Metode Rata-Rata Sampel Untuk Menyelesaikan Problema Investasi Aset

METODE RATA-RATA SAMPEL UNTUK

MENYELESAIKAN PROBLEMA

INVESTASI ASET

TESIS

Oleh

RUSMINI DEWI 087021018/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

METODE RATA-RATA SAMPEL UNTUK

MENYELESAIKAN PROBLEMA

INVESTASI ASET

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

Oleh

RUSMINI DEWI 087021018/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Judul Tesis : METODE RATA-RATA SAMPEL UNTUK

MENYELESAIKAN PROBLEMA INVESTASI ASET Nama Mahasiswa : Rusmini Dewi

Nomor Pokok : 087021018 Program Studi : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Saib Suwilo, M.Sc)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi, Dekan

Telah diuji pada

Tanggal 17 Pebruari 2011

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Saib Suwilo, M.Sc

ABSTRAK

Pendekatan persoalan yang berhubungan dengan stokastik programming dapat me-muat metode sampling yang dapat digunakan dalam penyelesaian persoalan rata-rata sampling dengan optimisasi. Penyelesaian permasalahan stokastik programming de-ngan menggunakan nilai rata-rata sampling diselesaikan dede-ngan iterasi yang berulang sampai diperoleh solusi optimal. Metode heuristik dan deterministik selanjutnya di-pakai untuk memperolah solusi yang layak dengan melakukan iterasi, penomoran asset secara kelompok sehingga diperoleh solusi optimal yang diinginkan. Setelah diperoleh solusi optimal selanjutnya dilakukan evaluasi kelayakan dari solusi akhir yang telah diperoleh dari tahap awal. Selanjutnya pada bagian akhir ditunjukkan bagaimana penggunaan Metode Monte Carlo untuk menyelesaiakan permasalahan stokastik de-ngan model optimisasi.

ABSTRACT

The proposed approach of real world stochastic programming instances requires sam-pling to make them practically solvable. In this paper we extend the understanding of how sampling affects the solution quality of multistage stochastic programming prob-lem. We present a new heuristic for determining good feasible solutions for a mul-tistage decision problem. For power and log utility function we address the question of how tree structures, number of stages, number of outcomes and number of assets affect the solution quality. Finally, In this paper we showed that optimization by using Monte Carlo Sampling to approach optimization problems in stochastic programming.

KATA PENGANTAR

Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT, penulis panjatkan atas limpahan Rahmat dan Karunia-Nya, karena terselesaikannya penulisan tesis ini yang berjudul: ”Metode Rata-rata Sampel untuk Menyelesaikan Problema Investasi Aset”.

Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H. M.Sc. (CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara yang memberi kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan di Universitas Sumatera Utara.

Bapak Dr. Sutarman, M.Sc. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Penge-tahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Pascasar-jana Universitas Sumatera Utara.

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU, yang juga menjadi selaku Pembimbing utama yang telah memberikan bimbingan kepada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan.

Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Mate-matika FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga selaku anggota komisi pem-bimbing yang telah memberikan saran dan pem-bimbingan kepada penulis.

Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc. sebagai penguji tesis ini. Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si. selaku penguji tesis ini.

Serta seluruh staf pengajar pada program studi Magister Matematika Fakultas Ma-tematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang sudah mem-bimbing dan membantu penulis selama mengenyam pendidikan.

pen-Tak lupa rekan-rekan mahasiswa program studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2008. Khususnya rekan-rekan dari Politeknik Negeri Medan dan Jurusan Ma-tematika FMIPA USU antara lain Bapak Ardianta, Bapak Makmur Tarigan, Bapak Satriawan Taruna, Bapak Benar Surbakti, Bapak Bai Hotma Sitom-pul, Bapak Gim Tarigan, Bapak Djakaria Sebayang, dan Ibu Sinek Malem Br. Pinem, semoga persahabatan kita tak lekang oleh waktu.

Teruntuk keluarga semuanya: Ibu tercinta, kakak dan adik-adik tersayang terima kasih kepada semuanya yang senantiasa mendukung dan mendoakan untuk keber-hasilan penulis dalam menyelesaikan pendidikan ini.

Kepada teman-teman serta semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per-satu, penulis mengucapkan banyak terima kasih atas bantuan dan dorongan yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan pendidikan dengan tepat waktu.

Akhir kata penulis ucapkan, kiranya kekurangan yang ada pada penulisan tesis ini dapat disempurnakan bagi pihak yang memerlukan karena penulis sebagai manusia yang tidak sempurna memeiliki keterbatasan dalam menyelesaikan tesis ini seperti kata pepatah tak ada gading yang tak retak.

