i
PEMODELAN MATEMATIS EPIDEMI HIV/AIDS YANG MELIBATKAN PERAWATAN DAN PENYELESAIAN NUMERISNYA MENGGUNAKAN
METODE ADAMS-BASHFORTH
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Disusun Oleh:
Ribkha Darmawan NIM: 183114019
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2022
ii
MATHEMATICAL MODELING EPIDEMIC HIV/AIDS WITH TREATMENT AND USING ADAMS-BASHFORTH METHOD FOR
NUMERICAL SOLUTION
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika Mathematics Study Program
Written by:
Ribkha Darmawan Student Number: 183114019
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA
2022
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
“For I know the plans I have for you declares the LORD, plans to prosper you and not to harm you, plans to give you hope and a future” (Jeremiah 29:11)
“If you want to go fast, go alone. If you want to go far, go together.”- African Proverbs
Tugas akhir ini dipersembahkan untuk Tuhan Yesus Kristus dan keluarga tercinta.
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam daftar Pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 17 Januari 2022
Ribkha Darmawan
vii
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan dibawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Ribkha Darmawan NIM : 183114019
Untuk membantu perkembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
PEMODELAN MATEMATIS EPIDEMI HIV/AIDS YANG MELIBATKAN PERAWATAN DAN PENYELESAIAN NUMERISNYA MENGGUNAKAN
METODE ADAMS-BASHFORTH
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalih ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya, Dibuat di Yogyakarta,
Pada tanggal 17 Januari 2022 Yang menyatakan,
Ribkha Darmawan
viii ABSTRAK
Skripsi ini membahas tentang model matematis epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan yang mempertimbangkan beberapa populasi yaitu jumlah individu yang rentan (𝑆), jumlah individu yang terinfeksi HIV dan masih dalam tahap positif HIV (𝐼), jumlah individu yang positif AIDS namun tidak mendapatkan perawatan antiretroviral (𝐴), jumlah individu yang mendapatkan perawatan (𝑇) dan jumlah individu yang merubah kebiasaan seksual menjadi lebih aman sehingga kebal terhadap infeksi HIV melalui kontak seksual (𝑅) dengan kata lain model yang digunakan pada skripsi ini berupa model 𝑆𝐼𝐴𝑇𝑅. HIV merupakan virus yang menyerang sel CD4 pada manusia sehingga kekebalan tubuh menjadi melemah.
AIDS merupakan sindrom yang disebabkan oleh HIV. HIV/AIDS dapat ditularkan dengan berbagai cara yaitu kontak seksual, transfusi darah, dan transmisi vertikal.
Individu yang terinfeksi HIV harus mendapatkan perawatan berupa terapi antiretroviral. Pada skripsi ini telah dilakukan analisis dan berdasarkan hasil analisis, model memiliki dua titik ekuilibrium yaitu titik ekuilibrium bebas penyakit dan endemik. Berdasarkan analisis kestabilan dapat dilihat bahwa jika 𝑅0 < 1 maka titik ekuilibrium bebas penyakit bersifat stabil asimtotik global dan jika 𝑅0 > 1 maka titik ekuilibrium endemik bersifat stabil asimtotik global.
Kata kunci: HIV, AIDS, antiretroviral, titik ekuilibrium, kestabilan global
ix ABSTRACT
This thesis discusses a mathematical model of Epidemic HIV/AIDS with Treatment that considers several populations i.e the number of susceptible patient (𝑆), the number of HIV-positive individuals in the stage of HIV infection (𝐼), the number of individuals with full-blown AIDS but not receiving ARV treatment (𝐴), the number of individuals being treated (𝑇), the number of individuals who have changed their sexual habits sufficiently such that they are literarily immune to HIV infection by sexual contact (𝑅) in other words the model in this thesis is a 𝑆𝐼𝐴𝑇𝑅 model. HIV is a virus targets CD4 cells in humans and weakens the immune system.
AIDS is a syndrome caused by HIV. HIV/AIDS can be transmitted in a variety of ways: sexual contact, blood transfer, and vertical transmission. HIV-positive individuals should receive antiretroviral treatment. In this thesis has been analyzed and based on analytical results, the model has two equilibrium points: the disease free equilibrium and the endemic equilibrium point. Based on stability analysis it shows that if 𝑅0 < 1 then the disease free equilibrium point is globally asymptotically stable and if 𝑅0 > 1 then the endemic equilibrium point is globally asymptotically stable.
Keywords: HIV, AIDS, antiretroviral, equilibrium point, global stability
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa atas berkat dan kasih karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul
“Pemodelan Matematis Epidemi HIV/AIDS yang Melibatkan Perawatan dan Penyelesaian Numerisnya Menggunakan Metode Adams-Bashforth”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma. Penulis menyadari bahwa penyusunan tugas akhir ini tidak lepas dari bantuan banyak pihak. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkank terima kasih kepada:
1. Bapak Prof. Ir. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dosen pembimbing tugas akhir dan Dekan Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma atas bimbingan, saran dan kesabaran yang diberikan dalam membantu penulis untuk menyelesaikan skripsi ini.
2. Ibu Maria V. A. Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik yang telah membantu kesulitan penulis dalam pembelajaran, motivasi dan saran bagi penulis selama berdinamika pada Program Studi Matematika.
3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., Bapak Ig.
Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, M.Si., Ibu Dr.
Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si, dan Bapak Ricky Aditya M.Sc. selaku dosen-dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan serta membantu kesulitan penulis selama belajar di Program Studi Matematika
4. Orang tua saya tercinta Mami Fellena, Papi R. I. Maulana yang selalu memberikan dukungan baik doa, cinta, motivasi, ekonomi, bantuan lainnya.
5. Kakak saya tercinta Shanny Darmawan dan adik saya tercinta Renata Milena Putri yang selalu menjadi tempat keluh kesah saya selama ini dalam menyusun tugas akhir dan selalu memberikan dukungan.
6. Keluarga besar Oey dan Ong atas doa dan dukungan yang telah diberikan.
xi
7. Kak Marisa Tambun, Dea, segenap keluarga komsel GBI MS Yogyakarta dan ci Ayu Wahyuni selaku saudara dan saudari rohani yang selalu memberi dukungan, motivasi di setiap kegelisahan saya dan selalu memberi dukungan doa.
8. Sahabat-sahabat saya Michelle Leony, Velia Hidayat, Verina Tricia, Reynaldo Stefanus, Dison Rony, Amel Boy, Rendy Blues, Chika Desy, Erick Sonjaya, Diana Octaviani, Tri Putri Br Samosir, Rachellia N, Feronika Yuliana Br Nainggolan, Mega Intan Naibaho, Tassya Gani, Monica Maya, kak Aryo, ci Austin yang selalu setia menemani perjalanan penulis dari awal perkuliahan hingga skripsi ini selesai.
9. Teman-teman Program studi Matematika atas kebersamaan dan kekompakkan selama masa perkuliahan dan semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Penulis berharap agar segala bentuk bantuan dan perhatian yang diberikan kepada penulis mendapat balasan dari Tuhan yang Maha Esa. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih terdapat kekurangan tetapi besar harapan penulis agar tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Yogyakarta, 17 Januari 2022 Penulis,
Ribkha Darmawan
xii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... vii
ABSTRAK ... viii
ABSTRACT ... ix
KATA PENGANTAR ... x
DAFTAR ISI ... xii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
A. Latar Belakang ... 1
B. Rumusan Masalah ... 4
C. Batasan Masalah... 4
D. Tujuan Penulisan ... 4
E. Manfaat Penulisan ... 5
F. Metode Penelitian... 5
G. Sistematika Penulisan ... 5
BAB II HIV/AIDS DAN TOPIK TERKAIT ... 7
A. HIV/AIDS ... 7
xiii
B. Persaman Diferensial ... 9
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 12
D. Matriks Jacobi ... 13
E. Definisi dan Jenis-jenis Model Matematika ... 14
F. Titik ekuilibrium ... 20
G. Analisis Kestabilan Lokal ... 20
H. Kriteria Routh-Hurwitz ... 23
I. Fungsi Lyapunov ... 25
J. Prinsip Invarian LaSalle ... 26
K. Bilangan Reproduksi Dasar ... 27
L. Matriks Generasi Berikutnya ... 27
M. Metode Runge Kutta Orde Empat... 28
N. Metode Adams-Bashforth dan Penurunanya ... 31
BAB III PEMODELAN MATEMATIS EPIDEMI HIV/AIDS YANG MELIBATKAN PERAWATAN.. ... 35
A. Asumsi-Asumsi yang Digunakan ... 35
B. Penyusunan Model Epidemi HIV/AIDS yang Melibatkan Perawatan ... 39
C. Analisis Titik Ekuilibrium dan Bilangan Reproduksi Dasar ... 48
D. Keberadaan Titik Ekuilibrium Endemik ... 58
E. Analisis Kestabilan Lokal Titik Ekuilibrium ... 60
F. Analisis Kestabilan Global Titik Ekuilibrium... 67
BAB IV PENYELESAIAN NUMERIS MODEL MATEMATIS EPIDEMI HIV/AIDS YANG MELIBATKAN PERAWATAN ... 74
A. Skema Numeris Adams-Bashforth untuk penyebaran HIV/AIDS yang melibatkan perawatan ... 74
B. Hasil Simulasi ... 77
xiv
BAB V KESIMPULAN ... 95
A. Kesimpulan ... 95
B. Saran ... 96
DAFTAR PUSTAKA ... 97
LAMPIRAN ... 99
1 BAB I PENDAHULUAN
Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penelitian dan sistematika penulisan pada skripsi ini.
