Skema Numeris Adams-Bashforth untuk penyebaran HIV/AIDS yang

BAB IV PENYELESAIAN NUMERIS MODEL MATEMATIS EPIDEMI

A. Skema Numeris Adams-Bashforth untuk penyebaran HIV/AIDS yang

Skema Adams-Bashforth untuk menyelesaikan model penyebaran HIV/ADIS yang melibatkan perawatan dibangun dengan cara sebagai berikut:

𝑠̇ = Λ − 𝛽𝑖𝑠 − 𝜇₁𝑠 − 𝑑𝑠,

𝑖̇ = 𝛽𝑖𝑠 + 𝛼₁𝑡 − 𝑘₁𝑖 − 𝑘₂𝑖 − 𝑑𝑖, 𝑎̇ = 𝑘₁𝑖 + 𝛼₂𝑡 − (𝛿₁+ 𝑑)𝑎,

𝑡̇ = 𝑘₂𝑖 − 𝛼₁𝑡 − (𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂)𝑡, 𝑟̇ = 𝜇₁− 𝑑𝑟.

(4.3)

Menentukan solusi ketiga titik awal untuk setiap populasi dengan metode satu langkah. Dalam tugas akhir ini akan digunakan metode Runge-Kutta orde empat dengan ℎ = 0.01. Dengan demikian, tiga titik yang akan ditentukan menggunakan runge skema numeris Runge Kutta orde empat untuk tiga titik nilai awal 𝑠, 𝑖, 𝑎, 𝑡, 𝑟 adalah sebagai berikut:

untuk 𝑛 = 0,1,2

𝑠_𝑛+1 = 𝑠_𝑛+ℎ

6(𝐾₁𝑠 + 2𝐾₂𝑠 + 2𝐾₃𝑠 + 𝐾₄𝑠)

𝑖_𝑛+1 = 𝑖_𝑛 +ℎ

6(𝐾₁𝑖 + 2𝐾₂𝑖 + 2𝐾₃𝑖 + 𝐾₄𝑖) 𝑎_𝑛+1 = 𝑎_𝑛 +ℎ

6(𝐾₁𝑎 + 2𝐾₂𝑎 + 2𝐾₃𝑎 + 𝐾₄𝑎) 𝑡_𝑛+1 = 𝑡_𝑛+ℎ

6(𝐾₁𝑡 + 2𝐾₂𝑡 + 2𝐾₃𝑡 + 𝐾₄𝑡) 𝑟_𝑖+1 = 𝑟_𝑛+ℎ

6(𝐾₁𝑟 + 2𝐾₂𝑟 + 2𝐾₃𝑟 + 𝐾₄𝑟) dengan,

𝐾₁𝑠 = Λ − 𝛽𝑖_𝑛𝑠_𝑛− 𝜇₁𝑠_𝑛 − 𝑑𝑠_𝑛

𝐾₁𝑖 = 𝛽𝑖_𝑛𝑠_𝑛+ 𝛼₁𝑡_𝑛− 𝑑𝑖_𝑛 − 𝑘₁𝑖_𝑛 − 𝑘₂𝑖_𝑛 𝐾₁𝑎 = 𝑘₁𝑖_𝑛 − (𝛿₁+ 𝑑)𝑎_𝑛+ 𝛼₂𝑡_𝑛

𝐾₁𝑡 = 𝑘₂𝑖_𝑛− 𝛼₁𝑡_𝑛− (𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂)𝑡_𝑛 𝐾₁𝑟 = 𝜇₁𝑠_𝑛− 𝑑𝑟_𝑛

𝐾₂𝑠 = Λ − 𝛽 (𝑖_𝑛 +ℎ

2𝐾₁𝑖) (𝑠_𝑛+ℎ

2𝐾₁𝑠) − 𝜇₁(𝑠_𝑛+ℎ

2𝐾₁𝑠) − 𝑑 (𝑠_𝑛+ℎ 2𝐾₁𝑠) 𝐾₂𝑖 = 𝛽 (𝑖_𝑛+ℎ

2𝐾₁𝑖) (𝑠_𝑛+ℎ

2𝐾₁𝑠) + 𝛼₁(𝑡_𝑛 +ℎ

2𝐾₁𝑡) − 𝑑 (𝑖_𝑛+ℎ 2𝐾₁𝑖)

− 𝑘₁(𝑖_𝑛+ℎ

2𝐾₁𝑖) − 𝑘₂(𝑖_𝑛+ℎ 2𝐾₁𝑖) 𝐾₂𝑎 = 𝑘₁(𝑖_𝑛+ℎ

2𝐾₁𝑖) − (𝛿₁+ 𝑑) (𝑎_𝑛+ℎ

2𝐾₁𝑎) + 𝛼₂(𝑡_𝑛+ℎ 2𝐾₁𝑡)

𝐾₂𝑡 = 𝑘₂(𝑖_𝑛+ℎ

2𝐾₁𝑖) − 𝛼₁(𝑡_𝑛+ℎ

2𝐾₁𝑡) − (𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂) (𝑡_𝑛+ℎ 2𝐾₁𝑡) 𝐾₂𝑟 = 𝜇₁(𝑠_𝑛 +ℎ

2𝐾₁𝑠) − 𝑑 (𝑟_𝑛+ℎ 2𝐾₁𝑟)

𝐾₃𝑠 = Λ − 𝛽 (𝑖_𝑛 +ℎ

2𝐾₂𝑖) (𝑠_𝑛 +ℎ

2𝐾₂𝑠) − 𝜇₁(𝑠_𝑛+ℎ

2𝐾₂𝑠) − 𝑑 (𝑠_𝑛 +ℎ

2𝐾₂𝑠) 𝐾₃𝑖 = 𝛽 (𝑖_𝑛+ℎ

2𝐾₂𝑖) (𝑠_𝑛+ℎ

2𝐾₂𝑠) + 𝛼₁(𝑡_𝑛+ℎ

2𝐾₂𝑡) − 𝑑 (𝑖_𝑛+ℎ 2𝐾₂𝑖)

− 𝑘₁(𝑖_𝑛+ℎ

2𝐾₂𝑖) − 𝑘₂(𝑖_𝑛+ℎ 2𝐾₂𝑖) 𝐾₃𝑎 = 𝑘₁(𝑖_𝑛+ℎ

2𝐾₂𝑖) − (𝛿₁+ 𝑑) (𝑎_𝑛 +ℎ

2𝐾₂𝑎) + 𝛼₂(𝑡_𝑛+ℎ 2𝐾₂𝑡) 𝐾₃𝑡 = 𝑘₂(𝑖_𝑛+ℎ

2𝐾₂𝑖) − 𝛼₁(𝑡_𝑛+ℎ

2𝐾₂𝑡) − (𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂) (𝑡_𝑛+ℎ 2𝐾₂𝑡) 𝐾₃𝑟 = 𝜇₁(𝑠_𝑛+ℎ

2𝐾₂𝑠) − 𝑑 (𝑟_𝑛+ℎ 2𝐾₂𝑟)

𝐾₄𝑠 = Λ − 𝛽(𝑖_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑖)(𝑠_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑠) − 𝜇₁(𝑠_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑠) − 𝑑(𝑠_𝑛 + ℎ𝐾₃𝑠) 𝐾₄𝑖 = 𝛽(𝑖_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑖)(𝑠_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑠) + 𝛼₁(𝑡_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑡) − 𝑑(𝑖_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑖)

− 𝑘₁(𝑖_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑖) − 𝑘₂(𝑖_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑖)

𝐾₄𝑎 = 𝑘₁(𝑖_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑖) − (𝛿₁+ 𝑑)(𝑎_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑎) + 𝛼₂(𝑡_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑡) 𝐾₄𝑡 = 𝑘₂(𝑖_𝑛 + ℎ𝐾₃𝑖) − 𝛼₁(𝑡_𝑛 + ℎ𝐾₃𝑡) − (𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂)(𝑡_𝑛 + ℎ𝐾₃𝑡) 𝐾₄𝑟 = 𝜇₁(𝑠_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑠) − 𝑑(𝑟_𝑛+ ℎ𝐾₃𝑟)

Solusi model penyebaran HIV/AIDS yang melibatkan perawatan dengan metode Adams-Bashforth memiliki skema numeris sebagai berikut:

Untuk 𝑛 ≥ 3,

𝑃𝑠_𝑛+1 = 𝑠_𝑛+ ℎ

24(−9(Λ − 𝛽𝑖_𝑛−3𝑠_𝑛−3− 𝜇₁𝑠_𝑛−3− 𝑑𝑠_𝑛−3) + 37(Λ − 𝛽𝑖_𝑛−2𝑠_𝑛−2− 𝜇₁𝑠_𝑛−2− 𝑑𝑠_𝑛−2)

