BAB II
STUDI LITERATUR
2.1. Metode Kekakuan Langsung
Metode kekakuan langsung merupakan implementasi dari metode elemen hingga (MEH) yang paling luas digunakan (Cook et al., 2002; Logan, 2007), di mana dalam perhitungannya menggunakan aplikasi matriks yang didasarkan pada konsep kekakuan dan perpindahan (rotasi dan translasi).
Pada metode kekakuan langsung, hubungan antara gaya dan perpindahan pada suatu struktur dalam koordinat global (xyz) diwakilkan dengan persamaan,
𝐊𝐃 = 𝐅 (2.1)
dengan
K = matriks kekakuan struktur global D = vektor perpindahan titik-titik nodal F = vektor gaya titik-titik nodal
Persamaan di atas dirakit dari persamaan-persamaan keseimbangan seluruh elemen yang membentuk struktur. Persamaan keseimbangan untuk suatu elemen adalah
𝐤𝐝 = 𝐟 (2.2)
dengan
k = matriks kekakuan elemen
d = vektor perpindahan titik-titik nodal elemen f = vektor gaya titik-titik nodal elemen
Tidak seperti dalam MEH konvensional, dalam MEH-K orde matriks k, d dan f dapat berbeda-beda untuk setiap elemen bergantung kepada jumlah node dalam domain of influencing nodes (DOI). Semakin banyak lapis elemen yang digunakan dalam pembentukan interpolasi Kriging, semakin besar pula orde matriks-matriks elemen dan biaya komputasi semakin mahal. Proses perakitan dari persamaan elemen (2.2) menjadi persamaan struktur (2.1) melibatkan semua degress of freedom pada semua node dalam DOI.
2.2. Metode Elemen Hingga Berbasis Kriging (MEH-K) 2.2.1. Interpolasi Kriging
Interpolasi Kriging adalah teknik geostatistik untuk interpolasi ruang yang banyak digunakan dalam ilmu geologi dan pertambangan. Nama Kriging diambil dari nama seorang insinyur pertambangan Afrika Selatan bernama Danie G. Krige (Tongsuk & Kanok-Nukulchai, 2004; Olea, 1999, p.8). Dengan menggunakan interpolasi ini, maka semua titik yang tidak diketahui nilainya dapat diinterpolasi dari nilai-nilai yang telah diketahui pada titik-titik yang tersebar di sekitar titik tersebut. Hal ini diilustrasikan pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1. Skema Interpolasi Kriging
Sumber: Syamsoeyadi (2009), dikutip dari Kanok-Nukulchai (2008)
2.2.2. Perumusan Interpolasi Kriging
Dalam sebuah domain Ω, terdapat sejumlah titik-titik xi, i = 1, 2, … , N, di mana N merupakan jumlah dari titik-titik tersebut dan fungsi dari nilai x tersebut dapat dinyatakan sebagai u(x). Untuk sebuah titik sembarang x0, nilai dari u(x0) diasumsikan dipengaruhi oleh titik-titik di sekitarnya dalam sebuah sub-domain yang diberi nama domain of influencing nodes (DOI). Apabila dalam DOI tersebut terdapat titik-titik x1, … , xn, di mana n adalah jumlah titik-titik dalam DOI tersebut, maka nilai u(x0) dapat diinterpolasi dari nilai-nilai u(x1), … , u(xn). Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2. Titik x0, DOI dari x0 tersebut, dan titik-titik lain yang tersebar dalam sebuah domain Ω
Sumber: Wong (2009)
Nilai u(x0) diasumsikan dapat dihitung dengan nilai estimasi uh yang merupakan penjumlahan linier u(x1), … , u(xn), sehingga dapat ditulis sebagai berikut:
𝑢h(𝐱0) = ∑𝑛𝑖=1𝜆𝑖𝑢(𝐱𝑖) (2.3) di mana
λi = bobot Kriging masing-masing titik dalam DOI n = jumlah semua titik dalam DOI
Fungsi uh(x) dibagi dalam dua bagian sebagai berikut:
𝑢h(𝐱0) = ∑𝑚𝑗=1𝑝𝑗(𝐱)𝑎𝑗+ 𝑍(𝐱) (2.4) di mana
∑𝑚𝑗=1𝑝𝑗(𝐱)𝑎𝑗 = polynomial basis dengan jumlah suku m
Z(x) = fungsi fluktuasi yang merupakan fungsi acak dengan rata-rata nol
Nilai estimasi uh(x) yang dibagi menjadi dua bagian, yaitu polynomial basis dan fungsi penyimpangan (departure), secara jelasnya dapat dilihat pada Gambar 2.3.
Gambar 2.3. Pembagian nilai estimasi uh(x).