A. Latar Belakang
Human immunodeficiency virus (HIV) adalah virus yang menyerang sel-sel sistem kekebalan tubuh yang disebut sel CD4. Di dalam sel CD4, HIV berkembang dengan tujuan untuk menghancurkan dan merusak sel tersebut sehingga sistem kekebalan tubuh akan terus melemah dan tubuh tidak dapat melawan infeksi dari penyakit (World Health Organization, 2020). Hal tersebut mengakibatkan kerentanan tubuh terhadap kanker dan penyakit lainnya. Acquired immunodeficiency syndrome (AIDS) merupakan tahap lanjut infeksi HIV yang tidak dapat disembuhkan. Beberapa tahapan individu terinfeksi HIV sebelum positif AIDS:
1. Tahap pertama, munculnya gejala-gejala seperti influenza;
2. Tahap kedua (asimtomatis), saat tes infeksi HIV dilakukan akan menunjukkan hasil yang positif;
3. Tahap ketiga (simtomatis), muncul gejala-gejala infeksi seperti diare, flu yang tak kunjung sembuh, pembengkakan limfa karena sistem kekebalan tubuh yang semakin menurun;
4. Tahap terakhir, berkurangnya sel CD4 akibat infeksi HIV hingga 200 sel/mm3 individu yang sudah mengalami tahap akhir akan didiagnosis positif AIDS.
Untuk mengurangi risiko penularan dan pervalensi penyakit, pasien yang terinfeksi HIV dapat menerima perawatan berupa pengobatan antiretroviral sebelum menjadi pasien AIDS serta merubah kebiasaan seksual. Pasien yang merubah kebiasaan seksual tidak berarti bahwa mereka tidak terlibat dalam kegiatan seksual, melainkan pasien tetap setia kepada satu pasangan dan menghindari ekstra-perkawinan (Yusuf and Benyah, 2012). Pengobatan HIV/AIDS
dikhususkan pada pemberian simultan dua atau lebih obat antivirus, biasanya dipilih dari dua kelas utama yaitu reverse transcriptase inhibitors (RTIs) dan protease inhibitor (PIs) (Huo et al., 2016). Dengan pengobatan antiretroviral, pasien yang terinfeksi dapat mempertahankan kelangsungan hidup lebih lama dan terbebas dari gejala HIV serta dapat meningkatkan kualitas hidup. Penularan HIV/AIDS disebabkan oleh kegiatan seksual, transmisi vertikal, ditularkan oleh ibu kepada anaknya saat fase melahirkan dan menyusui. Gejala penyakit HIV dapat berkembang dalam kurun waktu 5-10 tahun atau bahkan lebih awal. Sedangkan penularan HIV dan diagnosis AIDS berada dalam kurun waktu 10-15 tahun atau bahkan lebih lambat.
Dalam tugas akhir ini, penulis akan membahas epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan karena HIV/AIDS merupakan salah satu penyakit mematikan dan menjadi masalah di bidang kesehatan yang mendunia dengan total penderita yang meninggal sebanyak 33 juta orang (World Health Organization, 2020). Dalam tugas akhir ini, model yang menggambarkan epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan terdiri dari lima populasi yaitu jumlah individu yang rentan 𝑆(𝑡), jumlah individu yang positif HIV dan dalam tahap infeksi HIV 𝐼(𝑡), jumlah individu yang positif AIDS tetapi tidak menerima perawatan 𝐴(𝑡), jumlah individu yang mendapatkan perawatan 𝑇(𝑡) dan jumlah individu yang telah mengubah kebiasaan seksual secara aman sehingga kebal terhadap infeksi HIV melalui kontak seksual 𝑅(𝑡). Lima populasi tersebut dituangkan dalam persamaan jumlah populasi 𝑁(𝑡) sebagai berikut:
𝑁(𝑡) = 𝑆(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝐴(𝑡) + 𝑇(𝑡) + 𝑅(𝑡), (1.1) dengan,
𝑆̇ = Λ − 𝛽𝐼𝑆 − 𝜇1𝑆 − 𝑑𝑆,
𝐼̇ = 𝛽𝐼𝑆 + 𝛼1𝑇 − 𝑑𝐼 − 𝑘1𝐼 − 𝑘2𝐼, 𝐴̇ = 𝑘1𝐼 − (𝛿1 + 𝑑)𝐴 + 𝛼2𝑇, 𝑇̇ = 𝑘2𝐼 − 𝛼1𝑇 − (𝑑 + 𝛿2 + 𝛼2)𝑇, 𝑅̇ = 𝜇1𝑆 − 𝑑𝑅.
(1.2)
Keterangan parameter dalam model ini dijelaskan pada Tabel 1.1 Tabel 1.1 Keterangan parameter yang digunakan dalam pemodelan
Parameter Keterangan
Λ Laju rekrutmen
𝛽 Laju interaksi antara 𝑆 dan 𝐼
𝜇1 Laju perubahan kebiasaan seksual 𝑆
𝑑 Laju kematian alami
𝛼1 Laju perubahan 𝑇 ke 𝐼
𝛼2 Laju perubahan 𝑇 ke 𝐴
Laju perubahan 𝐼 ke 𝐴 Laju perubahan 𝐼 ke 𝑇
𝛿1 Laju kematian akibat 𝐴
𝛿2 Laju kematian akibat 𝑇
Seluruh parameter dalam persamaan tersebut adalah positif. Model tersebut disajikan di dalam Gambar 1.1 dengan memperhatikan arah anak panah.
Gambar 1.1 Model Epidemi HIV/AIDS yang Melibatkan Perawatan
Λ
S
T
A
I R
𝛽𝑆𝐼 𝑘1𝐼
𝑑𝑆 𝑑𝐼 (𝛿1+ 𝑑)𝐴 𝑑𝑅
(𝛿2+ 𝑑)𝑇 𝛼2𝑇 𝛼1𝑇
𝜇1𝑆
𝑘2𝐼
Untuk menyelesaikan persamaan tersebut, akan digunakan metode Adams- Bashforth, yang merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan memiliki akurasi yang tinggi.
Penyelesaian disekitar 𝑥𝑛 menggunakan metode Adams-Bashforth didefinisikan dengan
𝑦𝑛 = 𝑦𝑛−1+ ℎ(𝛽1𝑓(𝑥𝑛−1, 𝑦𝑛−1) + 𝛽2𝑓(𝑥𝑛−2, 𝑦𝑛−2) + ⋯ + 𝛽𝑘𝑓(𝑥𝑛−𝑘, 𝑦𝑛−𝑘)) dimana 𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑘 dipilih agar memberikan perkiraan hasil dengan akurasi yang tinggi (Butcher, 2016).
B. Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas pada skripsi ini adalah:
1. Bagaimana model matematis penyebaran HIV/AIDS dengan perawatan?
2. Bagaimana penyelesaian model matematis penyebaran HIV/AIDS dengan melibatkan perawatan menggunakan metode Adams-Bashforth?
