ANALISIS DISKRIMINAN DUA GRUP (TWO-GROUP DISCRIMINANT ANALYSIS ) PADA STATISTIK MULTIVARIAT
SKRIPSI
ERLINDA SIREGAR
090823054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
ANALISIS DISKRIMINAN DUA GRUP (TWO-GROUP DISCRIMINANT ANALYSIS ) PADA STATISTIK MULTIVARIAT
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
ERLINDA SIREGAR
090823054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : ANALISIS DISKRIMINAN DUA GRUP (TWO-GROUP DISCRIMINANT ANALYSIS) PADA STATISTIK MULTIVARIAT
Kategori : SKRIPSI
Nama : ERLINDA SIREGAR
Nomor Induk Mahasiswa : 090823054
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, 2011
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 1 Pembimbing 2
Drs. Djakaria Sebayang, M.Si Drs. Rachmad Sitepu, M.Si NIP. 195112271985031002 NIP. 19530418 1987031001
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
PERNYATAAN
ANALISIS DISKRIMINAN DUA GRUP (TWO-GROUP DISCRIMINANT ANALYSIS ) PADA STATISTIK MULTIVARIAT
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya
Medan, 2011
PENGHARGAAN
Puji dan syukur Penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya kepada Penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini sebagai salah satu syarat untuk menyelesaikan pendidikan di Program Studi Matematika S1 ,Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Ucapan terimakasih saya sampaikan kepada bapak Drs. Djakaria Sebayang, M.Si. dan Drs. Rachmad Sitepu, M.Si. serta Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si. dan Drs. H. Haluddin Panjaitan selaku pembimbing dan pembanding pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini. Ucapan terimakasih juga ditujukan kepada ketua dan sekretaris departemen matematika Prof. Dr. Tulus, M.Si dan Dra. Mardiningsih, M.Si serta koordinator ekstensi Matematika FMIPA USU, dekan dan pembantu dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara ,semua dosen pada departemen matematika FMIPA USU,pegawai di FMIPA USU dan rekan-rekan kuliah.Akhirnya ,yang tidak dapat terlupakan bagi Penulis, ucapkan terimakasih kepada ayah dan ibu tercinta serta semua keluarga yang selalu memberikan bantuan dan dorongan serta dukungan sehingga skripsi ini dapat diselesaikan. Semoga Allah SWT akan membalasnya.
ABSTRAK
TWO-GROUP DISCRIMINANT ANALYSIS STATISTIC MULTIVARIAT
ABSTRACT
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan i
Pernyataan ii
Penghargaan iii
Abstrak iv
Abstract v
Daftar Isi vi
Daftar Tabel vii
Bab 1 Pendahuluan 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tinjauan Pustaka 3
1.4 Tujuan Penelitian 7
1.5 Manfaat Penelitian 7
1.6 Metode Penelitian 8
Bab 2 Landasan Teori 9
2.1 Analisis Diskiminan 9
2.2 Uji Kenormalan Peubah Ganda 10 2.3 Uji Kesamaan Matriks Varians Kovarians 11 2.4 Uji Vektor Nilai Rataan ( Uji Kesamaan Rata-Rata Kelompok ) 12
2.5 Fungsi Analisis Diskriminan 13
2.6 Ketepatan Pengelompokan Fungsi Diskriminan 18
Bab 3 Analisis Diskriminan Dua Grup (Two-Grup Discriminan Analysis) 20 3.1 Menghitung Nilai Rata-Rata,Standar Deviasi, Nilai Varians,
Kovarians, Matriks Varians Kovarians dan Matriks Varians Kovarian dalam kelompok Gabungan pada setiap kelompok
Gagal dan Berhasil 21
3.2 Menghitung Korelasi Antar Variabel Bebas (Prediktor) pada Setiap Kelompok untuk Melihat Multikolinieritas Variabel
Independen 27 3.3 Uji Kesamaan Matriks Varians Kovarians 28
3.4 Uji Kesamaan Rata-Rata Kelompok 30
3.5 Fungsi Diskriminan 35
3.6 Menguji Ketepatan Pengelompokan Fungsi Diskriminan 37
Bab 4 Kesimpulan dan Saran 39
4.1 Kesimpulan 39
4.2 Saran 39
Daftar Pustaka 40
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.5.1 Matriks Data Pengamatan 14
Tabel 2.5.2 Matriks Data Pengamatan dari Grup I 15 Tabel 2.5.3 Matriks Data Pengamatan dari Grup II 16 Tabel 2.6.1 Evaluasi Terhadap Fungsi Diskriminan 19 Tabel 3.1 Data Skor Kemampuan Mengeluarkan Pendapat dan Skor
Motivasi Mahasiswa 20
Tabel 3.1.1 Perhitungan Matriks Varians-Kovarians Kelompok Berhasil 21 Tabel 3.1.2 Perhitungan Matriks Varians-Kovarians Kelompok Gagal 23 Tabel 3.1.3 Matriks Varians Kovarians Kelompom Berhasil dan Gagal 26 Tabel 3.1.4 Matriks Varians Kovarians Gabungan Dalam Kelompok
(Pooled Within-Groups Matrices) 26
Tabel 3.1.5 Group Statistics 26
Tabel 3.4.1 Uji Kesamaan Rata-Rata Kelompok
(Tests of Equality of Group Means) 31 Tabel 3.4.2 Perhitungan Uji Kesamaan Rata-Rata Kelompok 32 Tabel 3.4.3 Analisis Varians untuk Variabel X1 33 Tabel 3.4.4 Analisis Varians untuk variabel X2 34 Tabel 3.5.1 Pengklasifikasian Objek Pengamatan ke dalam kelompok 36 Tabel 3.6.1 Evaluasi Terhadap Fungsi Diskriminan 37
ABSTRAK
TWO-GROUP DISCRIMINANT ANALYSIS STATISTIC MULTIVARIAT
ABSTRACT
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Analisis diskriminan merupakan teknik menganalisis data, dimana variabel dependen merupakan data kategorik ( nominal dan ordinal ) sedangkan variabel independen berupa data interval atau rasio .Misalnya berdasarkan data dari nasabah peminjam kredit suatu bank, seperti penghasilan, umur, pekerjaan, tingkat pendidikan, ingin meramalkan apakah seseorang nasabah yang baru termasuk jujur atau tidak jujur. Analisis diskriminan ini termasuk dalam analisis multivariat dengan metode dependensi. Ada dua metode dalam analisis multivariat yaitu metode dependensi dan metode interdenpendensi . Metode dependensi yaitu variabel-variabelnya tidak saling bergantung satu dengan yang lain, sedangkan metode interdenpendensi adalah antar-variabelnya ada saling ketergantungan.
