REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS l_5

(1)

ABSTRACT

REPRESENTATION OF LINEAR OPERATOR IN FINITE SEQUENCE SPACE

by

Angger Pambudhi

The mapping of vector space especially on norm space is called operator. There are many cases in linear operator from sequence space into sequence space can be represented by an infinite matrices. For example, a matrices where = and = = ( ) ( | | ) < is a sequence real numbers. Furthermore, it can be constructed an operator A from sequence space to sequence space by using a standard basis ( ) and it can be proven that the collection all the operators become Banach space.

(2)

ABSTRAK

REPRESENTASI OPERATOR LINEAR PADA RUANG BARISAN TERBATAS

Oleh

Angger Pambudhi

Suatu pemetaan pda ruang vector khususnya ruang bernorma disebut operator. Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Sebagai contoh, suatu matriks = ✦ dengan =

✥

✥ dan = = ( ) (✧

∞ _{) <}

∞ merupakan barisan bilangan real. Selanjutnya, dikonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan dengan basis standar { } dan ditunjukkan bawa koleksi semua operator membentuk ruang Banach.

(3)

REPRESENTASI OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS

( Skripsi )

Oleh

ANGGER PAMBUDHI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(4)

ABSTRACT

REPRESENTATION OF OPERATOR IN FINITE SEQUENCE SPACE

by

Angger Pambudhi

The mapping of vector space especially on norm space is called operator. There are many cases in linear operator from sequence space into sequence space can be represented by an infinite matrices. For example, a matrices where [ ] and { | ∑ | | } is a sequence real numbers. Furthermore, it can be constructed an operator A from sequence space to sequence space by using a standard basis and it can be proven that the collection all the operators become Banach space.

(5)

ABSTRAK

Oleh

Angger Pambudhi

Suatu pemetaan pda ruang vector khususnya ruang bernorma disebut operator. Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Sebagai contoh, suatu matriks dengan [ ] dan { | ∑ | | } merupakan barisan bilangan real. Selanjutnya, dikonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan dengan basis standar dan ditunjukkan bawa koleksi semua operator membentuk ruang Banach.

(6)

Oleh

ANGGER PAMBUDHI

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk mencapai gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(7)

(8)

(9)

(10)

RIWAYAT HIDUP

Penulis bernama Angger Pambudhi, Dilahirkan di Metro, pada tanggal 28 Februari 1994, sebagai anak pertama dari empat bersaudara pasangan Bapak Prayitno dan Ibu Ponisri.

Menempuh pendidikan awal Taman Kanak-kanak di TK Aisiyah Metro Pusat tamat pada tahun 2000, Sekolah Dasar (SD) di SD Negeri 7 Metro Pusat tamat pada tahun 2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) di SMPN 2 Metro tamat pada tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Muhammadiyah 1 Metro tamat pada tahun 2012. Pada tahun 2012 penulis diterima sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, melalui jalur tertulis atau SNMPTN.

Pada saat duduk di bangku kuliah, penulis mengikuti organisasi di dalam kampus. Penulis aktif di Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) sebagai Anggota Biro Dana dan Usaha (tahun 2012/2013), sebagai Anggota Biro Dana dan Usaha (tahun 2013/2014).

Sebagai salah satu mata kuliah wajib, penulis juga pernah mengikuti Kuliah Praktek (KP) di Badan Perencanaan Pembangunan Daerah (BAPPEDA) provinsi Lampung pada tanggal 26 Januari sampai dengan 13 Februari 2015.

(11)

MOTTO

Winning isn t everything, even if you win everything

(Leo Messi)

Realisasikan perkataan dengan perbuatan

(12)

PERSEMBAHAN

Teriring do’a dan rasa syukur kepada Allah SWT, ku persembahkan karya kecil ini

sebagai rasa sayang dan terimakasih ku kepada: Orang Tua Tercinta

Bapak Prayitno dan ibu Ponisri

atas limpahan kasih sayang, do’a dan tetesan keringatdalam merawat dan menyekolahkanku selama ini demi keberhasilanku

Adik Tercinta

Rani Prambandari, Adel Lia dan Ma’ruf Zakariayang selalu memberikan semangat dan dukungan

Serta Keluarga Besarku.

