fungsi anak tangga, yang memiliki amplitudo sama tetapi

0 1 2 3 4 5 6 -1 0 1 2 3 _x 4 y y1 = xu(x) y2 = 2xu(x) y3 = 1,5(x-2)u(x-2)

berlawanan amplitudo dan berbeda pergeserannya. Persamaan umumnya adalah ) ( ) (x x₁ au x x₂ au y= − − − (3.6) x1 menunjukkan pergeseran fungsi anak tangga yang pertama dan x2

adalah pergeseran fungsi anak tangga yang ke-dua, dengan x2 > x1.

Penjumlahan kedua fungsi anak tangga inilah yang memberikan bentuk pulsa, yang muncul pada x = x1 dan menghilang pada x = x2. Selisih

)

(

x

₂

−

x

₁ disebut lebar pulsa

1 2 x

x pulsa

lebar = − (3.7) Gb.3.4. memperlihatkan pulsa dengan amplitudo 2, yang muncul pada x = 1 dan menghilang pada x = 2, yang persamaannya adalah

{

( 1) ( 2)

}

2 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 − − − = − − − = x u x u x u x u y

Gb.3.4. Fungsi pulsa 2u(x-1)-2u(x-2)

Apa yanga berada dalam tanda kurung pada persamaan terakhir ini, yaitu

{

( −1)− ( −2)

}

=

′ u x u x

y , adalah pulsa beramplitudo 1 yang muncul pada

x = 1 dan berakhir pada x = 2. Secara umum pulsa beramplitudo A yang muncul pada x = x1 dan berakhir pada x = x2 adalah

{

u(x x1) u(x x2)

}

A

y′= − − − ; lebar pulsa ini adalah (x2 – x1).

Contoh: Pulsa yang muncul pada x = 0, dengan lebar pulsa 3 dan amplitudo 4, memiliki persamaan

{

( ) ( 3)

}

4 − − = u x u x y . y1=2u(x-1) y2= -2u(x-2) y1+y2= 2u(x-1)-2u(x-2) lebar pulsa -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 _x 4

Fungsi pulsa memiliki nilai hanya dalam selang tertentu yaitu sebesar lebar pulsanya, (x₂−x₁), dan di luar selang ini nilanya nol. Oleh karena itu fungsi apapun yang dikalikan dengan fungsi pulsa, akan memiliki nilai hanya dalam selang di mana fungsi pulsanya juga memiliki nilai. Dalam praktik, fungsi pulsa terjadi berulang secara periodik. Gb.3.5. memperlihatkan deretan pulsa

Gb.3.5. Deretan Pulsa.

Peubah x biasanya adalah waktu. Selang waktu di mana pulsa muncul biasa diberi simbol ton sedangkan selang waktu di mana ia menghilang

diberi simbol toff. Satu perioda T = ton + toff. Nilai rata-rata deretan pulsa

adalah maks on rr y T t y _pulsa = (3.8) dengan ymaks adalah amplitudo pulsa.

3.4. Perkalian Ramp dan Pulsa. Persamaan umumnya adalah

{

( ) ( )

}

)

(x Au x x₁ u x x₂ mxu

y= × − − − (3.9) dengan m dan A berturut-turut adalah kemiringan kurva ramp dan amplitudo pulsa. Persamaan (3.9) dapat kita tulis

{

u(x x₁) u(x x₂)

}

mAx

y= − − −

Perhatikan bahwa u(x)=1 karena ia adalah fungsi anak tangga satuan. Gb.3.6. memperlihatkan perkalian fungsi ramp y₁=2xu(x) dengan fungsi pulsa y₂=1,5

{

u(x−1)−u(x−3)

}

yang hanya memiliki nilai antara x = 1 dan x = 3. Perhatikan bahwa hasil kalinya hanya memiliki

perioda

x y

nilai antara x = 1 dan x = 3, dengan kemiringan yang merupakan hasil kali antara amplitudo pulsa dengan kemiringan ramp.

{

}

{

( 1) ( 3)

}

3 ) 3 ( ) 1 ( 5 , 1 ) ( 2 2 1 3 − − − = − − − × = = x u x u x x u x u x xu y y y

Gb.3.6. Perkalian fungsi ramp y1 dan pulsa y2.

