PORTFOLIO PERKULIAHAN
MA3231 PENGANTAR ANALISIS REAL
SEMESTER II 2008/2009
oleh
Hendra Gunawan
Jalina Widjaja
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Bandung
A. Silabus MA3231 Pengantar AnalisisReal Kode Kuliah MA3231 Kredit : 4 SKS Semeste r : VI KK/Bidang Keahlian Analisis dan Geometri
Sifat: Wajib
Sifat kuliah Kuliah
Kelompok Kuliah Matakuliah Keahlian Nama Kuliah Pengantar Analisis Real Course Title Introduction to Real Analysis Short Description
Silabus ringkas
Matakuliah ini membahas sistem bilangan real, barisan dan deret bilangan real, fungsi bernilai real, limit dan kekontinuan fungsi, turunan dan Teorema Nilai Rata-rata. Kuliah ini adalah kuliah pertama bagi mahasiswa untuk berlatih bernalar dan membuktikan pernyataan matematika secara formal.
Goals
Tujuan Instruksional Umum (TIU)
Setelah mengikuti kuliah ini mahasiswa diharapkan :
• memiliki pengetahuan dasar analisis matematika, khususnya tentang bilangan, barisan, fungsi, limit, dan turunan.
• mampu bernalar (baik secara intuitif maupun analitis) dan mengekspresikan hasil pernalarannya secara tertulis, sistematis dan rigorous
Offered To (PS Peserta)
Dept/PS : MA Fak : --- ITB : ---
Related Course MA2231 Kalkulus Peubah
Banyak (atau yang setara) Prasyarat
Knowledge= 40 Sarana/Medi a X Papan tulis / Whiteboard Skill= 35 X LCD (Infocus) Percentage Attitude= 25 Komputer (lab) Course(Kuliah) 4 Courseware Tutorial(Respon si) - e-learning Lab Works (Prakt) - Lainnya Activity (hour/week) Others:... - UTS 35% Assesment/Penilaia n UAS 35%
Tugas 0 Others: Kuis 30% References/
Bibliography
1. Hendra Gunawan, Pengantar Analisis Real, Seri Analisis dan Geometri 1, Diktat Kuliah 2009.
2. KG Binmore, Mathematical Analysis: A straightforward approach, 2nd ed., Cambridge University Press,
Cambridge, 1982.
3. RG Bartle and DR Sherbert, Introduction to Real Analysis, 3rd ed., John Wiley and Sons Inc., New York, 2000
Strategi Pedagogi dan Pesan Untuk Pengajar:
Uraian Rinci Materi Kuliah MA3231 Mg
#
Topik Sub Topik Tujuan Instruksional Khusus Activity
K/P/R/X/U 1. Bilangan Real Sifat Aljabar • Mengingat kembali dan
mengaitkan perkuliahan ini dengan perkuliahan yang sudah diambil terdahulu
K
2. Bilangan real Kebutuhan atas bilangan real, urutan
• Memahami urgensi sistem bilangan real
K
3. Sifat
Kelengkapan Bilangan Real
Batas atas dan bawah, terbatas di atas dan terbatas di bawah, supremum dan infimum, Maksimum dan minimum, Interval
• Memahami perbedaan mendasar atas bilangan rasional dan real,
• Memahami perbedaan antara supremum dan maksimum, infimum dan minimum
K
4. Lebih Jauh tentang Bilangan Real
Bilangan asli dan bilangan rasional sebagai sub
himpunan bilangan real, Prinsip induksi matematika. Kuis 1 • Memahami sifat Archimedes, • Membuktikan dengan menggunakan prinsip induksi matematika K/U
5. Barisan Definisi barisan, definisi limit, kekomutatifan operasi limit dan operasi aljabar, teorema apit dan teorema tentang barisan lainnya
• Memahami teorema-teorema yang sudah dipelajari di Kalkulus secara benar
K
6. Barisan Sub Barisan dan Barisan Cauchy,
Barisan naik dan turun, Teo. Kekonvergenan Monoton, Teorema Bolzano-Weierstrass
• Memahami pengertian sub barisan dan barisan Cauchy, dan
keterkaitannya untuk menentukan
kekonvergenan barisan • Memahami barisan
monoton dan sifat-sifatnya.