Variabel dependen adalah data kategorikal. Jika data kategorikal terdiri dari dua kelompok atau kategori disebut Two-Group Discriminant Analysis , sedangkan jika lebih dari dua kategori disebut dengan Multiple Discriminant Analysis.
Adapun yang menjadi latar belakang penelitian ini adalah terkait dengan peranan dan aplikasi analisis diskriminan yang merupakan salah satu dari teknik statistik multivariat yang banyak digunakan dalam berbagai bidang ilmu yang terjadi dalam sebuah fenomena sosial, keuangan dan ekonomi.
Analisis diskriminan sangat menarik, karena ada banyak hal yang bisa dijawab dalam kehidupan ini jika memahami analisis diskriminan seperti :
1. Mengapa ada perusahaan yang bangkrut dan yang lain tetap berdiri?
3. Mengapa sebagian orang lebih suka bank swasta dibanding bank pemerintah? 4. Dengan analisis diskriminan,direktur personalia dapat meramalkan apakah
seseorang calon karyawan perusahaan akan menjadi karyawan yang produktif atau tidak produktif.
5. Seorang direktur perusahaan dapat meramalkan apakah seorang pelanggan merupakan pelanggan loyal atau tidak.
6. Seorang direktur kredit suatu bank dapat meramalkan seseorang nasabah termasuk jujur atau tidak jujur.
Analisis diskriminan digunakan asalkan pertanyaan penelitian mengarah pada variabel tak bebas (dependent variable) yang berupa data kategori seperti : macet-lancar, untung-rugi, puas-tidak puas dan lainnya.
Analisis diskriminan adalah metode untuk mencari dasar pengelompokan individu berdasarkan lebih dari satu variabel bebas. Analisis Diskriminan dipakai untuk menjawab pertanyaan bagaimana individu dapat dimasukkan ke dalam kelompok berdasarkan beberapa variabel. Persamaan Fungsi Diskriminan yang dihasilkan untuk memberikan peramalan yang paling tepat untuk mengklasifikasi individu kedalam kelompok berdasarkan skor variabel bebas .
Pada penelitian bidang kesehatan , analisis diskriminan dilakukan untuk mengetahui apakah dari keempat variabel prediktor, yaitu perasaan cemas (feeling anxious), gelisah (restless), depresi (depressed), putusasa (hopeless) dapat menentukan apakah seorang pasien akan didiagnosis pada kelompok tidak stress (normal) atau stress .
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, adapun permasalahan dalam penelitian ini adalah : Membuat fungsi diskriminan untuk memberikan peramalan yang tepat, untuk mengklasifikasi suatu objek kedalam kelompok berdasarkan variabel independen, dimana variabel dependennya berupa data kategori yang terdiri dari dua grup atau kelompok .
Pembahasan masalah dalam penelitian ini akan dibatasi mengenai analisis diskriminan yang merupakan salah satu dari beberapa klasifikasi teknik statistik multivariat. Penelitian ini menggunakan analisis diskriminan yang melibatkan dua grup pada variabel dependen (Two-Group Discriminant Analysis ).
1.3 Tinjauan Pustaka
Pengertian Analisis Multivariat
Analisis multivariat (multivariate analysis) merupakan salah satu jenis analisis statistik yang digunakan untuk menganalisis data yang terdiri dari banyak variabel bebas dan juga banyak variabel tak bebas . Data multivariat adalah data yang dikumpulkan dari dua atau lebih observasi dengan mengukur observasi tersebut dengan beberapa karakteristik. Seorang individu diteliti dengan berbagai macam ukuran (karakteristik).Misalnya X1 adalah usia (tahun), X2 adalah berat badan (kg), dan lain sebagainya.
Analisis Diskiminan (Analisis Fungsi Pembeda )
Menurut Johnson dan Wichern (2007) Analisis Diskriminan digunakan untuk mengklasifikasikan individu ke dalam salah satu dari dua kelompok atau lebih. Suatu fungsi diskriminan layak untuk dibentuk, bila terdapat perbedaan nilai rataan di antara kelompok-kelompok yang ada.
Sebelum fungsi diskriminan dibentuk perlu dilakukan pengujian terhadap perbedaan nilai rataan dari kelompok-kelompok tersebut. Dalam pengujian tersebut, asumsi analisis diskriminan yang harus dipenuhi adalah :
1. Variabel independen seharusnya berdistribusi normal multivariat (Multivariate
Normality), jika data tidak berdistribusi normal,akan menyebabkan masalah pada
ketepatan fungsi (model) diskriminan.
2. Matriks varians kovarians grup dari semua variabel independen seharusnya sama. 3. Tidak ada data yang sangat ekstrim (outlier) pada variabel independen, jika ada
data ekstrim yang tetap diproses, hal ini bisa berakibat berkurangnya ketepatan klasifikasi dari fungsi diskriminan.
4. Tidak ada korelasi yang kuat antar-variabel independen , jika dua variabel independen mempunyai korelasi yang kuat,dikatakan terjadi multikolinieritas. Untuk mengetahui adanya multikolinieritas dapat dilakukan dengan melihat korelasi antar variabel independen (r) yaitu jika nilai r > 0.6 menunjukkan adanya multikolinieritas.
