MODUL DERIVATIF
A. KONSEP DASAR TURUNAN
Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperoleh dengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : x 0.
y Jika y = f ( x ), maka
y = f ( xo + ∆x ) - f ( xo )
x x
y / x merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan menggambarkan tingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ), dirumuskan :
y = f (x) = limy/x = lim f (x + x) – f (x) x 0 x 0 x
Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi : 1. Diferensiasi fungsi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y = 0 Contoh : y = 5 maka y’ = 0
2. Diferensiasi fungsi linier
Jika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y = b Contoh : y = 29 + 15x maka y’ = 15
3. Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = axn , dimana a adalah konstanta, maka y = n.a xn –1 Contoh : y = 8x7 maka y’ = 8.7x7-1 =54x6
4. Diferensiasi penjumlahan ( pengurangan ) fungsi
Jika y = u v , dimana u = g (x) dan v = n (x), maka y = u v
Contoh : y = 8x3 – 8x2
u = 8x3 u’ = 8.3x3-1 = 24x2
v = – 8x2 v’ = -8.2x2-1 = -16x1 karena y = u v
maka y’ = 24x2 – 16x 5. Diferensiasi perkalian
a. Perkalian fungsi dan konstanta
Jika y = k.u , dimana u = g (x), maka y = k.u
Contoh : y = 8.7x2
u = 7x2 u’ = 7.2x1 = 14x karena y = k.u
maka y’ = 8.14x = 112x b. Perkalian fungsi
Jika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v + u.v
Contoh : y = ( 2x6 – 2 )( 3x3 – 7 )
u = ( 2x6 – 2 ) u’ = 2.6x6-1 = 12x5 v = ( 3x3 – 7 ) u’ = 3.3x3-1 = 9x2 karena y = u.v + u.v
maka y’ = (12x5)(3x3 – 7) + (2x6 – 2)(9x2)
= 36x8 – 84x5 + 18x8 – 18x2 y’ = 54x8 – 84x5 – 18x2
6. Diferensiasi hasil bagi fungsi
Jika y =u , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v – u.v
v v2
Contoh : y = (9x2 – 5) maka y’ = (18x)(4x3 – 6) – (9x2 – 5)(12x3) (4x3 – 6) (4x3 – 6)2
y’ = 72x4 – 108x – 108x5 + 60x3 (4x3 – 6)2
y’ = -108x5 – 72x4 – 60x3 -108x (16x6 – 48x3 + 36) 7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai )
Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka dy = dy . du
dx du . dx
contoh : y = ( 6x2 + 4 )2
misalkan : u = 6x2 +4 , sehingga y = u2 du / dx = 12x dy / du = 2u
maka dy = dy . du = 2u . 12x = 2 (6x2 + 4) (12x) = 144x3 + 96x dx du dx
contoh: y = √3x2 + 4x – 5 y = (3x2 + 4x - 5)1/2
misalkan : u = 3x2 + 4x -5 , sehingga y = u1/2 du/dx = 6x + 4 dy/du = ½ u-1/2 maka dy = dy . du
dx du dx
= ½ u-1/2 . (6x + 4)
= ½ (3x2 + 4x -5) -1/2 . (6x + 4) = 1 . 1_____ . (6x + 4)
2 √3x2 + 4x – 5 = 6x + 4__
2√3x2 + 4x – 5 8. Derivatif tingkat tinggi
Derivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak n kali.
Derivatif ke-n dilambangkan : dny atau fn (x) atau dn (y)
dxn dx
Contoh : y = 5x5 + 4x4 + 3x3 + 2x2 +x maka
y’ atau dy / dx = 25x4 + 16x3 + 9x2 + 4x + 1 y’’atau d2y/d2y = 100x3 + 48x2 + 18x + 4 ………..dst
9. Diferensiasi implisif
Adalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi suku dengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukan nilai dy/dx .