Medan, 17 Pebruari 2011

Penulis,

RIWAYAT HIDUP

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK i

ABSTRACT ii

KATA PENGANTAR iii

RIWAYAT HIDUP v

DAFTAR ISI vi

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Tujuan Penelitian 3

1.4 Manfaat Penelitian 4

1.5 Metodologi Penelitian 4

BAB 2 PROGRAM STOKASTIK 5

2.1 Pengertian Program Stokastik 5

2.2 Program Stokastik Dua Tahap 7

BAB 3 MODEL INVESTASI ASET 14

3.1 Model Investasi Aset 14

3.2 Kebijakan Myopik 17

BAB 4 METODE RATA-RATA SAMPLE 24

4.2 Sifat-sifat Statistik dari Batas Atas 26

BAB 5 KESIMPULAN 30

ABSTRAK

Pendekatan persoalan yang berhubungan dengan stokastik programming dapat me-muat metode sampling yang dapat digunakan dalam penyelesaian persoalan rata-rata sampling dengan optimisasi. Penyelesaian permasalahan stokastik programming de-ngan menggunakan nilai rata-rata sampling diselesaikan dede-ngan iterasi yang berulang sampai diperoleh solusi optimal. Metode heuristik dan deterministik selanjutnya di-pakai untuk memperolah solusi yang layak dengan melakukan iterasi, penomoran asset secara kelompok sehingga diperoleh solusi optimal yang diinginkan. Setelah diperoleh solusi optimal selanjutnya dilakukan evaluasi kelayakan dari solusi akhir yang telah diperoleh dari tahap awal. Selanjutnya pada bagian akhir ditunjukkan bagaimana penggunaan Metode Monte Carlo untuk menyelesaiakan permasalahan stokastik de-ngan model optimisasi.

ABSTRACT

The proposed approach of real world stochastic programming instances requires sam-pling to make them practically solvable. In this paper we extend the understanding of how sampling affects the solution quality of multistage stochastic programming prob-lem. We present a new heuristic for determining good feasible solutions for a mul-tistage decision problem. For power and log utility function we address the question of how tree structures, number of stages, number of outcomes and number of assets affect the solution quality. Finally, In this paper we showed that optimization by using Monte Carlo Sampling to approach optimization problems in stochastic programming.

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam menyelesaikan permasalahan yang kompleks untuk mengambil keputu-san, model optimisasi sering digunakan dan merupakan bagian yang sangat penting dari persoalan stokastik. Banyak permasalahan matematika yang dapat diselesaikan dengan program stokastik untuk menentukan model penyelesaian yang layak ketika dalam permasalahan tersebut muncul masalah ketidakpastian.

Birge dan Louveaux serta Ruscynski (1997) memberikan contoh model-model penyelesaian permasalahan stokastik yang berhubungan dengan ketidakpastian. Be-berapa model yang dijelaskan meliputi program stokastik dengan dua tahap yang selanjutnya dipakai untuk menentukan solusi permasalahan dengan dua tahap dan bersifat non linear.

Permasalahan pengalokasian aset erat kaitannya dengan penggunaan model pro-gram stokastik. Dalam beberapa penelitian yang berhubungan dengan pengaloka-sian aset program stokastik sudah banyak dikembangkan, digunakan sebagai aplikasi serta umumnya model stokastik dipakai sebagai model awal untuk menyelesaikan per-masalahan.

Program stokastik menggunakan beberapa aspek-aspek yang penting yang di-gunakan dalam model stokastik programming terutama persoalan yang berhubungan dengan pengalokasian aset. Secara umum model stokastik sebelumnya dicoba dengan memodelkan persoalan yang kompleks sehingga dapat dimodelkan serta diselesaikan dengan program stokastik tahap ganda. Umumnya program stokastik yang digunakan adalah program stokastik yang linier dan fungsi eksponen, dengan penyelesaian meng-gunakan beberapa tahapan sehingga diperoleh solusi yang layak.

je-2

nis penyelesaian untuk menyelesaikan persoalan ketidakpastian yang mengambarkan struktur permasalahan dari sebuah persoalan stokastik.

Birge dan Louveaux, 1997 telah menggambarkan sebuah penyelesaian yang layak dan baik dan telah menjelaskan secara lebih detail tentang stokastik programming. Beberapa penyelesaian yang dikenalkan diantaranya adalah penyelesaianprimal dan primal-dual interior point yang dapat menyelesaiakan persoalan stokastik program-ming dengan 2 tahapan yang bersifat non linier objektif.

Stokastik programming adalah sebuah nama yang menyatakan program mate-matika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Beberapa bagian yang penting tentang pendekatan stokastik programming adalah persoalan yang berhubungan dengan pe-modelan alokasi aset. Umumnya dilakukan test secara praktis dari pendekatan yang rendah ataupun yang lebih tinggi sebagai bagian dari persoalan yang mungkin dise-lesaikan secara bertahap. Beberapa bagian yang perlu diperhatikan dalam persoalan aset diantaranya adalah mendiskripsikan struktur dari persoalan asset, pengelom-pokan persoalan, faktor-faktor yang mempengaruhi aset serta solusi penyelesaian yang berhubungan dengan aset.

Persoalan yang kompleks yang membutuhkan banyak keputusan dapat disele-saikan dengan model optimisasi yang juga mungkin menggunakan penyelesaian secara stokastik. Penelitian menjelaskan bahwa model stokastik programming dapat digu-nakan sebagai model penyelesaian yang memuat faktor ketidakpastian. Pesoalan asset serta alokasinya dapat merupakan sebuah model stokastik.