K
7. Deret Sifat Deret, Kriteria Cauchy untuk
kekonvergenan deret.
• Memahami deret sebagai barisan jumlah parsial
• Menentukan
kekonvergenan deret
K/U
8. Review Review dan Kuis 2 K/U
9. UTS, Fungsi Fungsi dan grafiknya, operasi fungsi, fungsi invers
• Memperdalam
pemahaman tentang fungsi, dan operasi pada fungsi.
K/U
10. Limit Fungsi Definisi limit fungsi, epsilon-delta,
teorema-teorema limit
• Mengkaji limit dari fungsi secara rigorous
• Memahami teorema-teorema limit fungsi
K 11. Kekontinuan fungsi Definisi kekontinuan Epsilon-Delta, Teorema kekontinuan, Fungsi kontinu pada interval
• Memahami konsep kekontinuan fungsi secara rigorous • Memahami teorema
kekontinuan fungsi dan menggunakannya untuk melakukan pernalaran deduktif
• Memahami kekontinuan titik dan kekontinuan seragam
K
12. Turunan Definisi turunan sutu fungsi. Sifat—sifat turunan
• Memahami definisi turunan dan cara menentukan turunan secra rigourous • Memperdalam
Kuis 3 pemahaman tentang sifat-sifat turunan 13. Turunan Teorema Nilai
Rata-rata dan Teorema Taylor
• Memahami Teorema Nilai Rata-rata dan Teorema Taylor serta menggunakananya untuk mencari hampiran suatu nilai fungsi
K
14. Fungsi Monoton Definisi dan limit fungsi monoton, invers fungsi monoton, turunan fungsi monoton
• Mempelajari fungsi monoton dan sifat-sifatnya.
K
15. Review Review , Kuis 4 K/U
B. Keterkaitan antara Tujuan Kuliah dan Kompetensi Lulusan
Kompetensi lulusan Program Studi Sarjana Matematika FMIPA ITB, sesuai yang tertera pada Kurikulum Program Studi Sarjana Matematika FMIPA ITB adalah sebagai berikut:
1. mempunyai pengetahuan dan wawasan yang memadai dalam bidang matematika khususnya dan bidang lain yang relevan, dengan pemahaman yang cukup mendalam pada sebagian sub bidang matematika;
2. memiliki keterampilan dasar matematika yang memadai, seperti menghitung, menaksir, dan keterampilan teknis baku lainnya yang terkait dengan tiap mata kuliah, baik dengan maupun tanpa bantuan alat pendukung;
3. mempunyai daya matematika yang memadai, yang mencakup kemampuan bernalar, membuat kaitan, memecahkan masalah, dan berkomunikasi;
4. memiliki pengalaman dan kecakapan dalam melaksanakan tugas serta mengembangkan sesuatu yang relative baru, baik secara mandiri atau dalam kelompok, termasuk membuat dan menyajikan laporannya, baik secara lisan maupun tulisan;
5. mempunyai perilaku belajar, etos kerja, sikap dan kepribadian yang baik, yang mencakup keingintahuan, ketekunan, kecermatan, kreativitas, kejujuran dan kepercayaan diri; 6. memiliki bekal dan kesiapan yang memadai untuk mengembangkan diri lebih lanjut di
bidang matematika khususnya, dan bidang lain yang relevan
Oleh karena itu, matakuliah Pengantar Analisis Real yang bertujuan mendidik peserta kuliah agar:
• memiliki pengetahuan dasar analisis matematika, khususnya tentang bilangan, barisan, fungsi, limit, dan turunan.
• mampu bernalar (baik secara intuitif maupun analitis) dan mengekspresikan hasil pernalarannya secara tertulis, sistematis dan rigorous
berkontribusi dalam membentuk lulusan Program Sarjana Matematika yang mempunyai kompentensi seperti tercantum di atas, khususnya pada butir 1, 3, 5, dan 6.
