Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit

(1)

Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit

Chandra Novtiar S.Si.,M.Si. 085794801125

chandramathitb07@gmail.com

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG

(2)

Ekspektasi Satu Peubah Acak Diskrit

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

Garis Besar Pembahasan

SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI

RATAAN VARIANS MOMEN

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA

(3)

15

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. 3 SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

Sub Pokok Pembahasan

1. Nilai Ekspektasi

2. Rataan

3. Varians

4. Momen

(4)

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. 3 SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

Sub Pokok Pembahasan

1. Nilai Ekspektasi

2. Rataan

3. Varians

4. Momen

(5)

15

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN 4 NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

NILAI EKSPEKTASI

Definisi

Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya di x adalah p(x ) dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka nilai ekspektasi dari u(X ), dinotasikan dengan E [u(x )], didefinisikan sebagai:

E [u(X )] = X

x

u(x ) · p(x )

Misalkan fungsi peluang dari peubah acak X berbentuk:

p(x ) = x

15, x = 1, 2, 3, 4, 5 Tentukan E [X2− 1] dan E[X(X+1)]

(6)

NILAI EKSPEKTASI

Definisi

Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluangnya di x adalah p(x ) dan u(X ) adalah fungsi dari X , maka nilai ekspektasi dari u(X ), dinotasikan dengan E [u(x )], didefinisikan sebagai:

E [u(X )] = X

x

u(x ) · p(x )

Contoh

Misalkan fungsi peluang dari peubah acak X berbentuk:

p(x ) = x

15, x = 1, 2, 3, 4, 5 Tentukan E [X2− 1] dan E[X(X+1)]

(7)

15

NILAI EKSPEKTASI

Sifat-sifat Nilai Ekspektasi

1. Jika c adalah sebuah konstanta, maka E (c) = c

2. Jika c adalah sebuah konstanta dan u(X ) adalah fungsi dari

X , maka: E [c · u(X )] = c · E [u(X )]

3. Jika c1dan c2 adalah dua buah konstanta dan u1(X ) dan

u2(X ) adalah dua buah fungsi dari X , maka:

E [c1· u1(X ) + c2· u2(X )] = c1· E [u1(X )] + c2· E [u2(X )]

Lihat kembali soal pada contoh 1

Hitung E (X2− 1) dan E [X (X + 1)] dengan menggunakan sifat-sifat nilai ekspektasi

(8)

NILAI EKSPEKTASI

Sifat-sifat Nilai Ekspektasi

1. Jika c adalah sebuah konstanta, maka E (c) = c

2. Jika c adalah sebuah konstanta dan u(X ) adalah fungsi dari

X , maka: E [c · u(X )] = c · E [u(X )]

3. Jika c1dan c2 adalah dua buah konstanta dan u1(X ) dan

u2(X ) adalah dua buah fungsi dari X , maka:

E [c1· u1(X ) + c2· u2(X )] = c1· E [u1(X )] + c2· E [u2(X )]

Contoh

Lihat kembali soal pada contoh 1

Hitung E (X2− 1) dan E [X (X + 1)] dengan menggunakan sifat-sifat nilai ekspektasi

(9)

15

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI 6 RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

RATAAN

Definisi

Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluang dari

X di x adalah p(x ), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan

sebagai:

E [X ] = X

x

x · p(x )

Jika Sandi melempar sebuah dadu seimbang, maka tentukan rataan dari munculnya angka pada mata dadu itu!

(10)

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI 6 RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

RATAAN

Definisi

Jika X adalah peubah acak diskrit dengan nilai fungsi peluang dari

X di x adalah p(x ), maka rataan dari peubah acak X didefinisikan

sebagai:

E [X ] = X

x

x · p(x )

Contoh

Jika Sandi melempar sebuah dadu seimbang, maka tentukan rataan dari munculnya angka pada mata dadu itu!

(11)

15

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN 7 VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

VARIANS

Definisi

Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Varians dari X didefinisikan sebagai :

Var (X ) = E [X − E [X ]]2

Var (X ) = E [X − µ]2

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x ) adalah nilai fungsi peluang dari X di x , maka Varians dari X didefinisikan sebagai:

Var (X ) = X

x

(12)

VARIANS

Definisi

Misalnya X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu. Varians dari X didefinisikan sebagai :

Var (X ) = E [X − E [X ]]2

Var (X ) = E [X − µ]2

Definisi Varians Diskrit

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x ) adalah nilai fungsi peluang dari X di x , maka Varians dari X didefinisikan sebagai:

Var (X ) = X

x

(13)