Contoh : xy2 - x2 + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka : 1.y2 + x.2y dy/dx – 2x + dy / dx = 0
( 2xy + 1 ) dy/dx = - y2 + 2x dy/dx = - y2 + 2x
2xy + 1 10. Derivatif fungsi logaritmik
y = ln x dy/dx = 1/x y = ln u , dimana u = g (x)
dy = du . 1 = u
dx dx u u
y = alog x dy/dx = 1/ aln a
Contoh : jika y = ln ( 3 – 3x2 ) maka tentukan dy / dx u = 3 – 3x2
du / dx = u’ = -6x dy = u’ = -6x__
dx u 3 – 3x2 11. Derivatif fungsi eksponensial
y = ex dy/dx = ex
y = ax dy/dx = ax ln a 12. Derivatif fungsi trigonometrik
Beberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah :
y = sin x dy/dx = cos x
y = cos x dy/dx = - sin x
y = tg x dy/dx = sec2 x
y = ctg x dy/dx = - cosec2 x
y = sec x dy/dx = sec x . tg x
y = cosec x dy/dx = - cosec x . ctg x
Catatan : sec x = 1 / cos x cos x = 1 / sin x
B. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA
1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis Normal
Langkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah : 1. Tentukanlah titik singgung ( Xo , Yo )
2. Cari koefisien arah m = f ‘ (x) 3. Cari Garis singgung dengan rumus : y - yo = m (x – xo)
4. Cari Garis Normal dengan rumus : y - yo = -1 ( x – xo ) m
Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis Singgung kurva
2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun 1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f (x) > 0
2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f (x) < 0 3. Nilai stasioner
Jika diketahui y = f (x) , maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai Stasioner
Jenis – jenis Titik Stasioner adalah :
Jika f (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimum
Jika f (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum
Jika f (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok Contoh : Diketahui TR = 100Q - 5Q2 , tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari fungsi tsb !
Jawab : Karena Tr’ = 0
Maka TR’ = 100 – 10Q = 0
10Q = 100 jadi Q = 10
TR = -10 (TR < 0, merupakan titik balik maksimum) Nilai Maksimum TR = 100Q - 5Q2
= 100(10) - (10)2
= 900
C. APLIKASI DERIVATIF DALAM BISNIS DAN EKONOMI
1. ELASTISITAS
a. Elastisitas Harga
Adalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dari harga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu :
1. Elastisitas Titik ( Point Elasticity )
= Q/Q = Q . P P/P P Q
2. Elastisitas Busur ( Arc Elasticity )
Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.
Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda.
= P1 . Q Q1 P = P2 . Q Q2 P = P1 + P2 . Q
Q1 + Q2 P
Elastisitas Titik dan Busur dipakai untuk menghitung : a. Elastisitas harga Permintaan, d < 0 (negatif) b. Elastisitas harga Penawaran, s > 0 (positif)
Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan :
> 1 Elastis
< 1 atau 0<n<1 Inelastis (elastis sebagian)
= 1 Unitary Elastis (elastis sempurna)
= 0 Inelastis Sempurna
= ∞ Elastis Tak Hingga
b. Elastisitas Permintaan
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibat adanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f ( P ), maka elastisitas permintaannya
d = Qd. P Qd
Contoh : Fs. permintaan Qd = 100 – 5P2. tentukan elastisitas pada P = 10 Qd’ = -10P
Maka d = Qd . P = (-10P ) . P = -10P2 Qd ( 100 – 5P2 ) ( 100 – 5P2 )
P = 10 maka d = -10(10)2_ = 10 100-2(10)2
c. Elastisitas Penawaran
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yang ditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakan dengan Qs = f ( P ), maka elastisitas penawarannya :
s = Qs. P Qs
Contoh : Fs Penawaran Qs = 5P2 – 100. Hitunglah elastisitas pada P = 15 Qs’ = 10P
s = Qs . P_ = 10P . P = 10P2 _ Qs 5P2 – 100 5P2 – 100
P = 15 maka, s = 10(15)2 = 2,4 5(15)2 – 100
d. Elastisitas Produksi
Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran ( output ) yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan ( input ) yang digunakan. Jika fungsi produksi dinyatakan dengan P = f ( x ), maka elastisitas produksinya :
p = P. X P
Contoh : Fs Produksi P = 4x2 – 2x3. Hitunglah elastisitas pada x = 10 P’ = 8x – 6x2
p = P . X = ( 8x – 6x2 ) . X = 8x2 – 6x3 P 4x2 – 2x3
4x2 – 2x3 X = 10 maka p = 8(10)2 – 6(10)3 = 3,25
4(10)2 – 2(10)3 2. BIAYA
o Biaya Total ( TC )
Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkan sejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.
Dimana :
TC = Total cost VC = Variabel cost
FC = Fixed cost Q = Kuantitas
o Biaya Rata – rata ( AC )
Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasa pada tingkat produksi total.
o Biaya Marginal ( MC )
Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahan hasil produksi satu unit pada suatu tungkat produksi tertentu.
Contoh :
Diketahui TC = 400 + 50Q2 , Tentukan AC dan MC pada Q = 80 ?
AC = TC / Q = (400+50Q2) / Q = (400+50(80)2) / 80 = 4005 MC = TC = 100Q = 100(80) = 8000
3. PENERIMAAN
o Penerimaan Total ( TR )
Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.
o Penerimaan Rata - rata ( AR )
Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang / jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaan dari harga barang tersebut.