Para Pendidikku, Dosen Dan Guru-Guruku Yang Telah Memberikan Ilmu Kepadaku Teman-teman seperjuangan angkatan 2012

(13)

SANWACANA

Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul

“Representasi Operator Pada Ruang Barisan Terbatas ” sebagai salah satu syarat meraih gelar sarjana pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

Terima kasih yang setulus-tulusnya penulis ucapkan kepada:

1. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Sc., selaku Dosen Pembimbing I yang selalu mengarahkan, membimbing dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D, selaku Pembimbing Akademik sekaligus Dosen Pembimbing II yang selalu sabar membimbing dan mengarahkan dalam penyelesaian skripsi ini.

3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si, M.Si, selaku Dosen Pembahas yang telah memberikan saran dan nasehatnya dalam menyelesaikan skripsi ini

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung 5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas

(14)

6. Seluruh dosen dan Tenaga Pendidikan Jurusan Matematika yang telah memberikan ilmu dan bantuan yang berguna bagi penulis.

7. Bapak dan Ibu yang senantiasa dengan tulus menyayangi, mendoakan dan memotivasiku dalam menggapai cita-citaku.

8. Adik Rani, Adel, Zaka dan keluarga besarku yang telah memberikan dorongan, semangat dan motivasi kepada penulis.

9. Rara Berthania, yang dengan tulus memberikan bantuan selama penulis menyelesaikan studi.

10. Rekan dan sahabat-sahabatku di Matematika: Pras, Candra, Danar, Topik, Anwar, Rendi, Ernia, Dwi, Anggi, Yanti, Imah, Elva, Putri, Selvi, Riyama, Maya dan teman-teman angkatan 2012 yang tidak bias disebutkan satu-satu terima kasih atas kebaikan dan motivasinya selama ini.

11. Keluarga besar HIMATIKA yang telah banyak memberikan motivasi dan kenangan selama di kampus.

Bandar Lampung, Januari 2017 Penulis

(15)

DAFTAR ISI

Halaman

I. PENDAHULUAN

1.1. LatarBelakangMasalah ... 1

1.2. TujuanPenelitian ... 2

1.3. ManfaatPenelitian ... 2

II.TINJAUANPUSTAKA 2.1. Operator ... 3

2.2. RuangMatriks ... 11

2.3. RuangVektor ... 13

2.4. RuangBernorma ... 14

2.5. RuangBanach ... 15

2.6. Barisan ... 15

2.7. Basis ... 21

III. METODE PENELITIAN 3.1. WaktudanTempatPenelitian ... 23

3.2. MetodePenelitian ... 23

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN V . KESIMPULAN

(16)

1

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Salah satu kajian tentang operator, dalam hal ini operator linear, merupakan suatu operator yang bekerja pada ruang barisan. Banyak kasus pada operator linear dari ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga. Matriks tak hingga yaitu suatu matriks berukuran tak hingga kali tak hingga.

Sebagai contoh, suatu matriks dengan [

] dan

{ | ∑ | | } merupakan barisan bilangan real.

Jika maka

[ ] [ ]

[ ]

[ ∑

∑

(17)

2

Sehingga timbul permasalahan, syarat apa yang harus dipenuhi supaya . Oleh karena itu, penelitian akan difokuskan pada permasalahan tersebut.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini diantaranya :

1. Mengkaji ruang barisan terbatas .

2. Mempelajari sifat-sifat operator linear yang bekerja pada ruang barisan terbatas .

3. Mencari representasi operator linear pada ruang barisan terbatas .

1.3 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat Penelitian tentang representasi operator linear pada ruang barisan ini, diantaranya :

1. Memahami sifat dari operator linear.

2. Memahami masalah operator linear pada ruang barisan terbatas . 3. Mengetahui aplikasi dari operator linear pada ruang barisan terbatas . 4. Dapat memberi ide bagi penulis lain yang ingin meneliti lebih lanjut

(18)

3

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Operator

Definisi 2.1.1 (Kreyszig, 1989)

Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator.