Sumber: Syamsoeyadi (2009), dikutip dari Kanok-Nukulchai (2008)
Dalam interpolasi Kriging, fungsi deterministik u(x) dapat dianggap sebagai realisasi dari fungsi acak U(x). Maka persamaan (2.3) dapat ditulis sebagai berikut:
𝑈h(𝐱0) = ∑𝑛𝑖=1𝜆𝑖𝑈(𝐱𝑖) (2.5)
Bobot Kriging pada persamaan (2.3) dan (2.5) ditentukan dengan syarat nilai estimasi Uh(x0) tidak bias, atau dapat pula ditulis sebagai berikut:
E[𝑈h(𝐱0) − 𝑈(𝐱0)] = 0 (2.6) Selain tidak bias, varians nilai kesalahan dari nilai estimasi harus minimum. Nilai varians ini dapat ditulis sebagai berikut:
var[𝑈h(𝐱0) − 𝑈(𝐱0)] = 0 (2.7)
Menggunakan metode pengali Lagrange, dapat dirumuskan sistem persamaan Kriging. Penurunan perumusan sistem persamaan Kriging yang lengkap dan jelas dapat dilihat pada Wong (2009). Perumusan sistem persamaan Kriging adalah sebagai berikut:
𝐑𝛌 + 𝐏𝛍 = 𝐫(𝐱𝟎) (2.8)
𝐏T𝛌 = 𝐩(𝐱𝟎) (2.9)
di mana:
𝐑 = [
𝐶(𝐡11) … 𝐶(𝐡1𝑛)
… … …
𝐶(𝐡𝑛1) … 𝐶(𝐡𝑛𝑛)
] (2.10a)
𝐏 = [
𝑝1(𝐱1) … 𝑝𝑚(𝐱1)
… … …
𝑝1(𝐱𝑛) … 𝑝𝑚(𝐱𝑛)
] (2.10b)
𝛌 = [𝜆1 … 𝜆𝑛]𝑇 (2.10c)
𝛍 = [𝜇1 … 𝜇𝑚]𝑇 (2.10d)
𝐫(𝐱0) = [𝐶(𝐡10) … 𝐶(𝐡𝑛0)]𝑇 (2.10e) 𝐩(𝐱0) = [𝑝1(𝐱0) … 𝑝𝑚(𝐱0)]𝑇 (2.10f) dengan:
R = matriks kovarians berdimensi n × n
P = matriks nilai polinomial pada titik-titik, berdimensi n × m λ = vektor bobot Kriging berdimensi n × 1
μ = vektor pengali Lagrange berdimensi m × 1
r(xo) = vektor kovarians antara titik-titik dan titik yang dicari berdimensi n × 1 p(xo) = vektor polynomial basis pada titik x0, berdimensi m × 1
𝐶(𝐡𝑖𝑗) = cov[𝑈(𝐱𝑖), 𝑈(𝐱𝑗)] = nilai fungsi kovarians antara variabel acak pada titik-titik i dan j.
𝐡𝒊𝒋 = 𝐡𝒋− 𝐡𝒊 = jarak antara titik xi dengan xj
Selanjutnya nilai λ dapat diperoleh dari penyelesaian persamaan Kriging pada persamaan (2.8) dan (2.9), sehingga kemudian nilainya dapat dimasukkan ke dalam persamaan (2.3). Adapun karena λ merupakan vektor yang berdimensi n × 1, maka persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi:
𝑢(𝐱0) = 𝛌T𝐝 (2.11)
di mana: 𝐝 = [𝑢(𝐱1) … 𝑢(𝐱𝑛)]T merupakan vektor dari titik-titik nodal.
Karena titik x0 dapat berupa sembarang titik dalam DOI, maka dapat ditulis sebagai x. Dalam MEH, persamaan (2.11) identik dengan persamaan hubungan antara shape function dan perpindahan pada titik nodal, sebagai berikut:
𝑢h(𝐱) = 𝐍(𝐱)𝐝 = ∑𝑛𝑖=1𝑁𝑖(𝐱)𝑢𝑖 (2.12)
di mana 𝐍(𝐱) = 𝛌T(𝐱) = shape function dari interpolasi Kriging. Dengan menggunakan persamaan (2.12), nilai u dari suatu titik yang tidak diketahui, x, dapat dicari.
Dalam MEH-K, yang berbeda dengan MEH standar hanyalah shape function- nya saja. Adapun definisi dari shape function adalah suatu fungsi di dalam sebuah elemen apabila derajat kebebasan ke-i elemen bernilai satu dan derajat kebebasan lainnya bernilai nol (Cook et al., 2002). Pada MEH-K, shape function didapatkan dari hasil interpolasi Kriging, yaitu nilai λT yang didapatkan dari persamaan (2.8) dan (2.9). Ilustrasi mengenai shape function untuk elemen satu dimensi dapat dilihat pada Gambar 2.4 dengan DOF adalah “domain of influencing nodes” dan E adalah elemen yang ditinjau pada gambar.
(a) (b)
Gambar 2.4. Shape function pada elemen balok satu dimensi: (a) shape function pada MEH standar, (b) shape function pada MEH-K.
Sumber: Syamsoeyadi (2009), dikutip dari Kanok-Nukulchai (2008)
Pada MEH-K, DOI yang digunakan adalah DOI elemen berlapis. DOI pada MEH standar hanya satu lapis saja, yaitu hanya mencakup elemen itu sendiri.
Sedangkan pada MEH-K, DOI ditentukan sesuai dengan kebutuhan, dan tentunya semakin banyak DOI yang ditinjau, maka akan semakin akurat hasil yang didapatkan, namun pekerjaan yang dilakukan menjadi semakin lama. Oleh karena itu, biasanya hanya digunakan satu sampai tiga lapis saja. Titik-titik nodal yang berada dalam DOI, namun bukan merupakan titik yang ditinjau dinamakan titik nodal satelit. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat ilustrasi untuk elemen satu dimensi pada Gambar 2.5, dan untuk elemen dua dimensi dapat dilihat pada Gambar 2.6.