Uji Kenormalan Peubah Ganda
Menurut Johnson dan Wichern (2007), untuk menguji kenormalan ganda (Multivariate Normality) adalah dengan mencari nilai jarak kuadrat untuk setiap pengamatan yaitu:
) (
)'
( 1
2
X X S X X
di = i− − i −
dimana :
2
i
d adalah dengan mencari nilai jarak kuadrat untuk setiap pengamatan ke- i
i
−
X adalah rata-rata variabel bebas X
S-1 adalah kebalikan (inverse) matriks varians-kovarians S .
Kemudian 2
i
d diurutkan dari yang paling kecil ke yang paling besar, selanjutnya dibuat plot di2 dimana: i = urutan = 1, 2, ..., n . Bila hasil plot dapat didekati dengan garis lurus, maka dapat disimpulkan bahwa peubah ganda menyebar normal.
Pada artikel Analisis_Faktor & Diskriminan, dikatakan bahwa seringkali kenormalan ganda sulit diperoleh terutama bila sampel yang diambil relatif kecil. Bila hal ini terjadi, uji vektor nilai rataan (uji kesamaan rata-rata kelompok) tetap bisa dilakukan selama asumsi kesamaan matriks varians kovarians grup dari semua variabel independen dipenuhi.
Uji Kesamaan Matriks Varians Kovarians
Untuk menguji kesamaan matriks varians kovarians kelompok I berhasil (S1) dan kelompok II gagal (S2) digunakan hipotesa :
H0 : S1 = S2 ,matriks varians kovarians kelompok adalah relatif sama H1 : matriks varians kovarians kelompok adalah berbeda secara nyata.
Terima H0 , yang berarti matriks varians kovarians sama jika :
2
) 1 ( ) 1 ( 2 1 ; 2
+ −
≤
p p k hit
α χ χ
dengan :
− −
− =
= =
k
i
k
i i i
i
hitung C V S S V
1 1
1
2 ln
2 1 ln 2
1 ) 1 ( 2 χ
k = banyaknya kelompok ( grup )
S = matriks varians kovarians dalam kelompok gabungan. Si = matriks varians kovarians kelompok ke-i.
i = 1,2, ... , k
ni = jumlah responden pada kelompok ke- i
dengan
Fungsi diskriminan untuk hal ini adalah menggunakan statistik W (Wald Anderson )
yaitu : ( ) ( )
X adalah vektor pengamatan
1
−
X dan 2
−
X adalah vektor rata-rata variabel independen
1
−
S adalah invers matriks varians kovarian dalam kelompok gabungan
Yang akan menghasilkan model atau fungsi analisis diskriminan sebagai berikut :
j
b = koefisien fungsi diskriminan dari variabel ke-j
ij
X = Variabel bebas ke-j dari responden ke-i , dimana i = 1,2,...,n
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah melakukan analisis diskriminan dua grup untuk :
1. Membuat suatu fungsi diskriminan dari variabel independen yang bisa mendiskriminasi atau membedakan kelompok variabel dependen (membedakan suatu objek masuk pada grup I atau grup II ).
2. Menguji apakah ada perbedaan yang signifikan antar-grup pada variabel dependen ( apakah ada perbedaa yang signifikan antara anggota grup I dengan anggota grup II ).
3. Jika ada perbedaan yang signifikan antar-grup pada variabel dependen, variabel manakah pada fungsi diskriminan yang membuat perbedaan tersebut. 4. Menguji ketepatan pengelompokan fungsi diskriminan .
1.5 Manfaat Penelitian
1.6 Metode Penelitian
Adapun tahapan-tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah :
1. Menghitung nilai rata-rata, standar deviasi, nilai varians, kovarians, matriks varians-kovarians dan matriks varians kovarians dalam kelompok gabungan pada setiap kelompok atau grup.
2. Menghitung korelasi antar variabel bebas (prediktor) pada setiap kelompok, untuk melihat multikolinieritas variabel independen .
3. Menghitung nilai homogenitas matriks varians kovarians dalam kelompok. 4. Menghitung nilai uji F dan Wilk’s Lambda , untuk melihat perbedaan variabel
bebas pada setiap kelompok.
5. Menguji semua variabel,untuk mengetahui apakah semua variabel independen berbeda secara nyata berdasarkan variabel dependen.
6. Mencari nilai signifikansi dari fungsi diskriminan dengan nilai uji F dan Wilk’s Lambda
7. Membuat suatu fungsi diskriminan dari variabel independen yang bisa mendiskriminasi atau membedakan kelompok variabel dependen (membedakan suatu objek masuk pada grup I atau grup II ).
8. Menentukan klasifikasi terhadap objek, apakah suatu objek termasuk pada grup I atau grup II .
BAB 2
LANDASAN TEORI
Dalam bab 2 ini akan dijelaskan teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini yang dapat dijadikan sebagai landasan teori atau teori pendukung dalam penelitian ini.Landasan teori ini akan mempermudah pembahasan hasil penelitian pada bab 3. Adapun teori – teori tersebut adalah sebagai berikut.
2.1 Analisis Diskiminan
Menurut Johnson dan Wichern (2007), tujuan dari Analisis Diskriminan adalah untuk menggambarkan ciri-ciri suatu pengamatan dari bermacam-macam populasi atau kelompok yang diketahui. Dengan kata lain Analisis Diskriminan digunakan untuk mengklasifikasikan individu ke dalam salah satu dari dua kelompok atau lebih.
Suatu fungsi diskriminan layak untuk dibentuk bila terdapat perbedaan nilai rataan di antara kelompok-kelompok yang ada. Oleh karena itu sebelum fungsi diskriminan dibentuk perlu dilakukan pengujian terhadap perbedaan nilai rataan dari kelompok-kelompok tersebut.
Dalam pengujian nilai rataan antar kelompok, asumsi yang harus dipenuhi adalah:
5. Variabel independen seharusnya berdistribusi normal multivariat (Multivariate
Normality), jika data tidak berdistribusi normal,akan menyebabkan masalah pada
ketepatan fungsi (model) diskriminan.
