REALISASI DARI FUNGSI TRANSFER DALAM BENTUK KANONIK TERKONTROL.

REALISASI DARI FUNGSI TRANSFER

DALAM BENTUK KANONIK TERKONTROL

SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA

OLEH :

NURWENI PUTRI BP. 1010433010

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS

PADANG

ABSTRAK

Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem. Dalam teori kontrol, suatu sistem dapat direpresen-tasikan dengan beberapa cara yang berbeda. Dalam penelitian ini akan dibahas cara menentukan representasi ruang keadaan dari fungsi transfer dalam bentuk kanonik terkontrol untuk sistem SISO dan MIMO. Dalam literatur, permasala-han ini dikenal dengan realisasi. Masalah ini ekivalen dengan bagaimanakah cara menentukan matriks A, B, C dan Dsedemikan sehingga H(s) =C(sI−A)−1

B+ D, dimana matriks A, B, C dan D tersebut dalam bentuk kanonik terkontrol. Kata kunci : Fungsi Transfer, Realisasi, Kanonik Terkontrol.

ABSTRACT

The control system is a tool to control and regulate the state of a system. In control theory, a system can be represented in several different ways. In this study will be discussed how to define the state space representation of the transfer function in the canonical form of control for SISO and MIMO systems. In the literature, this problem is known as realization, namely, how to determine the matricesA, B, CandDsuch that these matrices satisfy a transfer functionH(s) = C(sI−A)−1

B+D, are in the controlled canonic form.

BAB I

PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah

Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengatur keadaan dari suatu sistem. Dalam aplikasinya, suatu sistem kontrol memiliki tu-juan atau sasaran tertentu, yaitu untuk mengatur keluaran (output) dalam suatu keadaan yang telah ditetapkan oleh masukan (input) melalui elemen sistem kon-trol. Aplikasi sistem kontrol sudah ada sejak zaman nenek moyang terdahulu. Pada zaman tersebut, sistem kontrol dilakukan oleh manusia yang berfungsi se-bagai kontroler (pengatur). Misalnya, pelepasan lembing (tombak) ke binatang buruan. Disini otak bertindak sebagai kontroler untuk mengatur arah, sudut, dan tenaga yang dibutuhkan oleh lembing sehingga bisa tepat mengenai binatang buruan.

Hingga saat ini, sistem kontrol masih memegang peranan penting dalam teknologi. Pada konsep sistem kontrol modern, peralatan pembantu manusia semakin dioptimalkan untuk melakukan fungsi kontrol. Semakin modern dan canggih teknologi yang dikuasai, semakin canggih pula peralatan pembantu yang berfungsi sebagai alat kontrol.

sistem dapat direpresentasikan dengan beberapa cara yang berbeda, sehingga mungkin saja suatu sistem akan memiliki beberapa model matematis (tergantung pada perspektif yang diinginkan).

Pada skripsi ini akan dikaji salah satu bagian dari sistem kontrol. Diberikan suatu sistem kontrol

˙

x(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t) (1.1.1)

dimana x(t) ∈ Rn,u(t) ∈ Rm,y(t) ∈ Rp, A ∈ Rn×m_{, B ∈}

Rn×m_{, C ∈}

Rp×m_{, D ∈}

Rp×m_{. Dalam hal ini x menyatakan variabel keadaan, u menyatakan variabel}

kontrol (input), y menyatakan output dan t menyatakan waktu [5].

Fungsi transfer untuk sistem (1.1.1) didefinisikan sebagai perbandingan transformasi Laplace output terhadap transformasi Laplace input dengan asumsi semua kondisi awal sama dengan nol dan dinotasikan dengan H(s), yaitu

H(s) = Y(s)

U(s) (1.1.2)

dimanaY(s) adalah transformasi Laplace dariy(t) danU(s) adalah transformasi Laplace dari u(t).

dari suatu fungsi transfer H(s) yang diberikan sedemikian sehingga

H(s) = C(sI −A)−₁

B+D. (1.1.3)

Ada berbagai cara untuk mendapatkan representasi ruang keadaan dari sis-tem fungsi transfer. Salah satunya adalah menyajikan representasi ruang keadaan dalam bentuk kanonik terkontrol.