Perkalian fungsi ramp y₁=mxu(x) dengan pulsa y₂=1

{

u(x)−u(x−b)

}

membentuk fungsi gigi gergaji y=(m×1)x

{

u(x)−u(x−b)

}

yang muncul pada t = 0 dengan kemiringan m dan lebar b. (Gb.3.7).

Gb.3.7. Kurva gigi gergaji

Seperti halnya pada pulsa, fungsi gigi gergaji biasanya terjadi secara periodik, dengan perioda T, seperti terlihat pada Gb.3.8.

Nilai rata-rata fungsi gigi gergaji adalah

2 gergaji -gigi maks rr y y = (3.10) y1=2xu(x) y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)} y3 = y1 y2 0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 3 4 x 5 y

y

x

0 2 4 6 8 10 -1 0 1 2 b 3 4 5 y2={u(x)-u(x-b)} y1=mxu(x) y3 = y1 y2 =mx{u(x)-u(x-b)}

dengan ymaks adalah nilai puncak gigi gergaji.

Gb.3.8. Fungsi gigi gergaji terjadi secara periodik.

3.5. Gabungan Fungsi Ramp

Penjumlahan fungsi ramp akan berbentuk

... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 + − − + − − + = x x u x x c x x u x x b x axu y (3.11)

Kita ambil contoh penjumlahan dua fungsi ramp, y₁=2xu(x) dan ) 2 ( ) 2 ( 2 2=− x− u x−

y seperti terlihat pada Gb.3.9. Gabungan dua fungsi ramp ini akan memiliki nilai konstan mulai dari x = 2, karena mulai dari titik itu jumlah kedua fungsi adalah nol sehingga fungsi gabungan akan bernilai sama dengan nilai fungsi yang pertama pada saat mencapai x = 2.

Gb.3.9. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.

Gb.3.10. memperlihatkan kurva gabungan dua fungsi ramp, y₁=2xu(x) dan y=−4(x−2)u(x−2). Di sini, fungsi kedua memiliki kemiringan

y x T 0 2 4 6 0 1 2 3 4 5 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 0 1 2 3 4 5 y1=2xu(x) y2= −2(x−2)u(x−2) y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2) y x

negatif dua kali lipat dari kemiringan positif fungsi yang pertama. Oleh karena itu fungsi gabungan y3 = y1 + y2 akan menurun mulai dari x = 2.

Gb.3.10. Gabungan ramp y1 dan ramp tergeser y2.

Apabila fungsi gabungan ini kita kalikan dengan fungsi pulsa ) 3 ( ) 1 ( − − − =u x u x

ypulsa akan kita peroleh bentuk kurva seperti

terlihat pada Gb.3.11.

Gb.3.11. Kurva {2xu(x)−4xu(x−2)}{u(x-1)-u(x-3)}

Gabungan fungsi ramp dapat digunakan untuk menyatakan bentuk gelombang segitiga seperti terlihat pada Gb.3.12.

Gb.3.12. Gelombang segitiga. -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 5

x

y 5 y1=2xu(x) y2= −4(x-2)u(x-2) y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)} y1=2xu(x) y2= −4(x−2)u(x−2) y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2) -10 -5 0 5 10 15 0 1 2 3 4 5

x

y

x

y

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai dalam bentuk gelombang sinyal di rangkaian listrik, terutama elektronika. Rangkaian elektronika yang membangkitkan gelombang gigi gergaji misalnya, kita jumpai dalam osciloscope.

3.6. Domain, Kekontinyuan, Simetri

Fungsi anak tangga satuan yang tergeser y=u(x−a) hanya mempunyai nilai untuk x ≥ a. Oleh karena itu semua bentuk fungsi yang dikalikan dengan fungsi anak tangga ini juga hanya memiliki nilai pada rentang x ≥ a. Dalam rentang ini pula fungsi anak tangga kontinyu.

Fungsi anak tangga tidak memiliki sumbu simetri. Hanya fungsi yang memiliki sumbu-x sebagai sumbu simetri yang akan tetap simetris terhadap sumbu-x apabila dikalikan dengan fungsi anak tangga satuan yang tergeser.

Soal-Soal

Bentuk-bentuk kurva gabungan fungsi linier banyak kita jumpai pada bentuk gelombang sinyal dalam rangkaian listrik.

1. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk kurva fungsi anak tangga berikut ini :

a) y1: ymaks = 5, muncul pada x = 0.

b) y2: ymaks = 10 , muncul pada x = 1.

c) y3: ymaks = −5 , muncul pada x = 2.

2. Dari fungsi-fungsi di soal nomer 1, gambarkanlah kurva fungsi berikut ini. 3 2 1 6 3 1 5 2 1 4 c). ; b). ; a). y y y y y y y y y y + + = + = + =

3. Gambarkan dan tentukan persamaan bentuk pulsa berikut ini : a). Amplitudo 5, lebar pulsa 1, muncul pada x = 0.

b). Amplitudo 10, lebar pulsa 2, muncul pada x=1. c). Amplitudo −5, lebar pulsa 3, muncul pada x=2.

4. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik yang berupa deretan pulsa dengan amplitudo 10, lebar pulsa 20, perioda 50.

5. Gambarkan bentuk kurva fungsi periodik gigi gergaji dengan amplitudo 10 dan perioda 0,5.

6. Tentukan persamaan siklus pertama dari kurva periodik yang digambarkan di bawah ini.

7. Tentukan persamaan siklus pertama dari bentuk kurva periodik yang digambarkan di bawah ini.

5 −3 0 x y perioda 1 2 3 4 5 6 −5 0 x y perioda 5 1 2 3 4 5 6

Bab 4

Mononom dan Polinom

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn, dengan k adalah tetapan dan n adalah bilangan bulat termasuk nol.

Fungsi polinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Berikut ini beberapa contoh fungsi polinom dalam bentuk eksplisit

5 10 ) 5 ( 7 3 5 4 3 2 2 2 2 3 1 = = − = + − + = y x y x y x x x y

Contoh yang pertama, y1, adalah fungsi polinom berpangkat tiga, yaitu

pangkat tertinggi dari peubah bebas x. Contoh ke-dua, y2, adalah fungsi

berpangkat empat. Contoh y3 dan y4 adalah fungsi mononom berpangkat

satu dan berpangkat nol yang telah kita kenal sebagai fungsi linier dan fungsi tetapan yang memiliki kurva berbentuk garis lurus.

4.1. Mononom

Mononom Pangkat Dua. Mononom pangkat dua kita pandang sebagai

fungsi genap, kita tuliskan

2

kx

y= (4.1) Karena x di-kuadratkan, maka mengganti x dengan −x tidak akan mengubah fungsi. Kurva akan simetris terhadap sumbu-y. Nilai y hanya akan negatif manakala k negatif.

Kita ingat bahwa pada fungsi linier y=kx nilai k merupakan kemiringan dari garis lurus. Jika k positif maka garis akan naik ke arah positif sumbu-x, dan jika negatif garis akan menurun. Jika k makin besar kemiringan garis makin tajam.

Pada fungsi mononom pangkat dua, kurva akan berada di atas sumbu-x jika k positif dan akan berada di bawah sumbu-x jika k negatif . Jika k makin besar lengkungan kurva akan semakin tajam. Gb. 4.1. memperlihatkan kurva fungsi (4.1) untuk tiga macam nilai positif k.

Makin besar nilai k akan membuat lengkungan kurva makin tajam. Perhatikanlah bahwa pada x = 1, nilai y sama dengan k.

Gb.4.1. Kurva fungsiy=kx2 dengan k positif.

Gb.4.2 memperlihatkan bentuk kurva jika k bernilai negatif. Jika kurva dengan nilai k positif menunjukkan adanya nilai y minimum, yaitu pada titik [0,0], kurva untuk k negatif menunjukkan adanya nilai y maksimum pada titik [0,0]. -100 -80 -60 -40 -20 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y = −2x2 y = −10x2 y x

Gb.4.2. Kurva fungsi y=kx2 dengan k negatif.