3

aset yang mempengaruhi perkembangan investasi aset biasanya dapat dihitung dan dijabarkan menjadi sebuah model yang sederhana dengan menggunakan optimisasi dari model dinamis serta statis dari keseluruhan data sampel aset yang dianalisis.. Salah satu hal yang penting adalah menambahkan variabel dalam investasi asset yang secara umum yang menjabarkan bahwa semua harta yang dimiliki selanjutnya diten-tukan sampel-sampel yang mewakili aset.

Ketidakpastian, estimasi serta sampling error merupakan model-model yang su-dah dikembangkan untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan problematika investasi aset. Pengembangan model investasi aset dilakukan dengan tujuan untuk memenuhi target pasar dari sebuah produk. Pengembangan investasi dibutuhkan tiga faktor yang utama yaitu aplikasi dari produk yang dibuat, nilai jual dan peluang pasar secara kontinu.

Aset yang dihasilkan oleh sebuah perusahaan merupakan penjualan yang berhu-bungan dengan persoalan ekonomi dengan produksi sebagai salahsatu bentuk kendala (Arnaud Porchet, 2005). Konsep pemodelan lain yang berhasil dikembangkan adalah aplikasi pengembangan investasi aset dengan metode deviasi dengan menggunakan pendekatan karakteristik dari solusi yang diperoleh.

1.2 Perumusan Masalah

Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana memodelkan pro-gram stokastik untuk menyelesaikan problem investasi aset dengan metode rata-rata sampel dengan metode Monte Carlo dalam kondisi ketidakpastian.

1.3 Tujuan Penelitian

4

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberi manfaat pada masalah yang berhu-bungan dengan investasi aset terutama yang berhuberhu-bungan dengan metode rata-rata sampel, menentukan model dengan kondisi ketidakpastian, serta menjadi acuan bagi peneliti lainnya dalam melakukan penelitian yang sama atau lebih kompleks.

1.5 Metodologi Penelitian

Penelitian ini bersifat studi literatur kepustakaan dan dilakukan dengan mengum-pulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal internasional, memahami penelitian tentang beberapa metode program stokastik yang pernah diteliti orang. Tahapan yang dilakukan adalah :

1. Memahami penelitian yang telah pernah dilakukan oleh peneliti lain yang ber-hubungan dengan problem investasi aset.

2. Menjelaskan metoda rata-rata sampel sebagai penyelesaian problem investasi aset dengan menggunakan metode Monte Carlo.

BAB 2

PROGRAM STOKASTIK

2.1 Pengertian Program Stokastik

Banyak persoalan keputusan yang dapat dimodelkan dengan menggunakan pro-gram stokastik dengan tujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Tujuan dan kendala dari sebuah program stokastik adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data yang berasal dari permasalahan yang sebenarnya. Sebagai contoh dari persoalan data termasuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas, investasi aset.

Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel (x1, x2, . . . , xn). Sebagai contohxi menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program matematika adalah :

Min f(x1, x2, x3, . . . , xn)

Kendala g1(x1, x2, x3, . . . , xn)_≤0

g1(x1, x2, x3, . . . , xn)_≤0

... (2.1)

g2(x1, x2, x3, . . . , xn)_≤0

(x1, x2, x3, . . . , xn)_∈X

dimanaX adalah himpunan bilangan real non negatif serta g1, g2, . . . gn adalah kendala yang dihadapi dalam program stokastik.

Program Stokastik adalah sebuah nama yang menyatakan program matema-tika yang dapat berupa linear, cacah, cacah campuran, non linear tetapi dengan menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa :

6

b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak dike-tahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.

Program stokastik merupakan program matematika dengan situasi (yang mengan-dung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program matematika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung keti-dakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada parame-ter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prakteknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan dis-tribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digambarkan pada elemen w _∈ W. Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.

Ada dua tipe permasalahan program stokastik, yaitu :

1. Recourse Models (Model Rekursif)

2. Probabilistically Constrained Models (model Kendala Berpeluang)

Suatu cara logis yang diperlukan dalam persoalan adalah membuat sebuah kepu-tusan sekarang dan meminimumkan biaya rata-rata harapan (yang digunakan) se-bagai konsekwensi dari keputusan. Paradigma ini dikenal sese-bagai model Recourse. Andaikan x adalah vektor keputusan yang diambil, dan y(w) adalah sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekwensi darix. Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya adalah

minf1(x)+ nilai harapan [f2(y(w), w)]

kendala g1(x)_≤ 0, . . . , gm(x)_≤0

h1(x, y(w))_≤0, untuk setiap w_∈W

..

. ... (2.2)

7

x_∈X, y(w)_∈Y

Himpunan kendala h1, h2, . . . , hk, menggambarkan hubungan antara keputusan tahap pertama x dan keputusan tahap kedua y(w). Di catat bahwa dipersyaratkan (diharuskan) tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap w_∈W

yang mungkin. Fungsi f2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (re-course) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.