− 59(Λ − 𝛽𝑖_𝑛−1𝑠_𝑛−1− 𝜇₁𝑠_𝑛−1− 𝑑𝑠_𝑛−1) + 55(Λ − 𝛽𝑖_𝑛𝑠_𝑛− 𝜇₁𝑠_𝑛− 𝑑𝑠_𝑛)𝑃𝑖_𝑛+1

= 𝑖_𝑛 + ℎ

24(−9(𝛽𝑖_𝑛−3𝑠_𝑛−3+ 𝛼₁𝑡_𝑛−3− 𝑑𝑖_𝑛−3− 𝑘₁𝑖_𝑛−3− 𝑘₂𝑖_𝑛−3) + 37(𝛽𝑖_𝑛−2𝑠_𝑛−2+ 𝛼₁𝑡_𝑛−2− 𝑑𝑖_𝑛−2− 𝑘₁𝑖_𝑛−2− 𝑘₂𝑖_𝑛−2)

− 59(𝛽𝑖_𝑛−1𝑠_𝑛−1+ 𝛼₁𝑡_𝑛−1− 𝑑𝑖_𝑛−1− 𝑘₁𝑖_𝑛−1− 𝑘₂𝑖_𝑛−1) + 55(𝛽𝑖_𝑛𝑠_𝑛+ 𝛼₁𝑡_𝑛 − 𝑑𝑖_𝑛− 𝑘₁𝑖_𝑛− 𝑘₂𝑖_𝑛))

𝑃𝑎_𝑛+1 = 𝑎_𝑛+ ℎ

24(−9(𝑘₁𝑖_𝑛−3− (𝛿₁+ 𝑑)𝑎_𝑛−3+ 𝛼₂𝑡_𝑛−3) + 37(𝑘₁𝑖_𝑛−2− (𝛿₁+ 𝑑)𝑎_𝑛−2+ 𝛼₂𝑡_𝑛−2)

− 59(𝑘₁𝑖_𝑛−1− (𝛿₁+ 𝑑)𝑎_𝑛−1+ 𝛼₂𝑡_𝑛−1) + 55(𝑘₁𝑖_𝑛− (𝛿₁+ 𝑑)𝑎_𝑛+ 𝛼₂𝑡_𝑛)) 𝑃𝑡_𝑛+1 = 𝑡_𝑛 + ℎ

24(−9(𝑘₂𝑖_𝑛−3− 𝛼₁𝑡_𝑛−3− (𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂)𝑡_𝑛−3 ) + 37(𝑘₂𝑖_𝑛−2− 𝛼₁𝑡_𝑛−2− (𝑑 + 𝛿₂ + 𝛼₂)𝑡_𝑛−2 )

− 59(𝑘₂𝑖_𝑛−1− 𝛼₁𝑡_𝑛−1− (𝑑 + 𝛿₂ + 𝛼₂)𝑡_𝑛−1 ) + 55(𝑘₂𝑖_𝑛 − 𝛼₁𝑡_𝑛 − (𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂)𝑡_𝑛 ) 𝑃𝑟_𝑛+1 = 𝑟_𝑛+ ℎ

24(−9(𝜇₁𝑠_𝑛−3− 𝑑𝑟_𝑛−3 ) + 37(𝜇₁𝑠_𝑛−2− 𝑑𝑟_𝑛−2 )

− 59(𝜇₁𝑠_𝑛−1− 𝑑𝑟_𝑛−1 ) + 55(𝜇₁𝑠_𝑛− 𝑑𝑟_𝑛 )) B. Hasil Simulasi

Hasil simulasi yang ada pada skripsi ini berdasarkan pada nilai-nilai awal yang ada pada Tabel 4.1 dan nilai parameter pada Tabel 4.2

Tabel 4.1 Nilai Awal Populasi yang digunakan Populasi Nilai Awal

𝑠(0) 15

𝑖(0) 23

𝑎(0) 14

𝑡(0) 25

𝑟(0) 20

Tabel 4.2 Nilai Parameter yang digunakan dalam Model untuk 𝑅₀ < 1 (Huo et al., 2016)

Parameter Nilai

Λ 0.55

𝛽 0.03

𝑑 0.0196

𝑘₁ 0.15

𝑘₂ 0.35

𝛼₁ 0.08

𝛼₂ 0.03

𝛿₁ 0.0909

𝛿₂ 0.0667

𝜇₁ 0.03

Berdasarkan nilai parameter yang digunakan dalam model epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan pada Tabel 4.2, akan ditentukan nilai Bilangan reproduksi dasar 𝑅₀.

Bilangan reproduksi dasar (𝑅₀) bebas penyakit ditentukan dengan 𝛼₁ = 0.08, 𝛼₂ = 0.03 (Huo et al, 2016) yaitu:

𝑅₀ = 𝛽Λ(𝛼₁+ 𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂)

(𝑑 + 𝑘₁+ 𝑘₂)(𝜇₁+ 𝑑)(𝛼₁+ 𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂) − 𝛼₁𝑘₂(𝜇₁+ 𝑑)

= 0.03 × 0.55(0.08 + 0.0667 + 0.03)

(0.0196 + 0.15 + 0.35)(0.03 + 0.0196)(0.08 + 0.0196 + 0.0667 + 0.03) − ((0.08 × 0.35)(0.03 + 0.0196))

= 0.88256

Diperoleh 𝑅₀ < 1 maka tidak ada penyebaran penyakit pada sistem artinya, individu yang terinfeksi AIDS bertambah namun, setelah perawatan dilaklukan jumlah individu yang mengidap AIDS berkurang serta jumlahnya mendekati 0.

Tanpa melakukan perawatan, jumlah orang yang mengidap AIDS akan terus meningkat. Dengan demikian, nilai kesetimbangan bebas penyakit 𝐸₀ = ( ^Λ

𝜇1+𝑑, 0,0,0, ^𝜇¹^Λ

𝑑(𝜇1+𝑑)) = (11.0887,0,0,0,16.9725).

Berdasarkan program Python diperoleh simulasi grafik populasi 𝑠, 𝑖, 𝑎, 𝑡, 𝑟 sebagai Gambar 4.1

Gambar 4.1 Simulasi numeris model penyebaran HIV/AIDS yang melibatkan perawatan menggunakan Adams-Bashforth untuk 𝑅₀< 1.

Berdasarkan Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa populasi 𝑖 dan populasi 𝑎 menuju nol, artinya tidak ada individu dari populasi yang positif HIV (𝑖) dan yang sudah menderita AIDS (𝑎) menerima perawatan untuk waktu yang cukup lama.

Populasi individu yang rentan pada awalnya mengalami penurunan, kemudian mengalami peningkatan pada waktu tertentu karena dipengaruhi oleh adanya individu yang terinfeksi oleh virus dan untuk waktu kemudian akan menuju suatu nilai tertentu dalam waktu yang cukup lama. Populasi individu yang merubah kebiasaan seksualnya menjadi lebih aman (𝑟) pada awalnya mengalami penurunan

yang disebabkan oleh kematian alami lalu akan meningkat pada waktu tertentu dan mendekati suatu nilai tertentu dalam waktu yang cukup lama. Setiap populasi (𝑠, 𝑖, 𝑎, 𝑡, 𝑟) menuju titik ekuilibrium 𝐸₀. Bila ditinjau untuk populasi 𝑖, 𝑎, 𝑡 akan menuju titik kesetimbangannya pada saat 𝑤 = 75, karena setiap individu memiliki rata-rata usia hingga 75 tahun dan setiap individu yang sudah terinfeksi HIV/AIDS tidak dapat sembuh dalam seumur hidupnya artinya faktor kematian alami menjadi penyebab populasi 𝑖, 𝑎, 𝑡 menuju 0 atau dikatakan habis. Selanjutnya akan dianalisis untuk masing-masing populasi yang terdapat pada model epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan yaitu:

a. Populasi individu yang rentan (𝑠)

Gambar 4.2 Grafik penyelesaian populasi 𝑆 dengan 𝑅₀< 1

Populasi 𝑆 mengalami penurunan pada saat 𝑤 = 0 hingga 𝑤 = 10 kemudian akan mengalami kenaikan akibat banyaknya individu yang terinfeksi dari waktu ke waktu, kemudian menuju nilai ekuilibriumnya yaitu 11.0887 seperti pada Gambar 4.2.

b. Populasi individu yang terinfeksi HIV dan dalam tahap positif HIV(𝑖)

Gambar 4.3 Grafik penyelesaian populasi 𝑖 dengan 𝑅0< 1

Pada populasi 𝑖 terlihat pada Gambar 4.3 mengalami penurunan pada saat 𝑤 = 0 hingga akhir. Pada saat 𝑤 = 50 populasi ini mendekati 0 dan menuju ke titik kesetimbangannya yang berarti populasi 𝑖 akan habis.

c. Populasi individu yang menderita AIDS namun tidak mendapatkan perawatan (𝑎)