Gambar 2.5. Elemen satu dimensi dengan DOI dua dan tiga lapis.
Sumber: Sulistio (2014)
Gambar 2.6. Elemen dua dimensi dengan DOI satu sampai empat lapis.
Sumber: Wong (2009)
Polynomial basis yang berperan dalam pembentukan shape function Kriging merupakan fungsi-fungsi basis pembentuk polinomial. Semakin tinggi jumlah suku polinomial yang digunakan, m, maka semakin banyak juga DOI yang diperlukan, karena jumlah titik nodal dalam DOI, n, harus lebih besar atau sama dengan jumlah suku polinomial yang digunakan, m, agar interpolasi Kriging dapat dijalankan.
Tabel jumlah DOI minimum berdasarkan polynomial basis serta fungsi basis pada elemen satu dimensi dapat dilihat pada Tabel 2.1. Adapun dalam penelitian ini, polynomial basis yang digunakan maksimum berderajat empat.
Tabel 2.1. Polynomial basis pada elemen 2D beserta jumlah lapisan DOI minimum yang diperlukan.
Sumber: Wong (2009)
No.
Jenis Polynomial
Basis
Lapisan DOI Minimum
Jumlah Suku Polynomial Basis,
m
Fungsi Basis
1 Linear 1 3 1 x y
2 Quadratic 2 6 1 x y x2 xy y2
3 Cubic 3 10 1 x y x2 xy y2 x3 x2y
xy2 y3
4 Quartic 4 15 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4
Dalam membentuk shape function berbasis Kriging juga diperlukan fungsi korelasi dan parameter korelasi. Fungsi korelasi didefinisikan sebagai berikut:
𝜌(𝐡) = 𝐶(𝐡) 𝜎⁄ 2 (2.13)
𝜎2 = var[𝑈(𝐱)] (2.14)
Menurut Gu (2003), nilai σ2 tidak memiliki pengaruh pada hasil akhir sehingga dalam tesis ini dipakai nilai satu.
Dalam MEH-K dikenal dua macam fungsi korelasi, yaitu Gaussian (Gu, 2003; Tongsuk & Kanok-Nukulchai, 2004; Plengkhom & Kanok-Nukulchai, 2005) dan quartic spline (Wong, 2009). Perumusan untuk fungsi korelasi Gaussian adalah sebagai berikut:
𝜌(ℎ) = 𝑒−(𝜃
ℎ 𝑑)2
(2.15)
Perumusan untuk fungsi korelasi quartic spline adalah sebagai berikut:
𝜌(ℎ) = {1 − 6 (𝜃ℎ
𝑑)2 + 8 (𝜃ℎ
𝑑)3− 3 (𝜃ℎ
𝑑)4: untuk 0 < 𝜃ℎ
𝑑< 1 0 ∶ untuk 𝜃ℎ
𝑑 > 1
(2.16)
di mana:
θ>0 merupakan parameter korelasi h = jarak antara kedua titik nodal
d = jarak maksimum antara pasangan titik-titik nodal pada DOI
Menurut Plengkhom & Kanok-Nukulchai (2005), parameter korelasi ditentukan sedemikian sehingga memenuhi batas bawah:
|∑𝑛𝑖=1𝑁𝑖− 1| ≤ 1 × 10−10+𝑎 (2.17a) dan memenuhi batas atas:
det (𝐑) ≤ 1 × 10−𝑏 (2.17b)
di mana:
a = orde dari fungsi basis (untuk linear, a = 1; quadratic, a = 2; cubic, a = 3;
quartic, a = 4)
b = dimensi permasalahan (1, 2, atau 3)
2.3. Pelat Lentur
Yang dimaksud dengan pelat adalah sebuah bentuk datar dengan ketebalan yang sangat kecil dibandingkan dengan dimensi lainnya (Cook et al., 2002; Logan, 2007). Akibat bentuk geometri ini, apabila diterapkan metode elemen hingga 3D pada pelat lentur dapat menimbulkan masalah shear locking dan ill-conditioning.
Tetapi jika masalah ini dihindari dengan menggunakan banyak elemen 3D yang compact atau rapat, sebuah struktur elemen hingga akan memiliki banyak sekali degrees of freedom (d.o.f.). Masalah akibat banyaknya degrees of freedom dapat dihindari dengan mendasarkan elemen pada teori pelat. Bergantung pada tipe teori pelat yang diadopsi, formulasi khusus akan diperlukan untuk mengindari terjadinya shear locking.
Sebuah pelat datar, seperti balok lurus, menerima beban lateral dengan lentur.
Secara umum, sebuah pelat memiliki bending moments pada dua arah dan sebuah twisting moment.
Terdapat dua teori pelat, yang pertama mengabaikan adanya deformasi geser transversal, sedangkan yang kedua memperhitungkannya. Pada keduanya, tegangan normal pada arah ketebalannya (σz) dianggap nol. Teori pertama dinamakan Kirchoff theory atau thin-plate theory, karena dapat digunakan untuk pelat tipis yang deformasi gesernya bisa diabaikan. Teori kedua dinamakan Mindlin theory atau juga sering digunakan istilah Reissner-Mindlin theory, yang bersifat lebih umum dan bisa digunakan untuk pelat yang cukup tebal maupun yang tipis.