C. Metode Pelaksanaan Perkuliahan
Kuliah MA3231 Pengantar Analisis Real pada Semester II 2008/2009 ini, disampaikan pada 2 kelas parallel secara tatap muka 4 jam /minggu. Pengajar melaksanakan perkuliahan dengan cara :
- menyampaikan materi kuliah dengan mengacu kepada diktat yang disusun oleh salah satu pengajar (Hendra Gunawan).
- memperdalam materi kuliah melalui pengetahuan yang telah dimiliki peserta sebelumnya dari matakuliah-matakuliah prasyarat.
- mengenalkan konsep baru dengan menunjukkan dasar pemikiran konsep tersebut maupun penggunaannya, serta kaitannya dengan matakuliah-matakuliah lain.
- berdiskusi dengan peserta mengenai materi kuliah untuk meilhat sejauh mana pengetahuan dan pemahaman mereka.
- menugaskan peserta untuk mengerjakan soal-soal latihan yang terdapat pada diktat kuliah, kemudian beberapa di antaranya dibahas bersama di kelas.
- memberikan umpan balik kepada peserta secara lisan maupun melalui tugas yang telah dikoreksi dan diberi komentar.
- mengadakan tutorial menjelang ujian tengah semester maupun ujian akhir semester.
- memberikan tugas (PR) sebanyak 2 kali untuk dikumpulkan oleh peserta, diperiksa dan diberi komentar oleh para asisten di bawah arahan pengajar.
Jadwal perkuliahan
Kuliah tatap muka dilaksanakan dalam 2 kelas parallel pada hari Senin pukul 09:00-11:00 di TVST B dan TVST C; dan pada hari Rabu pukul 09:00-11:00 di 9128 dan 9213.
D. Metode Evaluasi Perkuliahan serta Sistem Penilaian
Pada mulanya evaluasi perkuliahan dirancang sebagai berikut:
- mengadakan 4 kali kuis (dengan jadwal seperti tertera pada jadwal ujian
- mengadakan 1 ujian tengah semester,
- mengadakan 1 ujian akhir semester
dengan bobot kuis 30% (diambil dari 3 kuis terbaik, sehingga setiap kuis berbobot 10%), bobot UTS dan UAS masing-masing 35%.
Nilai akhir sementara dihitung dengan pembobotan di atas dan nilai ditentukan dengan penskalaan sebagai berikut :
Keterangan : NK
Nilai kuis, yaitu jumlah dari 3 nilai kuis terbaik NAS= 3.5*(UTS/6+UAS/4)+NK Nilai A NAS>75 AB 67<NAS<=75 B 60<NAS<=67 BC 52<NAS<=60 C 45<NAS<=52 D 30<NAS<=45 E NAS<=30
Setelah penghitungan tersebut, diambil kebijakan bahwa mahasiswa yang mendapat nilai D dan E diberi kesempatan untuk mengikuti ujian reevaluasi dengan nilai maksimum yang dapat dicapai adalah C, dan dengan perhitungan nilai akhir sebagai berikut :
Nilai Akhir = 0.35 Nilai Akhir Sementara + 0.65 Nilai Ujian Reevaluasi
E. Hasil Penilaian Mahasiswa terhadap Pelaksanaan Perkuliahan
Pada minggu ke 13 pada masa perkuliahan, mahasiswa diminta mengisi Angket Evaluasi Diri, dengan hasil sebagai berikut:
A. Tingkat pemahaman peserta mengenai materi kuliah berikut: No Materi Kuliah 1 2 3 4 5 1 Bilangan Real 0 2 41 51 6 2 Sifat Kelengkapan Bilangan Real 0 8 63 27 1 3 Lebih Jauh tentang Bilangan Real 1 18 61 20 1 4 Barisan 2 17 59 21 1 5 Sub Barisan 4 28 57 10 0 6 Barisan Cauchy 6 30 51 12 1 7 Deret 3 33 55 9 0 8 Fungsi 4 18 58 19 1 9 Limit dan Kekontinuan 4 25 56 14 1 10 Fungsi Kontinu pada Interval 9 31 48 11 0 11 Turunan 7 23 47 19 3 12 Teorema Nilai Rata-rata 11 28 47 14 0 13 Fungsi Monoton 14 37 38 11 0
Keterangan :
Pemahaman materi dinyatakan dalam skala 1-5, dengan angka 1 menunjukkan pemahaman materi yang sangat kurang dan angka 5 menunjukkan pemahaman materi yang sangat baik.