Gambar 4.4 Grafik penyelesaian populasi 𝑎 dengan 𝑅₀< 1

Populasi 𝑎 akan mengalami kenaikan pada saat 𝑡 = 0 hingga 𝑡 = 15 akibat banyaknya individu yang sudah terinfeksi HIV menjadi positif AIDS serta adanya individu yang

meninggalkan perawatan. Selanjutnya populasi 𝑎 mengalami penurunan dan pada saat 𝑤 = 75 mendekati nilai nol dan menuju ke titik ekuilibrium yang berarti populasi 𝑎 akan habis.

d. Populasi individu yang menerima perawatan (𝑡)

Gambar 4.5 Grafik penyelesaian populasi 𝑡 dengan 𝑅₀< 1

Pada populasi 𝑡 awalnya mengalami peningkatan karena banyaknya individu yang terinfeksi HIV melakukan pengobatan kemudian akan mengalami penurunan pada 𝑤 = 5 hingga akhir artinya tidak ada lagi individu yang melakukan perawatan karena populasi 𝐼 atau populasi 𝐴 yang akan habis.

e. Populasi individu yang merubah kebiasaan seksual sehingga kebal terhadap infeksi HIV (𝑟)

Gambar 4.6 Grafik penyelesaian populasi 𝑅 dengan 𝑅0< 1

Pada populasi 𝑅 awalnya mengalami penurunan saat 𝑤 (waktu) = 0 hingga 𝑤 = 50. Penurunan pada populasi 𝑅 disebabkan oleh terjadinya kematian alami. Kemudian populasi 𝑅 mengalami peningkatan dan menuju ke titik kestabilannya yaitu 16.9725.

Hasil perhitungan setiap populasi dari model penyebaran HIV/AIDS yang melibatkan perawatan menggunakan metode Adams-Bashfoth dibandingkan dengan perhitungan fungsi Odeint pada Python ditunjukkan pada tabel-tabel berikut:

Tabel 4.3 Perhitungan numeris untuk populasi 𝑠 saat 𝑅₀ < 1

𝑤(tahun) 𝑠 hampiran 𝑠 Odeint Galat mutlak Galat relatif

0 15 15 0 0

10 2.539954102 2.539954176 7.43252 × 10⁻⁸ 2.92624 × 10⁻⁸ 20 4.158650841 4.158650867 2.65143 × 10⁻⁸ 6.37570 × 10⁻⁹ 30 5.83107755 5.831077553 2.98463 × 10⁻⁹ 5.11849 × 10⁻¹⁰ 40 7.263176649 7.263176646 2.78876 × 10⁻⁹ 3.83959 × 10⁻¹⁰ 50 8.374659169 8.374659185 1.63434 × 10⁻⁸ 1.95153 × 10⁻⁹ 60 9.18891156 9.188911587 2.76981 × 10⁻⁸ 3.01430 × 10⁻⁹ 70 9.765894928 9.765894956 2.73186 × 10⁻⁸ 2.79734 × 10⁻⁹ 80 10.16734801 10.16734803 2.15644 × 10⁻⁸ 2.12095 × 10⁻⁹

90 10.44425227 10.44425229 2.16222 × 10⁻⁸ 2.07025 × 10⁻⁹ 100 10.6348113 10.63481133 3.34507 × 10⁻⁸ 3.14540 × 10⁻⁹ Rata-rata 2.31464 × 10⁻⁸ 4.69397 × 10⁻⁹

Tabel 4.4 Perhitungan numeris untuk populasi 𝑖 saat 𝑅₀ < 1

𝑤 (tahun) 𝑖 hampiran 𝑖 Odeint Galat mutlak Galat relatif

0 24 24 0 0

10 3.820443689 3.820443678 1.01701 × 10⁻⁸ 2.66200 × 10⁻⁹ 20 1.374448923 1.374448921 1.76766 × 10⁻⁹ 1.28610 × 10⁻⁹ 30 0.588369113 0.588369129 1.61484 × 10⁻⁸ 2.74460 × 10⁻⁸ 40 0.286262485 0.286262477 7.15170 × 10⁻⁹ 2.49830 × 10⁻⁸ 50 0.15600484 0.156004829 1.06845 × 10⁻⁸ 6.84880 × 10⁻⁸ 60 0.093422162 0.093422155 7.17996 × 10⁻⁹ 7.68550 × 10⁻⁸ 70 0.060238256 0.060238254 2.24284 × 10⁻⁹ 3.72330 × 10⁻⁸ 80 0.041057151 0.041057148 3.20470 × 10⁻⁹ 7.80550 × 10⁻⁸ 90 0.029136451 0.029136448 3.41728 × 10⁻⁹ 1.17290 × 10⁻⁷ 100 0.021281429 0.021281423 5.67669 × 10⁻⁹ 2.66740 × 10⁻⁷

Rata-rata 6.14944 × 10⁻⁹ 6.37310 × 10⁻⁸

Tabel 4.5 Perhitungan numeris untuk populasi 𝑎 saat 𝑅₀ < 1

𝑤 (tahun) 𝑎 hampiran 𝑎 Odeint Galat mutlak Galat relatif

0 14 14 0 0

10 16.81239119 16.81239116 2.18648 × 10⁻⁸ 1.30052 × 10⁻⁹ 20 9.039643007 9.039642999 8.35614 × 10⁻⁹ 9.24388 × 10⁻¹⁰ 30 4.309841201 4.309841159 4.20646 × 10⁻⁸ 9.76012 × 10⁻⁹ 40 2.000325313 2.000325336 2.26574 × 10⁻⁸ 1.13269 × 10⁻⁸ 50 0.946928084 0.946928086 2.12544 × 10⁻⁹ 2.24456 × 10⁻⁹ 60 0.472043757 0.472043745 1.13340 × 10⁻⁸ 2.40104 × 10⁻⁸ 70 0.25317257 0.253172567 3.36531 × 10⁻⁹ 1.32925 × 10⁻⁸ 80 0.147374878 0.147374867 1.11231 × 10⁻⁸ 7.54748 × 10⁻⁸

90 0.092698151 0.092698138 1.27735 × 10⁻⁸ 1.37797 × 10⁻⁷ 100 0.06216513 0.062165104 2.64074 × 10⁻⁸ 4.24794 × 10⁻⁷

Rata-rata 1.47338 × 10⁻⁸ 6.37205 × 10⁻⁸

Tabel 4.6 Perhitungan numeris untuk populasi 𝑡 saat 𝑅₀ < 1

𝑤(tahun) 𝑡 hampiran 𝑡 Odeint Galat Mutlak Galat relatif

0 25 25 0 0

10 15.35908244 15.35908239 4.50203 × 10⁻⁸ 2.93120 × 10⁻⁹ 20 5.208398627 5.208398624 3.11265 × 10⁻⁹ 5.97620 × 10⁻¹⁰ 30 1.959441967 1.95944202 5.22554 × 10⁻⁸ 2.66690 × 10⁻⁸ 40 0.843127602 0.843127591 1.09936 × 10⁻⁸ 1.30390 × 10⁻⁸ 50 0.414806365 0.41480634 2.49825 × 10⁻⁸ 6.02270 × 10⁻⁸ 60 0.229685432 0.229685413 1.90870 × 10⁻⁸ 8.31000 × 10⁻⁸ 70 0.139902215 0.13990221 5.63078 × 10⁻⁹ 4.02480 × 10⁻⁸ 80 0.091601694 0.091601685 8.94830 × 10⁻⁹ 9.76870 × 10⁻⁸ 90 0.063219354 0.063219347 6.97821 × 10⁻⁹ 1.10380 × 10⁻⁷ 100 0.045297019 0.045297007 1.13651 × 10⁻⁸ 2.50900 × 10⁻⁷ _Rata-rata 1.71249 × 10⁻⁸ 6.23440 × 10⁻⁸

Tabel 4.7 Perhitungan numeris untuk populasi 𝑟 saat 𝑅₀ < 1

𝑤(tahun) 𝑟 hampiran 𝑟 Odeint Galat mutlak Galat relatif

0 20 20 0 0

10 17.41618078 17.41618078 3.70420 × 10⁻⁹ 2.12687 × 10⁻¹⁰ 20 15.22818177 15.22818178 1.58717 × 10⁻⁸ 1.04226 × 10⁻⁹ 30 13.88927592 13.88927594 1.72913 × 10⁻⁸ 1.24494 × 10⁻⁹ 40 13.21411512 13.21411513 1.28686 × 10⁻⁸ 9.73853 × 10⁻¹⁰ 50 13.00447993 13.00447995 1.25328 × 10⁻⁸ 9.63729 × 10⁻¹⁰ 60 13.09200238 13.0920024 1.66712 × 10⁻⁸ 1.27339 × 10⁻⁹ 70 13.35093745 13.35093748 2.14340 × 10⁻⁸ 1.60543 × 10⁻⁹ 80 13.6949849 13.69498492 2.39078 × 10⁻⁸ 1.74573 × 10⁻⁹