15

VARIANS

Sifat-Sifat Varians

a Jika c adalah sebuah konstanta, maka Var (c) = 0

b Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka:

Var (X + c) = Var (X )

c Jika a dan b adalah dua buah konstanta dan X adalah peubah acak, maka:

Var (aX + b) = a2· Var (X )

Misalnya distribusi peluang dari peubah acak X adalah sebagai berikut :

x 1 2 3

(14)

VARIANS

Sifat-Sifat Varians

a Jika c adalah sebuah konstanta, maka Var (c) = 0

b Jika X adalah peubah acak dan c adalah sebuah konstanta, maka:

Var (X + c) = Var (X )

c Jika a dan b adalah dua buah konstanta dan X adalah peubah acak, maka:

Var (aX + b) = a2· Var (X )

Contoh

Misalnya distribusi peluang dari peubah acak X adalah sebagai berikut :

x 1 2 3

(15)

15

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS 9 MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

MOMEN

Definisi Momen

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-k (dinotasikan dengan µ0_k) didefinisikan sebagai :

µ0k = E [Xk], k = 1, 2, 3, · · ·

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x ) adalah nilai fungsi peluang dari X di x , maka momen ke-k (dinotasikan µ0_k ) didefinisikan sebagai :

µ0k =

X

x

(16)

MOMEN

Definisi Momen

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-k (dinotasikan dengan µ0_k) didefinisikan sebagai :

µ0k = E [Xk], k = 1, 2, 3, · · ·

Momen Diskrit

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x ) adalah nilai fungsi peluang dari X di x , maka momen ke-k (dinotasikan µ0_k ) didefinisikan sebagai :

µ0k =

X

x

(17)

15

MOMEN

Momen Sekitar Rataan Diskrit

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x ) adalah nilai fungsi peluang dari X di x , maka momen sekitar rataan ke-k

(dinotasikan µk ) didefinisikan sebagai: µk =

X

x

(18)

MOMEN

Contoh

1. Berikut ini diberikan distribusi peluang dari peubah acak X

x 1 2 3 4

f (x ) 1₄ 1₈ 1₈ 1₂

Hitunglah µ0₃

2. Misalkan ufngsi peluang dari X berbentuk:

p(x ) = 1

3, x = 1, 2, 3 Hitung µ3

(19)

15

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN 12 FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Definisi

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari X (dinotasikan dengan Mx(t))

didefinisikan sebagai:

Mx(t) = E [etX] untuk −h < t < h dan h > 0

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x ) adalah fungsi peluang dari X di x , maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai:

Mx(t) = X

x

(20)

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Definisi

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka fungsi pembangkit momen dari X (dinotasikan dengan Mx(t))

didefinisikan sebagai:

Mx(t) = E [etX] untuk −h < t < h dan h > 0

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN DISKRIT

Jika X adalah peubah acak diskrit dan p(x ) adalah fungsi peluang dari X di x , maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai:

Mx(t) = X

x

(21)

15

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

PENURUNAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu dan

Mx(t) adalah fungsi pembangkit momennya, maka

Mxr(t)|t=0 = µ

0

r

Misalkan fungsi peluang dari X berbentuk :

p(x ) = 1 4C

2

x, x = 0, 1, 2

a. Tentukan fungsi pembangkit momen dari X

b. Hitung µ0₁dan µ0₂berdasarkan hasil fungsi pembangkit momen

(22)

FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

PENURUNAN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN

Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu dan

Mx(t) adalah fungsi pembangkit momennya, maka

Mxr(t)|t=0 = µ

0

r

Contoh

Misalkan fungsi peluang dari X berbentuk :

p(x ) = 1 4C

2

x, x = 0, 1, 2

a. Tentukan fungsi pembangkit momen dari X

b. Hitung µ0₁dan µ0₂ berdasarkan hasil fungsi pembangkit momen

(23)

15

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN 14 DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

Daftar Pustaka

I N. Herrhyanto dan T.Gantini, Pengantar Statistika

Matematik, Bandung, Yrama Widya, 2009.

I J.E. Freud and R.E. Walpole,Mathematical Statistics, New Jersey,Prentice Hall Inc., 1980.

I M.R. Spiegel,Theory and Problems of Probability and

(24)

Chandra Novtiar, S.Si.,M.Si. SUB POKOK PEMBAHASAN NILAI EKSPEKTASI RATAAN VARIANS MOMEN FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN 15 DAFTAR PUSTAKA 5 April 2017

Terima Kasih

Chandra Novtiar S.Si.,M.Si. 085794801125 chandramathitb07@gmail.com