Kasus Transportasi (Transportation Problem)

Program Studi Teknik Industri Fakultas Rekayasa Industri Telkom University

KASUS TRANSPORTASI

OUTLINE

Pendahuluan

•_{Solusi basis layak awal} • _{Northwest corner method} • _{Least cost method}

• _{Vogel’s Approximation Method (VAM)} •_{Perbaikan solusi basis layak awal}

• _{Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution Method)} • _{Metode stepping stone}

Pemecahan Masalah Transportasi

Model Transportasi

Method

Pencarian Solusi Optimal

Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

Method)

Metode stepping stone

Degenerasi

berkaitan dengan masalah

pendistribusian suatu produk dari

KASUS TRANSPORTASI

Pabrik

Pusat Distribusi/Depot

5

Berapa yang harus dikirim dari

Terdapat m sumber (misal: gudang)

dimana produk disimpan.

•

_{Terdapat n tujuan (misal: pasar) dimana}

produk dibutuhkan.

•

_{Ketersediaan pasokan dari sumber : a}

_i

_(i

= 1, 2, …, m)

•

_{Permintaan dari tujuan : b}

_j

_{(j = 1, 2, …,}

RUMUSAN PEMROGRAMAN LINIER

•

Biaya pengiriman dari sumber

i

ke tujuan

j

:

c

ij

(

i

= 1, 2, …,

m

;

j

= 1, 2, …,

n

). Jika suatu

sumber

i

tidak dapat memasok suatu tujuan

j

, maka

c

ij

=

M

(

M

bilangan positif yang

sangat besar).

•

Permasalahannya adalah menentukan jumlah

produk yang dikirim dari sumber

i

ke tujuan

j

(dinyatakan dengan

x

ij

) yang meminimumkan

Minimize

dengan pembatas-pembatas:

MASALAH TRANSPORTASI DALAM BENTUK JARINGAN

Sumber

Tujuan

Minimize

dengan pembatas-pembatas:

MASALAH TRANSPORTASI TAK

SEIMBANG

Minimize

dengan pembatas-pembatas:

j

= 1, 2, …,

n

,

n

+1

i

= 1, 2, …,

m

Minimize

dengan pembatas-pembatas:

j

= 1, 2, …,

n

i

= 1, 2, …,

m+

1

TABEL TRANSPORTASI

Tujuan

Pasokan

D₁ D₂ D_n

Sumbe r

S₁ c11 c12 c1n a₁

x₁₁ x₁₂ x_1n

S₂ c22 c22 c2n a₂

x₁₂ x₂₂ x_2n

S_m cm1 cm2 cmn

a_n

x_m1 x_m2 x_mn

To

Albuquerque Boston Cleveland From

Des Moines $5 $4 $3

Evansville $8 $4 $3

Fort Lauderdale

(300 units

capacity)

Albuquerque

(300 units

required)

Des Moines

(100 units

capacity)

Evansville

(300 units

capacity)

Cleveland

(200 units

required)

Boston

(200 units

required)

Albuquerque Boston Cleveland From

Des Moines $5 $4 $3

Evansville $8 $4 $3

Fort Lauderdale $9 $7 $5

From

Albuquerque Boston

Cleveland

Des Moines

Evansville

Fort Lauderdale

capacity

Warehouse

requirement

300

300

300

200

200

100

Cost of shipping 1 unit from Fort

Lauderdale factory to Boston warehouse

capacity

constraint

Cell

representing

a possible

source-to-destination

shipping

assignment

(Evansville

to

Cleveland)

Total demand

and total supply

Cleveland

Shipping costs, Supply, and Demand

for Powerco Example

Contoh Kasus II

From

To

City 1

City 2

City 3

City 4

Supply (Million

kwh)

Plant 1

$8

$6

$10

$9

35

Plant 2

$9

$12

$13

$7

50

Plant 3

$14

$9

$16

$5

40

Demand

(Million kwh)

45

20

30

30

+14X

₃₁

+9X

₃₂

+16X

₃₃

+5X

₃₄

S.T. :

X

₁₁

+X

₁₂

+X

₁₃

+X

₁₄

<= 35 (Supply Constraints)