C. Batasan Masalah
Pembahasan skripsi dibatasi pada masalah epidemi HIV/AIDS melibatkan pengobatan antiretroviral dengan lima populasi, penyelesaian numeris model epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan menggunakan metode Adams- Bashforth serta data yang digunakan dalam skripsi ini tidak divalidasi dengan data di dunia nyata.
D. Tujuan Penulisan
Berdasarkan rumusan masalah, tujuan penulisan skripsi ini adalah:
1. Memperoleh model matematis epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan, menyelesaikan model, menentukan titik kesetimbangan model dan menganalisis kestabilan lokal serta kestabilan global titik kesetimbangan model.
2. Memaparkan penyelesaian model matematis dan simulasinya.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah penulis akan memperoleh penyelesaian model matematis epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan.
Penyelesaian model ini diharapkan dapat membantu menyelesaikan masalah- masalah dalam bidang kesehatan, terutama menunjukkan pentingnya pasien yang terinfeksi HIV/AIDS untuk mendapatkan perawatan.
F. Metode Penelitian
Metode penelitian yang akan digunakan dalam skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari dan membaca artikel, jurnal, buku yang berkaitan dengan epidemi HIV/AIDS. Akan dilakukan praktik pemrograman komputer Python untuk grafik simulasi numeris epidemi HIV/AIDS.
G. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penelitian G. Sistematika Penulisan
BAB II HIV/AIDS DAN TOPIK TERKAIT A. HIV/AIDS
B. Persamaan Diferensial
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen D. Matriks Jacobi
E. Definisi dan Jenis-Jenis Model Matematika F. Titik Ekuilibrium
G. Analisis Kestabilan Lokal H. Kriteria Routh-Hurwirtz I. Fungsi Lyapunnov J. Prinsip Invarian Lasalle K. Matriks Generasi Berikutnya L. Bilangan Reproduksi Dasar M. Metode Runge Kutta Orde Empat
N. Metode Adams-Bashforth dan Penurunannya
BAB III PEMODELAN MATEMATIS EPIDEMI HIV/AIDS YANG MELIBATKAN PERAWATAN
A. Asumsi-Asumsi yang digunakan B. Penyusunan Model
C. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium
BAB IV PENYELESAIAN NUMERIS MODEL MATEMATIKA A. Skema Metode Adams-Bashforth Untuk Epidemi HIV/AIDS B. Hasil Simulasi
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
7 BAB II
HIV/AIDS DAN TOPIK TERKAIT
Pada bagian ini akan dijelaskan landasan materi yang digunakan dalam menyusun skripsi yaitu HIV/AIDS, persamaan diferensial, matriks jacobi, nilai eigen dan vektor eigen, model matematika, analisis titik kestabilan ekuilibrium dan titik kestabilan global, kriteria Routh-Hurwirtz, fungsi Lyapunnov, prinsip invariant LaSalle, matriks generasi berikutnya, bilangan reproduksi dasar, matriks generasi berikutnya, metode Adams-Bashforth dan penurunannya.
A. HIV/AIDS
Human immunodeficiency virus (HIV) adalah virus yang menyerang sel-sel sistem kekebalan tubuh. Sel darah putih yang merupakan bagian penting dari sistem kekebalan tubuh disebut sebagai sel CD4. Tujuan virus HIV yaitu berkembang dan menyerang sistem kekebalan tubuh manusia sehingga kekebalan tubuh akan melemah dan tubuh manusia tidak dapat melawan infeksi dari penyakit. Virus ini dapat ditularkan melalui hubungan seksual, transufsi darah, transmisi vertikal, dan lainnya. Virus HIV memiliki genetik yaitu RNA (ribonucleic acid) dan dikenal sebagai retrovirus karena mengubah urutan pembentukan genetik pada tubuh manusia yaitu DNA (deoxyribonucleic acid) menjadi RNA oleh enzim reverse transcriptase. HIV dikenal sebagai lentivirus atau virus yang dapat menyebabkan infeksi secara lambat sehingga menimbulkan suatu penyakit dalam jangka waktu yang cukup lama serta dapat mempengaruhi kinerja otak dan sistem kekebalan tubuh. Virus HIV dapat bereproduksi apabila menyerang sel, kemudian didalam sel tersebut virus akan berkembang biak dengan cara merubah RNA menjadi DNA dan membuat RNA menjadi lebih banyak. Proses perubahan RNA menjadi DNA kemudian kembali menjadi RNA bersifat signifikan sehingga sulit untuk melawan virus tersebut. Setelah berhasil terbentuk, salinan atau partikel virus keluar dari sel kemudian menghancurkan sel tersebut dan menginfeksi sel-sel lainnya (Whiteside, 2016).
Jumlah sel CD4 dapat diukur dengan tes darah khusus. Jumlah sel CD4 pada orang normal adalah ± 500 − 1.500 per mm3 namun setelah terinfeksi HIV jumlah sel CD4 akan menurun terus menerus hingga dibawah 200 per mm3. Jika jumlah sel CD4 dibawah 200 per mm3 maka sistem kekebalan tubuh dapat dikatakan cukup lemah dan rusak. (Murni dkk, 2016).
HIV dapat menular melalui darah, air susu ibu, cairan vagina dan air mani.
Penularan virus juga dapat menyebar melalui jarum suntik yang digunakan secara bergantian dengan individu yang terinfeksi HIV, menerima transfuse darah dari pendonor yang terinfeksi HIV, melalui kegiatan seksual yang memungkinkan darah, cairan vagina dan air mani dari individu yang terinfeksi HIV masuk ke ke aliran darah individu yang belum terinfeksi atau rentan (kegiatan seksual yang dilakukan tanpa pengaman melalui vagina, dubur atau mulut), melalui ibu yang terinfeksi HIV ke bayi yang dikandung, saat fase melahirkan dan menyusui.
Acquired immune deficiency syndrome (AIDS) adalah tahap lanjut infeksi HIV atau sindrom dengan berbagai gejala dan infeksi yang terkait dengan menurunnya sistem kekebalan tubuh. AIDS akan muncul setelah HIV menyerang sistem kekebalan tubuh dalam jangka waktu 5-10 tahun atau lebih. Penyakit lainnya akan timbul karena sistem kekebalan tubuh yang menjadi lemah. Berbagai infeksi penyakit yang disebabkan oleh tahapan HIV adalah indikator bahwa HIV telah berkembang menjadi AIDS. Beberapa tahapan infeksi HIV menurut Word Health Organization yaitu:
1. Tahap pertama, penyakit HIV belum dikategorikan sebagai AIDS tetapi sudah muncul gejala ringan seperti influenza
2. Tahap kedua, disebut sebagai tahap asimtomatis pada tahap ini jika dilakukan tes infeksi HIV maka akan menunjukkan hasil yang positif selain itu, muncul infeksi-infeksi saluran pernapasan bagian atas yang tidak kunjung sembuh 3. Tahap ketiga, disebut sebagai tahap simtomatis munculnya infeksi bakteri yang
parah, diare kronis yang tidak diketahui penyebabnya, pembengkakan limfa, flu hingga TBC paru-paru.
4. Tahap terakhir, menurunnya jumlah sel CD-4 dalam tubuh hingga mencapai 200 per mm3 sehingga sistem kekebalan tubuh menjadi rusak dan mengakibatkan
munculnya penyakit parasit pada otak (toksoplasmosis), infeksi jamur kandida pasa saluran tenggorokan (kandidiasis), saluran pernapasan, batang saluran paru- paru hingga paru-paru.
Untuk mencegah penyebaran HIV dapat dilakukan berbagai macam cara yaitu dengan menghindari penggunaan jarum suntik lebih dari satu kali, menggunakan pengaman saat melakukan kegiatan seksual, mengubah kebiasaan seksual menjadi secara aman dan menghindari ekstra perkawinan. Selain itu, individu yang terinfeksi dapat melakukan perawatan berupa terapi antiretroviral.