90 14.06863818 14.0686382 2.25611 × 10⁻⁸ 1.60364 × 10⁻⁹ 100 14.43834661 14.43834661 6.91150 × 10⁻⁹ 4.78690 × 10⁻¹⁰

Rata-rata 1.39777 × 10⁻⁸ 1.01312 × 10⁻⁹

Berdasarkan Tabel 4.3 hingga Tabel 4.7 dapat dilihat bahwa galat dari metode Adams-Bashforth untuk populasi 𝑠, 𝑖, 𝑎, 𝑡, 𝑟 saat waktu awal (𝑡 = 0) hingga 𝑡 = 100 relatif kecil hingga mendekati 0. Hal tersebut dapat diartikan bahwa metode Adams-Bashforth memberikan hasil yang cukup baik dan mendekati penyelesaian 𝑂𝑑𝑒𝑖𝑛𝑡. Selanjutnya, hasil simulasi kedua yang ada pada skripsi ini diperoleh berdasarkan pada nilai-nilai awal yang ada pada Tabel 4.1 dan nilai parameter pada Tabel 4.8

Tabel 4.8 Nilai Parameter yang digunakan dalam Model untuk 𝑅₀ > 1 (Huo et al., 2016)

Parameter Nilai

Λ 0.55

𝛽 0.03

𝑑 0.0196

𝑘₁ 0.15

𝑘₂ 0.35

𝛼₁ 0.25

𝛼₂ 0.01

𝛿₁ 0.0909

𝛿₂ 0.0667

𝜇₁ 0.03

Angka reproduksi dasar (𝑅₀) endemik ditentukan dengan 𝛼₁ = 0.25, 𝛼₂ = 0.01 (Huo et al, 2016) yaitu:

𝑅₀ = 𝛽Λ(𝛼₁+ 𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂)

(𝑑 + 𝑘₁+ 𝑘₂)(𝜇₁+ 𝑑)(𝛼₁+ 𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂) − 𝛼₁𝑘₂(𝜇₁+ 𝑑)

= 0.03 × 0.55(0.25 + 0.0667 + 0.01)

(0.0196 + 0.15 + 0.35)(0.03 + 0.0196)(0.25 + 0.0196 + 0.0667 + 0.01) − ((0.25 × 0.35)(0.03 + 0.0196))

= 1.24672

Diperoleh nilai 𝑅₀ > 1, artinya penyakit masih menyebar pada suatu sistem, jumlah orang yang mengidap AIDS cenderung menuju pada suatu konstanta terhadap suatu waktu. Dengan demikian, diperoleh titik kesetimbangan 𝐸^∗ = (𝑠^∗, 𝑖^∗, 𝑎^∗, 𝑡^∗, 𝑟^∗) = (8.8976, 0.4071, 0.5899, 0.4115, 13.6188)

Dengan menggunakan bantuan program komputer Python diperoleh grafik simulasi numeris model sebagai berikut

Gambar 4.7 Simulasi numeris model epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan dengan menggunakan Adams-Bashforth untuk 𝑅₀ > 1.

Berdasarkan Gambar 4.7 dengan kondisi 𝑅₀ > 1 setiap populasi tidak mendekati nol artinya, populasi 𝑖 dan 𝑎 tetap ada atau penyakit masih menyebar pada sistem. Selain itu, terjadi interaksi pada setiap populasi. Populasi 𝑖 dan populasi 𝑡 akan mengalami penurunan dan akan stabil hingga bertemu disuatu titik tertentu yaitu sekitar 𝑤 = 50 kemudian dapat diamati kedua populasi tersebut tidak menuju nilai 0 hingga akhir. Populasi 𝑎 mengalami kenaikan pada waktu tertentu serta mengalami penurunan namun tidak menuju nilai 0. Populasi 𝑎 mengalami penurunan setelah itu mengalami kenaikan hingga menuju suatu nilai tertentu.

Dapat disimpulkan populasi 𝑖, populasi 𝑎 dan populasi 𝑡 tidak habis artinya penyakit masih menyebar pada populasi yang menyebabkan membutuhkan perawatan dalam waktu yang cukup lama. Selanjutnya akan dianalisis untuk masing-masing populasi yaitu:

a. Populasi individu yang rentan (𝑠)

Gambar 4.8 Grafik penyelesaian populasi 𝑠 dengan 𝑅₀> 1

Dapat diamati pada Gambar 4.8 Populasi 𝑠 pada awalnya akan mengalami penurunan hingga sekitar 𝑤 = 5 kemudian mengalami kenaikan hingga menuju titik ekuilibriumnya yaitu 8.8976. Jika dibandingkan dengan simulasi pertama, Populasi 𝑠 untuk keadaan endemik tidak mengalami kenaikan cukup banyak dibandingkan populasi 𝑠 pada keadaan bebas penyakit.

b. Populasi individu yang terinfeksi HIV dan dalam tahap positif HIV(𝑖)

Gambar 4.9 Grafik penyelesaian populasi 𝑖 dengan 𝑅0> 1

Pada Gambar 4.9 dapat diamati untuk Populasi 𝑖 selalu mengalami penurunan dan memiliki pola yang sama dengan simulasi saat 𝑅₀ < 1 akan tetapi perbedaannya terlihat saat 𝑤 = 50 populasi 𝑖 tidak menuju nol tetapi menuju angka kestabilannya yaitu 0.4071 yang berarti bahwa individu yang terinfeksi 𝐻𝐼𝑉 akan tetap ada dalam pada suatu sistem dan tidak pernah habis untuk waktu yang cukup lama.

c. Populasi individu yang menderita AIDS namun tidak mendapatkan perawatan (𝑎)

Gambar 4.10 Grafik penyelesaian populasi 𝑎 dengan 𝑅₀> 1

Populasi 𝑎 pada Gambar 4.10 mengalami peningkatan saat awal dan kemudian mengalami penurunan hingga akhir. Jika dibandingkan dengan simulasi pertama yaitu populasi 𝑖 saat 𝑅₀ < 1 pola yang terbentuk sama akan tetapi, pada kondisi 𝑅₀ > 1 mencapai nilai tertinggi yaitu sekitar 21. Nilai tersebut lebih tinggi dibandingkan pada simulasi pertama kemudian saat 𝑤 = 50 sudah mendekati titik ekuilibriumnya yaitu 0.5899 yang berarti bahwa populasi 𝑎 tidak akan habis karena tidak menuju 0 dan individu yang menderita AIDS pada sistem tersebut akan ada dalam waktu yang cukup lama.

d. Populasi individu yang menerima perawatan (𝑡)

Gambar 4.11 Grafik penyelesaian populasi 𝑡 dengan 𝑅₀> 1

Populasi 𝑡 selalu mengalami penurunan pada saat awal hingga akhir dan dapat diamati pada Gambar 4.11 nilai tertinggi yang dicapai adalah 25 jika dibandingkan dengan Gambar 4.5 pola grafik cukup terlihat berbeda, pada simulasi pertama diamati nilai tertinggi yang dapat dicapai adalah 29, artinya pada saat kondisi 𝑅₀ >

1 tidak banyak individu yang mendapatkan perawatan sehingga menjadi salah satu faktor sulitnya mengurangi penyebaran penyakit. Dalam grafik populasi mendekati nilai ekuilibrium yaitu 0.4115 dimulai saat 𝑤 = 50 sehingga individu populasi 𝑡 tidak akan habis dalam waktu yang cukup lama.

e. Populasi individu yang merubah kebiasaan seksual sehingga kebal terhadap infeksi HIV (𝑟)

Gambar 4.12 Grafik penyelesaian populasi 𝑟 dengan 𝑅₀ > 1

Pada populasi 𝑟 awalnya mengalami penurunan saat 𝑤 = 0 hingga 𝑤 = 50 mencapai nilai minimum sekitar 12 lebih kecil jika dibandingkan dengan nilai minimum pada Gambar 4.6 yang mencapai nilai minimum sekitar 14. Penurunan pada populasi 𝑟 disebabkan oleh terjadinya kematian alami. Kemudian populasi 𝑟 mengalami peningkatan dan menuju ke titik kestabilannya yaitu 13.6188.