2.3.1. Teori Pelat Lentur Reissner-Mindlin
Notasi yang digunakan pada pelat lentur, dapat dilihat pada Gambar 2.7. Pelat diletakkan pada bidang xy. Arah panah yang digunakan untuk menggambarkan rotasi adalah menggunakan aturan tangan kanan.
Gambar 2.7. Notasi untuk komponen rotasi dari mid-surface normal dan kemiringan permukaan pelat.
Sumber: Cook et al. (2002)
Sebuah pelat dengan ketebalan t memiliki mid-surface pada jarak t/2 dari tiap permukaan lateral. Untuk analisis, digunakan bidang xy pada mid-surface pelat sehingga z = 0 menggambarkan mid-surface.
Perilaku pelat diidealisasikan dengan mengatakan bahwa sebuah garis yang lurus dan tegak terhadap mid-surface sebelum dibebani akan tetap lurus tetapi tidak harus tegak terhadap deformed mid-surface. Rotasi dari garis lurus ini memiliki komponen ψx dan ψy. Sehingga sebuah titik yang tidak berada pada mid-surface memiliki perpindahan arah x sebesar u, seperti pada Gambar 2.8. Begitu juga untuk arah y dengan perpindahannya sebesar v. Sehingga, untuk perpindahan dan rotasi kecil, regangannya dapat diperoleh dari persamaan berikut:
𝑢 = −𝑧𝜓𝑥 𝑣 = −𝑧𝜓𝑦 (2.18a)
𝜀𝑥 = −𝑧𝜓𝑥,𝑥 𝜀𝑦 = −𝑧𝜓𝑦,𝑦 (2.18b)
𝛾𝑥𝑦= −𝑧(𝜓𝑥,𝑦+ 𝜓𝑦,𝑥) 𝛾𝑦𝑧 = 𝑤,𝑦− 𝜓𝑦 𝛾𝑧𝑥 = 𝑤,𝑥− 𝜓𝑥 (2.18c)
di mana koma menandakan penurunan terhadap variabel selanjutnya dan w adalah defleksi lateral (arah z) dari mid-surface. Regangan untuk arah ketebalan εz tidak diperlukan. Persamaan di atas adalah basis dari teori pelat Mindlin, yang
memperbolehkan deformasi geser transversal yang artinya γyz dan γzx tidak harus nol.
Gambar 2.8. (a) Sebuah elemen pelat (b) Penampang pelat yang mengalami deformasi, dilihat dari arah sumbu y+.
Sumber: Cook et al. (2002)
Dengan menggunakan persamaan yang menghubungkan regangan kecil dengan perpindahan untuk general solid, komponen regangan untuk pelat dapat dituliskan sebagai berikut:
𝛆 = [𝜕]𝐮 (2.19a)
di mana
𝛆 = {
𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝛾𝑥𝑦 𝛾𝑥𝑧 𝛾𝑦𝑧}
[𝜕] = [
0 −𝑧 𝜕/𝜕𝑥 0
0 0 −𝑧 𝜕/𝜕𝑦
0 −𝑧 𝜕/𝜕𝑦 −𝑧 𝜕/𝜕𝑥
𝜕/𝜕𝑥 −1 0
𝜕/𝜕𝑦 0 −1 ]
𝐮 = { 𝑤 𝜓𝑥
𝜓𝑦} (2.19b)
Komponen regangan dapat disusun berdasarkan dari mode deformasi pelat, yaitu regangan yang disebabkan oleh deformasi lentur, εb, dan regangan yang disebabkan oleh deformasi geser, εs, sebagai berikut:
𝛆b = −𝑧[𝜕]b𝐮 (2.20a)
𝛆s = [𝜕]s𝐮 (2.20b)
di mana
𝛆b = { 𝜀𝑥 𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦} [𝜕]b = [
0 𝜕/𝜕𝑥 0
0 0 𝜕/𝜕𝑦
0 𝜕/𝜕𝑦 𝜕/𝜕𝑥
] (2.20c)
𝛆s = {𝛾𝑥𝑧
𝛾𝑦𝑧} [𝜕]s = [𝜕/𝜕𝑥 −1 0
𝜕/𝜕𝑦 0 −1] (2.20d)
Dengan vektor kurvatur sebagai berikut:
𝛋 = {
𝜓𝑥,𝑥 𝜓𝑦,𝑦 𝜓𝑥,𝑦+ 𝜓𝑦,𝑥
} = [𝜕]b𝐮 (2.21)
maka persamaan regangan lentur dapat dibentuk menjadi
𝛆b = −𝑧𝛋 (2.22)
Kondisi tegangan untuk tiap bidang yang sejajar dengan mid-surface dapat dianggap sebagai kondisi plane stress. Untuk material yang linear-elastis dan isotropik, hubungan tegangan-regangannya adalah sebagai berikut:
𝛔b = { 𝜎𝑥 𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦} = 𝐸
1−𝑣2[
1 𝑣 0
𝑣 1 0
0 0 1−𝑣
2
] { 𝜀𝑥 𝜀𝑦
𝛾𝑥𝑦} = 𝐄b𝛆b (2.23) Tegangan geser rata-rata memiliki hubungan dengan regangan geser, εs, dalam bentuk
𝛔s = {𝜏𝑥𝑧
𝜏𝑦𝑧} = 𝑘 [𝐺 0 0 𝐺] {𝛾𝑥𝑧
𝛾𝑦𝑧} = 𝐄s𝛆s (2.24) di mana
𝐺 = 𝐸
2(1+𝑣) (2.25)
adalah modulus geser dan k adalah faktor koreksi geser. Menurut Cook et al. (2002), faktor k memperhitungkan variasi parabolik dari regangan geser transversal pada arah z. Nilai k yang disetujui untuk material homogen adalah k = 5/6.