B. Persaman Diferensial
Pesamaaan diferensial merupakan cabang ilmu matematika modern yang cukup penting. Persamaan diferensial berdasarkan variabel bebasnya terbagi menjadi beberapa macam yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Berikutnya akan dibahas pengertian pesamaan diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial sebagai berikut
1. Persamaan Diferensial
Dalam bagian ini akan dijelaskan mengenai defisini persamaan diferensial dan contohnya.
Definisi 2.1
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif (turunan) variabel terikat terhadap variabel bebas.
Contoh 2.1
Berikut adalah beberapa contoh dari persamaan diferensial:
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 𝑟𝑣 (2.1)
dimana 𝑣 merupakan variabel terikat dan 𝑡 merupakan variabel bebas 𝑑
𝑑𝑦(𝑒𝑥𝑦) = 𝑥𝑒𝑥𝑦 (2.2)
dimana 𝑦 merupakan variabel bebas dan 𝑥 adalah variabel terikat
𝑑
𝑑𝑦(𝑎𝑏) = 𝑎𝑑𝑏
𝑑𝑦+ 𝑏𝑑𝑎 𝑑𝑦
(2.3)
dimana 𝑎, 𝑏 merupakan variabel terikat dan 𝑦 merupakan variabel bebas 2. Persamaan Diferensial Biasa
Definisi 2.2
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang memuat turunan biasa dari satu atau lebih variabel terikat bergantung dengan satu variabel bebas (Ross, 1984).
3. Persamaan Diferensial Parsial
Dalam bagian ini akan djelaskan mengenai pengertian persamaan diferensial parsial beserta contohnya.
Definisi 2.3
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang memuat turunan dari banyak/tunggal variabel terikat dengan lebih dari satu variabel bebas (Ross, 1984).
Contoh 2.3
Diberikan contoh persamaan diferensial parsial sebagai berikut:
𝑎𝑈𝑥+ 𝑏𝑈𝑦 = 0 (2.4)
𝑈𝑥𝑥+ 𝑈𝑦𝑦 = 0 (2.5)
4. Tingkat/Orde Persamaan Diferensial Definisi 2.4
Orde dari persamaan diferensial ditentukan berdasarkan turunan tertinggi dari persamaan diferensial tersebut (Boyce dan Diprima, 2012).
Contoh 2.4
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 5𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 6𝑦 = 0 (2.6)
Persamaan diatas merupakan persamaan diferensial biasa orde dua karena turunan tertinggi pada persamaan tersebut adalah dua.
5. Persamaan Diferensial Linear Orde-𝒏
Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi persamaan diferensial linear orde ke-𝑛 beserta contohnya.
Definisi 2.5
Persamaan diferensial linear orde-𝑛 dengan variabel terikat 𝑦 dan variabel bebas 𝑥 memiliki bentuk umum sebagai berikut
𝑎0(𝑥)𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛 + 𝑎1(𝑥)𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥), (2.7)
dengan 𝑎0 ≠ 0 (Ross, 1984).
Contoh 2.5
Pada persamaan (2.6) adalah contoh persamaan diferensial linear orde-𝑛 dengan 𝑛 = 2.
6. Persamaan Diferensial Nonlinear
Persamaan diferensial nonlinear merupakan persamaan diferensial biasa yang tidak linear.
Contoh 2.6
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2+ 5 (𝑑𝑦 𝑑𝑥)
3
+ 6𝑦 = 0 (2.8)
Persamaan (2.8) nonlinear karena terdapat turunan orde pertama yang dipangkatkan 3 yaitu (𝑑𝑦
𝑑𝑥)3 Contoh 2.7
𝑑2𝑥
𝑑𝑦2+ 5𝑑𝑥
𝑑𝑦+ 3𝑥2 = 0 (2.9)
Persamaan (2.9) nonlinear karena variabel terikat 𝑥 memiliki derajat lebih dari satu yaitu pada 3𝑥2.
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Pada bagian ini akan dibahas mengenai nilai eigen, vektor eigen dan contohnya dengan acuan buku karangan Anton and Rorres (2014).
Definisi 2.6
Jika A adalah matriks persegi 𝑛 × 𝑛, maka sebuah vektor tak nol 𝑥 ∈ 𝑅𝑛 disebut sebagai sebuah vektor eigen dari matriks 𝐴 jika 𝐴𝑥 adalah perkalian skalar dari 𝑥 yaitu
𝐴𝑥 = 𝜆𝑥
Untuk skalar 𝜆. Skalar 𝜆 disebut sebagai nilai eigen dari matriks 𝐴, dan 𝑥 disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆
Contoh 2.8
Menentukan vektor eigen dari matriks 2 × 2 Diketahui 𝑥 = (1
2) adalah vektor eigen dari matriks 𝐴 = (3 0
8 −1) yang berkorespondensi dengan 𝜆 = 3,
𝐴𝑥 = (3 0 8 −1) (1
2) = (3
6) = 3𝑥 Teorema 2.1
Jika 𝐴 adalah sebuah matriks persegi berukuran 𝑛 × 𝑛, maka 𝜆 merupakan nilai eigen jika dan hanya jika memenuhi persamaan
|𝐴 − 𝜆𝐼| = 0 (2.10)
Persamaan (2.10) disebut dengan persamaan karakteristik dari matriks 𝐴.
Contoh 2.9
Dengan mengacu pada contoh 2.8 akan dijelaskan bagaimana nilai eigen (𝜆) = 3 dapat diperoleh. Diketahui matriks 𝐴 = (3 0
8 −1)
Untuk memperoleh nilai eigen menurut teroema 2.1 kita harus menyelesaikan persamaan karakteristik yaitu
|𝐴 − 𝜆𝐼| = 0
|(3 0
8 −1) − 𝜆 (1 0
0 1)| = 0
|(3 0
8 −1) − (𝜆 0
0 𝜆)| = 0
|3 − 𝜆 0
8 −1 − 𝜆| = 0 Sehingga diperoleh
(3 − 𝜆)(−1 − 𝜆) = 0 (2.11)
Dari persamaan (2.11) diperoleh nilai eigen dari matriks 𝐴 yaitu 𝜆 = 3 dan 𝜆 =
−1.
D. Matriks Jacobi
Dalam kalkulus vektor, matriks jacobi merupakan matriks dari turunan parsial orde pertama dari fungsi bernilai vektor
Definisi 2.9 (Anton and Rorres, 2014)
Jika 𝒇 ∶ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 adalah sebuah fungsi yang memuat vektor 𝒙 ∈ ℝ𝑛 dan menghasilkan vektor 𝒇(𝒙) ∈ ℝ𝑚, maka matriks jacobi 𝐃 dari 𝒇 adalah matriks 𝑚 × 𝑛 yang memiliki bentuk umum sebagai berikut
𝑫𝒇 = 𝑑𝒇 𝑑𝒙
=
[
𝜕𝑓1
𝜕𝑥1
𝜕𝑓1
𝜕𝑥2 … 𝜕𝑓1
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑓2
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2
𝜕𝑥2 … 𝜕𝑓2
𝜕𝑥𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝜕𝑓𝑚
𝜕𝑥1
𝜕𝑓𝑚
𝜕𝑥2 … 𝜕𝑓𝑚
𝜕𝑥𝑛] Contoh 2.10
Diberikan fungsi bernilai vektor sebagai berikut
𝒇(𝑎, 𝑏, 𝑐) = (𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2, 𝑎𝑏𝑐) Maka bentuk matriks jacobi dari 𝒇(𝑎, 𝑏, 𝑐) adalah
𝐷𝑓= [
𝜕(𝑎2+ 𝑏2 + 𝑐2)
𝜕𝑎
𝜕(𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2)
𝜕𝑏
𝜕(𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2)
𝜕𝑐
𝜕(𝑎𝑏𝑐)
𝜕𝑎
𝜕(𝑎𝑏𝑐)
𝜕𝑏
𝜕(𝑎𝑏𝑐)
𝜕𝑐 ]
= [2𝑎 2𝑏 2𝑐 𝑏𝑐 𝑎𝑐 𝑎𝑏] Contoh 2.11
Diberikan fungsi bernilai vektor 𝒇(𝑥, 𝑦) = (𝑥𝑦3, 2𝑥3𝑦, 6𝑥𝑦2) Maka bentuk matriks jacobi dari 𝒇(𝑥, 𝑦) adalah
𝐷𝑓 =
[
𝜕(𝑥𝑦3)
𝜕𝑥
𝜕(𝑥𝑦3)
𝜕𝑦
𝜕(2𝑥3𝑦)
𝜕𝑥
𝜕(2𝑥3𝑦)
𝜕𝑦
𝜕(6𝑥𝑦2)
𝜕𝑥
𝜕(6𝑥𝑦2)
𝜕𝑦 ]
= [
𝑦3 𝑥
6𝑥2𝑦 2𝑥3 6𝑦2 12𝑥𝑦
]
E. Definisi dan Jenis-jenis Model Matematika
Pada bagian ini akan dibahas tentang definisi model matematika, jenis-jenis model matematika beserta contohnya.