Berdasarkan perhitungan numeris pada Python diperoleh hasil numeris metode Adams-Bashforth yang dibandingkan dengan hasil penyelesaian 𝑂𝑑𝑒𝑖𝑛𝑡 pada tabel berikut

Tabel 4.9 Perhitungan numeris populasi 𝑠 saat 𝑅₀ > 1

𝑤(tahun) 𝑠 hampiran 𝑠 Odeint Galat Mutlak Galat Relatif

0 15 15 0 0

10 1.531629743 1.531629733 1.01444 × 10⁻⁸ 6.62328 × 10⁻⁹ 20 2.811746268 2.811746266 2.61355 × 10⁻⁹ 9.29511 × 10⁻¹⁰ 30 4.319706059 4.319706053 6.16182 × 10⁻⁹ 1.42644 × 10⁻⁹ 40 5.71656943 5.716569457 2.60090 × 10⁻⁸ 4.54976 × 10⁻⁹ 50 6.84781794 6.84781798 4.02217 × 10⁻⁸ 5.87365 × 10⁻⁹

60 7.688380684 7.688380766 8.17338 × 10⁻⁸ 1.06308 × 10⁻⁸ 70 8.274247588 8.274247669 8.06199 × 10⁻⁸ 9.74347 × 10⁻⁹ 80 8.65852132 8.658521407 8.73292 × 10⁻⁸ 1.00859 × 10⁻⁸ 90 8.892231502 8.892231576 7.38328 × 10⁻⁸ 8.30307 × 10⁻⁹ 100 9.018400972 9.01840103 5.78557 × 10⁻⁸ 6.41530 × 10⁻⁹

Rata-rata 4.24111× 10⁻⁸ 5.87102 × 10⁻⁹

Tabel 4.10 numeris populasi 𝑖 saat 𝑅₀ > 1

𝑤 (tahun) 𝑖 hampiran 𝑖 Odeint Galat Mutlak Galat Relatif

0 24 24 0 0

10 8.241581339 8.241581343 3.66816 × 10⁻⁹ 4.45080 × 10⁻¹⁰ 20 3.126193983 3.126193989 5.68056 × 10⁻⁹ 1.81708 × 10⁻⁹ 30 1.439228181 1.439228179 1.41980 × 10⁻⁹ 9.86501 × 10⁻¹⁰ 40 0.809379529 0.809379498 3.13466 × 10⁻⁸ 3.87292 × 10⁻⁸ 50 0.545430531 0.545430504 2.65395 × 10⁻⁸ 4.86578 × 10⁻⁸ 60 0.42564775 0.425647725 2.54023 × 10⁻⁸ 5.96792 × 10⁻⁸ 70 0.370603849 0.370603825 2.42889 × 10⁻⁸ 6.55387 × 10⁻⁸ 80 0.34813457 0.348134554 1.56674 × 10⁻⁸ 4.50038 × 10⁻⁸ 90 0.343352347 0.343352335 1.17901 × 10⁻⁸ 3.43381 × 10⁻⁸ 100 0.348298478 0.34829847 7.90981 × 10⁻⁹ 2.27099 × 10⁻⁸

Rata-rata 1.39739 × 10⁻⁸ 2.89005 × 10⁻⁸

Tabel 4.11 numeris populasi 𝑎 saat 𝑅₀ > 1

𝑤(tahun) 𝑎 hampiran 𝑎 Odeint Galat Mutlak Galat Relatif

0 14 14 0 0

10 18.69824018 18.69824018 1.71690 × 10⁻⁹ 9.18214 × 10⁻¹¹ 20 10.92313199 10.92313197 1.16910 × 10⁻⁸ 1.07030 × 10⁻⁹ 30 5.587913607 5.587913627 2.03254 × 10⁻⁸ 3.63738 × 10⁻⁹ 40 2.854979718 2.854979747 2.98672 × 10⁻⁸ 1.04614 × 10⁻⁸ 50 1.568037651 1.568037627 2.46056 × 10⁻⁸ 1.56920 × 10⁻⁸

60 0.974807319 0.974807267 5.16313 × 10⁻⁸ 5.29656 × 10⁻⁸ 70 0.701579563 0.701579501 6.15004 × 10⁻⁸ 8.76600 × 10⁻⁸ 80 0.57731707 0.577317036 3.35206 × 10⁻⁸ 5.80627 × 10⁻⁸ 90 0.524957799 0.52495777 2.90824 × 10⁻⁸ 5.53995 × 10⁻⁸ 100 0.508821075 0.508821064 1.08206 × 10⁻⁸ 2.12660 × 10⁻⁸

Rata-rata 2.49783 × 10⁻⁸ 2.78461 × 10⁻⁸

Tabel 4.12 numeris populasi 𝑡 saat 𝑅₀ > 1

𝑤(tahun) 𝑡 hampiran 𝑡 Odeint Galat Mutlak Galat relatif

0 25 25 0 0

10 12.0959461 12.09594611 7.75440 × 10⁻⁹ 6.41074 × 10⁻¹⁰ 20 4.34788849 4.347888493 3.84454 × 10⁻⁹ 8.84231 × 10⁻¹⁰ 30 1.856995203 1.856995199 4.28216 × 10⁻⁹ 2.30596 × 10⁻⁹ 40 0.971523102 0.971523075 2.76032 × 10⁻⁸ 2.84123 × 10⁻⁸ 50 0.616685557 0.616685526 3.18430 × 10⁻⁸ 5.16357 × 10⁻⁸ 60 0.460093566 0.460093534 3.23581 × 10⁻⁸ 7.03294 × 10⁻⁸ 70 0.388143631 0.388143604 2.68650 × 10⁻⁸ 6.92142 × 10⁻⁸ 80 0.357078365 0.357078346 1.84127 × 10⁻⁸ 5.15650 × 10⁻⁸ 90 0.34767421 0.347674197 1.32375 × 10⁻⁸ 3.80744 × 10⁻⁸ 100 0.350182926 0.350182922 4.39008 × 10⁻⁹ 1.25365 × 10⁻⁸

Rata-rata 1.55082 × 10⁻⁸ 2.95999 × 10⁻⁸

Tabel 4.13 Perhitungan numeris populasi 𝑟 saat 𝑅₀ > 1

𝑤(tahun) 𝑟 hampiran 𝑟 Odeint Galat Mutlak Galat Relatif

0 20 20 0 0

10 17.19683968 17.19683968 3.13580 × 10⁻⁹ 1.82347 × 10⁻¹⁰ 20 14.72235746 14.72235746 4.87001 × 10⁻¹⁰ 3.30790 × 10⁻¹¹ 30 13.07957197 13.07957196 1.61680 × 10⁻⁹ 1.23613 × 10⁻¹⁰ 40 12.12981549 12.12981549 3.73900 × 10⁻¹⁰ 3.08249 × 10⁻¹¹ 50 11.69402938 11.69402939 1.02358 × 10⁻⁸ 8.75301 × 10⁻¹⁰

60 11.60274067 11.6027407 2.45789 × 10⁻⁸ 2.11837 × 10⁻⁹ 70 11.7197424 11.71974244 3.99689 × 10⁻⁸ 3.41039 × 10⁻⁹ 80 11.94594962 11.94594968 5.55387 × 10⁻⁸ 4.64917 × 10⁻⁹ 90 12.21433001 12.21433007 6.41595 × 10⁻⁸ 5.25281 × 10⁻⁹ 100 12.48260962 12.4826097 7.29260 × 10⁻⁸ 5.84221 × 10⁻⁹ Rata-rata 2.48201 × 10⁻⁸ 2.04710 × 10⁻⁹

Berdasarkan Tabel 4.9 hingga Tabel 4.13 dapat dilihat bahwa galat dari metode Adams-Bashforth untuk populasi 𝑠, 𝑖, 𝑎, 𝑡, 𝑟 saat waktu awal (𝑤 = 0) hingga 𝑤 = 100 relatif kecil hingga mendekati 0. Hal tersebut dapat diartikan bahwa metode Adams-Bashforth memberikan akurasi yang cukup tinggi sehingga hasil perhitungan cukup baik.

95 BAB V KESIMPULAN

Pada bagian ini akan dibahas kesimpulan dari pemodelan matematis epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan dan saran bagi pembaca tugas akhir ini.

A. Kesimpulan

Pada tugas akhir ini, penulis telah memodelkan epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan dengan mempertimbangkan lima populasi, yaitu jumlah individu yang rentan 𝑆(𝑡), jumlah individu yang positif HIV dan dalam tahap terinfeksi 𝐼(𝑡), jumlah individu yang positif AIDS namun dan tidak mendapatkan perawatan 𝐴(𝑡), jumlah individu yang mendapatkan perawatan 𝑇(𝑡) dan jumlah orang yang telah mengubah kebiasaan seksual secara aman sehingga kebal terhadap infeksi HIV melalui kontak seksual 𝑅(𝑡). Model yang 𝑆𝐼𝐴𝑇𝑅 tersebut terdiri dari parameter yang bernilai positif dan diselesaikan secara numeris menggunakan metode Adams-Bashforth dengan mempertimbangkan asumsi-asumsi yang terdapat dalam tugas akhir ini.