Peninjauan pada fungsi polinom akan kita lakukan pada k yang positif; kita akan melihat bagaimana jika kurva mononom digeser. Pergeseran kurva sebesar a skala sejajar sumbu-x diperoleh dengan menggantikan peubah x dengan (x − a), dan pergeseran sejajar sumbu-y sebesar b skala diperoleh dengan mengganti y dengan (y − b). Dengan demikian persamaan mononom pangkat dua yang tergeser menjadi

2 ) ( ) (y−b =k x−a (4.3)

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 y = x2 y = 3x2 y = 5x2

x

Kurva fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gb.4.3. untuk a = 0 dan b = 0, a = 2 dan b = 0, serta a = 2 dan b = 30. Untuk nilai-nilai ini, dengan k = 10, persamaan dapat kita tuliskan menjadi

2 1 10x y = 2 2=10(x−2) y 30 ) 2 ( 10 2 3= x− + y

Gb.4.3. Pergeseran kurva mononom pangkat dua dan tergeser. Perhatikanlah bahwa y2 adalah pergeseran dari y1 ke arah positif sumbu-x

sebesar 2 skala; y3 adalah pergeseran dari y2 ke arah positif sumbu-y

sebesar 30 skala. Bentuk lengkungan kurva tidak berubah.

Mononom Pangkat Genap. Mononom pangkat genap yang lain adalah

berpangkat 4, 6 dan seterusnya. Semua mononom pangkat genap akan membentuk kurva yang memiliki sifat seperti pada mononom pangkat dua yaitu simetris terhadap sumbu-y, berada di atas sumbu-x jika k positif dan berada di bawah sumbu-x jika k negatif. Gb.4.4. memperlihatkan perbedaan bentuk kurva mononom pangkat genap yang memiliki koefisien k sama besar.

Kita lihat pada Gb.4.4. bahwa makin tinggi pangkat mononom makin cepat nilai y bertambah namun hal ini hanya terlihat mulai dari x = 1. Pada nilai x lebih kecil dari satu, kurva makin landai jika pangkat makin tinggi. Dengan kata lain lengkungan makin kurang tajam. Hal ini dapat dimengerti karena pangkat bilangan pecahan bernilai makin kecil jika pangkat makin besar.

x

0 50 100 -5 -3 -1 1 3 5 y1 = 10x2 y2 = 10(x−2)2 y3 = 10(x−2)2 + 30

y

Gb.4.4. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien sama.

Telah kita ketahui dalam kasus mononom pangkat dua, bahwa jika koefisien k makin besar lengkungan menjadi makin tajam. Hal yang sama terjadi juga pada kurva mononom pangkat genap yang lebih tinggi. Gb.4.5. memperlihatkan kurva mononom pangkat genap dengan koefisien yang yang meningkat dengan meningkatnya pangkat.

Gb.4.5. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien tak sama. Pada Gb.4.5 terlihat bahwa makin besar k, nilai y juga makin cepat meningkat. Kecepatan peningkatan ydengan koefisien yang lebih besar sudah mulai terjadi pada nilai x kurang dari satu. Gejala kelandaian pada nilai x yang kecil tetap terlihat.

Kurva-kurva pada Gb.4.5 adalah kurva mononom dengan koefisien yang makin besar pada pangkat yang makin besar. Bila koefisien makin kecilpada pangkat yang makin besar, situasi yang akan terjadi adalah seperti terlihat pada Gb.4.6 berikut ini.

0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y

3

= 2x

2

y

2

= 3x

4

y

1

= 6x

6

y

x

y2 = 2x4 y3 = 2x 6 y1 = 2x 2 0 1 2 3 y -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 x 1.5

Gb.4.6. Kurva mononom pangkat genap dengan koefisien yang makin rendah pada mononom

berpangkat tinggi.

Kelandaian kurva pangkat tinggi tetap terjadi pada nilai x yang kecil. Kurva pangkat tinggi baru akan menyusul kurva berpangkat rendah pada nilai x > 1; perpotongan dengan kurva dari fungsi yang berpangkat rendah terjadi pada nilai y yang besar.

Contoh Fungsi Mononom Pangkat Dua. Kita ambil beberapa contoh

peristiwa fisis.

1). Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a sehingga kecepatan benda sebagai fungsi waktu (apabila kecepatan awal adalah nol) dapat dinyatakan sebagai

at t v()=

Jarak yang ditempuh mulai dari titik awal adalah

2 2 1 ) (t at s =

2). Dalam tabung katoda, jika kecepatan awal elektron adalah nol, dan waktu tempuh dari anoda ke katoda adalah t, maka kecepatan elektron pada waktu mencapai katoda adalah

at v_k = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = x

6

y = 3x

4

y = 6x

2