Contoh soa Contoh soall
1. f(x)=2x
1. f(x)=2x33 + x + x22 + 5x + 5x – – 1 dibagi (2x 1 dibagi (2x – – 1) 1) Jawab:
Jawab:
1. f(x)=2x
1. f(x)=2x33 + x + x22 + 5x + 5x – – 1 dibagi (2x 1 dibagi (2x – – 1) 1) Cara horner
Cara horner
b. Pembagian Suku Banyak
b. Pembagian Suku Banyak Oleh Bentuk kuadrat (axOleh Bentuk kuadrat (ax22 + bx + c) + bx + c) Pembagian Suku Banyak Oleh Bentuk kuadrat ax
Pembagian Suku Banyak Oleh Bentuk kuadrat ax22 + bx + c + bx + c,dimana a≠0 dapat,dimana a≠0 dapat dilakukan dengan cara biasa apabila ax
dilakukan dengan cara biasa apabila ax22 + bx + c tidak dapat difaktorkan,sedangkan jika ax + bx + c tidak dapat difaktorkan,sedangkan jika ax22 + bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara horner.
+ bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara horner.
Misalkan,suatu
Misalkan,suatu suku suku banyak banyak f(x) f(x) dibagi dibagi axax22 + bx + c + bx + c dengan a≠0 dan dapat difaktorkandengan a≠0 dan dapat difaktorkan menjadi (ax
menjadi (ax – – p p11)(x)(x – – p p22).Maka, pembagian tersebut dapat dilakukan dengan langkah” berikut).Maka, pembagian tersebut dapat dilakukan dengan langkah” berikut ini:
ini:
Agar kita lebih memahami pembagian suku banyak oleh bentu kuadrat,perhatikan Agar kita lebih memahami pembagian suku banyak oleh bentu kuadrat,perhatikan contoh berikut:
contoh berikut:
Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian dari:
Tentukanlah hasil bagi dan sisa pembagian dari:
1)
1) 3x 3x44 + 4x + 4x33 – – 5x 5x22 – – 2x + 5 dibagi (x 2x + 5 dibagi (x22 + 2x + 3) + 2x + 3) 2) 2x
2) 2x33 + x + x22 + 5x + 5x – – 1 dibagi (x 1 dibagi (x22 – – 1) 1) Jawab:
Jawab:
1)3x
1)3x44 + 4x + 4x33 – – 5x 5x22 – – 2x + 5 dibagi (x 2x + 5 dibagi (x22 + 2x + 3) + 2x + 3) Karena x
Karena x22 + 2x + 3 tidak dapat difaktorkan,maka dilakukan pembagian biasa(cara susun): + 2x + 3 tidak dapat difaktorkan,maka dilakukan pembagian biasa(cara susun):
2) 2x
2) 2x33 + x + x22 + 5x + 5x – – 1 dibagi (x 1 dibagi (x22 – – 1) 1) Karena ( x
Karena ( x22 – – 1) dapat difaktorkan menjadi(x + 1)(x1) dapat difaktorkan menjadi(x + 1)(x – – 1),maka pembagian tersebut dapat 1),maka pembagian tersebut dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:
dilakukan dengan dua cara yaitu:
a)cara susun a)cara susun
b)cara horner b)cara horner
Penggunaan Teorema Sisa dan Teorema Faktor Penggunaan Teorema Sisa dan Teorema Faktor 1)Pengunaan Teorema Sisa
1)Pengunaan Teorema Sisa
a. Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh
a. Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linearbentuk linear
DDalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear,kita dapat menggunakanalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear,kita dapat menggunakan teorema sisa
teorema sisa Teorema Sisa 1 Teorema Sisa 1
“Jika suku banyak f(x) dibagi (x –
“Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k),maka sisa k),maka sisa pembagiannya adalah f(k)pembagiannya adalah f(k) Contoh:
Contoh:
Tentukan sisa pembagian dari f(x)=x
Tentukan sisa pembagian dari f(x)=x33+ 4x+ 4x22 + 6x + 5 + 6x + 5 Jawab:
Jawab:
Cara 1:cara biasa Cara 1:cara biasa
Cara 2:sintetik(horner) Cara 2:sintetik(horner)
Teorema sisa 2 Teorema sisa 2
“Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b),maka sisa pemb
“Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b),maka sisa pembagiannya adalah f(-agiannya adalah f(-
) ) Contoh:
Contoh:
Tentukan sisa pembagian dari f(x)=5x
Tentukan sisa pembagian dari f(x)=5x33+ 21x+ 21x22 + 9x + 9x – – 1 dibagi (5x 1 dibagi (5x – – 1) 1) Jawab:
Jawab:
Cara 1:cara biasa:
Cara 1:cara biasa:
BAB I BAB I
PENDAHULUAN PENDAHULUAN A.