Bilangan reproduksi dasar (𝑅₀) dihitung dengan menggunakan metode next generation matrix (matriks generasi berikutnya). Model epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan memiliki titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu 𝐸₀ = ( ^Λ

𝜇₁+𝑑, 0,0,0, ^𝜇¹^Λ

𝑑(𝜇₁+𝑑)) = (11.0887,0,0,0,16.9725) dan titik kesetimbangan endemik yaitu 𝐸^∗ = (𝑠^∗, 𝑖^∗, 𝑎^∗, 𝑡^∗, 𝑟^∗) dengan

𝑠^∗ = Λ

𝑅₀(𝜇₁+ 𝑑) 𝑖^∗ =(𝑅₀− 1)(𝜇₁+ 𝑑)

𝛽

𝑎^∗ = (𝑅₀− 1) (𝑘₁(𝜇₁+ 𝑑)

𝛽(𝛿₁+ 𝑑) + 𝛼₂𝑘₂(𝜇₁+ 𝑑)

𝛽(𝛼₁+ 𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂)(𝛿₁+ 𝑑)) 𝑡^∗ = 𝑘₂(𝑅₀− 1)(𝜇₁+ 𝑑)

𝛽(𝛼₁+ 𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂)

𝑟^∗ = 𝜇₁Λ 𝑑(𝑅₀(𝜇₁+ 𝑑)) serta,

𝑅₀ = 𝛽Λ(𝛼₁+ 𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂)

(𝑑 + 𝑘₁+ 𝑘₂)(𝜇₁+ 𝑑)(𝛼₁+ 𝑑 + 𝛿₂+ 𝛼₂) − 𝛼₁𝑘₂(𝜇₁+ 𝑑)

Berdasarkan analisis titik kesetimbangan telah dibuktikan jika 𝑅₀ < 1 maka titik kesetimbangan bebas penyakit bersifat stabil asimtotik global kondisi tersebut berarti tidak ada lagi penyakit yang menyebar dan jika 𝑅₀ > 1 maka titik kesetimbangan endemik bersifat stabil asimtotik global kondisi tersebut berarti penyakit tidak dapat dihilangkan atau bersifat permanen. Berdasarkan hasil simulasi numeris untuk 𝑅₀ < 1 dan 𝑅₀ > 1 dapat disimpulkan bahwa dengan melakukan perawatan terhadap AIDS lebih awal sangatlah diperlukan dan sangat berpengaruh untuk mengurangi penyebaran HIV/AIDS.

B. Saran

Dalam tugas akhir ini topik yang dibahas adalah pemodelan matematis epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan dengan menggunakan metode Adams- Bashforth dan hanya mempertimbangkan lima populasi (𝑠, 𝑖, 𝑎, 𝑡, 𝑟), populasi individu yang menerima perawatan disini hanya ditinjau dari perawatan secara keseluruhan tanpa memperhatikan metode perawatan dan obat yang dikonsumsi oleh individu yang ada pada populasi tersebut selain itu faktor usia dalam model ini tidak dipertimbangkan yang dapat mendukung model menjadi lebih baik. Oleh karena itu, penulis mengharapkan pembaca tertarik untuk melanjutkan penelitian ini dengan metode yang lebih baik dan mempertimbangkan faktor-faktor yang belum ada dalam model ini serta menggunakan validasi dengan data di dunia nyata untuk mencapai hasil yang lebih akurat dan dapat digunakan secara komprehensif.

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H., and Chris. R. (2014). Elementary Linear Algebra (11^thEdition).

Hoboken: Wiley.

Boyce, W. E. dan DiPrima, R. C. (2012). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. (10^th Edition). New York: John Wiley and Sons.

Brauer, F. and C. C. Chavez. (2010). Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. (2^nd Edition). Springer. New York.

Butcher, J.C. (2016). Numerical Methods for Ordinary Differential Equations (Third Edition). Chicester:Wiley.

Giordano, F. R., William, P. F., and Steven, B. H. (2014). A First Course in Mathematical Modeling (5^th Edition). Boston: Brooks/Cole, Cengange Learning.

Gordon, G. (1978). System Simulation. Englewood Cliffs: Prentice Hall.

Heffernan, J.M., R. J. Smith., dan L, M. Wahl. 2005. Perspectives on the Basic Reproductive Rasio. The Royal Society Interface, 2, 281-293.

Huo, H., R. Chen., dan X. Wang. (2016). Modelling and Stability of HIV/AIDS Epidemic Model with Treatment. Applied Mathematical Modelling, 40, 6550-6559.

Moghadas, S. M., and Jaberi-Douraki, M. (2018). Mathematical Modeling: A Graduate Textbook. Wiley.

Murni, S., Chris, W. G., Samsuridjal, D., Ardhi, S., dan Siradj, O. (2016). Hidup dengan HIV-AIDS. Indonesia: Yayasan Spiritia.

Murray, J. D. (2002). Mathematical Biologi I. An Introduction (Third Edition).

Springer-Verlag. Berlin Heidelberg

Nugroho, A. A. (2021). “Pemodelan Matematis Penyebaran Virus SARS-COV2 dan Penyelesaian Numerisnya Menggunakan Metode Runge-Kutta Orde Empat”. Skripsi. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Panvilov, A. (2021). Matrices, Linearization, and the Jacobi Matrix. Utrecht University. Utrecht.

Ross, S. L. (1984). Differential Equations. (Third Edition). New York: John Willey and Son, Inc.

Sastry, S. (1999). Nonlinear System, Analysis, Stability, and Control. New York:

Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

Whiteside, A. (2016). HIV and AIDS: a very short introduction. (Second Edition).

Oxford: Oxford University Press

World Health Organization. (2021). HIV/AIDS. https://www.who.int/news-room/fact-sheets/detail/hiv-aids. Diakses pada tanggal 7 Januari 2021.

Yusuf, T.T. and F. Benyah. (2012). Optimal Strategy for Controlling the Spread of HIV/AIDS Disease: A Case Study of South Africa. Journal of Biological Dynamics, 6(2), 457-494.

LAMPIRAN

Pada Bagian ini akan dilampirkan program Python metode Adams-Bashforth untuk Epidemi HIV/AIDS yang melibatkan perawatan serta penyelesaian odeint nya

1. Metode Adams-Bashforth untuk bilangan reproduksi 𝑹_𝟎 < 𝟏

"""

adams -- bashforth-- R0<1

"""

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

#nilai awal setiap populasi S0 = 15

I0 = 24 A0 = 14 T0 = 25 R0 = 20

#nilai parameter lajurekrutmen = 0.55 beta = 0.03

d = 0.0196 k2 = 0.35 k1 = 0.15

delta1 = 0.0909 delta2 = 0.0667 mu1 = 0.03 alpha1 = 0.08 alpha2 = 0.03

#syarat awal n = 30000 t0 = 0 tn = 300

t = np.linspace(t0,tn,n) h = t[2]-t[1]

#mendefinisikan populasi yang digunakan S = np.zeros(n)

I = np.zeros(n) A = np.zeros(n) T = np.zeros(n) R = np.zeros(n)

K1S = np.zeros(n) K1I = np.zeros(n) K1A = np.zeros(n) K1T = np.zeros(n)

K1R = np.zeros(n)

K2S = np.zeros(n) K2I = np.zeros(n) K2A = np.zeros(n) K2T = np.zeros(n) K2R = np.zeros(n)

K3S = np.zeros(n) K3I = np.zeros(n) K3A = np.zeros(n) K3T = np.zeros(n) K3R = np.zeros(n)

K4S = np.zeros(n) K4I = np.zeros(n) K4A = np.zeros(n) K4T = np.zeros(n) K4R = np.zeros(n)

S[0] = S0 I[0] = I0

A[0] = A0 T[0] = T0 R[0] = R0

#perhitungan RK4 for i in range (1,4):

K1S[i] = lajurekrutmen-beta*I[i-1]*S[i-1]-mu1*S[i-1]-d*S[i-1]

K1I[i] = beta*I[i-1]*S[i-1]+alpha1*T[i-1]-d*I[i-1]-k1*I[i-1]-k2*I[i-1]

K1A[i] = k1*I[i-1]-(delta1+d)*A[i-1]+alpha2*T[i-1]

K1T[i] = k2*I[i-1]-alpha1*T[i-1]-(d+delta2+alpha2)*T[i-1]

K1R[i] = mu1*S[i-1]-d*R[i-1]

K2S[i] = lajurekrutmen-beta*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)*(S[i-1]+0.5*K1S[i]*h)-mu1*(S[i-1]+0.5*K1S[i]*h)-d*(S[i-1]+0.5*K1S[i]*h)

K2I[i] = beta*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)*(S[i-1]+0.5*K1S[i]*h)+alpha1*(T[i- 1]+0.5*K1T[i]*h)-d*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)-k1*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)-k2*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)

