Pertemuan 9 : Interpolasi 1 (P9) Interpolasi. Metode Newton Metode Spline

(1)

• Metode Newton

• Metode Spline

Interpolasi

(P9)

(2)

Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

Interpolasi Newton

• Polinomial Maclaurin dan polinomial Taylor menggunakan satu titik pusat, x

₀

untuk menghampiri suatu fungsi f(x).

• Bila lebih dari satu titik pusat yang

digunakan, misalnya : x

₀

, x

₁

, …, x

_n

, maka

hasilnya disebut polinomial Newton.

(3)

Teorema Polinomial Newton :

• Andaikan dan

untuk k = 0, 1, …, n mempunyai nilai-nilai yang berbeda, maka

dengan adalah polinomial yang

dapat dipakai untuk mendekati f(x) :

(4)

• Polinomial Newton melalui (n+1) titik

yaitu untuk k = 0, 1, …, n.

• Sisaan berbentuk :

untuk beberapa c yang terletak pada interval

[a,b]. Koefisien a

_i

dikonstruksi menggunakan beda bagi

(divided difference).

(5)

• Kurva berikut memberikan ilustrasi suatu

polinomial Newton derajat 3.

(6)

Beda bagi (Divided Difference) Orde I.

• Bila diberikan sembarang fungsi f(x) dan 2 titik, x

₀

dan x

₁

, Beda bagi orde pertama dari

suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut :

• Menggunakan teorema nilai antara :

untuk nilai c antara x

₀

dan x

₁

,

(7)

• Lebih jauh dapat ditunjukkan bahwa

• Beda bagi orde dua untuk tiga titik yang

berbeda, x

₀

, x

₁

dan x

₂

didefinisikan sebagai :

(8)

• Dari sini dapat ditunjukkan bahwa untuk nilai c antara x

₀

dan x

₂

,

• Bila maka

(9)

Contoh:

Bila x

₀

=1.0, x

₁

=1.1 dan x

₂

=1.2, maka:

(10)

Sebagai perbandingan:

Contoh:

maka tabel beda bagi dapat dikonstruksi sbb:

(11)

dengan:

(12)

• Menggunakan pendekatan polinomial Newton,

contoh di atas menghasilkan

(13)

• Buat polinomial Newton derajat

n = 1, 2, 3, 4, 5 untuk menghampiri fungsi f(x) = cos(x) pada interval [x

₀

, x

_n

] = [0, 1], dengan partisi yang sama.

Contoh:

 

  ^ ^ ^ ^ ^{ } ^

 ⁰ ^. ⁶ ^, ⁽ ⁰ ^. ⁶ ⁾   ^, ⁰ ^. ⁸ ^, ⁽ ⁰ ^. ⁸ ⁾   ^, ¹ ^, ⁽ ¹ ⁾ 

, ) 4 . 0 ( , 4 . 0 , ) 2 . 0 ( , 2 . 0 , ) 0 ( , 0 ,

⁵ ₀

f f

f

f f

f y

x

_k _k _k_



(14)

Jawab:

Gunakan {{0, 1},{0.2, 0.980067}} untuk mengonstruksi

polinomial interpolasi Newton derajat 1,

(15)

Bila digunakan {{0,1},{0.2, 0.980067},{0.4, 0.921061}}

pada interval [0, 0.4]. Hasilnya adalah:

(16)

Bila digunakan 4 titik, {{0, 1},{0.2, 0.980067},

{0.4, 0.921061},{0.6, 0.825336}} pada interval [0, 0.6]

diperoleh polinomial derajat 3 berikut :

(17)

Bila digunakan 5 titik, {{0, 1},{0.2, 0.980067},

{0.4, 0.921061},{0.6, 0.825336}, {0.8, 0.696707} } pada

interval [0, 0.8] diperoleh polinomial derajat 4 berikut :

(18)

(19)

melibatkan 30 perkalian, dan sampai 35 penjumlahan atau pengurangan

(20)

• Secara umum, polinomial Lagrange derajat n memerlukan n(n+1) perkalian serta n(n+2) penjumlahan dan pengurangan, sedangkan polinomial Newton derajat n memerlukan

n(n+1)/2 perkalian serta n(n+3)/2 penjumlahan dan pengurangan.

• Jadi mana yang lebih efisien?

(21)

Teorema Batas Kesalahan

• Andaikan f(x) didefinisikan pada [a, b] yang memuat partisi yang sama

• Andaikan pula f dan turunan f sampai orde (n+1) kontinyu serta terbatas pada

subinterval [x

₀

, x

₁

], [x

₀

, x

₂

], [x

₀

, x

₃

], [x

₀

, x

₄

], dan [x

₀

, x

₅

], yaitu

| f

⁽ⁿ⁺¹⁾

(x) | ≤ M

_(n+1)

untuk

x < x < x dengan n = 1, 2, 3, 4, 5.

(22)

Faktor kesalahan yang bersesuaian dengan

kasus-kasus tersebut memiliki batas atas berikut

utk

(23)

untuk

(24)

• Selidiki kesalahan yang timbul akibat

penggunaan metode hampiran Newton orde n = 1, 2, 3, 4, dan 5 pada contoh di atas.