TC = f (Q) atau TC = FC + VC (Q)
AC = TC / Q
MC = TC = dTC / dQ
TR = f (Q) = P . Q
AR = TR / Q = (P.Q) / Q = P
o Penerimaan Marginal ( MR )
Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualan satu unit barang / jasa pada suatu kuantitas tertentu.
Contoh :
Diketahui TR = 6Q2 + 15Q + 1000, tentukan AR dan MR pada Q = 50 ! Jawaban :
AR = TR / Q
= 6Q + 15 + 1000 / Q = 6(50) + 15 + 1000 / 50 = 335
MR = TR
= 12Q + 15 = 12(50) + 14 = 614
Contoh Soal :
1. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 20 - 7P2 . Tentukan elastisitas permintaan pada saat harga Rp 3 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaan tersebut, analisislah !
Dik : Qd = 20 - 7P2 Qd = -14P P = Rp 3 / unit
Jawab : d = Qd . P Qd
= -14P . P_
20 - 7P2
= -14 (3) . 3_
20 - 7 (3)2
= -126 = 2,93 Elastis
-43
Analisis : Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 2,93 pada saat harga produk sebesar Rp 3 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang diminta akan turun sebanyak 2,93 %
MR = TR = dTR / dQ
2. Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P2 = 45 + Qs . Tentukan elastisitas penawaran pada saat harga Rp 5 / unit. Bagaimana sifat elastisitas penawaran tersebut, analisislah !
Dik : P2 = 45 + Qs Qs = P2 - 45 Qs = 2P P = Rp 5 / unit
Jawab : s = Qs . P Qs
= 2P . P P2 - 45
= 2 (5) . 5 (5)2 - 45
= 50 = - 2,5 Inelastis - 20
Analisis : Jadi Elastisitas Penawaran sebesar 2,5 pada saat harga produk sebesar Rp 5 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang ditawarkan akan bertambah sebanyak 2,5 %.
3. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 4P = 80 - Q . Tentukanlah tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, carilah harga jualnya, hitunglah penerimaan jika terjual 15 unit, analisislah !
Dik : 4P = 80 - Qd P = 20 - 0,25 Qd Jawab : TR = P . Q
= (20 – 0,25Q) . Q
= 20Q - 0,25Q2 TR max, TR = 0
20 – 0,5Q = 0
0,5Q = 20 unit
TR jika Q = 40 unit
TR max = 20Q - 0,25Q2
= 20(40) - 0,25(40)2
= 800 – 400 = Rp. 400,-
* P max = TRmax Qmax
= 400 = Rp. 10,- 40
* TR jika Q = 15 unit
TR = 20Q - 0,25Q2
= 20(15) - 0,25(15)2
= 300 – 56,25 = Rp. 243,75
Analisis : Berawal dari tingkat penjualan sebesar 40 unit dan diperoleh penerimaan maksimal sebesar Rp.400,- dengan harga maksimal Rp.10,-, jika barang yang dijual sebanyak 15 unit, maka penerimaan total yang diperoleh sebesar Rp.243,75.
Contoh kasus 1 :
Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 100 - 5P2 . Tentukan elastisitas permintaan pada saat harga Rp 11 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaan tersebut, analisislah !
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE MATEK 2 1. Buka aplikasi Matek 2
Gambar 1.1 Tampilan aplikasi Matek 2
2. Pilih Materi, Derivatif lalu Aplikasi
Gambar 1.2 Tampilan menu awal
3. Pilih Elastis Permintaan
Gambar 1.3 Tampilan menu awal Derivatif
4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter
Gambar 1.4 Tampilan untuk Input
5. Maka akan muncul tampilan di bawah ini.
Masukkan angka-angka yang diketahui:
Koefisien Q^2 = -5 Koefisien Q^1 = 0 Konstanta = 100
P = 11
Kemudian tekan Enter satu persatu data kemudian tekan tombol Clear
6. Maka hasilnya adalah sebagai berikut.
Gambar 1.5 Tampilan input dan output Kasus 1
Hasilnya elastis permintaan = 2,396 = 2,4 bersifat elastis (Ed > 1).
Analisis : Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 2,4 pada saat harga produk sebesar Rp 11 dan jika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang diminta akan turun sebanyak 2,4 %.
Contoh Kasus 2 :
Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 35 - Q . Tentukanlah tingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, hitunglah penerimaan jika terjual 10 unit, penerimaan rata-rata, dan penerimaan marjinal, analisislah !