K2A[i] = k1*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)-(delta1+d)*(A[i-1]+0.5*K1A[i]*h)+alpha2*(T[i-1]+0.5*K1T[i]*h)

K2T[i] = k2*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)-alpha1*(T[i-1]+0.5*K1T[i]*h)-(d+delta2+alpha2)*(T[i-1]+0.5*K1T[i]*h)

K2R[i] = mu1*(S[i-1]+0.5*K1S[i]*h)-d*(R[i-1]+0.5*K1R[i]*h)

K3S[i] = lajurekrutmen-beta*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)*(S[i-1]+0.5*K2S[i]*h)-mu1*(S[i-1]+0.5*K2S[i]*h)-d*(S[i-1]+0.5*K2S[i]*h)

K3I[i] = beta*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)*(S[i-1]+0.5*K2S[i]*h)+alpha1*(T[i- 1]+0.5*K2T[i]*h)-d*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)-k1*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)-k2*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)

K3A[i] = k1*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)-(delta1+d)*(A[i-1]+0.5*K2A[i]*h)+alpha2*(T[i-1]+0.5*K2T[i]*h)

K3T[i] = k2*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)-alpha1*(T[i-1]+0.5*K2T[i]*h)-(d+delta2+alpha2)*(T[i-1]+0.5*K2T[i]*h)

K3R[i] = mu1*(S[i-1]+0.5*K2S[i]*h)-d*(R[i-1]+0.5*K2R[i]*h)

K4S[i] = lajurekrutmen-beta*(I[i-1]+K3I[i]*h)*(S[i-1]+K3S[i]*h)-mu1*(S[i-1]+K3S[i]*h)-d*(S[i-1]+K3S[i]*h)

K4I[i] = beta*(I[i-1]+K3I[i]*h)*(S[i-1]+K3S[i]*h)+alpha1*(T[i-1]+K3T[i]*h)-d*(I[i-1]+K3I[i]*h)-k1*(I[i-1]+K3I[i]*h)-k2*(I[i-1]+K3I[i]*h)

K4A[i] = k1*(I[i-1]+K3I[i]*h)-(delta1+d)*(A[i-1]+K3A[i]*h)+alpha2*(T[i-1]+K3T[i]*h)

K4T[i] = k2*(I[i-1]+K3I[i]*h)-alpha1*(T[i-1]+K3T[i]*h)-(d+delta2+alpha2)*(T[i-1]+K3T[i]*h)

K4R[i] = mu1*(S[i-1]+K3S[i]*h)-d*(R[i-1]+K3R[i]*h)

S[i] = S[i-1] + (K1S[i]+2*K2S[i]+2*K3S[i]+K4S[i])*h/6 I[i] = I[i-1] + (K1I[i]+2*K2I[i]+2*K3I[i]+K4I[i])*h/6 A[i] = A[i-1] + (K1A[i]+2*K2A[i]+2*K3A[i]+K4A[i])*h/6 T[i] = T[i-1] + (K1T[i]+2*K2T[i]+2*K3T[i]+K4T[i])*h/6

R[i] = R[i-1] + (K1R[i]+2*K2R[i]+2*K3R[i]+K4R[i])*h/6 for i in range (4,n):

S[i] = S[i-1] + h/24*(-9*(lajurekrutmen-beta*I[i-4]*S[i-4]-mu1*S[i-4]-d*S[i-

4])+37*(lajurekrutmen-beta*I[i-3]*S[i-3]-mu1*S[i-3]-d*S[i-3])- 59*(lajurekrutmen-beta*I[i-2]*S[i-2]-mu1*S[i-2]-d*S[i-2])+55*(lajurekrutmen-beta*I[i-1]*S[i-1]-mu1*S[i-1]-d*S[i-1]))

I[i] = I[i-1] + h/24*(-9*(beta*I[i-4]*S[i-4]+alpha1*T[i-4]-d*I[i-4]-k1*I[i-4]- k2*I[i-4])+37*(beta*I[i-3]*S[i-3]+alpha1*T[i-3]-d*I[i-3]-k1*I[i-3]-k2*I[i-3])- 59*(beta*I[i-2]*S[i-2]+alpha1*T[i-2]-d*I[i-2]-k1*I[i-2]-k2*I[i-2])+55*(beta*I[i-1]*S[i-1]+alpha1*T[i-1]-d*I[i-1]-k1*I[i-1]-k2*I[i-1]))

A[i] = A[i-1] + h/24*(-9*(k1*I[i-4]-(delta1+d)*A[i-4]+alpha2*T[i-

4])+37*(k1*I[i-3]-(delta1+d)*A[i-3]+alpha2*T[i-3])-59*(k1*I[i-2]- (delta1+d)*A[i-2]+alpha2*T[i-2])+55*(k1*I[i-1]-(delta1+d)*A[i-1]+alpha2*T[i-1]))

T[i] = T[i-1] + h/24*(-9*(k2*I[i-4]-alpha1*T[i-4]-(d+delta2+alpha2)*T[i-

4])+37*(k2*I[i-3]-alpha1*T[i-3]-(d+delta2+alpha2)*T[i-3])-59*(k2*I[i-2]- alpha1*T[i-2]-(d+delta2+alpha2)*T[i-2])+55*(k2*I[i-1]-alpha1*T[i-1]-(d+delta2+alpha2)*T[i-1]))

R[i] = R[i-1] + h/24*(-9*(mu1*S[i-4]-d*R[i-4])+37*(mu1*S[i-3]-d*R[i-3])-59*(mu1*S[i-2]-d*R[i-2])+55*(mu1*S[i-1]-d*R[i-1]))

plt.plot(t,S, "blue",label='Susceptible') plt.plot(t,I, "green",label='Infectious') plt.plot(t,A,"red",label='Affectious') plt.plot(t,T, "turquoise",label='Treatment') plt.plot(t,R, "violet",label='Recovery')

plt.title("Simulasi Numeris menggunakan Adams-Bashforth, R0=0.88256<1")

plt.xlabel("w (waktu dalam tahun)") plt.ylabel("jumlah populasi")

plt.axis([0,200,0,35]) plt.legend()

plt.grid() plt.show()

2. Penyelesaian Odeint 𝒔, 𝒊, 𝒂, 𝒕, 𝒓 untuk 𝑹_𝟎< 𝟏 from scipy.integrate import odeint

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt def odes(x,t):

lajurekrutmen = 0.55 beta = 0.03

d = 0.0196 k2 = 0.35 k1 = 0.15 delta1 = 0.0909 delta2 = 0.0667 mu1 = 0.03 alpha1 = 0.08 alpha2 = 0.03

#mendefinisikan persamaan yang akan digunakan

S = x[0]

I = x[1]

A = x[2]

T = x[3]

R = x[4]

#sistem persamaan

dSdt = lajurekrutmen-(beta*I*S)-(mu1*S)-(d*S) dIdt = (beta*I*S) + (alpha1*T)-(d*I)-(k1*I)-(k2*I) dAdt = (k1*I)-((delta1+d)*A)+(alpha2*T)

dTdt = (k2*I)-(alpha1*T)-((d+delta2+alpha2)*T) dRdt = (mu1*S)-(d*R)

return [dSdt, dIdt, dAdt, dTdt, dRdt]

#nilai awal

t = np.linspace(0, 300, 30000) x0 = [15, 24, 14, 25, 20]

x = odeint(odes, x0, t) S = x[:,0]

I = x[:,1]

A = x[:,2]

T = x[:,3]

R = x[:,4]

#plotting

plt.plot(t, S, "blue", label= "Susceptible") plt.plot(t, I, "green", label= "Infectious") plt.plot(t, A, "red", label= "Affectious") plt.plot(t, T, "turquoise", label= "Treatment") plt.plot(t, R, "violet", label= "Recovered") plt.xlabel ("w (waktu dalam tahun)") plt.ylabel ("nilai populasi")

plt.title("Populasi siatr, R0<1 ") plt.legend (loc = "best")

plt.axis([0,200,0,35]) plt.grid()

plt.show()

3. Metode Adams-Bashforth untuk 𝑹_𝟎> 𝟏

"""

adams -- bashforth-- R0>1

"""

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

#nilai awal setiap populasi

S0 = 15 I0 = 24 A0 = 14 T0 = 25 R0 = 20

#nilai parameter

lajurekrutmen = 0.55 #jurnal beta = 0.03

d = 0.0196 k2 = 0.35 k1 = 0.15

delta1 = 0.0909 #jurnal delta2 = 0.0667 #jurnal mu1 = 0.03 #jurnal alpha1 = 0.25 alpha2 = 0.01

#syarat awal n = 30000 t0 = 0 tn = 300

t = np.linspace(t0,tn,n) h = t[2]-t[1]

#h=b-a/n

#0.01=200-0/x

#mendefinisikan populasi yang digunakan S = np.zeros(n)