7. Tidak ada data yang sangat ekstrim (outlier) pada variabel independen, jika ada data ekstrim yang tetap diproses, hal ini bisa berakibat berkurangnya ketepatan klasifikasi dari fungsi diskriminan.
8. Tidak ada korelasi yang kuat antar-variabel independen , jika dua variabel independen mempunyai korelasi yang kuat,dikatakan terjadi multikolinieritas, untuk mengetahui adanya multikolinieritas dapat dilakukan dengan melihat korelasi antar variabel independen (r) yaitu jika nilai r > 0.6 menunjukkan adanya multikolinieritas.
2.2 Uji Kenormalan Peubah Ganda
Menurut Johnson dan Wichern (2007), untuk menguji kenormalan peubah ganda (Multivariate Normality) adalah dengan mencari nilai jarak kuadrat untuk setiap pengamatan yaitu:
) (
)'
( 1
2
X X S X X
di = i− − i −
dimana :
2
i
d adalah nilai jarak kuadrat untuk setiap pengamatan ke- i
i
X adalah pengamatan yang ke-i, dengan i = 1, 2, ..., n −
X adalah rata-rata variabel bebas X
S-1 adalah kebalikan (inverse) matriks varians-kovarians gabungan S .
Kemudian di2 diurutkan dari yang paling kecil ke yang paling besar, selanjutnya dibuat plot 2
i
d dimana: i = urutan = 1, 2, ..., n . Bila hasil plot dapat didekati dengan garis lurus, maka dapat disimpulkan bahwa peubah ganda menyebar normal.
dilakukan selama asumsi kesamaan matriks varians kovarians grup dari semua variabel independen dipenuhi.
2.3 Uji Kesamaan Matriks Varians Kovarians
Untuk menguji kesamaan matriks varians kovarians kelompok I (S1) dan kelompok II (S2) digunakan hipotesa :
H0 : S1 = S2 ,matriks varians kovarians kelompok adalah relatif sama
H1 : matriks varians kovarians kelompok adalah berbeda secara nyata.
Terima H0 , yang berarti matriks varians kovarians sama jika :
2 S = matriks varians kovarians dalam kelompok gabungan. Si = matriks varians kovarians kelompok ke-i.
i = 1,2, ... , k
ni = jumlah responden pada kelompok ke- i
− +
− + −
=
=
= 6( 1)( 1)
1 3 2 1
1 2
1 1
1
k p
p p
V V
C k
i i k
i i
2.4 Uji Vektor Nilai Rataan (Uji Kesamaan Rata-Rata Kelompok )
Menguji apakah semua variabel independen (variabel bebas) berbeda secara nyata berdasarkan variabel dependen.Variabel bebas diuji dengan dua cara :
1. Dengan Uji F
Statistik uji yang digunakan untuk menguji kesamaan rata-rata antar kelompok adalah statistik F dengan hipotesa :
H0 : µ1 =µ2 =...=µk ,berarti rata-rata antar kelompok sama ( tidak ada perbedaan )
H1 : µ1 ≠µ2 ≠...≠µk ( sedikitnya ada dua rataan yang berbeda )
berarti ada perbedaan rata-rata antar kelompok.
= Taraf nyata
Daerah kritis : tolak H0 , jika Fhit > Ftabel Ftabel = F (db1; db2 )
db1 = k-1
db2 = (n-k ) = (n1-1)+(n2-1)
Keputusan atas dasar Signifikansi uji F pada output SPSS dilihat angka Sig.
a. Jika Sig. > 0.05 maka H0 diterima berarti tidak ada perbedaan yang signifikan antar grup ( rata - rata antar kelompok sama ).
b. Jika Sig. 0.05 maka H1 diterima , berarti ada perbedaan yang signifikan antar grup .
2. Dengan angka Wilks’ Lambda
Angka Wilks’ Lambda berkisar 0 sampai 1 , yaitu :
a. Jika angka Wilks’ Lambda mendekati 0 , maka data tiap kelompok cenderung berbeda.
b. Jika angka Wilks’ Lambda mendekati 1 , maka data tiap kelompok cenderung sama (tidak berbeda ).
Wilk’s Lambda
B W
W
+ =
Dimana :
W = Jumlah Kuadrat Galat ( JK dalam kelompok ) B = Jumlah Kuadrat Antar kelompok
Analisis varians ( uji F ) dan angka Wilk’s Lambda adalah untuk menguji rata-rata dari setiap variabel.
2.5 Fungsi Analisis Diskriminan
Pada data pengamatan ke-i yang berukuran n ( i=1,2,... n ) yang terdiri atas j buah variat (variabel) yaitu X1, X2, ... , Xj . Data pengamatan tersebut dapat disajikan dalam bentuk matriks berikut.
Tabel 2.5.1 Matriks Data Pengamatan
Variabel X1 X2 . . . Xj kovarians, diberi lambang Sij yang dapat dihitung dengan rumus berikut.
S =
Misalkan ada dua grup yang banyak variabelnya masing-masing j buah ,yaitu X11, X12, ... , X1j dalam grup I dan X21,X22, ... ,X2j dalam grup II . Perhatikan bahwa Xij menyatakan variabel ke j dalam grup ke i , dengan i = grup I dan grup II. Variabel dalam setiap grup dapat pula dituliskan dalam bentuk vektor kolom sebagai berikut.
=
X2 menyatakan variabel X ke j dalam grupke 2
Dari setiap grup berukuran n1 dari grup ke-1 dan berukuran n2 dari grup ke-2 . Data pengamatan akan berbentuk matriks yang bentuknya seperti berikut.
Tabel 2.5.2 Matriks Data Pengamatan dari Grup I
Tabel 2.5.3 Matriks Data Pengamatan dari Grup II
Variabel X21 X22 . . . X2j
Data
Pengamatan X211 X221 . . . X2j1
X212 X222 . . . X2j2
. . .
. . .
. . .
X21n2 X22n2 . . . X2jn2
Rata-rata
−
X 21
−
X 22 . . .