1. Definisi Pemodelan Matematika
Pemodelan matematika adalah idealisasi dari fenomena di dunia nyata dan tidak pernah menampilkan hasil yang benar-benar akurat (Giordano, 2014). Dari semua berbagai jenis model tentu memiliki keterbatasan, tetapi model yang baik dapat menampilkan hasil dan kesimpulan yang tidak jauh berbeda dari data pada dunia nyata.
Model matematis merupakan penyederhanaan fenomena-fenomena nyata yang disusun secara logis dan sistematis. Beberapa langkah dalam menyusun model matematis (Giordano, 2014):
a. Mengidentifikasi masalah dunia nyata
Langkah awal dalam menyusun model yaitu mengidentifikasi masalah dari fenomena yang diamati. Mengidentifikasi masalah membutuhkan data yang cukup besar serta beberapa fenomena di dunia nyata tidak dapat dituangkan ke dalam bentuk matematis.
b. Membuat asumsi
Dalam membuat asumsi kita memilah faktor-faktor yang berpengaruh dalam masalah yang diamati agar model yang akan terbentuk menjadi lebih sederhana.
Asumsi dibagi menjadi dua yaitu, mengklasifikasi variabel dan menentukan hubungan antar variabel.
c. Menyelesaikan model
Model dapat berbentuk persamaan atau pertidaksamaan matematika yang harus dicari penyelesaiannya. Pada umumnya, menyelesaikan model matematika adalah hal yang tidak mudah. Salah satu cara untuk membantu menyelesaikan model adalah dengan menyederhanakan masalah yang diamati. Menyederhanakan masalah dilakukan dengan cara membuat asumsi dan identifikasi.
d. Intepretasi
Setelah menyelesaikan model, langkah selanjutnya adalah mengintepretasikan model tersebut atau meguji model tersebut dengan teori-teori yang digunakan dalam menyusun model.
e. Validasi
Dalam tahap ini model diuji kembali agar bisa menjawab permasalahan di dunia nyata, dapat digunakan secara mudah dan logis serta sesuai atau mendekati data
f. Implementasi model
Model yang telah diuji selanjutnya dapat diimplementasikan dengan data real dengan tujuan sebagai bahan untuk pertimbangan dalam mengambil keputusan yang mudah dimengerti.
2. Jenis-Jenis Model
a. Deterministik dan Stokastik
Model matematika deterministik adalah model yang memprediksi keadaaan yang akan datang secara pasti sedangkan model stokastik adalah model yang melibatkan variabel acak serta mengandung unsur ketidakpastian.
Contoh 2.12 (Moghadas dan Jaberi, 2019)
Sekelompok makhluk hidup bereproduksi secara konstan dengan laju 𝑏 per satuan waktu. Karena 𝑏 adalah konstan, maka dibutuhkan waktu rata-rata (1
𝑏) bagi setiap makhluk hidup untuk bereproduksi. Dengan waktu yang didistribusikan secara eksponensial diperoleh
𝑛(𝑡 + Δ𝑡) − 𝑛(𝑡) = 𝑏𝑛(𝑡)Δ𝑡 Dalam kasus deterministik, saat Δ𝑡 → 0, diperoleh
𝑛(𝑡) = 𝑛0𝑒𝑏𝑡 dengan 𝑛0 = 𝑛(0).
Oleh karena itu jumlah populasi diketahui setiap saat 𝑡. Dalam kasus stokastik, jumlah populasi dikaitkan dengan probabilitas.
𝑃𝑛(𝑡) = 𝑃(𝑋𝑡 = 𝑛) Untuk setiap 𝑛 = 0,1,2, …
𝑋(𝑡) = variabel acak yang menotasikan jumlah populasi saat 𝑡 𝑃𝑛 = probabilitas fungsi massa pada waktu 𝑡
b. Dinamik dan Statik
Model matematika dinamis merupakan model yang berubah bergantung pada waktu. Contoh model dinamis adalah pertumbuhan penduduk pada suatu daerah.
Model statis adalah model yang berada pada suatu waktu yang setimbang.
Contoh 2.13 (Giordano, 2014)
Dalam pertempuran Trafalagar pada tahun 1805, pasukan gabungan Angkatan laut Prancis dan Spanyol dibawah pimpinan Napoleon melawan pasukan Angkatan laut Inggris dibawah pimpinan Nelson. Awalnya, pasukan Perancis-Spanyol memiliki 33 kapal sedangkan Inggris memiliki 27 kapal. Selama pertempuran, masing-masing pihak mengalami kerugian sebesar 10% dari jumlah kapal lawan.
Misalkan 𝑛 banyaknya tahap pertemuan selama pertempuran. Didefinisikan variabel yang akan digunakan dalam penyusunan model permasalahan diatas
𝐵𝑛 = jumlah dari kapal Inggris pada tahap 𝑛
𝐹𝑛 = jumlah dari kapal Prancis dan Spanyol pada tahap 𝑛
Setelah tahap 𝑛 pertemuan, maka jumlah dari masing-masing kapal yaitu 𝐵𝑛 + 1 = 𝐵𝑛− 0.1𝐹𝑛
𝐹𝑛+ 1 = 𝐹𝑛 − 0.1𝐵𝑛 dengan 𝐵0 = 27 dan 𝐹0 = 33.
Contoh 2.14 (Gordon, 1978)
Dalam memasarkan barang di suatu pasar terdapat keseimbangan antara penawaran dan permintaan di suatu pasar tersebut. Permintaan akan meningkat ketika harga rendah dan permintaan akan menurun ketika harga tinggi. 𝑄 adalah hubungan antara permintaan, 𝑃 adalah harga, 𝑆 adalah penawaran pasar. Tetapi, tidak menutup kemungkinan jika penawaran meningkat seiring dengan kenaikan harga. Jika kondisi stabil, harga akan tetap di titik potong kedua garis maka jumlah penawaran sama dengan permintaan. Hubungan antara permintaan diasumsikan linear, sehingga diperoleh model sebagai berikut:
𝑄 = 𝑎 − 𝑏𝑃
𝑆 = 𝑐 + 𝑑𝑃 𝑄 = 𝑆
Model tersebut disesuaikan dengan kondisi pasar normal yaitu ketika permintaan menurun dan penawaran meningkat disebabkan oleh harga naik. Oleh karena itu, koefisien 𝑏 dan 𝑑 haruslah positif. Jika diberikan nilai 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan 𝑑 sebagai berikut:
𝑎 = 600 𝑏 = 3000 𝑐 = −100 𝑑 = 2000
diasumsikan hubungan antara permintaan adalah linear, sehingga diperoleh harga pasar seimbang pada saat
𝑝 = 𝑎 − 𝑐 𝑏 + 𝑑
= 600 − (−100) 3000 + 2000
= 0.14
dengan demikian 𝑆 seimbang pada saat 𝑃 = 0.14 𝑆 = −100 + 2000𝑃
= −100 + 2000(0.14)
= 180 𝑄 seimbang pada saat 𝑃 = 0.14
𝑄 = 𝑆
= 180
Apabila salah satu titik ekuilibrium (keseimbangan) pada model diubah maka akan diperoleh hasil model yang mungkin berbeda. Contoh 2.12 adalah kasus model statis karena bergantung pada titik keseimbangan model.
c. Diskret dan Kontinu
Saat membangun model yang terkait dengan perubahan dapat dibedakan menjadi dua berdasarkan waktu terjadinya yaitu perubahan dalam waktu yang diskret dan perubahan dalam waktu yang kontinu, Contoh model diskret yaitu jumlah deposit pada bank sedangkan contoh dari model kontinu adalah konsentrasi obat di dalam darah.