Model Recourse dapat diperluas dengan banyak cara. Untuk persoalan tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa ketidakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan keputusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk meminimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.

Pada beberapa kasus, dapat digunakan suatu metode yang lebih tepat untuk mencoba menentukan sebuah keputusan, yang mana keputusan tersebut dijamin oleh himpunan kendala yang akan dipenuhi oleh sebuah peluang tertentu. Model umum dengan kendala berpeluang disebut sebagai probabilistically constrained models yang dirumuskan sebagai berikut :

minf(x1, x2, x3, . . . , xn)

kendala P r[g1(x1, x2, x3, . . . , xn)_≤0. . .

gm(x1, x2, x3, . . . , xn)≤0]≥α

h1(x1, x2, x3, . . . , xn)_≤0 (2.3)

h2(x1, x2, x3, . . . , xn)_≤0]

(x1, x2, x3, . . . , xn)_∈X

2.2 Program Stokastik Dua Tahap

mem-8

punyai aplikasi yang lebih banyak dari pada model program yang lain. Penyelesaian persoalan program stokastik dua tahap berisi vektor acak dan vektor determinis-tik. Pada tahap pertama, penyelesaian persoalan rencana awal deterministik akan dibuat. Pembentukan rencana awal deterministik dilakukan sebelum kondisi acak dari persoalan ditentukan. Sebuah vektor acak pada penyelesaian persoalan yang sesuai digunakan untuk merencanakan kompensasi divergensi, spesifikasi parameter dari persoalan akan muncul pada tahap kedua. Tujuan dari manager pada persoalan di atas adalah meminimum nilai rata-rata biaya, yang mana tidak hanya termasuk pengeluaran pada tahap perencanaan pendahuluan tetapi juga pada tahap kedua yang diperlukan untuk mengkompensasi pada divergensi di dalam sistem kendala persoalan. Jika persoalan program stokastik dengan model dua tahap dapat diselesaikan maka pemilihan dari rencana awal deterministik akan menjamin keberadaan (eksistensi) vektor acak di dalam kompensasi untuk sistem yang divergen.

Andaikan terdapat persoalan berikut:

Min(C, X) (2.4)

A0X =B0 (2.5)

AX =B (2.6)

X _≥0 (2.7)

dimana

C =_{cj}, j = 1,2, . . . , m

B = (bi), i= 1,2, . . . , m

B0 = (b0

k), k= 1,2, . . . , m

9

A=_||aij ||, i= 1,2, . . . , m :j = 1,2, . . . , n

Andaikan elemen dari matriksA=A(ω), vektorB =B(ω) danC =C(ω) berni-lai acak. Maka untuk proses penyelesaian dari persoalan (2.4 - 2.7) akan dibagi men-jadi dua tahapan, sebelum pengamatan dari parameter acak pada kondisi dari tahap pertama dipilih rencana non-negatif deterministikX0 _{yang memenuhi kondisi (2.5).}

pada tahap kedua ditentukan spesifikasiω0 _{dari setiap kejadian acak yang bersamaan}

(sesuai) dengan nilai A(ω0_{) dan B(ω}0_{). Hitung divergensi B(ω}0_)−A(ω0_)X0 _yang

muncul pada kondisi (2.6) setelah realisasi ω0 _{∈ Ω. Definisikan vektor kompensasi}

divergensiY _≥0 yang sesuai dengan hubungan berikut

D(ω0)Y(ω0) =B(ω0)₋A(ω0)X0 (2.8)

dimana D =_|| dil, i = 1,2. . . , m;l = 1,2. . . , n adalah sebuah matriks kom-pensasi yang berisi elemen acak. Sehingga diasumsikan bahwa realisasi acak ω yang diamati pada tahap kedua tidak bergantung pada pemilihan rencana pendahuluan

X0_.

Perhatikan persoalan program matematika berikut :

Tentukan vektor X berdimensi n dan vektor Y(ω) berdimensi n1, ω _∈ Ω. Yang menghasilkan

min

XEω{(C(ω), X) +minY (H, Y(ω))} (2.9)

dengan kendala

A0X =B0 (2.10)

A(ω)X +D(ω)Y(ω) =B(ω) =B(ω), ω_∈Ω (2.11)

10

H adalah vektor penalty yang bergantung pada nilai kompoinen dari vektor

Y(ω) yang mana merupakan kompensasi divergensi. E adalah notasi ekspekstasi matematika setelah ditentukan rencana awal X0_{, kita pilih komponen vektor Y(ω)}

dengan cara menjamin penalty minimum untuk kompensasi divergensi pada kondisi dari persoalan. Dengan kata lain, setelah ditentukan vektorX0_{, perlu menyelesaikan}

persoalan

min

Y (H, Y(ω))|D(ω)Y(ω) =B(ω)−A(ω)X

0_Y(ω)

≥0_} (2.13)