Tegangan pada penampang pelat dapat dilihat pada Gambar 2.9. Tegangan tersebut berhubungan dengan momen dan gaya per unit panjang pada bidang xy.
Persamaan hubungan itu adalah
𝑀𝑥 = ∫−𝑡/2𝑡/2 𝜎𝑥𝑧 𝑑𝑧 𝑀𝑦 = ∫−𝑡/2𝑡/2 𝜎𝑦𝑧 𝑑𝑧 𝑀𝑥𝑦 = ∫−𝑡/2𝑡/2 𝜏𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑧 (2.26a) 𝑄𝑥= ∫−𝑡/2𝑡/2 𝜏𝑧𝑥 𝑑𝑧 𝑄𝑦 = ∫−𝑡/2𝑡/2 𝜏𝑦𝑧 𝑑𝑧 (2.26b)
Ditulis dalam bentuk matriks, 𝐌 = {
𝑀𝑥 𝑀𝑦 𝑀𝑥𝑦
} = ∫ { 𝜎𝑥 𝜎𝑦 𝜏𝑥𝑦} 𝑧 𝑑𝑧
𝑡/2
−𝑡/2 (2.26c)
𝐐 = {𝑄𝑥
𝑄𝑦} = ∫ {𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧} 𝑑𝑧
𝑡/2
−𝑡/2 (2.26d)
di mana Mx dan My adalah bending moments per unit panjang, Mxy adalah twisting moment per unit panjang, sementara Qx dan Qy adalah gaya geser per unit panjang.
Gambar 2.9. (a) Tegangan dan gaya lateral merata q pada elemen pelat (b) Momen & gaya geser transversal yang berhubungan dengan tegangan pada (a).
Sumber: Cook et al. (2002)
Deformasi di mana garis yang tegak terhadap mid-surface diasumsikan tetap lurus, menghasilkan tegangan σx, σy dan τxy yang berubah secara linear terhadap z.
Nilai puncak dari tegangan ini adalah:
{ 𝜎𝑥 𝜎𝑦
𝜏𝑥𝑦} = ± 6
𝑡2{ 𝑀𝑥 𝑀𝑦
𝑀𝑥𝑦} pada 𝑧 = ± 𝑡 2⁄ (2.27) Sedangkan tegangan geser τxz dan τyz berubah secara parabolik sepanjang arah ketebalan pelat dan memiliki nilai terbesar sebesar
{𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧} = 3
2𝑡{𝑄𝑥
𝑄𝑦} pada 𝑧 = 0 (2.28)
Dengan mensubstitusikan persamaan (2.22) ke persamaan (2.23) dan mensubstitusikan hasilnya ke dalam persamaan (2.26c) menghasilkan
𝐌 = − ∫−𝑡/2𝑡/2 𝐄b𝛋𝑧2 𝑑𝑧 (2.29) Pada persamaan di atas, κ bukan merupakan fungsi z dan untuk material homogen, Eb juga bukan merupakan fungsi z. Sehingga, setelah dilakukan integrasi terhadap ketebalan, persamaan di atas menjadi:
𝐌 = −𝑡3
12𝐄b𝛋 = −𝐃b𝛋 (2.30a)
di mana
𝐃b = 𝐸𝑡3
12(1−𝑣2)[
1 𝑣 0
𝑣 1 0
0 0 (1−𝑣)
2
] = 𝐷𝑏[
1 𝑣 0
𝑣 1 0
0 0 (1−𝑣)
2
] (2.30b)
Faktor Db pada persamaan ini adalah kekakuan lentur dari pelat.
Dengan mensubstitusikan persamaan (2.24) ke persamaan (2.26d) menghasilkan
𝐐 = − ∫−𝑡/2𝑡/2 𝐄s𝛆s𝑑𝑧 (2.31) Untuk material homogen, persamaan di atas menjadi:
𝐐 = 𝑡𝐄s𝛆s = 𝐃s𝛆s (2.32a)
di mana
𝐃s = 𝐺𝑘𝑡 [1 0
0 1] = 𝐷𝑠[1 0
0 1] (2.32b)
Faktor Ds pada persamaan ini adalah kekakuan geser dari pelat.