LANGKAH-LANGKAH PENGERJAAN MENGGUNAKAN SOFTWARE MATEK 2 1. Buka aplikasi Matek 2
Gambar 1.1 Tampilan aplikasi Matek 2
2. Pilih Materi, Derivatif lalu Aplikasi
Gambar 1.2 Tampilan menu awal
3. Pilih Fungsi Penerimaan
Gambar 1.3 Tampilan menu awal Derivatif
Karena P = 35 –Q , maka TR = P . Q = (35 – Q) . Q = 35Q – Q2
4. Masukkan pangkat terbesar sama dengan 2 kemudian tekan Enter Maka akan muncul tampilan di bawah ini.
Masukkan angka-angka yang diketahui:
Koefisien Q^2 = -1 Koefisien Q^1 = 35 Konstanta = 0 Q = 10
Kemudian tekan Enter, Maka hasilnya adalah sebagai berikut.
Gambar 1. 4 Tampilan hasil Output Kasus 2
Hasilnya total penerimaan TR = 250 Penerimaan rata-rata AR = 25 Penerimaan marjinal MR = 15
Analisis : Jadi penerimaan total pada saat perusahaan menjual 10 unit adalah 250, penerimaan rata-rata sebesar 25, dan penerimaan marjinal sebesar 15 yang berarti terjadi penambahan penerimaan sebesar 15 setiap penambahan penjualan.
4. LABA MAKSIMUM
Terdapat tiga pendekatan perhitungan laba maksimum yaitu : 1. Pendekatan Totalitas (totality approach)
2. Pendekatan Rata-rata (average approach) 3. Pendekatan Marginal (marginal approach)
Pada bab ini kita hanya akan membahas perhitungan laba maksimum dengan Pendekatan Marginal (Marginal Approach). Perhitungan laba dilakukan dengan membandingkan biaya marginal (MC) dan pendapatan marginal (MR). Laba maksimum akan tercapai pada saat MR = MC.
Laba() = TR – TC. Laba maksimum tercapai bila turunan pertama fungsi (δ π /δQ) sama dengan nol dan nilainya sama dengan nilai turunan pertama TR (δTR/ δQ atau MR) dikurangi nilai turunan pertama TC (δTC/ δQ atau MC). Sehingga MR – MC = 0.
Dengan demikian, perusahaan akan memperoleh laba maksimum (atau kerugian minimum) bila ia berproduksi pada tingkat output di mana MR = MC.
Contoh:
Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = -150Q + 10000 dengan biaya variabel yang berupa persamaan VC = 20 – 3000Q +1000. Biaya tetap
yang dikeluarkan perusahaan sebesar Rp. 25.000, serta besarnya penerimaaan marginal dicerminkan oleh persamaan : MR = -5000Q + 15.000. Tentukanlah :
A. Pada tingkat penjualan berapa laba perusahaaan maks dan berapa besarnya laba tersebut
B. Analisis
Dik : P = -150Q + 10000 VC = 20 - 3000Q + 1000 FC = 25.000
MR = -5000Q + 15000
Dit : Q pada saat laba maks? Analisis?
Jawab:
TR = P x Q
= (-150Q + 10000). Q = -150 + 10000Q TC = VC + FC
= (20 - 3000Q + 1000) + 25.000 = 20 - 3000Q + 26000
Laba = TR – TC
= (-150 + 10000Q) – (20 - 3000Q + 26000) = -170 + 13000Q – 26000
Laba maks = laba’
= -340Q + 13000 340Q = 13000 Q = 38,23 38
Q = 38 → Laba = -170 + 13000Q – 26000 = -170 (382) + 13000 (38) – 26000 = - 245.480 + 494.000 – 26000 = 222.520
Analisis :
Berawal dari tingkat penjualan sebesar 38 unit, diperoleh laba sebesar Rp. 222.520,-.
INTEGRAL TAK TENTU
KONSEP DASAR INTEGRAL
Dalam kalkulus integral dikenal dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu.
Diferensial / anti derivative / integral, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila fungsi turunan dari fungsinya diketahui ( kebalikan dari derivatif atau disebut juga proses integrasi / integrand ).
A. INTEGRAL TAK TENTU
Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).Dinamakan integral tak tentu karena ada ketidaktentuan pada nilai konstantanya.
Bentuk umum :
Dimana : c adalah sembarang konstanta yang nilainya tak tentu.
Contoh :
∫ f(x) dx = F(x) + c
∫ f(x) dx = F(x) + c
∫ 12x3 + 9x2 – 2x + 2 dx = 12x3+1 + 9x2+1 - 2x1+1 – 2x +c 3+1 2+1 1+1
= 3x4 + 3x3 – x2 – 2x + c Bila c = 4, maka F(x) = 3x4 + 3x3 – x2 – 2x + 4
PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU DALAM EKONOMI
Penerapan integral tak tentu yaitu untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya yaitu integrasi dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan (fungsi total).
Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi : Fungsi Biaya
Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) :
Dan Biaya rata-rata (AC) :
∫ f(x) dx = F(x) + c
∫ un. du = Un+1 + c, n ≠ -1 n +1
F(Q) = ∫ f (Q) dQ TC = ∫ MC dQ
AC = TC / Q
Contoh:
Diketahui suatu perusahaan fungsi biaya marginalnya MC = 12Q-9Q2, maka carilah fungsi biaya total dan biaya rata-rata dimana c ( konstanta ) sebesar 4 ?
Jawab:
Secara Manual adalah sebagai berikut TC = ∫ MC dQ
= ∫ 12Q - 9Q2 dQ = 6Q2 – 3Q3 + c
Jika c = 4
TC = 6Q2 – 3Q3 + 4
AC = TC / Q = 6Q – 3Q2 + 4/Q
Analisa : dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi biaya total adalah TC = 6Q2 – 3Q3 + 4 dan fungsi biaya rata-rata adalah AC = TC / Q = 6Q – 3Q2 + 4/Q.
Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut
Pada tampilan awal matek 2, pilih materi lalu integral tak tentu seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini
Akan tampil pilihan dari menu integral tak tentu kemudian pilih fungsi biaya
Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate
Di Output Fungsi Biaya akan terlihat fungsi biaya total dan fungsi biaya rata – rata, jika kita ingin mengetahui total biaya dan rata – rata biaya maka masukkan nilai Q setelah itu klik calculate
Fungsi Penerimaan
Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).
Contoh :
Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ?
Jawab:
Secara Manual adalah sebagai berikut TR = ∫ MR dQ
= ∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ = 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c
jika c = 0
TR = 5Q3 + 5Q2 – 5Q
F(Q) = ∫ f(Q) dQ TR = ∫ MR dQ
Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut
Pada tampilan menu pilih fungsi penerimaan seperti gambar di bawah ini
Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate
Di Output Fungsi Penerimaan akan terlihat fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata – rata, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.
Fungsi Produksi
Produk Total : P = f(Q), dimana P = keluaran dan Q = masukan Produk Marginal : MP = P’ = dP / dQ = f’(Q)
Produk Total adalah integral dari produk marginal.
Contoh :
Diketahui produk marginalnya 2Q2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ? Jawab:
Secara Manual adalah sebagai berikut P = ∫ MP dQ = ∫ 2Q2 + 4
= 2/3 Q3 + 4Q + c jika c = 0,
P = 2/3 Q3 + 4Q
Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 2/3 Q3 + 4Q
P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ
Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut Pada tampilan menu pilih fungsi produksi seperti gambar di bawah ini
Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate
Di Output Fungsi Produksi akan terlihat fungsi produksi total dan fungsi produksi rata – rata, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.
Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).
C = f(Y) = a + bY
MPC = C’ = dC/dY = f’(Y) = b = turunan dari C S = g(Y) = -a + (1-b)Y
MPS = S’ = dS/dY = g’(Y) = (1-b) = turunan dari S
Y = C + S
Y = [ a + bY ] + [ -a + (1-b)Y ] MPC + MPS = 1
Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.
a. k = a = Autonomous Consumption : konsumsi otonom menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol
b. k = a = Autonomous Saving : Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0).
c. MPC (Marginal Propensity to Consume) : Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.
d. MPS (Marginal Propensity to Saving) : Perbandingan antara besarnya perubahan saving (∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.
Keterangan :
MPC < 1, menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecil merupakan tambahan tabungan.
MPC > ½, menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi.
MPC selalu positif, karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.
Contoh :
Dimana C = ∫ MPC dY = 0.7 dY + c, bila pendapatan = 0 dan konsumsi autonomsnya adalah 50, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan Nasionalnya adalah…
Jawab:
Secara Manual adalah sebagai berikut
C = ∫ MPC dY = ∫0.7 dY + c = 0.7Y + 50
S = Y – ( 0.7 Y + 50 ) = Y – 50 – 0.7Y S = 0.3 Y – 50
Atau S = Y – C
S = ∫ MPS dY = ∫ 0.3 dY – c = 0.3Y – 50
Y = C + S
Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 )
Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = 0.7Y + 50, fungsi tabungan adalah S = 0.3 Y – 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 ).