Kebergantungan (keadaan) pada bermacam-macam proses aktual yang dapat di-modelkan, menyebabkan persoalan dinamik akan memiliki salah satu bentuk berikut yaitu : tidak dapat dikondisikan, kondisi probabilistik atau kendala statistik. Untuk persoalan dinamik dengan kendala tidak dapat dikondisikan, karakteristik keputusan adalah membuat pada basis informasi mengenai distribusi yang dikombinasikan oleh parameter acak dari kondisi pada semua tahapan. Pada persoalan dinamik dengan kondisi dua kasus kendala dapat dibedakan menjadi : (a) jika oleh momen pembu-atan keputusan hanya realisasi dari parameter acak pada tahap sebelumnya yang diperkirakan diketahui dan (b) jika oleh momen pembuatan keputusan melengkapi informasi yang tersedia mengenai realisasi parameter acak (termasuk kondisi) yang dinyatakan tahapan, tetapi nilai dari parameter acak pada tahapan berurutan tidak diketahui. Terdapat relasi tertentu antara persoalan tahap ganda dengan yang tidak dapat dikondisikan dan kondisi kendala.

Penyelesaian optimal untuk persoalan program stokastik dinamik dapat diper-oleh dengan strategi murni atau campuran. Pada komponen kasus akhir pada penye-lesaian atau karakteristik statistik dari distribusi yang memberikan penyepenye-lesaian akan bergantung pada nilai parameter acak di dalam kondisi persoalan, yang direalisasikan oleh momen pembuatan keputusan.

11

Untuk mengoperasikan model program stokastik diuraikan dengan metode se-bagai berikut:

a. Bootstrap Data Historis

b. Pemodelan statistika dengan pendekatan ”value at risk”

c. Model vektor Autoregressi

a. Bootstrap Data Historis

Pendekatan paling sederhana untuk membangun skenario hanya memakai data yang ada tanpa pemodelan matematika. Setiap skenario merupakan sampel dari perolehan aset yang diperoleh dengan mensampling perolehan yang diamati di masa lalu. Waktu dari catatan historis yang tersedia dipilih secara acak dan untuk setiap waktu dalam sampel dibawa perolehan dari semua kelas tersebut. Ini merupakan skenario perolehan bulanan. Jika ingin dibangun skenario perolehan untuk horizon waktu panjang misalnya 1 tahun, disampel perolehan 12 bulan dari titik waktu yang berbeda. Susunan perolehan dari deretan yang disampel merupakan perolehan 1 tahun. Dengan pendekatan ini korelasi diantara kelas aset dipertahankan.

b. Model Statistika dari Konsep Value-at-Risk

Analisis deret waktu dari data historis dapat dipakai untuk mengestimasi pe-rubahan dari matriks korelasi antara kelas aset. Matriks korelasi ini dipakai untuk mengukur resiko dengan metode Value-at-Risk (VaR).

Nyatakan peubah acak dengan vektor acak k-dimensi w. Dimensi w sama de-ngan jumlah faktor resiko yang ingin dimodelkan. Dede-ngan mede-ngandaikan bahwa peubah acak secara gabungan bersebaran normal dapat didefinisikan fungsi kepa-datan peluang dariw sebagai

f(w) = (2π)−p′2 _|Q|−1′2 _{exp [−}1

2(w−w¯)

′

Q−1_(w−w¯)]

12

Setelah parameter dari sebaran normal multivarian diestimasi dapat memakainya dalam simulasi Monte Carlo dengan menggunakan pendekatan faktorisasi Cholesky atau prosedur pembentukan skenario yang didasarkan pada analisis komponen utama yang diajukan oleh Jamshidian dan Zhu (1997).

Simulasi dapat diterapkan secara berulang pada status berbeda dari pohon ke-jadian. Segitupun, mungkin saja ingin dipersyaratkan nilai acak yang dibangun pada nilai-nilai yang diperoleh oleh beberapa peubah acak.

Sampling bersyarat dari peubah normal multivariat dilakukan seperti berikut. Peubah w dipartisi menjadi 2 subvektor w1 dan w2 dengan w1 vektor dimensi K, dari peubah acak untuk nama beberapa informasi tambahan tersedia dan w2 adalah vektor dimensi K2 ₋K₋K1 dari peubah sisa. Vektor nilai ekspektasi dan matriks kovarian dipartisi secara analog sebagai

¯

Fungsi kepadatan peluang marginal dariw2 dengan diketahuiw1 =w∗

1 diberikan

dimana nilai ekspektasi bersyarat dan matriks kovarian diberikan oleh

¯

Skenario w2 untuk periode t dipersyaratkan pada nilai w1 diberikan oleh wt

1

dapat dibangun dari peubah normal multivariat melalui pernyataan

wt

2i =w20i exp [σi √

tw2i]

dengan wt

2i nilai hari ini danσi adalah perubahan periode tunggal dari komponen ke

13

c. Pembentukan Skenario Menggunakan Model Vektor Autoregressi

Model vektor Autoregressi dapat dipakai untuk membentuk skenario. Dalam hal ini diambil ilustrasi etnang sistem simulasi Asset Liahlity Management (ALM) untuk dana pensiun. Karena cakupan dari sistem ini selalu dibatasi pada keputusan strategis jangka panjang model investasi hanya mempraktekkan kumpulan kecil dari kelas aset yang besar yaitu deposito, bond, real estate dan saham. Terpisah dari perolehan atas aset-aset ini, setiap skenario harus mengandung informasi tentang pertumbuhan gaji masa datang untuk menghitung nilai masa datang pensiun.