Persamaan umum dari pelat untuk analisis statik linier dapat dibentuk dengan menggunakan principle of virtual displacement sebagai berikut:
∫ 𝛿𝛆𝑉 bT𝛔b 𝑑𝑉+ ∫ 𝛿𝛆𝑉 sT𝛔s 𝑑𝑉= ∫ 𝛿𝑤𝑆 T𝑞 𝑑𝑆 (2.33) di mana:
δεb = regangan lentur virtual δεs = regangan geser virtual δw = defleksi virtual
Suku pertama di atas, dengan melihat persamaan (2.22) dan (2.23), dapat diubah menjadi:
∫ 𝛿𝛆𝑉 bT𝛔b 𝑑𝑉= ∫ 𝛿(−𝑧𝛋)𝑉 T𝐄b(−𝑧𝛋) 𝑑𝑉 (2.34)
Dengan mengembangkan 𝑑𝑉 = 𝑑𝑧 𝑑𝑆 dan melakukan proses integrasi terhadap ketebalan didapatkan
∫ 𝛿𝛆𝑉 bT𝛔b 𝑑𝑉= ∫ 𝛿𝛋𝑆 T𝐃b𝛋 𝑑𝑆 (2.35) Suku kedua pada persamaan (2.33), dengan melihat persamaan (2.24) dan melakukan proses integrasi terhadap ketebalannya, dapat diubah menjadi:
∫ 𝛿𝛆𝑉 sT𝛔s 𝑑𝑉= ∫ 𝛿𝛆𝑆 sT𝐃s𝛆s 𝑑𝑆 (2.36) Dengan adanya perubahan bentuk integral dari persamaan sebelumnya, yaitu dengan melihat persamaan (2.35) dan (2.36), persamaan (2.33) berubah menjadi
∫ 𝛿𝛋𝑆 T𝐃b𝛋 𝑑𝑆+ ∫ 𝛿𝛆𝑆 sT𝐃s𝛆s 𝑑𝑆= ∫ 𝛿𝑤𝑆 T𝑞 𝑑𝑆 (2.37) Bentuk persamaan ini merupakan variational form dari persamaan pelat Reissner- Mindlin untuk analisis statik linier. Dengan mensubstitusikan persamaan (2.20b) dan (2.21) terhadap persamaan di atas, akan diperoleh persamaan sebagai berikut:
∫ 𝛿([𝜕]𝑆 b𝐮)T𝐃b[𝜕]b𝐮 𝑑𝑆+ ∫ 𝛿([𝜕]𝑆 s𝐮)T𝐃s[𝜕]s𝐮 𝑑𝑆 = ∫ 𝛿𝐮𝑆 T𝐩 𝑑𝑆 (2.38a) di mana
𝐩 = {𝑞 0 0}T (2.38b)
2.3.2. Formulasi MEH-K Pelat Lentur Reissner-Mindlin
Seperti telah disebutkan, pada MEH standar shape function adalah fungsi polinomial dan node yang digunakan untuk membentuk shape function terbatas pada node yang berada pada elemen saja. Sedangkan pada MEH-K, shape function dibentuk dengan interpolasi Kriging dan node yang digunakan adalah node yang ada pada elemen dan juga node satelit.
Penggunaan shape function pada MEH-K untuk menemukan perpindahan lateral dan rotasi pada suatu titik dalam elemen dengan memakai node pada DOI sejumlah n dapat dinyatakan sebagai berikut:
{ 𝑤 𝜓𝑥
𝜓𝑦} = ∑ [
𝑁𝑖 0 0 0 𝜂𝑖 0 0 0 𝜉𝑖
] { 𝑤𝑖 𝜓𝑥𝑖 𝜓𝑦𝑖}
𝑛𝑖=1 (2.39)
Pada persamaan di atas, Ni merupakan shape function untuk menghitung defleksi, ηi merupakan shape function untuk menghitung rotasi yang menghasilkan perpindahan pada arah x dan ξi merupakan shape function untuk menghitung rotasi
yang menghasilkan perpindahan pada arah y. Ketiga shape function tersebut tidak harus identik dan tidak bergantung antara satu sama lain. Namun dalam tesis ini, digunakan shape function yang sama untuk perhitungan ketiga variabel pelat tersebut.
Persamaan di atas juga dapat ditulis sebagai berikut:
𝐮 = 𝐍𝐝 (2.40a)
di mana
𝐍 = [
𝑁1 0 0 … 𝑁𝑛 0 0
0 𝜂1 0 … 0 𝜂𝑛 0
0 0 𝜉1 … 0 0 𝜉𝑛
] (2.40b)
adalah matriks shape function dan
𝐝 = {𝑤1 𝜓𝑥1 𝜓𝑦1 … 𝑤𝑛 𝜓𝑥𝑛 𝜓𝑦𝑛}T (2.40c) adalah vektor perpindahan nodal elemen.
Hubungan antara kurvatur dan perpindahan dapat dirumuskan menjadi:
𝛋 = [𝜕]b𝐮 = 𝐁b𝐝 (2.41a)
di mana
𝐁b = [
0 𝜂1,𝑥 0 … 0 𝜂𝑛,𝑥 0
0 0 𝜉1,𝑦 … 0 0 𝜉𝑛,𝑦
0 𝜂1,𝑦 𝜉1,𝑥 … 0 𝜂𝑛,𝑦 𝜉𝑛,𝑥
] (2.41b)
adalah matriks kurvatur-perpindahan.
Hubungan antara regangan geser dan perpindahan dapat dirumuskan menjadi:
𝛆s = [𝜕]s𝐮 = 𝐁s𝐝 (2.42a) di mana
𝐁s = [𝑁1,𝑥 −𝜂1 0 … 𝑁𝑛,𝑥 −𝜂𝑛 0
𝑁1,𝑦 0 −𝜉1 … 𝑁𝑛,𝑦 0 −𝜉𝑛] (2.42b) adalah matriks regangan geser-perpindahan.
Dengan mensubstitusikan persamaan (2.40a), (2.41a) dan (2.42a) pada persamaan (2.38a) didapatkan
∫ 𝛿𝐝𝑆 T𝐁bT𝐃b𝐁b𝐝 𝑑𝑆+ ∫ 𝛿𝐝𝑆 T𝐁sT𝐃s𝐁s𝐝 𝑑𝑆= ∫ 𝛿𝐝𝑆 T𝐍T𝐩 𝑑𝑆 (2.43)
Karena vektor δd dan d bukan merupakan fungsi dari koordinat, persamaan di atas dapat dituliskan ulang menjadi:
𝛿𝐝T(∫ 𝐁𝑆 bT𝐃b𝐁b 𝑑𝑆+ ∫ 𝐁𝑆 sT𝐃s𝐁s 𝑑𝑆) 𝐝 = 𝛿𝐝T∫ 𝐍𝑆 T𝐩 𝑑𝑆 (2.44) Persamaan tersebut menghasilkan suatu sistem persamaan linier
𝐤𝐝 = 𝐟 (2.45a)
di mana
𝐤 = 𝐤b+ 𝐤s = ∫ 𝐁𝑆 bT𝐃b𝐁b 𝑑𝑆+ ∫ 𝐁𝑆 sT𝐃s𝐁s 𝑑𝑆 (2.45b) adalah matriks kekakuan elemen, yang merupakan penjumlahan dari matriks kekakuan lentur (kb) dan matriks kekakuan geser (ks), dan
𝐟 = ∫ 𝐍𝑆 T𝐩 𝑑𝑆 (2.45c)
adalah vektor gaya nodal elemen.
2.4. Shear Locking
Salah satu masalah yang muncul dalam analisis pelat Reissner-Mindlin dengan MEH adalah adanya shear locking, yang muncul diakibatkan oleh suku kedua pada persamaan (2.45b) yaitu pada perhitungan kekakuan geser (ks).
Penyebab shear locking adalah ketidakmampuan dari formulasi numerik dalam menunjukkan pure bending mode tanpa menghasilkan deformasi geser yang bersifat parasit (Wong, 2009).
Deformasi geser menjadi dapat diabaikan pada pelat dengan bentang sangat besar dibandingkan dengan ketebalannya. Elemen pelat seharusnya mampu menunjukkan perilaku ini, namun defleksi hasil komputasi mendekati angka nol ketika ketebalan mendekati nol. Ketika mengalami lentur saja, pelat tetap menunjukkan adanya regangan geser. Regangan geser yang bersifat parasit ini menyerap strain energy (Cook et al., 2002). Deformasi lentur secara otomatis menghasilkan regangan geser palsu, yang mengakibatkan penambahan kekakuan palsu yang tinggi pada elemen dengan semakin menipisnya pelat (Bathe, 1996).
Telah dilakukan penelitian secara intensif selama beberapa tahun terakhir mengenai cara mengeliminasi shear locking. Berbagai macam upaya telah diusahakan dengan tujuan menghilangkan shear locking secara keseluruhan. Dalam MEH-K, hasil yang didapatkan selama ini kebanyakan masih hanya bersifat
meringankan atau mengurangi saja, belum sampai tahap menghilangkan secara total. Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk mengembangkan metode yang terpercaya dan sederhana untuk mengeliminasi shear locking secara menyeluruh.
2.4.1. Usaha Mengeliminasi Shear Locking dalam MEH-K
Beberapa usaha untuk mengeliminasi shear locking pada analisis pelat Reissner-Mindlin telah dilakukan. Salah satu usaha awal adalah menggunakan strategi field-matching seperti yang dilakukan oleh Kanok-Nukulchai et al. (2001) pada element-free Galerkin method (EFGM). Tetapi setelah menggunakan cara tersebut pada MEH-K, didapati masih memberikan hasil yang tidak sesuai. Sejak saat itu, beberapa usaha lain diajukan dan dicoba oleh Wong (2009).
Pertama, usaha difokuskan pada tingkat interpolasi, yaitu dengan memodifikasi shape function untuk rotasi. Metode lain juga coba dilakukan, antara lain Selective Reduced Integration (SRI) dan hybrid formulation. Metode Selective Reduced Integration (SRI) didapati efektif untuk analisis pelat Reissner-Mindlin hanya jika elemen berbentuk rectangular dan menggunakan tingkat basis lebih rendah, yaitu linear atau quadratic (Wicaksana, 2006). Tidak ada yang berhasil mengeliminasi shear locking secara keseluruhan. Yang dapat dilakukan oleh metode tersebut hanya mengurangi saja.
Salah satu metode terbaik di antara metode-metode yang diuji coba adalah MEH-K dengan assumed natural transverse shear strains. Berdasarkan penelitian Wong & Kanok-Nukulchai (2006b), didapati metode ini cukup efektif untuk meringankan shear locking, namun menghasilkan nilai yang kurang akurat untuk pelat tebal dibandingkan dengan MEH-K standar. Kesulitan utama dalam menggunakan metode ini adalah penentuan lokasi sampling point dari shear strain.
Pada penelitian tersebut, sampling point ditentukan dengan adanya asumsi defleksi bersifat linear di dalam triangular integration cells.