X

₂₁

+X

₂₂

+X

₂₃

+X

₂₄

<= 50

X

₃₁

+X

₃₂

+X

₃₃

+X

₃₄

<= 40

X

₁₁

+X

₂₁

+X

₃₁

>= 45 (Demand Constraints)

X

₁₂

+X

₂₂

+X

₃₂

>= 20

X

₁₃

+X

₂₃

+X

₃₃

>= 30

X

₁₄

+X

₂₄

+X

₃₄

>= 30

Model Transportasi

Method

Pencarian Solusi Optimal

Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

Method)

Metode stepping stone

Degenerasi

Algoritma Pemecahan

•

Langkah 0:

–

Perumusan masalah dalam masalah transportasi

standar

•

Langkah 1:

–

Penentuan solusi basis layak awal

•

Langkah 2:

–

Pemeriksaan optimalitas. Jika solusi optimal maka

berhenti.

•

Northwest corner method

•

Least cost method

Model Transportasi

Pencarian Solusi Basis Least cost

Vogel Approximation Method

Pencarian Solusi Optimal

Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

Method)

Metode stepping stone

Degenerasi

dengan mempergunakan metode lanjut.

Prosedur:

(1) Pengisian sel/kotak dimulai dari ujung kiri atas.

(2) Alokasi jumlah maksimum (terbesar) sesuai syarat

sehingga layak untuk memenuhi permintaan.

NORTHWEST CORNER RULE

(1)

2 2 2 1

3

10 8 5 4

7

7 6 6 8

5

4 3 4 4

Konsumen

Pabrik

Permintaan Konsumen

2

2

2

1

0

3

10

8

5

4

7

7

6

6

8

5

1

3

4

4

2

2

2

1

0

3

10

8

5

4

7

7

6

6

8

5

2

2

2

1

0

3

10

8

5

4

6

1

7

6

6

8

5

0

3

4

4

2

2

2

1

0

3

10

8

5

4

3

1

3

7

6

6

8

5

2

2

2

1

0

3

10

8

5

4

0

1

3

3

7

6

6

8

5

0

0

1

4

2

2

2

1

0

3

10

8

5

4

0

1

3

3

7

6

6

8

4

1

2

2

2

1

0

3

10

8

5

4

0

1

3

3

7

6

6

8

0

1

4

0

0

0

0

2

2

2

1

0

3

10

8

5

4

0

1

3

3

7

6

6

8

0

1

4

0

0

0

0

Model Transportasi

Pencarian Solusi Basis Least cost

Vogel Approximation Method

Pencarian Solusi Optimal

Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

Method)

Metode stepping stone

Degenerasi

3

10 8 5 4

7

7 6 6 8

5

LEAST COST RULE

(2)

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

7

7 6 6 8

5

0 3

10 8 5 4

6 1

7 6 6 8

5

LEAST COST RULE

(4)

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

2

4 1

7 6 6 8

5

0 3

10 8 5 4

2

4 1

7 6 6 8

2 3

LEAST COST RULE

(6)

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

2

4 1

7 6 6 8

0

2 3

0 3

10 8 5 4

0

2 4 1

7 6 6 8

0

2 3

0 0 0 0

Model Transportasi

Pencarian Solusi Basis Least cost

Vogel Approximation Method

Pencarian Solusi Optimal

Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

Method)

Metode stepping stone

Degenerasi

kolom. Nilai perbedaan/selisih ditulis di baris/kolom baru di samping

baris/kolom yang ada (disebut baris/kolom penalti).

(2)  Pilih baris atau kolom dengan nilai penalti terbesar, lalu beri tanda

kurung. Jika nilai pada baris atau kolom adalah sama, pilih yang dapat

memindahkan barang paling banyak.

(3)  Dari baris/kolom yang dipilih pada (2), tentukan jumlah barang yang

bisa terangkut dengan memperhatikan pembatasan yang berlaku bagi

baris atau kolomnya serta sel dengan biaya terkecil.

(4)  Hapus baris atau kolom yang sudah memenuhi syarat sebelumnya

(artinya suplai atau

demand

telah dapat terpenuhi).