Model vektor autoregresi untuk membentuk skenario perolehan aset dan per-tumbuhan gaji adalah

Rt =c+V ht−1+εtεtℜN(0, Q), t = 1,2, . . . , T

Rit =ln(1 +πit), i= 1,2, . . . , m, t= 1,2, . . . , T

Dengan m jumlah deret waktu aset, πit laju perubahan diskrit dari peubah i ditahunt, Rtvektor dimensi-mdari laju majemuk,cvektor koefisien berdimensim, V adalah matriks koefisien m _×m, εt vektor dimensi m dari pencilan dan Q matriks kovariansi m_×m.

BAB 3

MODEL INVESTASI ASET

Pada bab ini akan dikaji masalah investasi dengan himpunan aset A, untuk periode waktut= 1, . . . , T, investor berkeinginan menentukan jumlah optimal untuk

Uα

t setiap aset aǫA yang akan dibeli/dijual. Total unit aαt dari aset a pada waktu t diatur, oleh persamaan rekursif xa

t = xat−1+U

a

t−1, t = 2, . . . , T. Dimana U

a t−1 bisa

positif atau negatif tergantung pada pembelian atau penjualan aseta. Denganxa t dan

ca

t dinotasikan masing-masing jumlah tunai dan harga dari aset a pada waktut, dan dengan R = 1 +r, dimana r adalah suku bunga. Diasumsikan bahwa suku bunga r

yang diterima dalam setiap tahap waktu adalah tetap.

3.1 Model Investasi Aset

Misalkan A merupakan kumpulan seluruh aset dengan periode t = 1, . . . , T

adalah proses memaksimumkan peluang yang mungkin terjadi selama perusahaan menjalankan aktivitasnya. Persoalan investasi aset kemudian dapat dimodelkan ke dalam optimisasi maksimum yaitu :

15

Dengan memasukkan nilai transaksi yaitu pembelian serta penjualan aset, dapat dibedakan menjadi dua variabel yaitu variabel yang berhubungan dengan pembelian aset serta variabel yang berhubungan dengan penjualan aset.

max E

t = notasi keputusan jual′ beli

uab

t = notasi keputusan beli

uas

t = notasi keputusan jual

T = notasi biaya transaksi proposional (1₋T)Ca

t = notasi pendapatan dari penjualan aset sekarang (1₋T)Ca

t = notasi biaya pembelian untukT ∈(0,1)

Ca

t = notasi realisasi tertentu dari variabel acak yang bersesuaian.

E = Ekspektasi (nilai harapan)

16

xa

t = notasi jumlah tunai dari aset a pada waktut

xc

t = notasi jumlah tunai dari aset cpada waktu t.

ua

t = jumlah optimal setiap aset a∈A yang dibeli/dijual.

Model investasi aset dengan menggunakan nilai transaksi serta mengunakan variabel random yang mempengaruhi penjualan serta pembelian aset dengan model markov adalah sebagai berikut :

ℓi(xt =αctxct+

P

a∈A

αc

ixct, i∈I

Dengan menggunakan nilai markov kedalam fungsi dengan periode T ₋1 diperoleh model optimisasinya sebagai berikut :

max densi yang menggunakan Qt(xt, ct) diperoleh model :

17

Model keputusan optimal dengan vectoru1 = uab

1 , uas1

a_∈A sebagai solusi penyele-saian optimal dari persoalan optimisasi menjadi model:

max

Tahap penyederhaan awal dimulai dengan memuat vector x1 sebagai faktor yang memperngaruhi nilai aset pada model tersebut menjadi bentuk numerik dengan model bronian geometric adalah sebagai berikut:

lnca

18

Perubahan nilai variabel tersebut dapat ditransformasikan menjadi model:

ℓi yta+1ct

Sehingga model optimisasi berubah menjadi:

max

Selanjutnya perhitungan dengan menggunakan waktut=T ₋2, . . . ,1 diperoleh:

Qt(xt, ct) = ˜Qt xat +

Dengan nilai optimal :

19

ℓi(yt+, ct)≥0, i∈I (3.24)

Himpunan vektor-vektor Yt+1 yang memenuhi persamaan (3.23) dan (3.24),

diperoleh:

Ut(Wt, ξt) =

(

yt+1:yta+1

X

a∈A

=Wt, ℓi(yt+1, ct)≥ 0, i∈I

)

(3.25)

Persamaan (3.23) dan (3.24) adalah linier, himpunan Ut(Wt, ξt), t = T − 1, . . . ,1 adalah homogen positif terhadap Wt, diperoleh:

Ut(αWt, ξt) =αut(Wt, ξt )untuk setiap α >0 (3.26)

Catat juga bahwa urutan masalah yang mungkin persamaan (3.22) - (3.24) sehingga diperoleh:

E

"

˜

Qt+1 Ryct+1 +

X

a∈A

ξat+1y

a t+1ξt+1

!

|ξt =ξt

#

>_−∞ (3.27)

Diperoleh fungsi logaritmanya menjadi:

U(αZ) = logα+U(z) (3.28)

untuk setiap α > 0 dan z > 0. Sehingga UT−1(WT−1, ξT−1) merupakan homogen

positif dengan pengaruh pada WT−1 dan karena dari (3.28), ini berpengaruh

ter-hadap himpunanST−1(WT−1, ξT−1 dari penyelesaian optimal pada (3.19) yang selalu

homogen positif dengan terhadap WT−1, dan untuk setiap WT−1 >0,

˜

QT−1(WT−1, ξT−1) = ˜QT−1(1, ξT−1) + logWT−1 (3.29)

20

Bila nilai optimal v∗

dari koreponden (benar) masalah multistage akan mem-berikan dengan (bilaξ1 =c1 dan tidak acak).

21

Proporsi 1. Andaikan bahwa tidak ada biaya transaksi dan misalkan U(_∗) meru-pakan fungsi log-utilitas. Maka: (i) nilai optimalv∗

, dari masalah multistage, diberikan oleh persamaan (3.34), (ii) himpunan penyelesaian optimal dari masalah tahap per-tama (3.32) hanya tergantung pada distribusi dari c2 (dan tak tergantung pada rea-lisasi data acak pada tahap-tahap berikut t = 3, . . . , T), dan bisa diperoleh dengan menyelesaikan masalah (3.35).

Bukti, jika ¯y2 ₋(¯yc

2,y¯2a)a ∈ A merupakan penyelesaian optimal dari masalah (3.35),

maka

Memberikan penyelesaian optimal yang bersesuaian dari masalah tahap pertama (3.32). yang jelas himpunan penyelesaian optimal dari (3.35) tidak tergantung dari padac3, . . . , cT.

diperoleh bahwa WT−1y¯T merupakan penyelesaian optimal dari (3.19) untuk setiap

22

model penyederhanaan solusi optimalnya adalah sebagai berikut:

˜

Pendekatan model dikembangkan menjadi:

max

Proporsi 2. Andaikan bahwa tidak ada biaya transaksi dan proses acak (ξa t =

ca

t′cat−1)a∈A, t = 2, . . . , T saling independent, dan misalkan U(∗) menjadi fungsi uti-litas untuk suatu γ _≤ 1, γ ₆= 0. Maka himpunan penyelesaian optimal dari masalah tahap pertama (3.32) hanya tergantung pada distribusiξ2 (dan tidak tergantung pada realisasi ξ3, . . . ξT) dan bisa diperoleh dengan menyelesaikan masalah (3.41) untuk

23

v∗

=W1γ

T−1

Y

t=1

Qt(1) (3.42)

dimanaQt(Wt) merupakan nilai optimal dari masalah (3.41)

BAB 4

METODE RATA-RATA SAMPLE

4.1 Metode Monte Carlo

Untuk menghitung rata-rata sampel dapat dilakukan pendekatan dengan metode sampel Monte Carlo dengan menentukan sampelN =_{N1, N2, . . . , Nt−1}merupakan

bilangan integer. Tahapan pertama yang dilakukan adalah N1 sebagai replikasi vek-tor sebagai sebuah vekvek-tor random yang akan dibangun untuk menentukan model selanjutnya, vektor random tersebut dapat dimisalkan sebagai vektor c2 yang akan direplikasi. Replikasi yang akan dilakukan pada tahapan ini tidak membutuhkan pe-modelan secara stokastik, model yang dibutuhkan adalah model yang memuat teori peluang yang dapat menghitung rata-rata sampel dengan peluang yang memuat vek-tor c3 sebagai kelanjutan penggandaan dari vektorc2 yang dibutuhkan sebagai dasar untuk menentukan rata-rata sampel dari perhitungan model Monte Carlo.

Masing-masing bagian dari setiap vektor yang dimaksud tersebut merupakan bagian yang akan dihitung totalnya secara keseluruhan dalam total N sampel. Se-lanjutnya model akan dibuat berdasarkan proses random yang mungkin dari total keseluruhan sampel N dengan peluang masing-masing sampel adalah 1/N. Secara keseluruhan maka metode yang digunakan akan memiliki permasalahan optimisasi yang akan membagun sampel-sampel dan selanjutnya akan dihitung rata-rata sampel tersebut sehingga diperoleh total perhitungan rata-rata sampel yang diinginkan dari model yang dibuat untuk menghitung total investasi aset.

25

sampel tersebut tentunya merupakan ukuran dari total sampel yang dimaksud yaitu

Nt, t= 1,2, . . . , T −1 yang merupakan bagian dari kelompok-kelompok sampel yang akan dihitung rata-ratanya.