Pada skripsi ini akan dikaji permasalahan realisasi dari fungsi transfer dalam bentuk kanonik terkontrol, yaitu jika diberikan suatu fungsi transfer, maka bagaimanakah bentuk representasi ruang keadaan yang berkaitan dengan matriks A, B, CdanDdimana matriks-matriks tersebut dalam bentuk kanonik terkontrol.

1.2

Rumusan Masalah

Permasalahan yang akan dikaji dalam tulisan ini adalah bagaimanakah cara menentukan matriks A, B, C dan Dsedemikan sehingga H(s) =C(sI−A)−1

B+ D, dimana matriks A, B, C dan D tersebut dalam bentuk kanonik terkontrol.

1.3

Pembatasan Masalah

Dalam tulisan ini, kajian hanya dibatasi pada sistem Single Input Single Output (SISO) dan sistem Multi Input Multi Output (MIMO).

1.4

Tujuan Penulisan

Adapun tujuan penulisan ini adalah mengkaji realisasi dari fungsi transfer dalam bentuk kanonik terkontrol.

1.5

Sistematika Penulisan

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diuraikan beberapa teori yang berkaitan dengan realisasi dari fungsi transfer dalam bentuk kanonik terkontrol.

2.1

Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde Satu

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan dari satu atau beberapa fungsi yang tidak diketahui. Jika turunannya adalah tu-runan biasa, maka persamaan diferensialnya disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB). Selanjutnya, jika turunannya adalah turunan parsial, maka persamaan diferensialnya disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

Persamaan diferensial dikatakan homogen jika variabel tidak bebasnya ada di setiap suku. Sebaliknya, persamaan diferensial dikatakan tidak homogen jika ada salah satu sukunya yang tidak mengandung variabel tidak bebas. Orde dari suatu persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan di dalam per-samaan diferensial. Adapun bentuk umum sistem perper-samaan diferensial biasa orde satu adalah

˙

x=g(x, t), x(0) =x0, (2.1.1)

dengan ˙x= dx

dt, x, g∈R n_{, t∈}

maka (2.1.1) dapat ditulis

˙

x=g(x), x(0) =x0. (2.1.2)

Secara khusus, jikag adalah linier, maka (2.1.2) dapat ditulis menjadi

˙

x=Ax, x(0) =x0, (2.1.3)

dimana A ∈ Rn×n_{. Dengan menambahkan suku nonhomogen pada (2.1.3)}

dipe-roleh

˙

x(t) = Ax(t) +h(t). (2.1.4)

Dengan mengalikan persamaan (2.1.4) dengan e−At _diperoleh

e−At

Integralkan kedua ruas (2.1.5) terhadap t dari t₀ sampai t, maka diperoleh

e−Aτ

2.2

Transformasi Laplace

Di dalam perancangan dan analisis sistem pengaturan akan banyak di-jumpai persamaan-persamaan diferensial yang merupakan pemodelan dari suatu sistem. Untuk mengetahui sifat-sifat dari suatu sistem, persamaan-persamaan tersebut harus dipecahkan. Salah satu teknik untuk memecahkan persamaan diferensial adalah menggunakan metode transformasi Laplace.

Definisi 2.2.1. [5] Diberikan suatu fungsi f(t) untuk t = 0, maka transformasi Laplace dari f, dinyatakan dengan F(s), didefinisikan sebagai

L[f(t)] =F(s) =

Z ∞

0

e−st_{f(t) dt, (2.2.1)}

asalkan integral ini ada.

Selanjutnya, misalkan g(t) =f′

Untuk memahami lebih lanjut, berikut disajikan tabel transformasi Laplace untuk beberapa fungsi [5].