C = ∫ MPC dY = F(Y) + c S = ∫ MPS dY = G(Y) + c
1 > MPC > ½
Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut Pada tampilan menu pilih fungsi konsumsi seperti gambar dibawah ini
Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate
Di Output Fungsi konsumsi akan terlihat fungsi konsumsi dan fungsi tabungan, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.
Contoh :
Dimana S = ∫ MPS dY = 0.3 dY – c, bila pendapatan = 0 dan tabungan autonomosnya adalah 50, maka fungsi tabungan, konsumsi dan Pendapatan Nasionalnya adalah…
Jawab:
Secara Manual adalah sebagai berikut S = ∫ MPS dY = ∫0.3 dY = 0.3Y – 50
Mencari fungsi konsumsi C= Y – S
= Y – (0.3Y – 50)
= Y – 0.3Y + 50
= 0.7Y + 50
Jadi pendapatan nasional adalah Y = C + S
Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 )
Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = 0.7Y + 50, fungsi tabungan adalah S = 0.3 Y – 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( 0.7 Y + 50 ) + ( 0.3 Y – 50 ).
Dengan menggunakan software matek 2 adalah sebagai berikut
Pada tampilan menu pilih fungsi tabungan seperti gambar dibawah ini
Isikan datanya seperti contoh soal diatas setelah itu klik calculate
Di Output Fungsi Tabungan akan terlihat fungsi tabungan dan fungsi konsumsi, seperti ditunjukkan oleh gambar dibawah ini.
MODUL INTEGRAL TERTENTU
KONSEP DASAR INTEGRAL TERTENTU
Integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah ditentukan.
Rumus Integral tertentu :
Keterangan :
a = x = batas minimum b = x = batas maksimum dimana a < b
Contoh :
Hitunglah luas daerah persamaan 2x + 5 dibatasi oleh a=2 dan b=5 ! Jawab
PENERAPAN INTEGRAL TERTENTU DALAM EKONOMI 1. Surplus Konsumen
Yaitu cerminan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luas area dibawah kurva permintaan ( P=f ( Q ) ) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe).
Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar
P = Tingkat harga pada saat Q=0
b
a
b
a
F b F a
x F dx x f
Qe P
Pe
dP P f Pe Qe dQ Q f Cs
0
) ( )
( 36
)]
2 ( 5 2 [ )]
5 ( 5 5 [
] 5 [
5 2
2 2
5 2 2
x dx x x
Contoh :
1. Jika fungsi permintaan suatu barang Pd = 38 – Q dan fungsi penawaran Ps = 10Q + 5, berapakah surplus Mr. Edward sebagai konsumen cabe rawit ? analisis dan grafik !
Dik : Pd = 38 – Q , Ps = 10Q + 5 Dit : Cs ?
Jawab : Pd = Ps Qe = 3 Pe = 38 - Q 38 - Q = 10Q + 5 Pe = 38 - 3
11Q=33 Pe = 35
Qe = 3
Pd = 38 – Q Qd = 38 – P Q = 0
P = 38 P = 0 Q = 38
Cara 1 : Cs =
=
=
= 2] – 2] – 105
= 109,5 – 0 – 105
= 4,5 Cara 2: Cs =
=
=
=
= 722 – 717,5
= 4,5
Analisis : Mr. Edward memperoleh surplus sebesar Rp 4,5 karena Mr.Edward dapat membelicabe rawit dengan harga Rp 35,-. Padahal Mr.Edward sanggup
membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar.
Cara pengerjaan di software matek 2 dengan rumus 1 surplus konsumen
Pilih materi integral tentu => aplikasi => surplus konsumen (rumus 1)
Gambar 3.3
Aplikasi Materi Intergral Tertentu
Input Data Sesuai Soal :
Gambar 3.4
Output Integral Tertentu
Contoh :
2. Hitunglah surplus konsumen yang didapatkan Tn.Putra disaat fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 550 – 5P dan tingkat harga keseimbangan pasarnya Rp 100,- ! analisis dan grafik !
Dik : Q = 550 – 5P, Pe = 10 Dit : Cs ?
Analisis : Tn.Putra memperoleh surplus sebesar Rp 250,- karena konsumen dapat Membeli barang tersebut dengan harga Rp 100,- , padahal Tn.Putra sanggup membayar lebih tinggi dari harga keseimbangan pasar.
2. Surplus Produsen
Yaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh produsen Tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan.
Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkan oleh luas area diatas kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe), rentang wilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.
Dimana :
Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar
= Tingkat harga pada saat Q=0
Contoh :
1. Bila diketahui fungsi penawaran Ps = 4Q + 1 dan fungsi permintaan Pd = 16 - Q.
Carilah surplus PT.Harapan Jaya sebagai produsen dengan dua cara, analisislah dan gambarkan grafik !