−
X 2j
Hasil pengamatan ini akan menghasilkan rata-rata untuk tiap variabel yang dalam bentuk vektor bisa ditulis :
=
− − −
−
j X X X
X
1 12 11
1
. .
. dan =
− − −
−
j X X X
X
2 22 21
2
. . .
dimana :
X1jn1 menyatakan variabel X ke j dalam grup ke 1 yang berukuran n1 X2jn2 menyatakan variabel X ke j dalam grup ke 2 yang berukuran n2
j X1
−
menyatakan rata-rata variabel ke j dalam grup ke 1
j X1
−
menyatakan rata-rata variabel ke j dalam grup ke 2
S1 =
Kedua buah matriks kovarians ini bisa dihitung matriks varians-kovarians gabungan , diberi lambang S dengan rumus :
2
Matriks varians-kovarians gabungan ini mempunyai invers, yaitu S-1 .
Dengan adanya vektor rata-rata 1
−
X dan 2
−
X dan juga matriks varians-kovarians gabungan S bersama dengan persyaratan bahwa data variabel independen seharusnya berdistribusi normal multivariat ( bervariabel banyak ) disingkat multinormal, dan matriks varians-kovarians kedua grup relatif sama , maka rumus fungsi diskriminan untuk ini adalah :
Y = '
X adalah vektor pengamatan, yaitu X =
Fungsi diskriminan ini dapat digunakan untuk membuat aturan klasifikasi yang kita cari berdasarkan salah satu dari kedua aturan dibawah ini :
ATURAN I : Jika Y >
2
1 '
2 1 )
( − −
−X
X S-1 ( 1 2)
− −
+ X
X klasifikasi objek dengan data pengamatan X
dimasukkan ke dalam grup I .
Jika Y < 2
1 '
2 1 )
( − −
−X
X S-1 ( 1 2)
− −
+ X
X suatu objek diklasifikasikan kedalam grup II .
ATURAN II :
Dengan menggunakan statistik W (Wald – Anderson) yaitu :
W = X' S-1 ( 1 2) − −
−X
X -
2
1 '
2 1 )
( − −
−X
X S-1 ( 1 2)
− −
+X X
Untuk memperoleh klasifikasi ini , jika W > 0 maka objek dengan pengamatan X dimasukkan kedalam grup I sedangkan dalam hal lainnya objek itu dimasukkan kedalam grup II .
2.6 Ketepatan Pengelompokan Fungsi Diskriminan
Tingkat akurasi pengelompokkan sangat menentukan baik atau tidaknya suatu pengelompokkan. Persentase ketepatan pengelompokan dapat dihitung dari matriks klasifikasi yang menunjukkan nilai sebenarnya (actual members) dan nilai prediksi
(prediction members) dari setiap kelompok.
Tabel 2.6.1 Evaluasi Terhadap Fungsi Diskriminan Pengelompokan Menurut
Fungsi Diskriminan Pengelompokan
Awal Kelompok I Kelompok II
Jumlah
Kelompok I
11
n n12 n1.
Kelompok II
21
n n22 n2.
Jumlah
1 .
n n.2 n
Rumus persentase ketepatan pengelompokan =
n n
n )
( 11+ 22
BAB 3
ANALISIS DISKRIMINAN DUA GRUP (TWO-GROUP DISCRIMINANT ANALYSIS )
Prinsip analisis diskriminan adalah ingin membuat suatu fungsi diskriminan dari variabel independen yang bisa secara jelas mendiskriminasi atau membedakan kelompok variabel dependen , artinya mampu membedakan suatu objek masuk ke kelompok yang mana .Sebelum melakukan analisis diskriminan pada suatu kasus besar yang mempunyai banyak data dan variabel , berikut akan dibahas suatu contoh yang paling sederhana untuk melakukan analisis diskriminan,yakni hanya melibatkan dua kelompok atau kategori ( Two-Group Diskriminan Analysis ) .
Misalkan data tentang skor kemampuan mengeluarkan pendapat (X1) dan skor motivasi (X2) mahasiswa telah diyakini berdistribusi normal, yang memiliki dua variabel dengan matriks varians kovarians sama, untuk mengklasifikasikan apakah seorang mahasiswa diperkirakan akan “berhasil” atau “gagal” dalam menempuh pelajaran tahun depan . Apabila data skor X1 dan X2 diketahui dari kelompok yang berhasil dan gagal. Datanya adalah sebagai berikut .
Tabel 3.1 Data Skor Kemampuan Mengeluarkan Pendapat dan Skor Motivasi Mahasiswa
Responden
Kelompok Berhasil
kelompok Gagal
No. X1 X2 X1 X2
1 8 7 6 5
2 8 6 5 4
3 7 7 6 5
4 9 7 7 6
5 8 8 6 6
6 7 8 5 7
7 9 8 5 5
8 6 6 5 4
9 7 6
10 9 7
Variabel yang diamati dan menjadi perhatian dalam penelitian ini adalah :
a. Variabel dependen (Y) terdiri dari dua kelompok atau kategori (Two-Group Discriminant Analysis ) yaitu :
Kode ( 0 ) untuk kelompok gagal Kode ( 1 ) untuk kelompok berhasil
b. Variabel independen (Xi) yaitu :
X1 adalah skor kemampuan mengeluarkan pendapat X2 adalah skor motivasi .
3.1Menghitung Nilai Rata-Rata, Standar Deviasi, Nilai Varians, Kovarians, Matriks Varians-Kovarians dan Matriks Varians Kovarians dalam Kelompok Gabungan pada Setiap Kelompok Gagal dan Berhasil.
