Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar S.Si.,M.Si. 085794801125

chandramathitb07@gmail.com

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

Garis Besar Pembahasan

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI

RATAAN VARIANS MOMEN

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

12

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. 3 SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

Sub Pokok Pembahasan

1. Nilai Ekspektasi

2. Rataan

3. Varians

4. Momen

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. 3 SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

Sub Pokok Pembahasan

1. Nilai Ekspektasi

2. Rataan

3. Varians

4. Momen

12

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN 4 NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

NILAI EKSPEKTASI

Definisi

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi

densitasnya di x adalah f (x ) dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka nilai ekspektasi dari u(X ), dinotasikan dengan E [u(X )],

didefinisikan sebagai:

E [u(X )] =

Z ∞

−∞

u(x ) · f (x )dx

Misalkan fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk :

f (x ) = 2(1 − x ), 0 < x < 1

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN 4 NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

NILAI EKSPEKTASI

Definisi

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi

densitasnya di x adalah f (x ) dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka nilai ekspektasi dari u(X ), dinotasikan dengan E [u(X )],

didefinisikan sebagai: E [u(X )] = Z ∞ −∞ u(x ) · f (x )dx

Contoh

Misalkan fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk :

f (x ) = 2(1 − x ), 0 < x < 1

12

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN 5 NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

NILAI EKSPEKTASI

Sifat-sifat Nilai Ekspektasi

1. Jika c adalah sebuah konstanta, maka E (c) = c

2. Jika c adalah sebuah konstanta dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka: E [c · u(X )] = c · E [u(X )]

3. Jika c1dan c2 adalah dua buah konstanta dan u1(X ) dan

u2(X ) adalah dua buah fungsi dari X , maka:

E [c1· u1(X ) + c2· u2(X )] = c1· E [u1(X )] + c2· E [u2(X )]

Lihat kembali soal pada contoh 1

Hitung E (X2− 1) dan E [X (X + 1)] dengan menggunakan sifat-sifat nilai ekspektasi

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN 5 NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

NILAI EKSPEKTASI

Sifat-sifat Nilai Ekspektasi

1. Jika c adalah sebuah konstanta, maka E (c) = c

2. Jika c adalah sebuah konstanta dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka: E [c · u(X )] = c · E [u(X )]

3. Jika c1dan c2 adalah dua buah konstanta dan u1(X ) dan

u2(X ) adalah dua buah fungsi dari X , maka:

E [c1· u1(X ) + c2· u2(X )] = c1· E [u1(X )] + c2· E [u2(X )]

Contoh

Lihat kembali soal pada contoh 1

Hitung E (X2− 1) dan E [X (X + 1)] dengan menggunakan sifat-sifat nilai ekspektasi

12

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI 6 RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

RATAAN

Definisi

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitas dari X di x adalah f (x ), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai:

E [X ] =

Z ∞

−∞

x · f (x )dx

Misalkan fungsi densitas dari X berbentuk :

f (x ) =



20x3(1 − x ) ; 0 < x < 1

0 ; x lainnya.

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI 6 RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

RATAAN

Definisi

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan nilai fungsi densitas dari X di x adalah f (x ), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan sebagai: E [X ] = Z ∞ −∞ x · f (x )dx

Contoh

Misalkan fungsi densitas dari X berbentuk :

f (x ) =



20x3(1 − x ) ; 0 < x < 1

0 ; x lainnya.

12

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN 7 VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

VARIANS

Definisi Varians Diskrit

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f (x ) adalah nilai fungsi densitas dari X di x , maka Varians dari X didefinisikan sebagai:

Var (X ) =

Z ∞

−∞

(x − µ)2· f (x )dx

Misalnya fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk:

f (x ) =



e−x _{; x > 0}

0 ; x lainnya. Hitung Var (X )

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN 7 VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

VARIANS

Definisi Varians Diskrit

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f (x ) adalah nilai fungsi densitas dari X di x , maka Varians dari X didefinisikan sebagai:

Var (X ) =

Z ∞

−∞

(x − µ)2· f (x )dx

Contoh

Misalnya fungsi densitas dari peubah acak X berbentuk:

f (x ) =



e−x _{; x > 0}

0 ; x lainnya. Hitung Var (X )

12

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS 8 MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

MOMEN

Momen Kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f (x ) adalah nilai fungsi densitas dari X di x , maka momen ke-k (dinotasikan µ0_k ) didefinisikan sebagai :

µ0_k =

Z ∞

−∞

xk· f (x )dx

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f (x ) adalah nilai fungsi densitas dari X di x , maka momen sekitar rataan ke-k

(dinotasikan µk ) didefinisikan sebagai:

µk =

Z ∞

−∞

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS 8 MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

MOMEN

Momen Kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f (x ) adalah nilai fungsi densitas dari X di x , maka momen ke-k (dinotasikan µ0_k ) didefinisikan sebagai :

µ0_k =

Z ∞

−∞

xk· f (x )dx

Momen Sekitar Rataan Kontinu

Jika X adalah peubah acak kontinu dan f (x ) adalah nilai fungsi densitas dari X di x , maka momen sekitar rataan ke-k

(dinotasikan µk ) didefinisikan sebagai:

µk =

Z ∞

−∞

12

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS 9 MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

MOMEN

Contoh

Misalkan fungsi densitas dari X berbentuk :

f (x ) =

 2x

3 ; 1 < x < 2

0 ; x lainnya. Hitung µ0₃

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN 10 FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN KONTINU

Jika X adalah peubah acak diskrit dan f (x ) adalah fungsi densitas dari X di x , maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai:

Mx(t) =

Z ∞

−∞

12

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN 11 DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

Daftar Pustaka

I N. Herrhyanto dan T.Gantini, Pengantar Statistika Matematik, Bandung, Yrama Widya, 2009.

I J.E. Freud and R.E. Walpole,Mathematical Statistics, New Jersey,Prentice Hall Inc., 1980.

I M.R. Spiegel,Theory and Problems of Probability and Statistics, Singapore, McGraw-Hill, 1982.

Ekspektasi Satu Peubah Acak Kontinu

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN 12 DAFTAR PUSTAKA

Terima Kasih

Chandra Novtiar S.Si.,M.Si. 085794801125 chandramathitb07@gmail.com