Model penyelesaian statistik dengan Monte Carlo diperoleh :

v∗

≤E[ˆvN] (4.1)

Investasi aset dihitung dengan menggunakan sampelN =N1, . . . , NT−1adalah

menghi-tung nilai optimal dengan model sebagai berikut:

¯

Estimasi nilai sampel dihitung dengan menjadi :

ˆ

Batasan perhitungan nilai sampel adalah :

¯

vN,M+tα,vσˆN,M (4.4)

Batasan perhitungan nilai sampel adalah:

¯

Substitusi kepersamaan (4.5) menjadi:

Q2(¯x2, cj₂)_≤E_⌈vˆj,m

26

Nilai X dan Y dari variabel random dapat dihitung yaitu:

Var(Y) =E[Var(Y _|X)] + Var [E(Y _|X)] (4.8)

Nilai batasan sampel diperoleh:

¯¯

vN1,M +zαˆσN1,M (4.11)

Sebagai proses acak dengan N realisasi yang mungkin, masing-masing dengan probabilitas yang sama 1_′N. Akibatnya yang dihasilkan bisa diasosiasikan masalah optimisasi. Masalah yang diperoleh yang terkait dengan sampel yang dihasilkan. Nilai optimal yang dinotasikan dengan VN dan diperoleh penyelesaian optimal.

4.2 Sifat-sifat Statistik dari Batas Atas

Dengan (4.1) diperoleh vn adalah estimator tak bias naik atas optimal v∗

dari masalah sebenarnya. Khususnya diselidiki bagaimana bisa yang bersesuaian berperi-laku untuk ukuran sampel dan pada jumlah tahap berbeda-beda. Perhatikan kasus tanpa biaya transaksi dengan fungsi log-utilitas. Dengan mengingat bahwa bersyarat titik sampel ξt, pada tahap t, dihasilkan sampel ξtj+1 = (ξ

j

27

dari masalah (4.16) diaproksimasikan dengan nilai optimalQt, Nt(1, ξt) dari masalah. Nilai statistik sampel dapat dihitung dengan menggunakan nilai optimal dari v se-hingga diperoleh model sebagai berikut :

max

Subtitusi nilaiU(z) = log z, sehingga diperoleh model:

Bt,Nt(ξt) :=E

Proses statistik disederhanakan menjadi:

E[¯vN,M]−v∗ = + T−1

X

t=1

Bt,Nt (4.17)

Model variansi secara statistik ditentukan:

28

Fungsi statistik dihitung dengan menggunakan model:

ˆ

Model statistik selanjutnya dihitung dengan menggunakan model:

29

Diperoleh nilai pendekatan optimisasi menjadi:

max X

i∈I

Ui(xi, ui) (4.27)

kendala xi =Aixi−+Bixi−+bi (4.28)

Cixi+Diui =di (4.29)

Eixi+Fiui ≥ei (4.30)

Penyelesaian optimal dinotasikan _{x∗

i, u

∗

BAB 5 KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

Algoet, P.H., Cover, T.M., (1988). Asymtotic Optimality and asymptotic equivarition properties of log optimum investment. Ann. Probah 16, 876-898.

Beltratti, A., Laurant, A., Zenios, S.A., (2004). Scenario modeling for selective hedging strategies. J. Econ. Dyn. Control 28, 955-974.

Birge, Louveaux, J.R., (1997). Introduction to Stochastic Programming, Springer-Verlag, New York.

Charles, T., (1999). On the deterministic sample of invesment, Journal of banking finance, 1487-1503.

Efimov,V.M., (1970). Optimal optimization under uncertainty, Econ. Math. Methods, 6, No. 3.

Eisner, M.J., Kaplan, R.S., & Soden, J.V., ( 1971). Admissible Rules for the E-Model of Chance-Constrained Programming, Management Sci., No. 17.

Jamshidian, F.,& Zhu, Y., (1997). Scenario Simulation: Theory and methodology, Finance and Stocahstic, pp. 43-67.

Jorgen, Blom vall,. Alexxander Shapiru (2006), Solving Multistage asset investment problems by the sample average approximation method.

Judin, D.B., (1974). Duality in Stochastic Programming Dynamic Problems, Tech-nologi. Cybernetics. No. 6.

Leeflang, P.S.H., & Wittink, D.R., (1996). ”Competitive Reaction versus concumer response: Do managers overreact?” International Journal of Research in Mar-keting, 13 (2), 103-119.

Mawengkang, H, 2006, Modellling Decision Problem under uncertainty Proceding, IMTGT Int, Conference, Medan.

Steinbach, M.C., (2001). Hierarchical sparsity in multistage convex stochastic pro-grams. In: S.P. Uryasev, P.M. Pardalos (eds.), Stochastic Optimization: Algo-rithms and Applications, 385-410. Kluwer Academic Publishers

Ted Raphs, (2009) ”Stochastic Programming and Financial Analysis”, Journal of Fi-nancial. 13(2). 157-189