Matriks Varians-Kovarians Kelompok Berhasil (kelompok ke- 1 )
Tabel 3.1.1 Perhitungan Matriks Varians-Kovarians Kelompok Berhasil
Kelompok Berhasil
Pengamatan X1 X2 X12 X22 X1X2
1 8 7 64 49 56
2 8 6 64 36 48
3 7 7 49 49 49
4 9 7 81 49 63
5 8 8 64 64 64
6 7 8 49 64 56
7 9 8 81 64 72
8 6 6 36 36 36
9 7 6 49 36 42
10 9 7 81 49 63
Jumlah 78 70 618 496 549
Rata-rata 7.8 7
Dari tabel 3.1.1 diperoleh :
=
n
i i X
1
1= 78
=
n
i i X
1 2
1=618 11
−
=
menyatakan rata-rata variabel ke j dalam kelompok ke 1
11
−
X menyatakan rata-rata variabel ke 1 dalam kelompok ke 1
12
−
X menyatakan rata-rata variabel ke 2 dalam kelompok ke 1
1
n banyaknya data pada kelompok ke-1 ( kelompok berhasil )
=
= jumlah data pengamatan i (dimana i= 1,2,...n ) dari variabel ke-j
• Hitung nilai varians untuk variabel Xi dan Xj, dimana i = j ,maka Sij = Sji diberi lambang menjadi Sjj, dengan rumus :
Nilai varians dan kovarians diatas disusun dalam sebuah matriks ,disebut dengan nama matriks varians-kovarians dengan lambang S , bentuknya sebagai berikut.
=
Untuk matriks varians-kovarians kelompok ke-k ,diberi lambang Sk , Untuk k = 1 menyatakan kelompok ke-1 (kelompok berhasil ) k = 2 menyatakan kelompok ke- 2 ( kelompok gagal )
Sehingga, diperoleh matriks varians kovarians kelompok ke-1 (kelompok berhasil )
yaitu S1 =
Matriks Varians-Kovarians Kelompok Gagal (kelompok ke- 2 )
Tabel 3.1.2 Perhitungan Matriks Varians-Kovarians Kelompok Gagal
6 5 7 25 49 35
7 5 5 25 25 25
8 5 4 25 16 20
Jumlah 45 42 257 228 238
Rata-rata 5.625 5.25
Dari tabel 3.1.2 diperoleh :
=
menyatakan rata-rata variabel ke j dalam kelompok ke 2
21
−
X menyatakan rata-rata variabel ke 1 dalam kelompok ke 2
22
−
X menyatakan rata-rata variabel ke 2 dalam kelompok ke 2 n2 banyaknya data pada kelompok ke-2 ( kelompok gagal )
= jumlah data pengamatan i (dimana i= 1,2,...n ) dari variabel ke-j
• Hitung nilai varians untuk variabel Xi dan Xj, dimana i = j ,maka Sij = Sji diberi lambang menjadi Sjj, dengan rumus :
Varians X2 : 1,071428571 1,071 diberi lambang Sij . Kovarians untuk variabel X1 da X2 dapat dihitung dengan rumus berikut.
Nilai varians dan kovarians diatas disusun dalam sebuah matriks ,disebut dengan nama matriks varians-kovarians dengan lambang S , bentuknya sebagai berikut.
= menyatakan matriks varians-kovarians kelompok ke- 2 ( kelompok gagal ).
Sehingga, diperoleh matriks varians kovarians kelompok ke-2 (kelompok gagal )
Matriks Varians-Kovarians Gabungan
Rumus matriks varians-kovarians gabungannya adalah
2
Maka , matriks varians-kovarians gabungannya adalah =
844
Output SPSS
Tabel 3.1.3 Matriks Varians Kovarians Kelompok Berhasil dan Gagal kelompok X1 X2
Tabel 3.1.4 Matriks Varians Kovarians Gabungan Dalam Kelompok (Pooled Within-Groups Matrices)
X1 X2
X1 .842 .297
kovarians
X2 .297 .844
Tabel 3.1.5 Group Statistics
3.2Menghitung Korelasi Antar Variabel Bebas ( Prediktor ) pada Setiap Kelompok untuk Melihat Multikolinieritas Variabel Independen .
Rumus korelasi sederhana antara variabel X1dan X2 sebagai berikut :
−
Untuk Kelompok Berhasil
=549
Korelasi antara X1dan X2 untuk kelompok Berhasil adalah 0,395
Untuk Kelompok Gagal
=238
Dapat diartikan bahwa korelasi antara variabel X1 dan X2 pada variabel kelompok berhasil dan gagal adalah lemah, yaitu sebesar 0,395 dan 0,325 . Dengan demikian Fungsi diskriminan memenuhi asumsi bahwa tidak ada korelasi yang kuat (multikolinieritas ) antara variabel independen dalam model.
3.3 Uji Kesamaan Matriks Varians Kovarians
Untuk menguji kesamaan matriks varians kovarians kelompok I, yaitu kelompok berhasil (S1) dan kelompok II ,yaitu kelompok gagal (S2) digunakan hipotesa :
H0 : S1 = S2 ,matriks varians kovarians kelompok adalah relatif sama H1 : matriks varians kovarians kelompok adalah berbeda secara nyata.
Terima H0 , yang berarti matriks varians kovarians sama jika : 2
) S = matriks varians kovarians dalam kelompok gabungan. Si = matriks varians kovarians kelompok ke-i.
i = 1,2, ... , k
= -2 (1- 0,063822751 )
[
−4,509290039−(−3,792877179)]
= ( -1,872354497 ) ( -0,716412859 )=
2
hitung
χ 1,341378839
dan 2 (20,05)(1)
) 1 ( ) 1 ( 2 1
; χ
χ
α k− p p+ = , dengan k= 2 dan p = 1
=
+ −
2
) 1 ( ) 1 ( 2 1 ; k p p
α
χ 3,84
Kesimpulan :
Terima H0 , karena 2
) 1 ( ) 1 ( 2 1 ; 2
+ −
≤
p p k hit
α χ
χ ,berarti matriks varians kovarians relatif sama.
.