Jawab: untuk n=1, gunakan [0,0.2 ]

Kesalahan yang terjadi : e

₁

(x) = f(x) – P

₁

(x),

(25)

(26)

Jawab: untuk n=2, gunakan [0,0.4 ]

Kesalahan yang terjadi : e

₂

(x) = f(x) – P

₂

(x),

(27)

(28)

Jawab: untuk n=3, gunakan [0,0.6 ]

Kesalahan yang terjadi : e

₃

(x) = f(x) – P

₃

(x),

(29)

(30)

Jawab: untuk n=4, gunakan [0,0.8]

Kesalahan yang terjadi : e

₄

(x) = f(x) – P

₄

(x),

(31)

(32)

Jawab: untuk n=5, gunakan [0,1]

Kesalahan yang terjadi : e

₅

(x) = f(x) – P

₅

(x),

(33)

(34)

Interpolasi Spline:

• Apabila ingin dilakukan interpolasi pada data

dalam tabel berikut :

(35)

• Salah satu cara adalah dengan membuat interpolasi linear pada setiap segmen data seperti berikut :

• Namun cara ini akan menimbulkan sudut pada setiap

(36)

kuadratik pada setiap segmen

(37)

• Atau dengan menggunakan interpolasi

polinomial seperti berikut :

(38)

Interpolasi menggunakan Piecewise Polynomial

• untuk fitting jumlah data yang banyak.

• untuk menghindari penggunaan polinomial derajat tinggi

• bermanfaat, al. fitting data dapat dilakukan dengan polinomial derajat rendah.

• Menggunakan fungsi interpolant berbeda pada setiap sub-interval

• Titik disebut knots atau breakpoints

• Contoh: piecewise linear,

Hermite interpolation

(39)

Contoh:

Agar diperoleh solusi yang unik, jumlah parameter harus sama dengan jumlah

persamaan.

dengan n knots mempunyai 4(n-1) parameter

yang harus ditentukan

(40)

• 2(n-1) persamaan dari plot data

• (n-2) persamaan dari syarat kekontinuan turunan pertama

• n persamaan lainnya bisa untuk persyaratan tambahan

• 3(n-4) persamaan spt pada Interpolasi Hermite

• (n-2) persamaan dari syarat kekontinuan turunan kedua

• 2 persamaan lainnya bebas

(41)

Contoh Tentukan interpolasi cubic spline dari titik

di di

Delapan parameter yang akan ditentukan:

Delapan persamaan yang akan digunakan:

(42)

(43)

• Hermite Cubic mengutamakan kemonotonan

(44)

• Cubic Spline mengutamakan kemulusan

(45)

: Piecewise constant : Piecewise linear

: Piecewise quadratic

(46)

(47)

(48)

Pertemuan 9 : Interpolasi 1 (P9) Interpolasi. Metode Newton Metode Spline

• Metode Newton

• Metode Spline

Interpolasi

(P9)

Interpolasi Newton

• Polinomial Maclaurin dan polinomial Taylor menggunakan satu titik pusat, x

untuk menghampiri suatu fungsi f(x).

• Bila lebih dari satu titik pusat yang

digunakan, misalnya : x

, x

, …, x

, maka

hasilnya disebut polinomial Newton.

Teorema Polinomial Newton :

• Andaikan dan

untuk k = 0, 1, …, n mempunyai nilai-nilai yang berbeda, maka

dengan adalah polinomial yang

dapat dipakai untuk mendekati f(x) :

• Polinomial Newton melalui (n+1) titik

yaitu untuk k = 0, 1, …, n.

• Sisaan berbentuk :

untuk beberapa c yang terletak pada interval

[a,b]. Koefisien a

dikonstruksi menggunakan beda bagi

(divided difference).

• Kurva berikut memberikan ilustrasi suatu

polinomial Newton derajat 3.

Beda bagi (Divided Difference) Orde I.

• Bila diberikan sembarang fungsi f(x) dan 2 titik, x

dan x

, Beda bagi orde pertama dari

suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut :

• Menggunakan teorema nilai antara :

untuk nilai c antara x

dan x

,

• Lebih jauh dapat ditunjukkan bahwa

• Beda bagi orde dua untuk tiga titik yang

berbeda, x

, x

dan x

didefinisikan sebagai :

• Dari sini dapat ditunjukkan bahwa untuk nilai c antara x

dan x

,

• Bila maka

Contoh:

Bila x

=1.0, x

=1.1 dan x

=1.2, maka:

Sebagai perbandingan:

Contoh:

maka tabel beda bagi dapat dikonstruksi sbb:

dengan:

• Menggunakan pendekatan polinomial Newton,

contoh di atas menghasilkan

• Buat polinomial Newton derajat

n = 1, 2, 3, 4, 5 untuk menghampiri fungsi f(x) = cos(x) pada interval [x

, x

] = [0, 1], dengan partisi yang sama.

Contoh:

 

        

 0 . 6 , ( 0 . 6 )   , 0 . 8 , ( 0 . 8 )   , 1 , ( 1 ) 

, ) 4 . 0 ( , 4 . 0 , ) 2 . 0 ( , 2 . 0 , ) 0 ( , 0 ,

f f

f

f f

f y

x



Jawab:

Gunakan {{0, 1},{0.2, 0.980067}} untuk mengonstruksi

polinomial interpolasi Newton derajat 1,

Bila digunakan {{0,1},{0.2, 0.980067},{0.4, 0.921061}}

pada interval [0, 0.4]. Hasilnya adalah:

Bila digunakan 4 titik, {{0, 1},{0.2, 0.980067},

{0.4, 0.921061},{0.6, 0.825336}} pada interval [0, 0.6]

  ^ ^ ^ ^ ^{ } ^

 ⁰ ^. ⁶ ^, ⁽ ⁰ ^. ⁶ ⁾   ^, ⁰ ^. ⁸ ^, ⁽ ⁰ ^. ⁸ ⁾   ^, ¹ ^, ⁽ ¹ ⁾ 