VOGEL’S APPROXIMATION METHOD

(VAM) (1)

46

Pena lti

2 2 2 1

3 1

10 8 5 4

7 1

7 6 6 8

5 0

4 3 4 4

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

7 1

7 6 6 8

5 0

1 3 4 4

VOGEL’S APPROXIMATION METHOD

(VAM) (3)

Pena lti

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

3 3

4

7 6 6 8

5 0

1 3 4 0

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

0

3 4

7 6 6 8

5

1 3 1 0

VOGEL’S APPROXIMATION METHOD

(VAM)

SOLUSI BASIS LAYAK AWAL

Pasokan

2 2 2 1

3 3

10 8 5 4

7

3 4

7 6 6 8

5

1 3 1

Permintaan _{4 3 4 4}

Model Transportasi

Method

Pencarian Solusi Optimal

Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

Method)

Metode stepping stone

Degenerasi

PERBAIKAN SOLUSI BASIS LAYAK

AWAL

•

Perbaikan solusi basis layak awal

–

Pemeriksaan optimalitas

–

Penentuan solusi basis layak yang baru

•

Metode:

–

Metode u-v atau MODI (Modifed

Distribution Method)

Model Transportasi

Method

Pencarian Solusi Optimal

Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

Method)

Metode stepping stone

Degenerasi

METODE

U-V

(1)

Untuk sebarang solusi basis layak, tentukan nilai

u

_i

(untuk semua

i

) dan

v

_j

(untuk semua

j

) sedemikian

hingga

untuk setiap variabel basis

x

_ij

(Nilai

u

_i

dan

v

_j

bisa positif, negatif atau nol).

Untuk variabel non basis:

ij j

i

v

c

u







i j



ij

ij

c

u

v

55

Kondisi optimalitas (masalah

minimize

) terjadi apabila

untuk semua variabel non basis

Jika kondisi belum optimal, variabel yang masuk basis

adalah yang mempunyai paling negatif (masalah

minimize

)