No Transformasi

Jika diberikan suatu fungsi F(s), maka dapat ditentukan fungsi f(t) sede-mikian sehinggaL[f(t)] =F(s). Proses menentukanf(t) dariF(s) yang diberikan disebut proses penentuan transformasi Laplace invers [5]. Dalam hal inif(t) dise-but sebagai fungsi invers dariF(s) dan ditulisL−₁

[F(s)] =f(t), yang dapat dicari dengan menggunakan formula berikut

L−1

[F(s)] = f(t) = 1 2πj

Z c+j∞

c−j∞

F(s)est_{ds, t >0. (2.2.2)}

2.3

Fungsi Transfer

Dalam teori kontrol, fungsi transfer (fungsi alih) biasanya digunakan untuk mengkarakteristikkan hubungan antara komponen input dan output yang dapat diberikan oleh persamaan diferensial linier invariant waktu.

Fungsi transfer dari suatu persamaan diferensial linier invariant waktu di-definisikan sebagai perbandingan antara transformasi Laplace dari output (fungsi respon) dengan transformasi Laplace dari input dengan asumsi bahwa syarat awal adalah nol. Suatu persamaan diferensial linier invariant waktu

any(n)+an−₁y

(n−1)

+...+a₁y+a₀ =bmu(m)+bm−₁u

(m−1)

+...+b₀, (2.3.1)

dimana n ≥ m, y(n) ₌ dn

y dtn, u

(m) ₌ d(m)

u

dtm , y adalah output dan u adalah input

[5]. Sistem ini dapat diubah menjadi sistem persamaan diferensial linier orde satu dengan cara mendefinisikan n variabel baru.

Misalkan

x1 = y−β0u

x2 = y˙−β0u˙ −β1u= ˙x1−β1u

x3 = ¨y−β0u¨−β1u˙ −β2u= ˙x2−β2u (2.3.2)

...

xn = y(n

−₁₎

−β₀u(n−₁₎

−β₁u(n−₂₎

−...−βn−₂u˙ −βn−₁u= ˙xn−₁−βn−₁u,

dimana β₀, β₁, ..., βn ditentukan dari

β0 = b0

β1 = b1−a1β0

β₂ = b₂−a₁β₁−a₂β₀

β₃ = b₃−a₁β₂−a₂β₁−a₃β₀ (2.3.3) ...

βn = bn−a1βn−1−...−an−1β1 −anβ0.

Dengan pemilihan variabel keadaan ini, diperoleh

˙

x₁ = x₂+β₁u

˙

x₂ = x₃+β₂u ...

˙

xn−1 = xn+βn−1u

˙

Dalam bentuk persamaan keadaan dan persamaan output, persamaan terakhir dapat ditulis menjadi sistem

˙

Transformasi Laplace dari sistem (2.3.5) diberikan oleh

sX(s)−x(0) = AX(s) +BU(s), Y(s) = CX(s) +DU(s).

Karena fungsi transfer didefinisikan untuk syarat awal bernilai nol, maka dapat ditulis

(sI−A)X(s) =BU(s)

atau dapat juga ditulis

X(s) = (sI −A)−₁

dengan I adalah matriks identitas dengan ukuran yang bersesuaian. Akibatnya

Y(s) = [C(sI −A)−₁

B+D]U(s),

sehingga fungsi transfer untuk sistem (2.3.5) adalah

G(s) = C(sI −A)−1

B+D. (2.3.6)

2.3.1

Sistem Single Input Single Output (SISO)

Sistem Single Input Single Output (SISO) merupakan sistem yang hanya memiliki satu input dan satu ouput. Dengan demikian fungsi transfer untuk sistem SISO adalah fungsi skalar dengan bentuk sebagai berikut

G(s) = Y(s) U(s) =

bmsm+bm−₁sm −₁

+...+b1s+b0

ansn+an−₁sn

−_1+...+a

1s+a0

. (2.3.7)

Fungsi transfer G(s) disebutproper jika polinomial penyebutnya berderajat sama dengan polinomial pembilangnya (m =n). Selanjutnya, jika fungsi transfer G(s) dengan polinomial penyebutnya berderajat lebih kecil daripada polinomial pem-bilangnya (m < n) maka G(s) disebut strictly proper.

A =

2.3.2

Sistem Multi Input Multi Output (MIMO)

Fungsi transfer G(s) dikatakan berada dalam bentuk kanonik terkontrol jika

A = diag [A₁ A₂ ... Am],

B = diag [B₁ B₂ ... Bm],

C = [C1 C2 ... Cm],

D = lim