Angka dalam kolom menunjukkan persentase jawaban 98 mahasiswa yang mengisi angket ini.
B. Yang akan peserta lakukan dalam menghadapi Kuis 4 dan UAS mata kuliah ini
- Belajar materi secra mandiri maupun kelompok
C. Komentar lain:
- Peserta merasa kesulitan dalam menuliskan ide yang telah didapat.
- Matakuliah ini adalah matakuliah yang cukup berat karena berisi pembuktian-pembuktian.
- Perlu ada tutorial dan lebih banyak tugas.
- Pembahasan soal dan cara menuliskan bukti dengan baik dan benar lebih banyak dibahas dalam kuliah.
- Peserta merasa telah mengerjakan soal dengan benar, namun ternyata masih belum tepat.
- Soal kuis dan ujian jangan yang susah.
- Cara pengajaran sudah baik (HG), perlu lebih sabar (JW).
Sampai pada pembuatan portfolio ini, kami belum mengetahui hasil kuisioner ITB yang diisi oleh mahasiswa di akhir semester.
Dari data di atas, beberapa hal yang diperoleh adalah :
- Terlepas dari cara penyampaian materi pada 2 kelas parallel tersebut, mahasiswa mengalami kesulitan dalam menemukan ide yang diperolehnya dan terlebih lagi menuliskan ide dan pemahaman tersebut dengan baik dan tepat.
- Pembahasan soal dan contoh penulisan bukti/jawaban yang benar perlu lebih ditekankan dalam kuliah.
- Peserta merasa memerlukan waktu yang lebih banyak untuk belajar secara terbimbing, dengan menyatakan perlunya penyelenggaraan tutorial.
F. Refleksi dosen tentang pelaksanaan perkuliahan
Pengajar merasa dapat menyampaikan materi kuliah dnegan cukup lancar. Kekurangpahaman mahasiswa tercermin dalam diskusi dalam kuliah, maupun dalam evaluasi, baik kuis maupun ujian. Pengajar berusaha untuk menjelaskan kembali dan memberi strategi belajar kepada mahasiswa. Namun karena dihadapkan pada dilemma: menyampaikan materi sesuai rencana perkuliahan dan yang tertera pada silabus mata kuliah ini di Kurikulum Program Sarjana Matematika ITB atau menghentikan/ memperlambat laju penyampaian materi untuk lebih memperdalam pemahaman mahasiswa terhadap materi yang telah diajarkan, akhirnya – setelah mempertimbangkan berbagai hal – pengajar mengambil pilihan yang pertama, meskipun sadar bahwa perkuliahan ini selanjutnya menjadi rapuh. Salah satu usaha yang dilakukan pengajar adalah memberikan tutorial bagi mahasiswa yang memerlukan sebanyak 2 kali, dan asisten kuliah diminta memberikan tutorial secara kelompok bagi sebagian mahasiswa, namun hasilnya masih kurang memuaskan.
Peserta kuliah sendiri telah berulang kali dihimbau untuk tak ragu-ragu bertanya kepada pengajar di dalam kelas, terlebih lagi di luar kelas. Tetapi hanya sedikit dari para peserta yang datang
bertanya kepada pengajar. Kami beranggapan bahwa mereka lebih merasa nyaman untuk bertanya kepada teman atau asisten daripada kepada pengajar yang bersangkutan.
Pada dasarnya, kami berpendapat bahwa mahasiswa telah menangkap ide/konsep yang diajarkan, namun cara mereka mengekspresikan pemahaman tersebut secara lisan, terutama tulisan, sebagian besar masih belum tepat. Pembahasan soal di kelas, berkas kuis dan ujian yang dikembalikan, serta solusi ujian yang ada di situs, rupanya masih belum cukup mengatasi hal tersebut.