0





ij i j

ij

c

u

v

c

ij

MISAL DIBERIKAN SOLUSI BASIS LAYAK AWAL DENGAN

LEAST COST

METHOD

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

0

2 4 1

7 6 6 8

0

2 3

57

terdapat tak hingga solusi yang

mungkin

Untuk mendapatkan solusi,

suatu nilai variabel tertentu dapat

ditetapkan sebarang, dan nilai

PEMERIKSAAN OPTIMALITAS

v₁ = v₂ = v₃ = v₄ =

u₁ = 0 2 2 2 1 3

3

u₂ = 10 8 5 4 7

2 4 1

u₃ = 7 6 6 8 5

2 3

u₁ = 0 2 2 2 1 3 3

u₂ = 10 8 5 4 7

2 4 1

u₃ = 7 6 6 8 5

2 3

4 3 4 4

1

3

7

2

0

PEMERIKSAAN OPTIMALITAS

60

v₁ = 7 v₂ = 6 v₃ = 2 v₄ = 1

u₁ = 0 -5 2 2 2 1 3

3

u₂ = 3 10 8 5 4 7

2 4 1

u₃ = 0 7 6 6 8 5

2 3

4 3 4 4



i j



ij

ij c u v

61

u₁ = 0 -5 2 2 2 1 3

3

u₂ = 3 10 8 5 4 7

2 4 1

u₃ = 0 7 6 6 8 5

2 3

4 3 4 4

x

₁₁

masuk basis

-

4

₀

-1

62

v₁ = 7 v₂ = 6 v₃ = 2 v₄ = 1

u₁ = 0 2 2 2 1 3

3

u₂ = 3 10 8 5 4 7

2 4 1

u₃ = 0 7 6 6 8 5

2 3

4 3 4 4



= min(3, 2) = 2



x

₂₁

keluar basis

+



_

_

+





63

2 2 2 1

3

2 1

10 8 5 4

7

4 3

7 6 6 8

5

2 3

4 3 4 4

PEMERIKSAAN OPTIMALITAS

64

v₁ v₂ v₃ v₄

u₁ 2 2 2 1 3

2 1

u₂ 10 8 5 4 7

4 3

u₃ 7 6 6 8 5

2 3

4 3 4 4

= 0

= 2

= 5

= 1

= 1

= 3

65

u₁ = 0 2 2 2 1 3

2 1

u₂ = 3 10 8 5 4 7

4 3

u₃ = 5 7 6 6 8 5

2 3

4 3 4 4

x

₃₃

masuk basis

1

₀

5

4

67

2 2 2 1

3 3

10 8 5 4

7

3 4

7 6 6 8

5

1 3 1

4 3 4 4

PEMERIKSAAN OPTIMALITAS

68

v₁ = 2 v₂ = 1 v₃ = 1 v₄ = 0

u₁ = 0 2 2 2 1 3

3

u₂ = 4 10 8 5 4 7

3 4

u₃ = 5 7 6 6 8 5

1 3 1

4 3 4 4

69

u₁ = 0 2 1 2 1 2 1 1 3

3

u₂ = 4 4 10 3 8 5 4 7

3 4

u₃ = 5 7 6 6 3 8 5

1 3 1

4 3 4 4

SOLUSI OPTIMAL

70

2 2 2 1

3 3

10 8 5 4

7

3 4

7 6 6 8

5

1 3 1

4 3 4 4

71

tak positif

Penentuan variabel non basis yang masuk basis



Pilih variabel non basis dengan koefisien fungsi tujuan

relatif paling positif



_



_

0





_{ij i j}

ij

c

u

v

V1

V2

V3

V4

U1

U2

U3

alokasi.

Sel yang tidak

mendapatkan

alokasi

Sel yang

mendapatkan

alokasi

C

_ij

= U

_i

+ V

_j

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

0

2 4 1

7 6 6 8

0

2 3

Model Transportasi

Pencarian Solusi Basis Least cost

Vogel Approximation Method

Pencarian Solusi Optimal

Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

Method)

Metode stepping stone

Degenerasi

Dengan menggunakan solusi awal yang diperoleh melalui Least Cost Method yang belum optimum, akan ditunjukkan evaluasi masing-masing non basis.

a. Memilih salah satu sel kosong (yang tidak mendapatkan alokasi) b. Mulai dari sel ini, kita membuat jalur tertutup melalui sel-sel yang

mendapatkan alokasi menuju sel kosong terpilih kembali. Jalur tertutup ini bergerak secara horisontal dan vertikal saja.

c. Mulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih, kita menempatkan tanda (-) dan (+) secara bergantian pada setiap sudut jalur tertutup.

d. Menghitung indeks perbaikan dengan cara menjumlahkan biaya transportasi pada sel bertanda (+) dan mengurangkan biaya transportasi pada sel bertanda (-).

STEPPING STONE

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

0

2 4 1

7 6 6 8

0

2 3

0 0 0 0

Mulai dari sel

x

11

, buat jalur tertutup melalui sel yang sudah memiliki alokasi

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

0

2 4 1

7 6 6 8

0

2 3

0 0 0 0

STEPPING STONE (3)

2

2 2

1

0 3

10

8 5

₄

0

2 4 1

7 6 6 8

0

2 3

0 0 0 0

Hitung nilai

improvement index

C

₁₁

dari nilai biayanya

2 2 2 1

0 3

10 8 5 4

0

2 4 1

7 6 6 8

0

2 3

0 0 0 0

STEPPING STONE (5)

2

2

2

1

0 3

10

8 5

₄

0

2 4 1

7

6

6 8

0

2 3

0 0 0 0

Sel C

11

= -5

Sel C

12

= -4

Sel C

13

= 0

Sel C

22

= -1

Sel C

33

= 4

STEPPING STONE (7)

1. Jika perbaikan dapat dilakukan, pilih jalur dengan

nilai indeks perbaikan yang paling negatif.

2. Pada jalurnya, pilih nilai alokasi terkecil dari kotak

yang memiliki tanda (-).

3. Tambahkan nilai alokasi tersebut ke setiap kotak

yang bertanda (+) dan kurangkan ke setiap kotak

yang bertanda (-)

Sel C

11

= -5

Sel C

12

= -4

Sel C

13

= 0

Sel C

22

= -1

Sel C

33

= 4

Sel C

34

= 7

Nilai minus terbesar,

maka dilakukan

STEPPING STONE (9)

Dari jalur sel

x

₁₁

, lihat nilai alokasi pada kotak bertanda (-) dan pilih nilai

yang terkecil

2 2 2 1

Tambahkan nilai

2

ke setiap kotak yang bertanda (+) dan kurangkan ke setiap

kotak yang bertanda (-)

STEPPING STONE (11)