Diberikan ruang Bernorm X dan Y atas field yang sama.

a. Pemetaan dari X dan Y disebut operator.

b. Operator A : X Y dikatakan linear jika untuk setiap X dan setiap skalar berlaku A( x) = Ax dan A( x + y) = Ax + Ay.

Diberikan ( ‖ ‖) dan ( ‖ ‖) masing-masing ruang bernorm.

a. Operaror A : X → Y dikatakan terbatas jika ada bilangan M R dengan

M ≥ 0 sehingga untuk setiap berlaku ‖ ‖ ‖ ‖.

b. Operator A dikatakan kontinu di jika diberikan bilangan ada bilangan sehingga untuk setiap dengan ‖ ‖ berlaku ‖ ‖ .

(19)

4

Teorema 2.1.4 (Ruckle, 1991)

Jika X dan Y masing-masing ruang Bernorm atas field yang sama maka lc(X, Y) merupakan ruang linear.

Bukti :

Diambil sebarang dan sebarang untuk setiap diperoleh

Jadi, merupakan operator linear.

Karena A dan B terbatas maka ada bilangan real M1, M2 ≥ 0 sehingga,

‖ ‖ = ‖ ‖

≤ ‖ ‖ ‖ ‖

= | |‖ ‖ | |‖ ‖

≤ | | ‖ ‖ | | ‖ ‖

(20)

5

Dengan demikian, terbatas (kontinu).

Jadi

Telah dibuktikan bahwa untuk setiap dan sebarang skalar berlaku . Jadi linear.

Teorema 2.1.5 (Maddox, 1970)

Jika Y ruang Banach maka ruang Banach.

Bukti :

Diambil sebarang barisan Cauchy ‖ ‖ .

Jadi untuk setiap bilangan terdapat sehingga jika dengan berlaku ‖ ‖ .

Misal, untuk setiap dan diperoleh

‖ ‖ = ‖ ‖

≤ ‖ ‖‖ ‖ ‖ ‖

Jelas untuk setiap bilangan (dapat dipilh bilangan sehingga ada sehingga untuk setiap dengan berlaku ‖ ‖ ‖ ‖ .

Dengan demikian diperoleh barisan Cauchy dan Y lengkap, dengan kata lain konvergen ke

(21)

6

Proses di atas dapat diulang untuk tetap, dengan . Jadi diperoleh dan z menentukan suatu operator A sehingga .

Untuk setiap skalar a dan b, diperoleh ,

dan menentukan suatu operator A

sehingga .

Jadi

=

Jadi operator A bersifat linear.

Untuk diperoleh

‖ ‖ = ‖ ‖

= ‖ ‖

= ‖ ‖ ‖ ‖

(22)

7

Karena dan masing-masing terbatas, serta maka A terbatas (kontinu).

Jadi ‖ ‖ dengan kata lain ‖ ‖ ruang Banach.

Diberikan ruang Bernorm X dengan field .

a. Pemetaan disebut fungsi.

b. Himpunan semua fungsi linear kontinu pada X disebut ruang dual X, biasanya ditulis .

Teorema 2.1.7 (Ruckle, 1991)

Misal X dan Y ruang BK (Banach lengkap). Jika A matriks tak hingga yang memetakan X ke Y maka A kontinu.

Bukti :

Misal A =

X = ( )

y = dapat dinyatakan

∑

(23)

(24)

9

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti merupakan fungsi linear pada X.

Selanjutnya akan ditunjukkan kontinu pada X.

Hal ini sama saja membuktikan terbatas pada X.

Diketahui X ruang BK maka terdapat M > 0 sehingga | | | |

Oleh karena itu :

| | |∑

|

∑| || |

∑| |

Berdasarkan pembuktian di atas, mendefinisikan fungsi linear kontinu pada x

Maka f juga kontinu pada x.