Contoh 2.15 (Giordano, 2014)
Diketahui terdapat tempat penyewaan mobil di Orlando dan Tampa.
Masing-masing mobil disewakan untuk wisatawan di Florida. Perusahaan mengkhususkan penyewaan dalam melayani agen yang ingin mengatur kegiatan wisata di Orlando dan Tampa. Akibatnya, wisatawan akan menyewa mobil di satu kota dan menurunkan mobil di kota lainnya. Mobil dapat dikembalikan ke salah satu lokasi yang menyebabkan ketidakseimbangan pada jumlah mobil yang tersedia untuk disewakan. Probabilitas mobil yang disewakan di Orlando dan dikembalikan ke Orlando adalah 0.6. Probabilitas mobil yang disewakan di Orlando dan dikembalikan di Tampa adalah 0.4. Mobil yang disewakan di Tampa dan dikembalikan ke Tampa probabilitasnya sebesar 0.7, sedangkan yang dikembalikan ke Orlando sebesar 0.3.
Definisi variabel menurut permasalahan diatas sebagai berikut:
𝑝𝑛 = presentase mobil yang tersedia dan siap disewakan di Orlando pada waktu 𝑛.
𝑞𝑛 = presentase mobil yang tersedia dan siap disewakan di Tampa pada waktu 𝑛.
Sehingga berdasarkan permasalahan diatas diperoleh : 𝑝𝑛+1 = 0.6𝑝𝑛 + 0.3𝑞𝑛 𝑞𝑛+1 = 0.4𝑝𝑛+ 0.7𝑞𝑛 dengan 𝑛 = 0,1,2,3, …
Contoh 2.16 (Giordano, 2014)
Penyerapan obat dalam tubuh dilakukan oleh saluran pencernaan dan melewati proses difusi. Saat terjadi proses difusi, obat diangkut menuju lokasi yang menjadi target untuk diobati lalu dikeluarkan dari darah oleh sistem penyaringan ginjal. 𝑥(𝑡)
menyatakan jumlah obat yang diserap dan terdifusi ke aliran darah saat 𝑡. Jumlah awal obat yang disuntikan adalah 𝐼 dan 𝜅 adalah laju difusi obat.
Laju perubahan jumlah obat yang diserap dalam saluran pencernaan yaitu
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 𝐼 − 𝜅𝑥, (2.12)
dengan 𝑥(0) = 0.
Misalkan 𝑦(𝑡) adalah konsentrasi obat dalam alirah darah saat 𝑡 yang tereduksi oleh penyaringan ginjal dengan laju 𝑟 maka laju perubahan konsentrasi obat dinyatakan sebagai
𝑑𝑦
𝑑𝑡 = 𝜅𝑥 − 𝑟𝑦, (2.13)
dengan 𝑦(0) = 0.
Maka jumlah obat yang diserap oleh saluran pencernaan pada waktu 𝑡 adalah
𝑥(𝑡) =1
𝜅(1 − 𝑒−𝜅𝑡) (2.14)
Konsentrasi obat dalam aliran darah saat waktu 𝑡 adalah
𝑦(𝑡) =1
𝑟[1 − 1
𝑟 − 𝑘(𝑟𝑒−𝜅𝑡− 𝜅𝑒−𝑟𝑡)]. (2.15)
F. Titik ekuilibrium (Boyce dan Diprima, 2012)
Titik ekuilibrium diperoleh dengan menentukan akar-akar dari persamaan 𝑓⃗(𝑥⃗) = 0 dan setiap titik yang memenuhi 𝑓⃗(𝑥) = 0 disebut sebagai titik kritis yang mengakibatkan kondisi 𝑑𝑥⃗
𝑑𝑡 = 0 atau disebut sebagai kondisi setimbang.
G. Analisis Kestabilan Lokal
Pada bagian ini akan dibahas mengenai analisis kestabilan lokal titik ekuilibrium dengan mendefinisikan terlebih dahulu persamaan dan sistem otonomus, sistem otonomus linear beserta teorema yang berlaku.
a. Persamaan dan sistem Otonomus
Persamaan otonomus adalah persamaan diferensial orde pertama yang variabel bebasnya tidak muncul secara eksplisit dan memiliki bentuk sebagai berikut
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥), (2.16)
dengan 𝑓(𝑥) merupakan fungsi kontinu yang tidak bergantung secara eksplisit terhadap variabel bebas 𝑡 (Boyce dan Diprima, 2012).
Sistem otonomus adalah sistem persamaan diferensial orde pertama yang variabel bebasnya tidak muncul secara eksplisit dan memiliki bentuk sebagai berikut
𝑑𝑥⃗
𝑑𝑡 = 𝑓⃗(𝑥⃗), 𝑥⃗ ∈ ℝ𝑛, (2.17)
dengan 𝑓⃗(𝑥⃗) adalah fungsi kontinu yang tidak bergantung secara eksplisit terhadap variabel bebas 𝑡 (Boyce dan Diprima, 2012).
b. Sistem persamaan otonomus linear Definisi 2.10
Sistem persamaan otonomus linear memiliki bentuk umum sebagai berikut 𝑑𝑥1
𝑑𝑡 = 𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 𝑑𝑥2
𝑑𝑡 = 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑑𝑥𝑛
𝑑𝑡 = 𝑎𝑛1𝑥1+ 𝑎𝑛2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛
(2.18)
Sistem persamaan (2.18) dapat dinyatakan kedalam bentuk 𝐴𝑥⃗ =𝑑𝑥⃗
𝑑𝑡, dengan 𝐴 dan 𝑥⃗ sebagai berikut:
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 )
dan
𝑥⃗ = ( 𝑥1 𝑥2
⋮ 𝑥𝑛
)
Kestabilan sistem otonomus linear ditentukan oleh nilai eigen dari matriks 𝐴.
Jika nilai det 𝐴 ≠ 0, maka 𝑥⃗ = 0 merupakan titik kesetimbangan yang tunggal.
Teorema 2.1 (Boyce dan Diprima, 2012)
Misalkan 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 adalah nilai-nilai eigen dari matriks 𝐴 maka titik kesetimbangan memiliki beberapa sifat
1. Stabil
Jika 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 memiliki bagian ℝ tak positif, 2. Stabil asimtotik
Jika 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛 memiliki bagian ℝ negatif 3. Tidak stabil
Jika terdapat nilai eigen yang memiliki bagian ℝ positif Misalkan diberikan matriks 𝐴 dan 𝐼 sebagai berikut:
𝐴 = (𝑎 𝑏 𝑐 𝑑) 𝐼 = (1 0
0 1)
Persamaan karakteristik matriks 𝐴 diperoleh dengan det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 atau dapat dinotasikan dengan |𝐴 − 𝜆𝐼| = 0 sehingga
|(𝑎 𝑏
𝑐 𝑑) − 𝜆 (1 0
0 1)| = 0,
|(𝑎 𝑏
𝑐 𝑑) − (𝜆 0
0 𝜆)| = 0,
|𝑎 − 𝜆 𝑏
𝑐 𝑑 − 𝜆| = 0, maka diperoleh
𝜆2 = −(𝑎 + 𝑑)𝜆 + (𝑎𝑑 − 𝑏𝑐) = 0. (2.19) Nilai eigen dari persamaan tersebut memiliki dua solusi yaitu 𝜆1 dan 𝜆2 yang dapat ditentukan dengan rumus ‘abc’ sebagai berikut
𝜆1,2=
𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴) ± √(𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴))2− 4 det(𝐴) 2
=𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴) ± √𝐷 2
(2.20)
dengan demikian nilai eigen dapat disimpulkan bergantung pada nilai 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴) dan det(𝐴). Kriteria kestabilan berdasarkan nilai 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴) dan det(𝐴) menurut Panvilov (2021):
1. Jika det(𝐴) > 0, 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴) > 0 dan 𝐷 > 0, nilai eigen adalah bilangan real dengan 𝜆1,2 > 0 maka titik kesetimbangan bersifat tidak stabil,
2. Jika det(𝐴) > 0, 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴) < 0 dan 𝐷 > 0, nilai eigen adalah bilangan real dengan 𝜆1,2 < 0 maka titik kesetimbangan bersifat stabil,
3. Jika det(𝐴) > 0, 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴) < 0 dan 𝐷 ≥ 0, nilai eigen adalah bilangan real dengan 𝜆1,2 < 0 maka titik kesetimbangan bersifat stabil lokal asimtotik, 4. Jika det(𝐴) < 0 maka 𝐷 > 0, nilai eigen adalah bilangan real dengan 𝜆1,2
berlawanan maka titik tersebut adalah titik pelana,
5. Jika det(𝐴) > 0 , 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴) > 0 dan 𝐷 < 0 maka nilai eigen adalah pasangan bilangan kompleks maka titik kesetimbangan spiral tidak stabil, 6. Jika det(𝐴) > 0, 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐴) < 0 dan 𝐷 < 0 maka nilai eigen adalah
pasangan bilangan kompleks dan titik kesetimbangan spiral stabil.