Cara 1 :
= 1
Qe Pe
P
dP P f dQ Q f Pe Qe Ps
0
) ( )
(
Cara pengerjaan di software matek 2 dengan rumus 1 surplus produsen.
Pilih materi integral tentu => aplikasi => surplus produsen (rumus 1)
Input data sesuai soal,seperti tampilan pada software :
Cara 2 :
Analisa : PT.Harapan Jaya sebagai produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp.18,- dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 13,- padahal
sebenarnya ia dapat menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan
Contoh :
2. Bila diketahui fungsi penawaran P = 6Q + 3 dan tingkat kuantitas keseimbangan pasar adalah 8. Carilah surplus PT.The Reds sebagai produsen ! analisislah dan gambarkan grafik !
Dik : Dit :
Jawab :
Analisa : PT.The Reds sebagai produsen memperoleh keuntungan sebesar Rp192,- dikarenakan perusahaan dapat menjual barang dengan harga Rp 51,-
padahal sebenarnya ia dapat menjual dengan harga yang lebih rendah dari harga keseimbangan pasar.
MODUL FUNGSI TRANSENDENTAL
Merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan.
Berguna untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang.
Termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsi trigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional.
Tetapi pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik.
A. Fungsi Eksponensial
Adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas.
Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah : di mana n > 0
Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah : di mana n 0
e = 2,71828
k , c merupakan konstanta Contoh Soal :
Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e 0.5x - 1 , pada masing-masing sumbu dan hitunglah f (2) !
Jawab :
Pada sumbu x ; y = 0 e 0,5x = 1 Ln e 0,5x = Ln 1
0,5x Ln e = Ln 1 Ln e = 1 0,5x = 0 Ln 1 = 0
x = 0
Titik potongnya ( 0 ; 0 )
Pada sumbu y ; x = 0 y = e 0,5x - 1
y = e 0,5 (0) - 1 y = e 0 - 1 y = 1 - 1 y = 0
Titik potongnya ( 0 ; 0 )
Untuk x = 2 y = e 0,5x - 1 y = e 0,5 (2) - 1 y = e 1 – 1 y = 2,72 – 1 y = 1,72
Titik potongnya ( 2 ; 1,72 ) y = nx
y = ne kx + c
B. Fungsi Logaritmik
Adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma.
Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah :
di mana n > 0 n 1
Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah : di mana x > -1
Contoh soal :
Tentukan titik potong kurva logaritmik y = - 0,5 Ln (1 + x) –1, pada masing- masing sumbu dan hitunglah f (3) !
Jawab :
Pada sumbu x ; y = 0 -0,5 Ln (1 + x) = 1 Ln (1 + x) = -2 1 + x = e –2 1 + x = 0,14
x = - 0,86
Titik potongnya (-0,86 ; 0 )
Pada sumbu y ; x = 0 y = -0,5 Ln (1 + x) –1 y = -0,5 Ln (1 + 0) –1 y = -0,5 Ln 1 –1 y = -0,5 .0 – 1 y = –1
Titik potongnya ( 0 ; -1 )
Untuk x = 3
y = -0,5 Ln (1 + x) –1 y = -0,5 Ln (1 + 3) –1 y = -0,5 Ln 4 –1 y = -0,69 –1 y = -1,69
Titik potongnya ( 3 ; -1,69 )
y = n log x
y = a ln (1 + x) + b
Grafik 1
Kurva Eksponensial pada y = e 0.5x - 1
Grafik 2
Kurva Logaritmik pada y = - 0,5 Ln (1 + x) = 1
C. Penerapan Ekonomi
Banyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik tersebut antara lain :
1. Model Bunga Majemuk
Model ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa datang dari jumlah sekarang suatu pinjaman atau tabungan. Model bunga majemuk ini tidak lain merupakan bentuk fungsi eksponensial.
atau
di mana :
Fn = Jumlah pinjaman atau tabungan setelah n tahun.
P = Jumlah sekarang (tahun ke-0).
i = Tingkat bunga pertahun.
m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun.
n = Jumlah tahun
Di sini Fn sebagai variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabel bebas (independent variable). Dengan demikian prinsip-prinsip penyelesaian persamaan eksponensial relevan diterapkan atas model ini.
Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalam setahun sehingga jumlah di masa datang tersebut dapat diperoleh dengan cara :
di mana e = 2,71828
Contoh Soal :
Seorang pengusaha muda sedang melakukan pengembangan usaha, modal yang dibutuhkan sekitar Rp 10.000.000,-. Untuk itu, ia meminjam modal ke Bank Konvensional dengan bunga pinjaman 10 % pertahun dan diperhitungkan secara bulanan (1 tahun = 12 bulan) untuk jangka waktu 5 tahun. Hitunglah jumlah yang harus dibayarkan oleh pengusaha muda tersebut pada saat pinjamannya jatuh tempo !