I = np.zeros(n) A = np.zeros(n) T = np.zeros(n) R = np.zeros(n)

K1S = np.zeros(n) K1I = np.zeros(n) K1A = np.zeros(n) K1T = np.zeros(n) K1R = np.zeros(n)

K2S = np.zeros(n) K2I = np.zeros(n) K2A = np.zeros(n) K2T = np.zeros(n)

K2R = np.zeros(n)

K3S = np.zeros(n) K3I = np.zeros(n) K3A = np.zeros(n) K3T = np.zeros(n) K3R = np.zeros(n)

K4S = np.zeros(n) K4I = np.zeros(n) K4A = np.zeros(n) K4T = np.zeros(n) K4R = np.zeros(n)

S[0] = S0 I[0] = I0 A[0] = A0 T[0] = T0 R[0] = R0

#perhitungan RK4 for i in range (1,4):

K1S[i] = lajurekrutmen-beta*I[i-1]*S[i-1]-mu1*S[i-1]-d*S[i-1]

K1I[i] = beta*I[i-1]*S[i-1]+alpha1*T[i-1]-d*I[i-1]-k1*I[i-1]-k2*I[i-1]

K1A[i] = k1*I[i-1]-(delta1+d)*A[i-1]+alpha2*T[i-1]

K1T[i] = k2*I[i-1]-alpha1*T[i-1]-(d+delta2+alpha2)*T[i-1]

K1R[i] = mu1*S[i-1]-d*R[i-1]

K2S[i] = lajurekrutmen-beta*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)*(S[i-1]+0.5*K1S[i]*h)-mu1*(S[i-1]+0.5*K1S[i]*h)-d*(S[i-1]+0.5*K1S[i]*h)

K2I[i] = beta*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)*(S[i-1]+0.5*K1S[i]*h)+alpha1*(T[i- 1]+0.5*K1T[i]*h)-d*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)-k1*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)-k2*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)

K2A[i]=k1*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)-(delta1+d)*(A[i-1]+0.5*K1A[i]*h)+alpha2*(T[i-1]+0.5*K1T[i]*h)

K2T[i] = k2*(I[i-1]+0.5*K1I[i]*h)-alpha1*(T[i-1]+0.5*K1T[i]*h)-(d+delta2+alpha2)*(T[i-1]+0.5*K1T[i]*h)

K2R[i] = mu1*(S[i-1]+0.5*K1S[i]*h)-d*(R[i-1]+0.5*K1R[i]*h)

K3S[i] = lajurekrutmen-beta*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)*(S[i-1]+0.5*K2S[i]*h)-mu1*(S[i-1]+0.5*K2S[i]*h)-d*(S[i-1]+0.5*K2S[i]*h)

K3I[i] = beta*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)*(S[i-1]+0.5*K2S[i]*h)+alpha1*(T[i- 1]+0.5*K2T[i]*h)-d*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)-k1*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)-k2*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)

K3A[i] = ok1*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)-(delta1+d)*(A[i-1]+0.5*K2A[i]*h)+alpha2*(T[i-1]+0.5*K2T[i]*h)

K3T[i] = k2*(I[i-1]+0.5*K2I[i]*h)-alpha1*(T[i-1]+0.5*K2T[i]*h)-(d+delta2+alpha2)*(T[i-1]+0.5*K2T[i]*h)

K3R[i] = mu1*(S[i-1]+0.5*K2S[i]*h)-d*(R[i-1]+0.5*K2R[i]*h)

K4S[i] = lajurekrutmen-beta*(I[i-1]+K3I[i]*h)*(S[i-1]+K3S[i]*h)-mu1*(S[i-1]+K3S[i]*h)-d*(S[i-1]+K3S[i]*h)

K4I[i] = beta*(I[i-1]+K3I[i]*h)*(S[i-1]+K3S[i]*h)+alpha1*(T[i-1]+K3T[i]*h)-d*(I[i-1]+K3I[i]*h)-k1*(I[i-1]+K3I[i]*h)-k2*(I[i-1]+K3I[i]*h)

K4A[i] = k1*(I[i-1]+K3I[i]*h)-(delta1+d)*(A[i-1]+K3A[i]*h)+alpha2*(T[i-1]+K3T[i]*h)

K4T[i] = k2*(I[i-1]+K3I[i]*h)-alpha1*(T[i-1]+K3T[i]*h)-(d+delta2+alpha2)*(T[i-1]+K3T[i]*h)

K4R[i] = mu1*(S[i-1]+K3S[i]*h)-d*(R[i-1]+K3R[i]*h)

S[i] = S[i-1] + h/24*(-9*(lajurekrutmen-beta*I[i-4]*S[i-4]-mu1*S[i-4]-d*S[i-

4])+37*(lajurekrutmen-beta*I[i-3]*S[i-3]-mu1*S[i-3]-d*S[i-3])- 59*(lajurekrutmen-beta*I[i-2]*S[i-2]-mu1*S[i-2]-d*S[i-2])+55*(lajurekrutmen-beta*I[i-1]*S[i-1]-mu1*S[i-1]-d*S[i-1]))

A[i] = A[i-1] + h/24*(-9*(k1*I[i-4]-(delta1+d)*A[i-4]+alpha2*T[i-

4])+37*(k1*I[i-3]-(delta1+d)*A[i-3]+alpha2*T[i-3])-59*(k1*I[i-2]- (delta1+d)*A[i-2]+alpha2*T[i-2])+55*(k1*I[i-1]-(delta1+d)*A[i-1]+alpha2*T[i-1]))

T[i] = T[i-1] + h/24*(-9*(k2*I[i-4]-alpha1*T[i-4]-(d+delta2+alpha2)*T[i-

4])+37*(k2*I[i-3]-alpha1*T[i-3]-(d+delta2+alpha2)*T[i-3])-59*(k2*I[i-2]- alpha1*T[i-2]-(d+delta2+alpha2)*T[i-2])+55*(k2*I[i-1]-alpha1*T[i-1]-(d+delta2+alpha2)*T[i-1]))

R[i] = R[i-1] + h/24*(-9*(mu1*S[i-4]-d*R[i-4])+37*(mu1*S[i-3]-d*R[i-3])-59*(mu1*S[i-2]-d*R[i-2])+55*(mu1*S[i-1]-d*R[i-1]))

plt.title("Simulasi Numeris menggunakan Adams-Bashforth, R0>1") plt.xlabel("w (waktu dalam tahun)")

plt.ylabel("jumlah populasi") plt.axis([0,200,0,35])

plt.legend() plt.grid()

plt.show()

4. Penyelesaian Odeint untuk 𝑹_𝟎 > 𝟏 from scipy.integrate import odeint import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt def odes(x,t):

lajurekrutmen = 0.55 beta = 0.03

d = 0.0196 k2 = 0.35 k1 = 0.15 delta1 = 0.0909 delta2 = 0.0667 mu1 = 0.03 alpha1 = 0.25 alpha2 = 0.01

#mendefinisikan persamaan2 yang akan digunakan S = x[0]

I = x[1]

A = x[2]

T = x[3]

R = x[4]

#sistem persamaan

dSdt = lajurekrutmen-(beta*I*S)-(mu1*S)-(d*S) dIdt = (beta*I*S) + (alpha1*T)-(d*I)-(k1*I)-(k2*I) dAdt = (k1*I)-((delta1+d)*A)+(alpha2*T)

dTdt = (k2*I)-(alpha1*T)-((d+delta2+alpha2)*T) dRdt = (mu1*S)-(d*R)

return [dSdt, dIdt, dAdt, dTdt, dRdt]

#nilai awal

t = np.linspace(0, 300, 30000) x0 = [15, 24, 14, 25, 20]

x = odeint(odes, x0, t) S = x[:,0]

I = x[:,1]

A = x[:,2]

T = x[:,3]

R = x[:,4]

#plotting

plt.plot(t, S, "blue", label= "Susceptible") plt.plot(t, I, "green", label= "Infectious") plt.plot(t, A, "red", label= "Affectious") plt.plot(t, T, "turquoise", label= "Treatment")

plt.plot(t, R, "violet", label= "Recovered") plt.xlabel ("w (waktu dalam tahun)") plt.ylabel ("Jumlah Populasi") plt.title("Populasi Susceptible ") plt.title("Populasi Infectious ") plt.title("Populasi Affectious ") plt.title("Populasi Treatment ") plt.title("Populasi siatr, R0>1 ") plt.legend (loc = "best")

plt.axis([0,200,0,35]) plt.grid()

plt.show()

Dalam dokumen PEMODELAN MATEMATIS EPIDEMI HIV/AIDS YANG MELIBATKAN PERAWATAN DAN PENYELESAIAN NUMERISNYA MENGGUNAKAN METODE ADAMS-BASHFORTH SKRIPSI (Halaman 88-0)