Karena y ruang BK diperoleh

∑

(25)

(26)

11

Definisi 2.1.9 (Fuhrmann, 1987)

Diketahui suatu operator maka disebut operator adjoint operator T jika untuk setiap dan berlaku

.

2.2 Ruang Metrik

Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional, sebab memegang peranan yang sama dengan jarak pada real line R.

Misal X adalah himpunan tak kosong, suatu metriks di X adalah suatu fungsi , sehingga untuk setiap pasangan berlaku :

i. untuk setiap ii. jika dan hanya jika x = y

iii. untuk setiap (sifat simetri)

iv. untuk setiap (ketidaksamaan segitiga)

(27)

12

Suatu barisan (xn) dalam ruang metrik (X, d) dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap bilangan terdapat bilangan asli sehingga untuk setiap . Ruang X dikatakan X dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen.

Definisi 2.2.3 (Maddox, 1970)

Suatu ruang metrik (X, d) dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen. Dengan kata lain jika maka terdapat seningga .

Definisi 2.2.4 (Beberian, 1996)

Misal (X,d) adalah suatu ruang metrik. Suatu barisan dikatakan konvergen jika terdapat suatu titik sehingga untuk (yaitu untuk setiap ). Titik x adalah unik sebab jika maka menunjukkan bahwa x = y. Dapat dikatakan xn konvergen ke limit x (dalam X) sehingga dapat ditulis

Lemma 2.2.5 (Kreyszig, 1989)

Jika X = (X,d) adalah ruang metrik, maka :

(28)

13

(29)

14

2.4 Ruang Bernorma

Definisi 2.4.1 (Darmawijaya, 1970)

Diberikan ruang linear X. Fungsi ‖ ‖ yang mempunyai sifat-sifat :

i. ‖ ‖ untuk setiap

ii. ‖ ‖ , jika dan hanya jika , (0 vektor nol) iii. ‖ ‖ | | ‖ ‖ untuk setiap skalar dan . iv. ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap

disebut norma(norm) pada X dan bilangan nonnegatif ‖ ‖ disebut norma vektor x. Ruang linear X yang dilengkapi dengan suatu norma ‖ ‖ disebut ruang bernorma (norm space) dan dituliskan singkat dengan ‖ ‖ atau X saja asalkan nrmanya telah diketahui.

Lemma 2.4.2 (Maddox, 1970)

Dalam ruang linier bernorm X berlaku ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ untuk setiap .

Bukti :

untuk setiap diperoleh :

(30)

15

2.5 Ruang Banach

Ruang Banach (Banach space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai ruang metrik yang lengkap) jika dalam suatu ruang bernorm X berlaku kondisi bahwa setiap barisan Cauchy di X adalah konvergen

2.6 Barisan

Definisi 2.6.1 (Mizrahi dan Sulivan, 1982)

Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif. Misal terdapat bilangan bulat positif 1, 2, 3,...,n,... yang bersesuaian dengan bilangan real xn tertentu, maka x1, x2,...,xn,... dikatakan barisan.

Definisi 2.6.2 (Yahya, Suryadi, Agus, 1990)

Bilangan-bilangan disebut barisan bilangan tak hingga cn disebut suku umum dari barisan. Bilangan n, (n = 1, 2, 3,...) adalah nomor urut atau indeks yang menunjukkan letak bilangan tersebut dalam barisan.

Definisi 2.6.3 (Mizrahi dan Sulivan, 1982)

Misal L adalah suatu bilangan real dan {xn} suatu barisan, {xn} konvergen ke L jika untuk setiap bilangan terdapat suatu bilangan asli N, sehingga | | untuk setiap

(31)

16

pada sehingga | | untuk setiap , daan suatu barisan dikatakan konvergen jika ia mempunyai nilai limit.

Teorema 2.6.4 (Martono, 1984)

Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas.