2 2 2 1

0

2 1

10 8 5 4

0

0 4 3

7 6 6 8

0

2 3

0 0 0 0

Sel C

12

= 1

Sel C

13

= 0

Sel C

21

= 5

Sel C

22

= 4

Sel C

33

= -1

Sel C

34

= 2

Masih terdapat nilai

minus, maka

STEPPING STONE (14)

2 2 2 1

0

2 1

10 8 5 4

0

0 4 3

7 6 6 8

0

2 3

0 0 0 0

2 2 2 1

0

2 + 1 1 - 1

10 8 5 4

0

0 4 - 1 3 + 1

7 6 6 8

0

2 - 1 3 0 + 1

0 0 0 0

STEPPING STONE (16)

2 2 2 1

0

3 0

10 8 5 4

0

0 3 4

7 6 6 8

0

1 3 1

0 0 0 0

Sel C

12

= 1

Sel C

13

= 1

Sel C

14

= 1

Sel C

21

= 4

Sel C

22

= 3

Sel C

34

= 3

Tidak ada nilai

negatif, maka solusi

68

adalah solusi

Stepping-Stone Method

Metode Stepping Stone : Menekan ke bawah biaya transportasi dengan

memasukkan variabel non basis (yaitu alokasi barang ke kotak kosong) ke dalam solusi.

Dengan menggunakan solusi awal yang diperoleh melalui metode North West

Corner yang belum optimum, akan ditunjukkan evaluasi masing-masing non basis.

a. Memilih salah satu sel kosong (yang tidak mendapatkan alokasi) b. Mulai dari sel ini, kita membuat jalur tertutup melalui sel-sel yang

mendapatkan alokasi menuju sel kosong terpilih kembali. Jalur tertutup ini bergerak secara horisontal dan vertikal saja.

c. Mulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih, kita menempatkan tanda (-) dan (+) secara bergantian pada setiap sudut jalur tertutup.

d. Menghitung indeks perbaikan dengan cara menjumlahkan biaya transportasi pada sel bertanda (+) dan mengurangkan biaya transportasi pada sel bertanda (-).

e. Mengulangi tahap 1 sampai 4 hingga indeks perbaikan untuk semua sel kosong telah terhitung.

Model Transportasi

Method

Pencarian Solusi Optimal

Metode u-v atau MODI (Modifed Distribution

Method)

Metode stepping stone

Degenerasi

atau lebih variabel basis mempunyai nilai nol.

•

Solusi basis dapat menjadi degenerasi jika

sisa pasokan dan sisa permintaan adalah

sama untuk variabel yang akan dipilih

menjadi basis.

•

Jumlah solusi basis dalam masalah

ILUSTRASI DEGENERASI (1)

2 2 2 1

4

10 8 5 4

5

7 6 6 8

8

2 2 2 1

0 4

10 8 5 4

5

7 6 6 8

8

Sisa

ILUSTRASI DEGENERASI (3)

Sisa Pasokan

2 2 2 1

0 4

10 8 5 4

0 5

7 6 6 8

8

Sisa

2 2 2 1

0 4

10 8 5 4

0 5

7 6 6 8

4 4

Sisa

ILUSTRASI DEGENERASI (7)

Pasokan

2 2 2 1

4 4

10 8 5 4

5 5

7 6 6 8

8

4 4

Permintaan _{4 5 4 4}

2 2 2 1

4 4

10 8 5 4

5 5

7 6 6 8

8

4 4

Permintaan _{4 5 4 4}

ILUSTRASI DEGENERASI (9)

107

Pasokan

2 2 2 1

4 4

10 8 5 4

5 5

7 6 6 8

8

4 4

Permintaan _{4 5 4 4}

•

Pilih sel yang kosong lalu buat jalur pengalokasian

￫

C21

(arah alternatif)

??

ILUSTRASI DEGENERASI (9)

•

Tambahkan titik bantu (sel solusi layak baru) pada sel kosong

dengan nilai nol

Pasokan

ILUSTRASI DEGENERASI (9)

•

Titik bantu

_{dapat diberikan secara bebas dengan syarat}

_dapat

meng-cover semua sel yang kosong

Pasokan

New

Des Moines

capacity

Albuquerque Boston Cleveland

(D) Des Moines

(E) Evansville

(F) Fort Lauderdale

Warehouse

requirement

300

200

200

capacity

150

150

0

0

0