A. Latar BelakangLatar Belakang Sukubanyak atau
Sukubanyak atau polinom polinom dalam variabel dalam variabel x x yang berderajat yang berderajat nn secara umum dapat ditulis secara umum dapat ditulis sebagaui berikut:
sebagaui berikut:
a
ann x xnn + a + an-1n-1 x xn-1n-1 + a + an-2n-2 x xn-2n-2 + … + a+ … + a22 x x22 + a + a11 x + a x + a00
Derajat dari suatu sukubanyak dalam variabel x ditentukan oleh pangkat yang paling Derajat dari suatu sukubanyak dalam variabel x ditentukan oleh pangkat yang paling tinggi bagi variabel x yang ada dalam sukubanyak itu.
tinggi bagi variabel x yang ada dalam sukubanyak itu.
Perhatikan bahwa suku-suku pada sukubanyak di atas diawalai oleh suku yang variabelnya Perhatikan bahwa suku-suku pada sukubanyak di atas diawalai oleh suku yang variabelnya mempunyai pangkat tertinggi, yaitu
mempunyai pangkat tertinggi, yaitu aann x xnn. Kemudian diikuti oleh suku-suku dengan pangkat. Kemudian diikuti oleh suku-suku dengan pangkat variabel x yang semakin menurun
variabel x yang semakin menurun aan-1n-1 x xn-1n-1 , a , an-2n-2 x xn-2n-2 , … , a , … , a22 x x22 , a , a11 x x dan diakhiri dengan sukudan diakhiri dengan suku tetap
tetap a a0.0.
Sukubanyak yang disusun atau ditulis dengan cara seperti itu dikatakan disusun mengikuti Sukubanyak yang disusun atau ditulis dengan cara seperti itu dikatakan disusun mengikuti
“aturan pangkat turun” dalam variabel x. perlu diingat kembali bahwa variabel suatu suku
“aturan pangkat turun” dalam variabel x. perlu diingat kembali bahwa variabel suatu suku banyak tidaklah harus dalam variabel x, tetapi dapat saja dalam variabel-variabel lainnya, banyak tidaklah harus dalam variabel x, tetapi dapat saja dalam variabel-variabel lainnya,
seperti:
seperti: a, b, c, … , s, t, …, u, … , y dan z a, b, c, … , s, t, …, u, … , y dan z ..
Cara 2:cara sintetik (horner) Cara 2:cara sintetik (horner)
b.Menentuka
b.Menentukan sisa pembagian n sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadratsuku banyak oleh bentuk kuadrat
Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat,kita dapat Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat,kita dapat menggunakan teorema sisa berikut ini:
menggunakan teorema sisa berikut ini:
Teorema sisa 3 Teorema sisa 3
“Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x –
“Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)( x a)( x – – b),maka sisanya adalah px + qdimana b),maka sisanya adalah px + qdimana f(a)=pa + q dan f(b)=pb + q
f(a)=pa + q dan f(b)=pb + q Contooh:
Contooh:
Jika f(x)=x
Jika f(x)=x33 -2x -2x22+ 3x+ 3x – – 1 dibagi (x 1 dibagi (x22 + x + 2),tentukanlah sisa pembagiannya: + x + 2),tentukanlah sisa pembagiannya:
Jawab:
Jawab:
2)Pengunaan Teorema Faktor 2)Pengunaan Teorema Faktor
Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor linear dari suku banyak.
Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor linear dari suku banyak.
Perhatikan teorema faktor berikut ini:
Perhatikan teorema faktor berikut ini:
“Jika f(x) suatu suku banyak maka (x –
“Jika f(x) suatu suku banyak maka (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika f(x)=0”
jika f(x)=0”
Contoh soal:
Contoh soal:
1)2x
1)2x33 – – 2x 2x22+ 2x+ 2x – – 3 3 Jawab:
Jawab:
Jika (x
Jika (x – – k) merupakan faktor suku banyak 2x k) merupakan faktor suku banyak 2x33 – – 2x 2x22+ 2x+ 2x – – 3,maka k merupakan pembagi 3,maka k merupakan pembagi dari 3,yaitu a ± 1 dan ± 3.Kemudian,dicoba nilai-nilai tersebut.
dari 3,yaitu a ± 1 dan ± 3.Kemudian,dicoba nilai-nilai tersebut.
Misalkan,dicoba cara horner dengan pembagi(x + 1) Misalkan,dicoba cara horner dengan pembagi(x + 1)
3)Penyeles
3)Penyelesaian persamaan aian persamaan Suku BanyakSuku Banyak
Mencari penyelesaian persamaan suku banyak sama halnya dengan menentukan Mencari penyelesaian persamaan suku banyak sama halnya dengan menentukan akar=akar persamaan yang memenehi f(x)=0.Kita dapat menyelesaikan pers
akar=akar persamaan yang memenehi f(x)=0.Kita dapat menyelesaikan persamaan sukuamaan suku banyak dengan menentuka fak
banyak dengan menentuka faktor lineartor linear
“Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x –
“Jika f(x) suatu suku banyak, maka (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika k akar pers
jika k akar persamaan f(x)=o”amaan f(x)=o”
Contoh:
Contoh:
1) Tentukan
1) Tentukan himpunan penyhimpunan penyelesaian elesaian dan faktor linear dan faktor linear dari f(x)=xdari f(x)=x33 – – 2x 2x22 – – 2x + 2 2x + 2 2) Jika
2) Jika
merupakan akar merupakan akar – – akar persamaan 2xakar persamaan 2x33 + x + x22 – – 13x + a dan akar-akar yang lain 13x + a dan akar-akar yang lain Jawab:
Jawab:
1) f(x)=x
1) f(x)=x33 – – 2x 2x22 – – 2x + 2 2x + 2 f(x) dibagi (x
f(x) dibagi (x – – 1) 1)
2) Jika 2) Jika
merupakan akar merupakan akar – – akar persamaan 2xakar persamaan 2x33 + x + x22 – – 13x + a dan akar-akar yang lain 13x + a dan akar-akar yang lain
4)Pembuktian Teorema sisa dan Teorema Faktor 4)Pembuktian Teorema sisa dan Teorema Faktor a.Pembuktian teorema sisa
a.Pembuktian teorema sisa
Teorema sisa 1 menyatakan bahwa f(x) dibagi (x
Teorema sisa 1 menyatakan bahwa f(x) dibagi (x – – k),maka sisa pembagiaanya adalah k),maka sisa pembagiaanya adalah f(k).Perhatikan uraian berikut untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut:
f(k).Perhatikan uraian berikut untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut:
Diketahui f(x)=(x
Diketahui f(x)=(x – – k)h(x) + s.Derajat x lebih rendah satu dari pada derajat (x k)h(x) + s.Derajat x lebih rendah satu dari pada derajat (x – – k),sehingga S k),sehingga S merupakan konstanta.Karena f(x)=(x
merupakan konstanta.Karena f(x)=(x – – k) k(x) + S berlaku untuk semua x,maka jika x diganti k) k(x) + S berlaku untuk semua x,maka jika x diganti k maka diperoleh:
k maka diperoleh:
Contoh soal:
Contoh soal:
Jika f(x) dibagi oleh x
Jika f(x) dibagi oleh x22 – – 5x + 6 sisanya 2x + 1.Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x 5x + 6 sisanya 2x + 1.Tentukan sisanya jika f(x) dibagi oleh x – – 3 3 Penyelesaian:
Penyelesaian:
2)Pembuktian teorem
2)Pembuktian teorema sisa a sisa 22
Teorema sisa 2 menyakan bahwa jika f(x) dibagi (ax
Teorema sisa 2 menyakan bahwa jika f(x) dibagi (ax + b),maka sisa pembagianya adalah f (-+ b),maka sisa pembagianya adalah f (-
).Perhatikan uaraian berikut untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut:).Perhatikan uaraian berikut untuk membuktikan kebenaran teorema tersebut:
Diketahui f(x)=(ax + b).