Bukti :

Misalkan barisan bilangan real {an} konvergen ke a, akan ditunjukkan terdapat suatu bilangan real sehinga | | untuk setiap . Karena {an} konvergen ke a, maka terapat suatu sehingga | | . Akibatnya | | | | | | | | | | untuk setiap .

Ambillah (| | | | | | | | ), maka setiap berlaku | | , yang berarti bahwa barisan bilangan real {an} terbatas.

Definisi 2.6.5 (Maddox, 1970)

Suatu barisan dikatakan terbatas jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan sehingga | | . Himpunan dari semua barisan terbatas dilambangkan dengan

Definisi 2.6.6 (Yahya, Suryadi, Agus, 1990)

Suatu barisan {xn} dikatakan mempunyai limit L bila untuk setiap bilangan dapat dicari suatu nomor indeks sedemikian sehingga untuk berlaku (atau | | ) artinya jika L adalah limit dari {xn} maka

(32)

17

Definisi 2.6.7 (Martono, 1984)

Suatu barisan yang mempunyai limit dinamakan barisan konvergen dan barisan yang tak konvergen dinamakan barisan divergen.

Definisi 2.6.8 (Soeparna, 2007)

Diberikan yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi :

(33)

(34)

19

Berdasarkan iv), v) dan vi) terbukti bahwa merupakan ruang linear dan ‖ ‖ norm pada . Dengan kata lain ( ‖ ‖ ) ruang bernorm.

Jadi tinggal membuktikan bahwa ruang bernorm itu lengkap.

(35)

(36)

21

2.7 Basis

Ruang vektor V dikatakan terbangkitkan secara hingga (finitely generated) jika ada vektor-vektor sehingga . Dalam keadaan seperti itu disebut pembangkit (generator) ruang vektor V.

Menurut definisi di atas, ruang vektor V terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika ada vektor-vektor sehingga untuk setiap vektor ada skalar-skalar sehingga

Secara umum, jika dan V terbangkitkan oleh B, jadi | | atau B pembangkit V, maka untuk setiap terdapat vektor-vektor dan skalar sehingga

∑

Diberikan ruang vektor V. Himpunan dikatakan bebas linear jika setiap himpunan bagian hingga di dalam B bebas linear.

(37)

22

Contoh :

(38)

23

III. METODE PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2015/2016 di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini antara lain :

1. Mengkonstruksikan operator A dari ruang barisan ke ruang barisan

dengan basis standar dengan ( ).

2. Mengkonstruksikan norma operator A

3. Menyelidiki apakah koleksi semua operator membentuk ruang Banach 4. Merepresentasikan operator A sebagai matriks takhingga yang dikerjakan

(39)

33

V. KESIMPULAN

Operator linear dan kontinu : merupakan operator SM jika dan hanya jika terdapat suatu matriks ( ) yang memenuhi :

(i). = {∑ } untuk setiap = ( ) (ii). ∑∑ | |

(iii). ∑ |∑ |

(40)

34

DAFTAR PUSTAKA

Berbrian, S. K. 1996. Fundamental of Real Analysis. Springer, Texas.

Darmawijaya, S. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah Mada, Yogyakarta.

Fuhrmannn, P. A. 1981. Linear Syatem and Operator in Hibert Space. Mc Graw Hill and Sons, New York.

Kreyszig, E.1989. Introductory Function Analysis with Application. Willey Calssic Library, New York.

Maddox, I.J. 1970. Element of Functional Analysis. Cambridge Univercity Press, London.

Martono, k. 1984. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik 2. Angkasa, Bandung.

Mizrahi, A. dan Sullivan, M. 1982. Calculus and Analitic Geometry. Wadsworth Publishing Company Belmont, California.

Parzynski and Zipse.1987. Introduction to Mathematical Analysis. Mc Graw Hill International Edition, Singapore.

Ruckle, W. H. 1991. Modern Analysis. PWS-KENT Publishing Company. Boston Yahya, Y., Suryadi , D. H. S. dan Agus, S. 1990. Matematika Dasar untuk