H. Kriteria Routh-Hurwitz
Kestabilan titik ekuilibrium dapat ditentukan dengan kriteria Routh-Hurwitz.
Kestabilan titik ekuilibrium bergantung pada nilai eigen dari persamaan karakteristik polinomial sebagai berikut
𝑃(𝜆) = 𝜆𝑛+ 𝑎1𝜆𝑛−1+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝜆 + 𝑎𝑛 = 0 (2.21) Dimana 𝑎𝑖, 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 adalah bilangan real
Akar pada persamaan (2.21) memiliki bagian real negatif (Murray, 2002)
𝐷1 = 𝑎1 > 0, 𝐷2 = |𝑎1 𝑎3
1 𝑎2| > 0, 𝐷3 = |
𝑎1 𝑎3 𝑎5 1 𝑎2 𝑎4 0 𝑎1 𝑎3
| > 0,
𝐷𝑘 =
|
|
𝑎1 𝑎3 𝑎5 𝑎7 … 𝑎2𝑘−1 1 𝑎2 𝑎4 𝑎6 … 𝑎2𝑘−2 0 𝑎1 𝑎3 𝑎5 … 𝑎2𝑘−3 0 1 𝑎2 𝑎4 … 𝑎2𝑘−4
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 0 0 … 𝑎𝑘
|
|
> 0,
dengan 𝑘 = 1,2, … , 𝑛.
Diberikan persamaan karakteristik sebagai berikut
𝜆3+ 𝑎1𝜆2+ 𝑎2𝜆 + 𝑎3 = 0. (2.22) Persamaan karakteristik tersebut memiliki titik kesetimbangan yang stabil jika dan hanya jika
1. 𝐷1 > 0 ⇔ 𝑎1 > 0
2. 𝐷2 > 0 ⇔ 𝑎1𝑎2− 𝑎3 > 0 3. 𝐷3 > 0 ⇔ 𝑎3(𝑎1𝑎2− 𝑎3) > 0 Contoh 2.17
Diberikan persamaan polinomial berderajat tiga
𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 (2.23)
Matriks Hurwitz dari persamaan (2.23) adalah
𝐻 = (
𝑏 𝑎 0
𝑑 𝑐 𝑏
0 0 𝑑
)
Diperoleh determinan dari matriks 𝐻
𝐷1 = |𝑏|
𝐷2 = |𝑏 𝑎
𝑑 𝑐| = 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝐷3 = |
𝑏 𝑎 0
𝑑 𝑐 𝑏
0 0 𝑑
| = 𝑑(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑)
Agar semua akar persamaan polinom memiliki bagian real yang negatif maka harus memenuhi syarat
𝐷1 > 0 ↔ 𝑏 > 0 𝐷2 > 0 ↔ 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑 > 0 𝐷3 > 0 ↔ 𝑑(𝑏𝑐 − 𝑎𝑑) > 0 ↔ 𝑑 > 0
Jadi, semua akar dari persamaan 𝑎𝑥3+ 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0 memiliki bagian real negatif jika
1. 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0, 𝑑 > 0, 2. (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑) > 0.
I. Fungsi Lyapunov
Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai fungsi Lyapunov dan teorema yang dikutip dari Khalil (2002).
Definisi 2.11
𝑥 = 0 adalah titik ekuilibrium dari persamaan (2.17), Titik ekuilibrium bersifat
1. Stabil Lyapunov jika setiap 𝜀 > 0 dan terdapat 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 sedemikian sehingga: jika ‖𝑥(0)‖ < 𝛿 maka ‖𝑥(𝑡)‖ < 𝜀 untuk setiap 𝑡 > 0.
2. Stabil asimtotik jika memenuhi syarat stabil Lyapunov dan dipilih 𝛿 sebagai penyimpangan terkecil sehingga: jika ‖𝑥(0)‖ < 𝛿 maka lim
𝑡→∞𝑥(𝑡) = 0.
3. Tidak stabil jika tidak memenuhi syarat stabil Lyapunov.
Teorema 2.2
Misalkan 𝑥 = 0 adalah titik ekuilibrium dari persamaan (2.17) dan 𝑥 berada pada domain 𝐷 ⊂ ℝ𝑛. Misalkan 𝑉: 𝐷 → ℝ adalah fungsi kontinu yang terdiferensial sehingga 𝑉(0) = 0 dan 𝑉(𝑥) > 0 pada 𝐷 − {0}, 𝑉̇(𝑥) ≤ 0 pada 𝐷
maka titik ekuilibrium stabil dan Jika 𝑉̇(𝑥) < 0 pada 𝐷 − {0} maka titik ekuilibrium stabil asimtotik.
Teorema 2.3 (Teorema Barbashin-Krasovskii)
Misalkan 𝑥 = 0 merupakan titik ekuilibrium dari persamaan (2.17) dan misalkan 𝑉: ℝ𝑛 → ℝ merupakan fungsi kontinu terdiferensial sehingga
𝑉(0) = 0 dan 𝑉(𝑥) > 0, ∀𝑥 ≠ 0
‖𝑥‖ → ∞ ⇒ 𝑉(𝑥) → ∞ 𝑉̇(𝑥) < 0, ∀𝑥 ≠ 0
Maka titik ekuilibrium bersifat stabil asimtotik global J. Prinsip Invarian LaSalle
Pada bagian ini akan dibahas mengenai teorema dan definisi invariant LaSallae dengan dikutip dari buku karangan Sastry (1999) dan tugas akhir Nugroho (2021) Definisi 2.12 (Sastry, 1999)
Sebuah himpunan 𝑀 ⊆ ℝ𝑛 merupakan himpunan invarian jika untuk sebarang 𝑦 ∈ 𝑀 dan 𝑡0 > 0,
𝜙(𝑡, 𝑦, 𝑡0) ∈ 𝑀 ∀𝑡 ≥ 𝑡0. Prinsip invarian LaSalle:
Tinjau sistem persamaan (2.17) kemudian
1. Diberikan Ω ∈ 𝐷 , dikatakan himpunan invarian positif jika 𝑥(𝑡0) ∈ Ω maka 𝑥(𝑡) ∈ Ω, untuk setiap 𝑡 ≥ 𝑡0.
2. Diberikan 𝑉: 𝐷 → ℝ, 𝑉̇(𝑥) ≤ 0 ∀𝑥 ∈ Ω Pada akhirnya 𝑥(𝑡) akan mendekati himpunan invarian positif terbesar ketika 𝑉̇ = 0.
3. Jika kita menambahkan fungsi 𝑉 adalah definit positif yaitu 𝑉(𝑥) > 0 ∀𝑥 ≠ 0
𝑉(𝟎) = 0
Dan jika Ω tidak memuat lintasan dari sistem kecuali lintasan tunggal 𝑥(𝑡) = 0 untuk 𝑡 ≥ 0 maka titik ekuilibrium bersifat sistem stabil asimtotik.
Selain itu, jika 𝑉 adalah lintasan melingkar tak terbatas yaitu 𝑉(𝑥) → ∞ ⇒ ‖𝑉̇(𝑥)‖ → ∞
Keadaan tersebut adalah keadaan stabil asimtotik global.
K. Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar adalah rata-rata jumlah infeksi baru yang dihasilkan oleh satu individu yang terinfeksi pada populasi yang dinotasikan dengan 𝑅0 terdapat dua jenis kriteria bilangan reproduksi dasar yaitu (Heffernan et al., 2005):
1. Jika 𝑅0 < 1 maka setiap individu yang terinfeksi mengakibatkan rata-rata kurang dari satu individu baru yang terinfeksi artinya dalam suatu populasi tidak ada penyakit yang menyebar,
2. Jika 𝑅0 > 1 maka setiap individu yang terinfeksi menghasilkan rata-rata lebih dari satu individu baru yang terinfeksi sehingga infeksi penyakit dalam suatu sistem tidak pernah habis.
L. Matriks Generasi Berikutnya
Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai metode matriks generasi berikutnya dengan mengacu pada buku karangan Braurer dan Chavez (2010). Metode matriks generasi berikutnya digunakan untuk menemukan bilangan reproduksi dasar 𝑅0 dengan membedakan kompartemen terinfeksi dan tidak terinfeksi.
𝑥𝑖̇ = 𝐹𝑖(𝑥) − 𝑉𝑖(𝑥), 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 (2.24) dengan
𝑥𝑖 adalah jumlah individu pada populasi ke-𝑖.
𝐹𝑖(𝑥) adalah laju infeksi baru yang masuk pada populasi ke−𝑖, 𝐹𝑖 ≥ 0.
𝑉𝑖(𝑥) adalah laju transfer individu yang masuk atau keluar dari populasi.
Didefinisikan 𝐸0 adalah titik kesetimbangan bebas penyakit, 𝐷𝐹(𝐸0) adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 dan 𝐷𝑉(𝐸0) adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 dengan
𝐷𝐹(𝐸0) = [𝜕𝐹𝑖(𝐸0)
𝜕𝑥𝑗 ],
𝐷𝑉(𝐸0) = [𝜕𝑉𝑖(𝐸0)
𝜕𝑥𝑗 ], dengan 𝑖, 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑛
Matriks Generasi Berikutnya didefinisikan sebagai berikut 𝐾 = [𝐷𝐹(𝐸0)][𝐷𝑉(𝐸0)]−1
Untuk mencari bilangan reproduksi dasar diperoleh dari radius spektral atau dapat ditulis dengan
𝑅0 = 𝜌(𝐾)
dengan 𝜌(𝐾) adalah nilai mutlak terbesar dari matriks 𝐾.
M. Metode Runge Kutta Orde Empat
Metode Runge-Kutta adalah metode numeris untuk menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan diferensial nonlinear dan linear dan merupakan metode satu langkah. Metode Runge-Kutta orde empat adalah metode yang cukup sering digunakan karena cukup akurat dan stabil serta mudah untuk dijadikan program pada pemrograman komputasi. Semakin tinggi orde metode Runge-Kutta maka akurasinya cukup tinggi namun akan memerlukan komputasi yang cukup rumit dan lebih besar sehingga bila ingin mendapatkan akurasi yang lebih tinggi langkah yang dapat dilakukan adalah tetap menggunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan memperkecil ukuran langkah.
Diberikan masalah nilai awal
𝑦′ = 𝑓(𝑡, 𝑦), 𝑦(𝑡0) = 𝑦0 (2.25) Metode Runge-Kutta orde empat
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛+ℎ
6(𝑘𝑛1+ 2𝑘𝑛2+ 2𝑘𝑛3+ 𝑘𝑛4), (2.26) dengan
𝑘𝑛1= 𝑓(𝑡𝑛𝑦𝑛), (2.27)
𝑘𝑛2= 𝑓 (𝑡𝑛+1
2ℎ, 𝑦𝑛+1
2ℎ𝑘𝑛1), (2.28)
𝑘𝑛3= 𝑓 (𝑡𝑛+1
2ℎ, 𝑦𝑛+1
2ℎ𝑘𝑛2), (2.29)
𝑘𝑛4= 𝑓(𝑡𝑛+ ℎ, 𝑦𝑛+ ℎ𝑘𝑛3). (2.30)
Contoh 2.18 (Boyce dan Diprima, 2012)
Gunakan metode Runge-Kutta orde empat untuk menghitung nilai hampiran dari 𝑦 = 𝜙(𝑡) dari masalah nilai awal
𝑦′= 1 − 𝑡 + 4𝑦, 𝑦(0) = 𝑦0 = 1 (2.31) Pada interval [0,1] dengan menggunakan langkah (ℎ) = 0.2
• 𝑡0 = 0, 𝑦0 = 1 𝑘1 = 𝑓(𝑡0, 𝑦0)
= 𝑓(0,1)
= 1 − 0 + 4(1)
= 5
𝑘2 = 𝑓 (𝑡0+0.2
2 , 𝑦0+𝑘1
2 ∗ 0.2)
= 𝑓(0.1,1.5)
= 1 − 0.1 + 4(1.5)
= 6.9
𝑘3 = 𝑓 (𝑡0+0.2
2 , 𝑦0+𝑘2
2 ∗ 0.2)
= 𝑓(0.1,1.69)
= 1 − 0.1 + 4(1.69)
= 7.66
𝑘4 = 𝑓(𝑡0+ 0.2, 𝑦0+ 𝑘3∗ 0.2)
= 𝑓(0.2,2.532)
= 10.928 𝑦1 = 𝑦0+ℎ
6 (𝑘1+ 2𝑘2+ 2𝑘3 + 𝑘4)
= 1 +0.2
6 (5 + (2 ∗ 6.9) + (2 ∗ 7.66) + 10.928)
= 2.5016
• 𝑡1 = 𝑡0+ ℎ = 0.2, 𝑦1 = 2.5016 𝑘1 = 𝑓(𝑡1, 𝑦1)
= 𝑓(0.2,2.5016)
= 1 − 0.2 + 4(2.5016)
= 10.8064 𝑘2 = 𝑓 (𝑡1+0.2
2 , 𝑦1+𝑘1
2 ∗ 0.2)
= 𝑓(0.3,3.58224)
= 1 − 0.3 + 4(3.58224)
= 15.0289 𝑘3 = 𝑓 (𝑡1+0.2
2 , 𝑦1+𝑘2
2 ∗ 0.2)
= 𝑓(0.3,4.0045)
= 1 − 0.3 + 4(4.0045)
= 16.7180
𝑘4 = 𝑓(𝑡1+ 0.2, 𝑦1+ 𝑘3∗ 0.2)
= 𝑓(0.4,5.8452)
= 23.9808 𝑦2 = 𝑦0+ℎ
6 (𝑘1+ 2𝑘2+ 2𝑘3+ 𝑘4)
= 1 +0.2
6 (10.8064 + (2 ∗ 15.0289) + (2 ∗ 16.7180) + 23.9808)
= 5.777
Karena membutuhkan kalkulasi yang cukup panjang akan digunakan program komputer Python untuk mempermudah dan mempersingkat waktu dalam melakukan perhitungan. Tabel 2.1 dan Gambar 2.1 menunjukkan hasil hampiran numeris metode Runge kutta dan hasil analitik.
Tabel 2.1 Hasil hampiran numeris Runge Kutta dan hasil analitik t 𝑦 hampiran 𝑦 analitik
0 1 1
0.2 2.5016 2.5053
0.4 5.7777 5.7942
0.6 12.9972 12.9779
0.8 28.9808 28.6789
1 64.4416 64.8978
Berdasarkan Tabel 2.1 dapat dilihat bahwa perbandingan dari hasil analitik dan hampiran yang kecil hal ini dapat diartikan bahwa metode Runge Kutta orde empat memiliki akurasi yang cukup baik. Selanjutnya akan dilihat melalui Gambar 2.1 hasil dari perhitungan hampiran numeris metode dengan hasil analitik.
Gambar 2.1 Perbandingan hasil hampiran metode Runge Kutta orde empat dan hasil analitik
N. Metode Adams-Bashforth dan Penurunanya
Metode Adams-Bashforth merupakan salah satu metode banyak langkah (multistep method) untuk mencari nilai fungsi di titik tertentu dari persamaan diferensial biasa. Metode Adams-Bashforth disebut sebagai metode prediktor yang dapat digunakan untuk menyelesaikan nilai batas pada persamaan diferensial biasa dengan akurasi yang cukup baik. Metode ini menggunakan beberapa titik sebelumnya yang dapat diperoleh melalui metode satu langkah untuk menghitung perkiraan yang lebih baik.