Diketahui f(x)=(ax + b).
+ S.Karena pada f(x) = (ax + b). + S.Karena pada f(x) = (ax + b).
+ S berlaku untuk semua + S berlaku untuk semua nilai x,maka jika nilai x=
nilai x,maka jika nilai x=
akan diperoleh: akan diperoleh:
Contoh:
Contoh:
Jika f(x) dibagi (x
Jika f(x) dibagi (x – – 2) dan jika dibagi (2x + 1) sisanya 5.Tentukan sisanya jika f(x) dibagi 2) dan jika dibagi (2x + 1) sisanya 5.Tentukan sisanya jika f(x) dibagi 2x
2x22 – – 3x 3x – – 2 2 Penyelesaian:
Penyelesaian:
b. Pembuktian teorema faktor b. Pembuktian teorema faktor
Teorema faktor menyatakan bahwa jika f(x) suatu suku banyak,maka x
Teorema faktor menyatakan bahwa jika f(x) suatu suku banyak,maka x – – h merupakan h merupakan faktor dari
faktor dari f(x) f(x) jika dan jika dan hanya hanya jika f(h)= jika f(h)= 0.Perhatikanlah 0.Perhatikanlah uraian berikut uraian berikut ini unini untuktuk membuktikan kebenaran teorema tersebut:
membuktikan kebenaran teorema tersebut:
Diketaahui
Diketaahui menurut teorema menurut teorema sisa sisa f(x) = f(x) = (x(x – – k). h(x) dan f(k).Jika f(k) = 0,maka f(x)= (x k). h(x) dan f(k).Jika f(k) = 0,maka f(x)= (x – – k).h(x).sehingga x
k).h(x).sehingga x – – k merupakan faktor dari f(x).Sebaliknya jika x k merupakan faktor dari f(x).Sebaliknya jika x – – k merupakan faktor k merupakan faktor dari f(x),maka f(x) = (x
dari f(x),maka f(x) = (x – – k). h(x). k). h(x).
Jika x = k Jika x = k
F(k) = (k
F(k) = (k – – k).h(k) k).h(k)
= 0.h(k)
= 0.h(k)
= 0
= 0
Jika,f(k) = 0 jika dan hanya jika (x
Jika,f(k) = 0 jika dan hanya jika (x – – k) merupakan faktor dari f(x) (terbukti) k) merupakan faktor dari f(x) (terbukti) Contoh:
Contoh:
Hitunglah p jika 2x
Hitunglah p jika 2x33 – – 5x 5x22 – – 4x + p habis dibagi x + 1 4x + p habis dibagi x + 1 Penyelesaian
Penyelesaian Karena 2x
Karena 2x33 – – 5x 5x22 – – 4x + p habis dibagi x + 1 maka sisanya 0,sehingga: 4x + p habis dibagi x + 1 maka sisanya 0,sehingga:
C.Akar
C.Akar – – akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak akar Rasional dari Persamaan Suku Banyak 1.Menentu
1.Menentukan akar kan akar rasionalrasional
Jika diketahui suatu suku banyak f(x) dan (x
Jika diketahui suatu suku banyak f(x) dan (x – – a) adalah faktor dari f(x),maka a a) adalah faktor dari f(x),maka a adalah akar dari persamaan f(x) atau f(a) = 0
adalah akar dari persamaan f(x) atau f(a) = 0 2.Sifat-sifat akar persamaan suku banyak 2.Sifat-sifat akar persamaan suku banyak
a. Untuk suku banyak berderajat ax
a. Untuk suku banyak berderajat ax22+ bx + c = 0+ bx + c = 0 Jika x
Jika x11dan xdan x22 adalah akar adalah akar – – akar persamaan dari ax akar persamaan dari ax33 + bx + bx22 + cx + d = 0,maka: + cx + d = 0,maka:
1)x
1)x11+ x+ x22 = =
2)
2)xx1.1. x x22==
b.Suku banyak berderajat tiga : ax
b.Suku banyak berderajat tiga : ax33+ bx+ bx22+ cx + d = 0+ cx + d = 0 Jika x
Jika x1,1, x x22dan xdan x33 adalah akar adalah akar – – akar persamaan ax akar persamaan ax33+ bx+ bx22+ cx + d = 0, maka;+ cx + d = 0, maka;
1) x
1) x11+ x+ x22+ x+ x33 = =
2) x
2) x1.1. x x22 + x + x22. x. x33+ x+ x1 .1 .xx33 = =
3) x
3) x11. x. x22 . x . x33 = =
c.Unntuk suku banyak berderajat empat : ax
c.Unntuk suku banyak berderajat empat : ax44+ bx+ bx33+ cx+ cx22 + dx + e = 0 + dx + e = 0 Jika x
Jika x1 ,1 , x x22 , x , x33dan xdan x44 adalah akar adalah akar – – akar persamaan dari s akar persamaan dari suku banyakuku banyakaxax44+ bx+ bx33+ cx+ cx22 + dx + e + dx + e
= 0,= 0,maka :maka : 1)x
1)x11+ x+ x22+ x+ x33 + + xx44 = =
2) x
2) x11. x. x22. x. x33 + x+ x22. x. x33..xx44 + x + x33. x. x44..xx11 + x + x44. x. x11..xx22==
3) x
3) x1.1. x x22 + x + x11. x. x33+ x+ x1 .1 .xx44+ + x+ + x22. x. x33+ x+ x2 .2 .xx44 + + + x+ x3 .3 .xx44 = =
4) x
4) x11. x. x22. x. x33 ..xx44 = =
Contoh Soal Contoh Soal
1. Jika salah satu akar dari suku banyak x
1. Jika salah satu akar dari suku banyak x33+ 4x+ 4x22+ x - 6 = 0 adalh x+ x - 6 = 0 adalh x – – 1 tentukan akar 1 tentukan akar – – akar akar lainnya.
lainnya.
Jawab.
Jawab.
2. Diketahui x
2. Diketahui x1,1, x x22dan xdan x33adalah akaradalah akar – – akar persamaan 2x akar persamaan 2x33- bx- bx22- 18x + 36 = 0- 18x + 36 = 0 Tentukan:
Tentukan:
a)
a) x x11+ x+ x22+ x+ x33 b)
b)xx1.1. x x22 + x + x22. x. x33+ x+ x1 .1 .xx33 c)
c) xx11. x. x22 . x . x33
d)d) Nilai b,jika x Nilai b,jika x22 adlah lawan dari x adlah lawan dari x11
e)Nilai masing
e)Nilai masing – – masing x masing x1,1, x x22dan xdan x33untuk b tersebutuntuk b tersebut jawab
jawab
