BAB III PERBANDINGAN ANALISIS REGRESI MODEL LOG - LOG DAN MODEL LOG - LIN. Pada prinsipnya model ini merupakan hasil transformasi dari suatu model

(1)

41

BAB III

PERBANDINGAN ANALISIS REGRESI MODEL LOG - LOG DAN MODEL LOG - LIN

A. Regresi Model Log-Log

Pada prinsipnya model ini merupakan hasil transformasi dari suatu model tidak linier dengan membuat model dalam bentuk logaritma. Untuk memudahkan pemahaman akan digunakan pendekatan empiris dengan memanfaatkan model regresi eksponensial, yang mempunyai model umum yaitu :

= 3.1 dengan : variabel terikat : variabel bebas , : parameter-parameter : error

Dari persamaan di atas baik variabel maupun parameternya tidak linier, sehingga model tersebut bukan merupakan model regresi linier. Akan tetapi model tersebut bisa ditransformasikan menjadi bentuk linier.

Dengan mengambil logaritma natural dari persamaan 3.1 pada kedua sisinya, maka diperoleh :

(2)

ln = + +

ln = + ln +

ln = + ln + 3.2 dengan menganggap

= maka persamaan 3.2 dapat ditulis menjadi

ln = + ln + 3.3 Model ini merupakan model regresi linear, karena parameter dan dalam model ini berbentuk linear. Menariknya, model ini juga linear karena variabel Y dan X dinyatakan dalam bentuk logaritma. Karena bentuk linearitaas yang demikian ini, maka model seperti persamaan 3.3 disebut model log ganda (kedua variabelnya berbentuk logaritma linear).

1. Estimasi Parameter Satu Variabel Bebas

Dengan menerapkan metode kuadrat terkecil pada model 3.3 akan ditaksir nilai-nilai , β1. Secara matematis, meminimalkan nilai error dapat dilakukan melalui

langkah-langkah berikut : = ln – ln Y

= ln − " + # ln sehingga

(3)

Penaksir-penaksir kuadrat terkecil , β1 diperoleh dengan menghitung

turunan pertama (secara parsial) dari∑ % terhadap βˆ0,βˆ1 dan kemudian disamakan

dengan nol : ( ∑ % ( # = 0 → −2 # $ ln − # − # ln = 0 3.5 ( ∑ % ( # = 0 → −2 $ ln ln − # − # ln = 0 3.6 dari (3.5) diperoleh persamaan normal:

ln # + # $ ln = $ ln 3.7

dari (3.6) diperoleh persamaan normal:

# $ ln + # $ ln % _{= $ ln ln} _3.8 Dari (3.7) diperoleh # :

# = / = ∑ln − # ∑ ln 3.9

dengan mensubstitusikan persamaan 3.9 ke dalam persamaan 3.8 , maka diperoleh # :

(4)

2. Estimasi Parameter Dua Variabel Bebas

Dengan menerapkan metode kuadrat terkecil pada model tiga variabel yaitu ln = + ln + %ln + 3.11 akan ditaksir nilai-nilai , , dan _%. Secara matematis, meminimalkan nilai error dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut :

= – 2

= − # + # ln + #%

sehingga

$ %_{= $} _{− # − #} _{− #%} %_3.12

Penaksir-penaksir kuadrat terkecil , , dan _% diperoleh dengan menghitung turunan pertama (secara parsial) dari ∑ % terhadap # , " , dan #_% kemudian disamakan dengan nol :

( ∑ % ( # = 0 → −2 $ − # − # ln − #% = 0 3.13 ( ∑ % ( # = 0 → −2 $ ln − # − # ln − #% = 0 3.14 ( ∑ % ( #% = 0 → −2 $ ln % − # − # ln − #% % = 0 3.15 dari (3.13) diperoleh persamaan normal:

(5)

# $ln + # $ ln %_{+ #}

%$ ln ln % = $ ln ln 3.17

# $ln % − # $ ln ln % − #%$ ln % % = $ ln % ln 3.18

dari (3.16) diperoleh

/ =∑ − # ∑ − #%∑ % 3.19

Dengan mensubstitusi (3.19) ke 3.14 diperoleh :

# = ∑ % % ∑ ln ln − ∑ ln ln % ∑ ln ln %

∑ % _∑ _{% %} _{− ∑ ln ln} _{% %} 3.20 Dengan mensubstitusi 3.19 dan 3.20 ke 3.15 diperoleh :

#_% ₌∑ % ∑ ln ln % − ∑ ln ln % ∑ ln ln

∑ % _∑ _{% %} _{− ∑ ln ln} _{% %} 3.21

B. Regresi Model Log-Lin

Model log-lin adalah suatu model dimana variabel terikat dalam bentuk logaritma, sedangkan variabel bebas berbentuk linier. Model ini berfungsi pada

(6)

fenomena ekonomi dimana model-model regresi yang parameter ataupun variabelnya linier mungkin kurang cocok atau kurang memadai.

Untuk memudahkan pemahaman, proses transformasi tidak dijabarkan dengan pendekatan teoti statistik matematik, tetapi akan digunakan pendekatan empiris dengan memanfaatkan salah satu model yang ada dalam teori ekonomi, yaitu model laju pertumbuhan. Bentuk umum model laju pertumbuhan sebagai berikut :

= 1 + 3 4_3.22 dimana

: nilai Y mula-mula atau awal : nilai Y pada waktu t

3 : laju pertumbuhan majemuk (dalam hal ini, dari waktu ke waktu) dari Y

Dengan mengambil logaritma natural dari persamaan 3.22 pada kedua sisinya, maka diperoleh :

ln = 1 + 3 5 ln = + 1 + 3 5 ln = + 1 + 3 3.23 dengan menganggap = 3.24 = 1 + 3 3.25

(7)

maka persamaan dapat ditulis menjadi

ln = + 3.26 Dengan menambahkan faktor gangguan ke dalam persamaan 3.26 , maka dapat diperoleh :

ln = + + 3.27 Model ini seperti model regresi linear lainnya, di mana parameter dan dalam model ini berbentuk linear. Perbedaannya hanya terletak pada variabel terikatnya yang merupakan logaritma dari Y.