3.4 Uji Kesamaan Rata-Rata Kelompok
Menguji apakah semua variabel independen (variabel bebas) berbeda secara nyata berdasarkan variabel dependen.Variabel bebas diuji dengan dua cara :
1. Dengan angka Wilks’ Lambda .
Angka Wilks’ Lambda berkisar 0 sampai 1 , yaitu :
c. Jika angka Wilks’ Lambda mendekati 0 , maka data tiap kelompok ( gagal dan berhasil ) cenderung berbeda.
d. Jika angka Wilks’ Lambda mendekati 1 , maka data tiap kelompok ( gagal dan berhasil ) cenderung sama (tidak berbeda ).
2. Dengan Uji F
Keputusan atas dasar Signifikansi (lihat angka Sig. Pada output SPSS )
c. Jika Sig. > 0.05 maka H0 diterima berarti tidak ada perbedaan yang signifikan antar grup ( rata - rata antar kelompok sama )
Analisis varians ( uji F ) dan angka Wilk’s Lambda adalah untuk menguji rata-rata dari setiap variabel.
Output SPSS
Tabel 3.4.1 Uji Kesamaan Rata-Rata Kelompok (Tests of Equality of Group Means)
Wilks'
Lambda F df1 df2 Sig.
X1 .391 24.965 1 16 .000
X2 .498 16.132 1 16 .001
Tabel diatas adalah output SPSS untuk menguji kesamaan rata-rata kelompok. Uji yang digunakan adalah uji Wilk’s Lambda. Uji ini sama dengan uji F yang digunakan untuk menguji kesamaan dan perbedaan rata-rata. Dari hasil uji equality
terlihat bahwa kedua variabel diikut sertakan dalam analisis , karena nilai Wilk’s Lambda kedua variabel X1 dan X2 mendekati 0 dan nilai Sig. 0.05 pada uji F , berarti berarti ada perbedaan yang signifikan antar grup (ada perbedaan rata-rata antar kelompok gagal dengan kelompok berhasil).Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa ada perbedaan yang signifikan antar grup (dengan kata lain : gagal atau berhasilnya seorang mahasiswa dipengaruhi oleh variabel X1 (kemampuan mengeluarkan pendapat ) dan X2 (motivasi ).
Jika ada perbedaan yang signifikan antar grup pada variabel dependen (ada perbedaan antara anggota grup gagal dan grup berhasil). Kriteria untuk melihat variabel mana pada fungsi diskriminan yang paling berarti (signifikan ) yang membuat
perbedaan tersebut adalah : 1. Peubah yang memiliki nilai F terbesar.
2. Peubah yang memiliki nilai Wilk’s Lambda terkecil.
maka variabel yang paling berarti (signifikan ) yang membuat perbedaan pada fungsi diskriminan tersebut adalah variabel X1 (kemampuan mengeluarkan pendapat ).
Hipotesis uji kesamaan rata-rata antar kelompok diatas adalah :
H0 : µ1 =µ2 ,berarti rata-rata antara kedua kelompok sama ( tidak ada perbedaan )
Taraf nyata = 0,05
Daerah kritis : tolak H0 jika F > Ftabel db1= k-1 =2-1 = 1
db2 = (n-k ) = (n1-1)+(n2-1)
= 18 – 2 = (10-1)+(8-1) = 9+7 = 16 Ftabel = F0,05 (1,16 ) = 4,49
Tabel 3.4.2 Perhitungan Uji Kesamaan Rata-Rata Kelompok responden kelompok X1 X2 X12 X22
1 1 8 7 64 49
2 1 8 6 64 36
3 1 7 7 49 49
4 1 9 7 81 49
5 1 8 8 64 64
6 1 7 8 49 64
7 1 9 8 81 64
8 1 6 6 36 36
9 1 7 6 49 36
10 1 9 7 81 49
11 0 6 5 36 25
12 0 5 4 25 16
13 0 6 5 36 25
14 0 7 6 49 36
15 0 6 6 36 36
16 0 5 7 25 49
17 0 5 5 25 25
18 0 5 4 25 16
Jumlah 123 112 875 724
Untuk variabel X1 ( kemampuan mengeluarkan pendapatan )
JK total = =
=
− n
i
n
i ij
ij
n X X
1
1 2
2
) (
=
n
i ij X
1
= Jumlah data pengamatan i (dengan i= 1,2,...n ) dari variabel ke-j
JK total = 82+82 +72 +92+82+72 +92+62+72+92 +62 +52+62+72+62+
52+ 52 + 52 18
) 123
( 2
= 875 -
JK antar kelompok =
18
= Jumlah data pengamatan i (dimana i= 1,2,...n ) dari variabel ke-j
ij
X = Jumlah data pengamatan kelompok ke-i pada variabel ke –j
11
X = 78 X21= 45 n1= 10 n2 =8
11
X = Jumlah data pengamatan kelompok ke-1 pada variabel ke -1
21
X = Jumlah data pengamatan kelompok ke-2 pada variabel ke -1
i
n = banyaknya data pengamatan pada kelompok ke-i, k = banyaknya kelompok
i = 1,2, ... , k
JK dalam kelompok = JK total – JK antar kelompok = 13,475
Tabel 3.4.3 Analisis Varians untuk Variabel X1
Sumber Variasi df JK RK = JK/df Fhit
Antar kelompok 1 21,025 21,025 24,965
Dalam kelompok (error) 16 13,475 0,8421875
Total 34,5
W = Jumlah Kuadrat dalam kelompok ( JK dalam kelompok ) B = Jumlah Kuadrat Antar kelompok
Wilks Lambda = 0,391 5
, 34
475 , 13
=
Untuk variabel X2 ( motivasi )
JK total = 72 +62+72 +72 +82 +82 +82 +62 +62 +72 +52+42+52 +62 +62+
72+ 52 + 42 18
) 112
( 2
−
= 724 - 18
) 112
( 2
= 27,11111111
JK antar kelompok =
18 ) 112 ( 8
) 42 ( 10
) 70
( 2 2 2
−
+ = 13,61111111
JK dalam kelompok = JK total – JK antar kelompok = 13,5
Tabel 3.4.4 Analisis Varians untuk variabel X2
Sumber Variasi df JK RK = JK/df Fhit Antar kelompok 1 13,61111111 13,61111111 16,132 Dalam kelompok (error) 16 13,5 0,84375
Total 27,11111111
Wilks Lambda = 0,498 1111111
, 27
5 , 13
=
Kesimpulan
3.5 Fungsi Diskriminan
Fungsi diskriminan untuk hal ini adalah menggunakan statistik W (Wald Anderson )
yaitu : ( ) ( )
X adalah vektor pengamatan
1
−
X dan 2
−
X adalah vektor rata-rata variabel independen
1
−
S adalah invers matriks varians kovarians dalam kelompok gabungan
yang akan menghasilkan model atau fungsi analisis diskriminan sebagai berikut :
ij
b = koefisien fungsi diskriminan dari variabel ke-j
ij
X = Variabel bebas ke-j dari responden ke-i , dengan i = 1,2,...,n
Matriks varians-kovarians gabungannya telah diperoleh, yaitu =
844
maka inversnya
−
Maka, fungsi diskriminannya adalah :
Tabel 3.5.1 Pengklasifikasian Objek Pengamatan ke dalam kelompok
responden kelompok X1 X2 Y
= +
+ −
= 22,3418 2,1146(8) 1,3303(7)
Y 3,8871 , dimana Y > 0 ( yang jelas Y berharga positif ), maka responden tersebut akan dimasukkan pada kelompok berhasil .Jika nilai Y < 0 , akan dimasukkan pada kelompok gagal.