Kuis 1-4 diperiksa oleh para asisten (3 orang) di bawah pengawasan dan arahan pengajar, sedangkan UTS dan UAS diperiksa secara bersama-sama oleh pengajar. Penilaian yang dilakukan oleh para asisten ternyata lebih keras dari pada yang dilakukan oleh pengajar, meskipun skema penilaian secara tertulis dan arahan lisan dari pengajar telah diberikan.
Hasil yang diperoleh dari evaluasi seperti yang direncanakan semula adalah A 10 AB 6 B 7 BC 27 C 26 D 37 E 19
Melihat hasil seperti itu, ujian reevaluasi diadakan sehingga hasil terakhir yang diperoleh adalah:
Dengan melihat persentase pemahaman mahasiswa dan membandingkannya dengan hasil evaluasi, terdapat sedikit perbedaan antara penilaian peserta terhadap pemahamannya dan dengan evaluasi yang dilakukan oleh pengajar dan asisten.
A 10 AB 6 B 7 BC 27 C 44 D 25 E 13
G. Rencana Tindak Lanjut
Pada perkuliahan sebelumnya (semester II 2007/2008) telah dilakukan tutorial dalam 2 kelas parallel 2 jam per minggu, sedangkan penyampaikan materi dilakukan dalam kelas besar 2 atau 4 jam per minggu. Cara seperti itu ternyata kurang efektif, karena tutorial dilakukan pada kelas yang relative besar. Berdasarkan hal itu dan pengalaman pada semester II 2008/2009, pengajar mengusulkan hal-hal berikut:
- Perkuliahan dilakukan dengan cara menyampaikan materi dalam satu kelas besar 2 atau 4 jam per minggu sesuai kebutuhan; dan tutorial dalam kelas kecil (@ 15-20 mahasiswa per kelas) 2 jam per minggu. Selain itu, peserta diminta mengerjakan dan mengumpulkan PR tiap 2 minggu, dan setelah PR tersebut diperiksa (tanpa dinilai) dan diberi komentar, dikembalikan kepada peserta kuliah sebagai umpan balik. Peserta kuliah secara berkelompok, atau dalam tutorial diminta memberikan presentasi dari suatu konsep atau pemecahan masalah.
- Sistem modul diterapkan dalam perkuliahan. Sistem ini akan membagi materi kuliah dalam 4 modul. Peserta secara bertahap akan dipisahkan dalam kelas-kelas berbeda melalui tes yang dilakukan pada tiap akhir modul. Misalkan pada 3 minggu pertama, seluruh peserta mempelajari modul 1, setelah itu diadakan tes untuk modul 1. Bagi para peserta yang telah lulus tes tersebut, dapat melajutkan ke modul 2. Bagi yang tidak lulus dberi kesempata untuk mengulang sekali lagi modul 1. Dengan demikian terdapat 2 kelas berbeda pada perkuliahan ini. Bagi perserta yang setelah mengulang modul 1 dan tetap tidak lulus tes, maka akan diberi nilai D/E. Dengan cara demikian perkuliahan diteruskan untuk modul-modul berikutnya, sehingga pada setiap saat pada masa perkuliahan tersebut, paling banyak terdapat 2 kelas berbeda yang mempelajari modul n dan modul (n-1) untuk n=2,3,4. Penilaian dapat disesuaikan dengan banyaknya modul yang dipahami oleh peserta. Peserta yang tidak lulus modul 1 atau modul berikutnya tetap diberi kesempatan untuk mengikuti kuliah namun tetap harus lulus setiap modul secara berurutan.
H. Daftar Lampiran
1. Silabus MA3231 Pengantar Analisi Real (sesuai kurikulum)
2. Rencana Perkuliahan MA3231 Pengantar Analisi Real yang dibagikan kepada peserta 3. Soal-soal Kuis, UTS, UAS, Ujian Reevaluasi dan tugas
4. Nilai akhir peserta beserta komponen-komponennya. 5. Angket evaluasi diri peserta
6. Contoh berkas pekerjaan peserta dalam kuis, UTS, UAS, dan Ujian Reevaluasi, serta tugas.