1. Estimasi Parameter Satu Variabel Bebas

Estimasi parameter regresi linier berganda bertujuan untuk menjelaskan pengaruh satu atau lebih variabel bebas terhadap variabel terikat . Dalam hal ini akan digunakan metode Ordinary Least Squares (OLS) untuk menaksir parameter-parameternya.

Nilai-nilai β0, β1 pada model 3.36 ditaksir dengan menerapkan metode

kuadrat terkecil, menggunakan sampel sebanyak n. Secara matematis, meminimalkan nilai error dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut :

= ln – ln Y

= ln − # + #

sehingga

(8)

Penaksir-penaksir kuadrat terkecil β0, β1 diperoleh dengan menghitung

turunan pertama (secara parsial) dari ∑ % terhadap βˆ₀,βˆ₁ dan kemudian disamakan dengan nol :

( )

(

)

2 0 1 0 ˆ ˆ 0 2 ln 0 ˆ i i i u β β β ∂ = → − Υ − − Χ = ∂

∑

(3.29)

( )

(

)

2 0 1 1 ˆ ˆ 0 2 ln 0 ˆ i i i i u β β β ∂ = → − Χ Υ − − Χ = ∂

∑

(3.30)

( )

∑

ln Υi =nβˆ0 +βˆ1

∑

Χi (3.31)

( )

∑

Χ Υ =

∑

Χ +

∑

Χ2 1 0 ˆ ˆ ln _i _i _i i β β (3.32) Dari (3.31) diperoleh βˆ0:

( )

_{( )}

Χ − Υ = Χ − Υ =

∑

1 1 0 ln ˆ ˆ ln ˆ β _β β i i i n (3.33)

Dengan mensubtitusi (3.33) ke dalam (3.32) diperoleh:

( )

(

)

1 ₂ ln ln ˆ i i i i i i β = Υ Χ − Χ Υ Χ Χ − Χ

∑

3.34

(9)

2. Estimasi Parameter Dua Variabel Bebas

Menaksir nilai-nilai β0, β1, β2 pada model : lnΥ = + Χ + Χ +

β β

0 1 1

β

2 2 u

dengan menerapkan metode kuadrat terkecil, menggunakan sampel sebanyak n.

galat: ui ln ln ∧ = Υ − Υ atau: =lnΥ−βˆ0 −βˆ1Χ1−βˆ2Χ2 sehingga:

(

)

2 2 0 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ln i u = Υ −β β− Χ − Χβ

∑

Penaksir-penaksir kuadrat terkecil β0, β1, β2 diperoleh dengan menghitung

turunan pertama (secara parsial) dari

∑

u_i2terhadap βˆ0,βˆ1,βˆ2 dan kemudian

disamakan dengan nol:

(

)

2 0 1 1 2 2 0 ˆ ˆ ˆ 0 2 ln 0 ˆ i u β β β β ∂ = → − Υ − − Χ − Χ = ∂

∑

(3.35)

(

)

2 1 0 1 1 2 2 1 ˆ ˆ ˆ 0 2 ln 0 ˆ i u β β β β ∂ = → − Χ Υ − − Χ − Χ = ∂

∑

(3.36)

(

)

2 2 0 1 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ 0 2 ln 0 ˆ i u β β β β ∂ = → − Χ Υ − − Χ − Χ = ∂

∑

(3.37)

(10)

∑

Χ Υ=

∑

Χ +

∑

Χ + 2

∑

Χ1Χ2 2 1 1 1 0 1ln

β

ˆ

β

ˆ

β

ˆ (3.39)

2 2 2 2 1 1 2 0 2lnΥ= ˆ Χ + ˆ Χ Χ + Χ Χ

∑

β

(3.40) Dari (3.38) diperoleh βˆ₀: # =∑ 67 8 9" ∑ 5 9 ":∑ 5: ; = ln<<<<<< − #2 <<<< − #% %22 <<<< 3.41

Dengan mensubtitusi (3.41) ke dalam (3.39) diperoleh:

# = ∑ %% ∑ ln − ∑ % ∑ %ln

∑ % _∑

%% − ∑ % % 3.42 Dengan mensubtitusi (3.41) dan (3.42) ke dalam (3.40) diperoleh:

#_% ₌∑ %% ∑ %ln − ∑ % ∑ ln

∑ % _∑

%% − ∑ % % 3.43

C. Interpreatasi Model Log-Log dan Model Log-Lin

Pada umumnya penginterpretasian model log-log dan log-lin sama. Untuk slope merupakan rasio antara perubahan relatif variabel terikat (Y) terhadap perubahan absolut variabel bebas (X).

(11)

Bila slope bernila negatif maka untuk setiap kenaikan satu satuan variabel bebas mengakibatkan penurunan nilai Y sebesar nilai slope tersebut. Namun bila slope bernilai positif, maka untuk setiap kenaikan satu satuan variabel bebas akan mengakibatkan peningkatan nilai Y sebesar nilai slope tersebut.