3.6 Menguji Ketepatan Pengelompokan Fungsi Diskriminan
Setelah fungsi diskriminan terbentuk dan klasifikasi objek telah dilakukan ,selanjutnya akan dilihat seberapa jauh klasifikasi tersebut sudah tepat atau berapa persen terjadi kesalahan pengklasifikasian pada proses klasifikasi tersebut, yang akan dijelaskan berikut ini.
Tabel 3.6.1 Evaluasi Terhadap Fungsi Diskriminan Prediksi Pengelompokan Menurut
Fungsi Diskriminan Pengelompokan
Awal Kelompok Berhasil Kelompok Gagal
Jumlah
Kelompok Berhasil 9 1 10
Kelompok Gagal 1 7 8
Jumlah 10 8 18
Pada tabel dapat dilihat bahwa
• Responden yang pada data pengelompokan awal adalah tergolong pada kelompok berhasil ,dan dari klasifikasi fungsi diskriminan tetap pada kelompok berhasil adalah 9 orang, sedangkan responden yang pada pengelompokan awalnya masuk kelompok berhasil , dengan fungsi diskriminan ternyata menjadi anggota kelompok gagal ada 1 orang
Maka prediksi ketepatan pengelompokan dari fungsi diskriminan berdasarkan (rumus 2.6.1) adalah :
9 , 88 % 100 18
) 7 9 (
= +
x %
Karena angka ketepatan prediksi 88,9 % maka fungsi tersebut sangat baik untuk memprediksi sebuah kasus ,apakah akan diklasifikasikan pada kelompok gagal atau berhasil.
Output SPSS
Tabel 3.6.2 Classification Results
kelompok
Predicted Group
Membership Total
0 1
0 7 1 8
1 1 9 10
% 0 87.5 12.5 100.0
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
1. Ada perbedaan yang signifikan antara kelompok berhasil dan kelompok gagal pada variabel dependen, karena nilai Wilk’s Lambda kedua variabel X1 dan X2 mendekati 0 dan nilai Sig. 0.05 pada uji F , dengan kata lain : gagal atau berhasilnya seorang mahasiswa dipengaruhi oleh variabel X1 (kemampuan mengeluarkan pendapat ) dan X2 (motivasi ).
2. Variabel independen yang membuat perbedaan pada fungsi diskriminan tersebut adalah variabel X1 dan X2 . Variabel yang paling berarti (signifikan ) yang membuat perbedaan pada fungsi diskriminan tersebut adalah variabel X1 (kemampuan mengeluarkan pendapat ) ,yang dibuktikan dengan nilai F terbesar dan nilai Wilk’s Lambda terkecil .
3. Fungsi diskriminan untuk mendiskriminasi atau membedakan kelompok yang diperoleh adalah : Y =−22,3418+2,1146X1+1,3303X2
4. Prediksi ketepatan pengelompokan dari model atau fungsi diskriminan adalah 88,9 % untuk menerangkan variabel dependen dalam mengklasifikasikan responden pada kelompok gagal atau kelopok berhasil.
4.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Algifari . 2000 . Analisis Regresi Teori,Kasus, dan Solusi . Yogyakarta : BPFE – Yogyakarta.
Johnson, R.A.& D.W.Wichern .2007.Applied Multivariate Statistical Analysis .Sixth Edition. American : Pearson Education,Inc .
Santoso, S .2010. Statistik Multivariat Konsep dan Aplikasi dengan SPSS. Jakarta : PT.Elex Media Komputindo .
Sudjana .1996 .Teknik Analisis Regresi dan Korelasi bagi Para Peneliti .Bandung : TARSITO .
Supranto,J .2004. Analisis Multivariat Arti dan Interpretasi. Jakarta : PT.Rineka Cipta
Santosa , Budi & Ashari .2005 . Analisis Statistik dengan Microsoft Excel & SPSS
.Yogyakarta : ANDI
Santoso, S .2010. Statistik Parametrik Konsep dan Aplikasi dengan SPSS. Jakarta : PT.Elex Media Komputindo .
http : // paps. bps .go.id/file_artikel /98/ Analisis_Faktor & Diskriminan pdf. Diakses tanggal 21 Pebruari ,2011 .
www.linkpdf .com / ebook . Diakses tanggal 18 April ,2011 .
Yasril & Kasjono,H . 2009 . Analisis Multivariat untuk Penelitian Kesehatan . Jogjakarta : Mitra Cendikia Press .
Walpole,R . 1995.Pengantar Statistika.Jakarta : PT.Gramedia Pustaka Utama.
Walpole,R & Myers,R . 1986 . Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuan
