01 Logika dan ekuivalensi Logika

(1)

(2)

 Buku Teks :

Discrete Mathematics and Its Applications, Kenneth H Rossen, McGraw-Hill

 Penilaian :

 Tugas : +/- 10%

(3)

 Pengumpulan tugas harus tepat waktu

 Lebih awal : ada tambahan poin

 Terlambat : 10*hari keterlambatan

 Office Hour :

 Senin – Rabu (08:00-10:00 & 15:00-17:00)  Ruangan : IF-231

(4)

 Logic and proofs, Sets, and Functions

 Algorithms, integers, and matrices

 Mathematical reasoning, induction, and

recursion

 Counting

 Advanced counting techniques

(5)

Bab 1

(6)

 Memahami tentang logika proposional

 Memahami tentang penggunaan

operator logika pada proposisi

 Memahami tentang ekuivalensi pada

(7)

 Logika adalah dasar dari penjabaran matematika

(mathematical reasoning)

 Logika mempelajari penjabaran (reasoning) secara

benar

 Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) /

kalimat (sentence).

Contoh: Dino adalah mahasiswa ITS. Semua mahasiswa ITS pandai.

Dino orang pandai.

 Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan

(8)

 Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau

kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 /

salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q, dsb.

 Biasanya berbentuk kalimat deklaratif

Contoh proposisi:

 _{Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23.}

 _{Untuk setiap bilangan bulat n, ada bilangan prima yang lebih}

besar daripada n

Contoh bukan proposisi:

(9)

 Jika p dan q adalah proposisi, dapat

dibentuk proposisi (majemuk) baru (compound proposition) dengan

menggunakan konektif

 Macam-macam konektif:

 AND (konjungsi) Simbol ^

 Inclusive OR (disjungsi) Simbol v  Exclusive OR Simbol _

 NOT (negasi) Simbol _  Implikasi Simbol _

(10)

 NEGASI (NOT)

 KONJUNGSI (AND)

 DISJUNGSI (OR, XOR)

 IMPLIKASI

 IMPLIKASI GANDA

Catatan: mengatasi tingkat presedensi dengan cara memberikan kurung di pada proposisi yang ingin

(11)

p q p q

 p = Harimau adalah binatang buas

 q = Malang adalah ibukota Jawa Timur

 p ^ q = Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur

(12)

p q p v q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Contoh:

p = Jono seorang mahasiswa

q = Mira seorang sarjana hukum

p v q = Jono seorang mahasiswa atau

(13)

 “Either p or q” (but not both), dengan simbol p  q

 p  q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah,

atau p salah dan q benar

 p = "John is programmer, q = "Mary is a lawyer"

 p  q = "Either John is a programmer or Mary is a lawyer" p q p  q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

(14)

p p

0 1

1 0

Contoh:

 p = Jono seorang mahasiswa

(15)

 p, q, r merupakan kalimat / pernyataan

sederhana (simple statements)

 Beberapa contoh bentukan compound

statements, seperti:

 (pq)^r

 p(q^r)

 (p)( q)

 (pq)^( r)

(16)

 p = There is a hurricane  q = It is raining

 r = The sun is shining

 Now, represent the proposition:

 Either there is a hurricane and it is not true

that the sun is shining, or it is raining

(17)

p q r (p   r)  q

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

(18)

 Disebut juga proposisi kondisional

(conditional proposition) dan berbentuk

“jika p maka q”

 Notasi simboliknya : p  q

Contoh:

p = Jono seorang mahasiswa

q = Mira seorang sarjana hukum

(19)

p q p  q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

(20)

 Dalam implikasi p  q

p disebut antecedent, hypothesis,

premise

(21)

 Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi.  Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa.  Perlu = necessary; Cukup = sufficient

 Contoh:

▪ Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum

(22)

 Implikasi Ganda (double implication) dibaca “p jika dan hanya jika q”

 Notasi simboliknya p _ q

 p _ q ekivalen dengan (p _ q)^(q _ p)

p q p  q (p  q) ^ (q  p)

0 0 1 1

0 1 0 0

1 0 0 0

(23)

 Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik

disebut ekivalen (logically equivalent).

 Contoh:  p  q ekivalen (logically equivalent to) p 

q

p q  p  q p  q

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 0

(24)

 Konversi dari p  q adalah q  p  Inversi dari p  q adalah  p   q  p  q tidak ekivalen q  p

 p  q tidak ekivalen  p   q

p q p  q q  p p  q

0 0 1 1 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 1

(25)

 kontrapositif dari proposisi p  q adalah

 q   p

 p  q dan  q   p ekivalen

p q p  q  q   p

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 0 0

(26)

(27)

(28)

(29)

 Proposisi yang selalu bernilai benar

(true) dalam keadaan apapun

 Contoh: p  p v q

p q p  p v q

0 0 1

0 1 1

1 0 1

(30)

 Proposisi yang selalu bernilai salah

(false) dalam keadaan apapun

 Contoh : p ^ _ p

p p ^ ( p)

0 0

(31)

1. Dari bbrp kalimat dibawah ini mana yang

termasuk proposisi ? Tentukan nilai kebenaran dari proposisi tsb.

 Solo adalah ibukota propinsi jawa tengah.

 Jangan lakukan.

 2 + 3 = 5

 x + y = y + x untuk setiap pasangan dari

bilangan real x dan y

 Jam berapa sekarang?

 x + 1 = 2

(32)

2. p dan q adalah proposisi, dimana :

p : I bought a lottery ticket this week q : I won the million dollar jackpot on Friday

Ubahlah proposisi dibawah ini menjadi kalimat:

 _p

 p _ q  p _ q  _p _ _q

(33)

3. Tentukan apakah (p  (p  q))  q

adalah tautologi?

4. Tunjukkan bahwa p  q dan (p  q)  (p