Dikarenakan tidak ada metode yang berhasil mengeliminasi locking tersebut, Wong (2009) menggunakan cara paling sederhana untuk meringankan (bukan menghilangkan) shear locking, yaitu MEH-K dengan high-order basis (cubic, quartic, atau bi-cubic basis). Kerugian dari pilihan ini adalah metode ini membutuhkan setidaknya tiga lapis elemen sehingga biaya komputasi lebih mahal.
2.4.2. Metode Discrete Shear Gap (DSG)
Sebuah metode untuk mengatasi shear locking dalam MEH diusulkan oleh Bletzinger et al. (1998), yang disebut dengan discrete shear gap (DSG). Metode tersebut digunakan untuk analisis shell dan pelat lentur Reissner-Mindlin, baik menggunakan elemen segitiga 3 node, 6 node dan elemen segiempat 4 node.
Metode ini berdasarkan dekomposisi dari deformasi lentur dan geser. Deformasi geser dapat diperoleh dari perbedaan nilai perpindahan aktual yang terjadi dengan deformasi akibat lentur murni pada titik-titik diskritnya. Nilai perubahan deformasi geser inilah yang dinamakan “shear gap”. Regangan gesernya selanjutnya diambil dari shear gap tersebut yang kemudian diinterpolasikan menggunakan shape function elemen.
Konsep ini dapat dianggap sebagai metode B-bar, karena hanya bagian operator diferensial untuk hubungan regangan-perpindahan yang dipengaruhi.
Formulasi ini menggunakan degrees of freedom standar dari elemen dengan pure displacement dan tidak menambahkan node ekstra atau parameter internal. Satu- satunya modifikasi dalam perumusan elemen berbasis perpindahan adalah perbedaan hitungan dari regangan geser trasversal. Hal ini akhirnya membuat implementasi dari elemen ini dalam kode MEH eksisting menjadi lebih mudah.
Metode ini memiliki berbagai keuntungan, yaitu formulasinya yang sama baik untuk elemen triangular atau rectangular, lolos patch test, dan menunjukkan berkurangnya sensitivitas terhadap distorsi mesh. Waktu komputasi untuk pembentukan matriks kekakuan elemen lebih kecil daripada elemen pure displacement, yang membuat metode ini sangat efisien. Elemen hasilnya pun didapati bebas dari locking.
Dalam perkembangannya, telah dilakukan beberapa penerapan metode DSG pada berbagai macam MEH dan mesh-free methods. Salah satunya dilakukan oleh Nguyen-Xuan et al. (2010) yang dilakukan pada edge-based smoothed finite element method dengan stabilized discrete shear gap menggunakan elemen triangular (ES-DSG3) untuk analisis statik pelat Reissner-Mindlin. Penelitian tersebut menambahkan teknik strain smoothing dan adanya suatu nilai stabilisasi (α). ES-DSG3 menggunakan hanya tiga d.o.f. pada tiap node tanpa tambahan d.o.f.
dan tidak memerlukan biaya komputasi yang besar. ES-DSG3 didapati lebih akurat
dibandingkan dengan elemen triangular DSG3 biasa, ketika jumlah node yang digunakan sama.
Penerapan lain juga dilakukan oleh Nguyen-Xuan et al. (2010) untuk node- based smoothed finite element method (NS-FEM) dengan stabilized discrete shear gap menggunakan elemen triangular (NS-DSG3) untuk analisis pelat Reissner- Mindlin. Metode ini juga menerapkan suatu teknik strain smoothing pada smoothing domain yang berhubungan dengan node. Elemen yang digunakan menggunakan tiga d.o.f. pada tiap node-nya tanpa tambahan d.o.f. Hasil numeriknya menunjukkan NS-DSG3 bebas shear locking, stabil dan lebih baik daripada elemen DSG3 biasa.
Kedua aplikasi DSG yang dilakukan di atas sebenarnya sudah cukup baik, namun adanya suatu nilai stabilisasi (α) menyebabkan penerapannya tidak bisa langsung dipakai untuk tiap masalah analisis pelat Reissner-Mindlin. Masih diperlukan pengambilan suatu nilai stabilisasi yang tepat untuk dapat benar-benar diterapkan dan menghasilkan nilai akurat dalam suatu analisis masalah.
Dalam konteks MEH-K, metode discrete shear gap (DSG) juga baru saja diterapkan dan didapati berhasil mengeliminasi shear locking dalam balok Timoshenko (Sulistio, 2014). Pada MEH-K elemen balok satu dimensi, fungsi basis cubic dengan jumlah lapisan minimum 3 didapati merupakan pilihan Kriging yang paling baik. Untuk fungsi basis linear dan quadratic, masih terlihat fenomena shear locking karena adanya diskontinuitas pada regangan geser yang dihasilkan. Selain itu, MEH-K dengan DSG pada balok Timoshenko menunjukkan konvergensi nilai yang akurat pada besarnya perpindahan dan juga pada momen lentur. Untuk balok tebal, gaya geser yang dihasilkan akurat, namun untuk balok yang sangat tipis, gaya geser yang dihasilkan dengan jumlah pembagian elemen sedikit menunjukkan hasil yang tidak akurat.
Untuk masalah pelat Reissner-Mindlin, sampai saat ini belum ada perumusan MEH-K yang dapat mengeliminasi shear locking. Oleh karena itulah, dalam penelitian ini dilakukan pengembangan lebih lanjut dengan menerapkan metode DSG pada analisis pelat Reissner-Mindlin.