Fn = P(1 + i)n
Fn ≈ Pei.n
Fn = P(1 + ) m.n
m i
Jawab:
A. Dengan Rumus Bunga Majemuk Biasa 1). Tanpa Menggunakan Logaritma
F5 = 10.000.000 (1 + 0.10/12 ) 12.5 F5 = 10.000.000 (1,008) 60
F5 = 10.000.000 (1,613) F5 = 16.130.000,-
2). Dengan Menggunakan Logaritma F5 = 10.000.000 (1,008) 60
Log F5 = log 10.000.000 + 60 log 1,613 Log F5 = 7 + 0,208
Log F5 = 7,208
F5 = 16.130.000,-
B. Dengan Rumus Bunga Majemuk Sinambung 1). Tanpa Menggunakan Logaritma
F5 ≈ 10.000.000. e 0,10 . 5
F5 ≈ 10.000.000 (e 0.5) ≈ 10.000.000 (1,65) ≈ 16.500.000,-
2). Dengan Menggunakan Logaritma F5 ≈ 10.000.000 (e 0,50)
Ln F5 ≈ Ln 10.000.000 + 0,5 Ln e Ln e = 1
Ln F5 ≈16,12 + 0,5
Ln F5 ≈16,52 ≈ 16.500.000,-
Analisis :
“Jumlah uang yang harus dibayar oleh pengusaha muda tersebut saat jatuh tempo adalah sebesar Rp 16.130.000,-. Hal ini berarti bunga pinjaman dalam jangka waktu 5 tahun yang harus dibayar adalah sebesar Rp 6.130.000,-.”
Fn = P(1 + ) m.n
m i
Fn ≈ Pe i.n
Langkah-langkah menggunakan software :
1. Buka materi Matek 2, lalu klik Fungsi transdendental pada Materi.
2. Pilih model bunga majemuk pada Fungsi Transdental.
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui.
Catatan :
Pada cara manual dengan software mengalami perbedaan, hal itu di karenakan bahwa pada software menggunakan dua angka di belakang koma sedangkan pada cara manual tidak menggunakan dua angka dibelakang koma.
2. Model Pertumbuhan
Model pertumbuhan juga merupakan salah satu bentuk eksponensial. Model semacam ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi dapat juga diterapkan untuk menaksir variabel – variabel lain, berkenaan dengan pertumbuhannya dan dapat dirumuskan sebagai berikut :
di mana :
Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t.
t = Jumlah tahun.
P1 = Jumlah penduduk sekarang.
r = Tingkat pertumbuhan
Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variable dan tidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka persamaan di atas dapat ubah bentuknya menjadi :
di mana :
N = Variabel yang diamati.
r = Persentase pertumbuhannya persatuan waktu.
t = Indeks waktu.
Contoh Soal :
Mulia Sejahtera Networking (MS Net) merupakan salah satu perusahaan yang bergerak dalam bidang MLM (Multilevel Marketing) di Indonesia, mulai beroperasi tahun 2003. Pada awal usahanya, perusahaan ini menggunakan Personal Marketing / sales sebanyak 100 orang untuk seluruh Indonesia. Dan diperkirakan pertumbuhan Personal Marketingnya sebesar 15 % pertahun.
Hitunglah berapa jumlah Personal Marketing dalam jaringan MS Net pada tahun 2010 ? dan analisislah !
Jawab :
Diketahui : N = 100 orang t = 8 tahun R = 1 + 0,15 r = 0,15
Ditanya : N8 = ….. ?
Jawab : Nt = N1.R t-1
N8 = 100 (1,15) 8 -1
N8 = 100 (2,66) N8 = 266 orang Analisis :
“ Dalam kurun waktu 8 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personil Marketing (sales) akan meningkat menjadi 266 orang, dengan peningkatan sebesar 166 orang. Peningkatan ini tergolong kecil atau belum optimal peningkatannya.”
Pt = P1. R t-1 R = 1 + r
Nt = N1.R t-1 R = 1 + r
Langkah-langkah menggunakan software :
1. Buka materi Matek 2, lalu klik Fungsi transdendental pada Materi.
2. Pilih model pertumbuhan majemuk pada Fungsi Transdental.
3. Masukkan data yang diketahui pada soal, lalu kilk hitung maka akan muncul jawaban dibawah data diketahui.
